MIKROÖKONÓMIA I.
Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén
az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi Intézet
és a Balassi Kiadó közrem¶ködésével
Készítette: K®hegyi Gergely és Horn Dániel Szakmai felel®s: K®hegyi Gergely
2010. június
1
ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék
MIKROÖKONÓMIA I.
4. hét
Elemzési eszközök 2. rész
K®hegyi Gergely, Horn Dániel
A tananyagot készítette: K®hegyi Gergely
Jack Hirshleifer, Amihai Glazer és David Hirshleifer (2009) Mikroökonómia. Budapest, Osiris Kiadó, ELTECON- könyvek (a továbbiakban: HGH), illetve Kertesi Gábor (szerk.) (2004) Mikroökonómia el®adásvázlatok.
http://econ.core.hu/∼kertesi/kertesimikro/ (a továbbiakban: KG) felhasználásával.
Optimalizálás
Összes, átlagos és határmennyiségek
Összes, átlagos és határmennyiségek
• Eladott mennyiség: Q
• Ár: P
• Bevétel: R=P Q
• Átlagbevétel: AR=RQ =P QQ =P
• Határbevétel: M R=∆Q∆R 1. Megjegyzés
A∆ szimbólum kis, illetve egységnyi változásokat jelöl.
A fels® grakon azRösszbevételfüggvényt ábrázolja, az alsó grakon a hozzá tartozóARátlagbevétel- ésM R határbevétel-függvényt. AQ= 4 esetén például a teljes bevétel, R= 24. Az alsó grakon ARgörbéjének magassága a fels® grakonon kivastagítottON szakasz meredekségével egyenl®, azazAR=R/Q= 24/4 = 6, haQ= 4. AzM R görbe magasságaQ= 4esetén egyenl® a teljes bevétel görbéjének meredekségével. Ezt azLN ésN M meredekségek átlagával közelítjük.
2. Megjegyzés
FIGYELEM! Összmennyiséget (mint amilyen a bevétel az ábra fels® grakonján) SOHASE ábrázoljunk azo- nos grakonon az átlag- és határmennyiségekkel (mint amilyenek az átlagbevétel és a határbevétel az ábra alsó grakonján)! A mértékegységeik ugyanis nem azonosak. Az ábra fels® részében a függ®leges tengely mértékegysége dollár, miközben az alsó részében termékegységre jutó dollár (dollár/termékegység).
ACösszköltségfüggvényéb®l levezethetjük azAC átlagköltséget ésM Chatárköltséget. Annál a kibocsátási mennyiségnél, ahol az összköltségfüggvény meredeksége a legkisebb (a fels® grakon K pontja), M C mini- mális. Ahol az origóból a görbéig húzott egyenes meredeksége a legkisebb (a fels® grakonLpontja),AC a minimumpontjában van. AholAC csökken®, ottM Calatta vanAC-nek; aholAC növekv®, ottM C felette vanAC-nek.
3
Pl.: Vándorló életmód
Az y(s) hozamú gy¶jtögetési helyeken akkor érik el az optimális s∗ tartózkodási id®t, amikor az illet®
hely határhozama egyenl® a teljest id®szakot gyelembe véve számolty/t átlaghozammal, t =d+s. Az egyes helyekhez tartozó átlagos id® tehát nemcsak az s tartózkodási id®t, hanem az egyik helyr®l a másikra vándorlásdholtidejét is tartalmazza.
Diszkrét mennyiségek 3. Megjegyzés
Ha csak diszkrét választások lehetségesek, akkor a kibocsátási szint optimuma annál az értéknél található, ahol a lehet® legsz¶kebb következ® szakaszon a határbevétel kisebb a határköltségnél, és a lehet® legsz¶kebb el®z® szakaszon a határbevétel nagyobb a határköltségnél.
Cikkek Átlagzetés- Határzetés-többlet száma többlet (dollár) (dollár)
1 543 543
5 295 191
10 227 153
15 194 120
20 174 109
25 160 100
30 149 93
35 150 49
Matematikailag kicsit precízebben
• Egy változó esetén Endogén változó: x
Az endogén változótól függ® összmennyiség: G=f(x), f:R→R Átlagmennyiség: AG= f(x)x
Határmennyiség: M G= lim∆x→0∆f(x)∆x = df(x)dx =f0
• Két változó esetén
Endogén változók: x1, x2
Az endogén változóktól függ® összmennyiség: G=f(x1, x2), f :R2→R Átlagmennyiségek: AG1= xG
1 = f(xx1,x2)
1 , AG2= xG
2 =f(xx1,x2)
2 , AGi:R2→R;i= 1,2 Határmennyiségek: M G1= ∂f(x∂x1,x2)
1 , M G2= ∂f(x∂x1,x2)
2 ;M Gi:R2→R;i= 1,2
• nváltozó esetén
Endogén változók: x1, x2, . . . , xi, . . . , xn
Az endogén változóktól függ® összmennyiség: G=f(x1, x2, . . . , xi, . . . , xn), f:Rn→R Átlagmennyiségek: AG1= xG
1, AG2=xG
2, . . . , AGi= xG
i, . . . , AGn= xG
n
Határmennyiségek: M G1= ∂x∂f
1, M G2=∂x∂f
2, . . . , M Gi= ∂x∂f
i, . . . , M Gn= ∂x∂f
n
Vektorokkal kifejezve
• Endogén változók: x=
x1
x2
...
xi
...
xn
• Az endogén változótól függ® összmennyiség: G=f(x), f :Rn→R
5
• Átlagmennyiségek: AG=
AG1
AG2
...
AGi ...
AGn
=
G x1 G x2
...
G xi
...
G xn
;AG:Rn →Rn
• Határmennyiségek: MG=
M G1
M G2
...
M Gi
...
M Gn
=
∂G
∂x1
∂G
∂x2
...
∂G
∂xi
...
∂G
∂xn
;MG:Rn→Rn
Mennyiségek közti összefüggések
Matematikai ismétlés
Tegyük fel, hogy azxésyendogén változók közti öszefüggést azy=x3−6x+x2függvény írja le. Milyen xérték mellett maximális, illetve minimálisy értéke és mekkorák ezek az értékek?
Átlag és határmennyiségek közti összefüggések
• A határnagyság az összmennyiség függvényének a meredeksége.
• Az átlagnagyság az origóból az összmennyiség függvényéhez húzott sugár meredeksége.
1. Állítás
Ha az összmennyiség növekv®, a megfelel® határmennyiség pozitív. (Gyakori hiba!) Ha az összmennyiség csökken®, a megfelel® határmennyiség negatív.
Ahol az összmennyiségnek maximuma (vagy minimuma) van, a megfelel® határmennyiség nulla.
2. Állítás
Ahol az átlagmennyiség csökken®, a határmennyisegnek az átlagmennyiség alatt kell lennie.
Ahol az átlagmennyiség növekv®, a határmennyiség az átlagmennyiség felett lesz.
Ahol az átlagmennyiség nem csökken® es nem is növekv® (minimumában vagy maximumában van), a határmennyiség egyenl® az átlagmennyiséggel.
Matematikai ismétlés
Tegyük fel, hogy azxésyendogén változók közti öszefüggést azy=x3−6x+x2függvény írja le. Milyen x érték mellett maximális, illetve minimális y értéke és mekkorák ezek az értékek, ha a függvényt csak a [0; 2]zárt intervallumon vizsgáljuk?
Matematikai ismétlés 1. Deníció
Legyenf(x)S→R deriválható függvény, aholS⊆Rn! Legyen továbbác∈S bels® pontja azS részhalmaz- nak! Ekkor cstacionárius pontja azf(x)függvénynek, ha
fi0(c) = 0 i= 1,2, . . . , n m
f0(c) =0.
1. Tétel
Legyenf(x)S →Rderiválható függvény, ahol S⊆Rn! Legyen továbbác∈S bels® pontja azS halmaznak!
Hacszéls®érték helye azf(x)függvénynek azS halmazon, akkorcstacionárius pontja azf(x)függvénynek.
2. Tétel
Legyen f(x, y) egy S ⊆ R2 halmazon értelmezett függvény, amely folytonos els®- és másodrend¶ parciális deriváltakkal rendelkezik! Legyen továbbá(x0, y0)azS halmaz egy bels® pontja, amely stacionárius pontja az f(x, y)függvénynek! Ekkor
• f1100(x0, y0)<0 ésf1100(x0, y0)f2200(x0, y0)−f12002(x0, y0)>0⇒(x0, y0)lokális maximum hely;
• f1100(x0, y0)>0 ésf1100(x0, y0)f2200(x0, y0)−f12002(x0, y0)>0⇒(x0, y0)lokális minimum hely;
• f1100(x0, y0)f2200(x0, y0)−f12002(x0, y0)<0⇒(x0, y0)nyeregpont;
• f1100(x0, y0)f2200(x0, y0)−f12002(x0, y0) = 0⇒(x0, y0)lehet lokális minimum vagy maximum vagy nyeregpont is.
Matematikai ismétlés
Pl.: Legyeneky, x1 ésx2 endogén változók és a köztük lév® kapcsolatot a írja le azy=x21−6x1+x22− 4x2+ 113függvény. Milyenx1ésx2értékek esetén vesz fely minimum, illetve maximum értéket és mi ez az érték?
Matematikai ismétlés 3. Tétel
Tegyük fel, hogy f(x, y)-nak és g(x, y)-nak léteznek folytonos parciális deriváltjai az xy-sík egy A tartomá- nyában, valamint azt, hogy (x0, y0) azA egy bels® pontja, másrészt, hogy f(x, y)-nak a g(x, y) = 0 feltétel melletti lokális széls®értékhelye. Tegyük fel továbbá, hogyg01(x0, y0),g02(x0, y0)közül legalább az egyik nem 0.
Ekkor létezik pontosan egy darab olyanλszám, hogy az(x0, y0)számpár a L(x, y) =f(x, y)−λg(x, y)
Lagrange-függvény stacionárius pontja.
Matematikai ismétlés 4. Tétel
Legyenf(x, y)és g(x, y)R2→Rfolytonosan deriválható függvény, és tegyük fel, hogy a max(min)f(x, y)
g(x, y) = 0 )
feladat optimális megoldásait keressük. Tegyük fel továbbá, hogy (x0, y0) a feladathoz tartozó Lagrange- függvény
L(x, y) =f(x, y)−λg(x, y) stacionárius pontja, valamint hogy g(x0, y0) = 0. Ekkor
L(x, y)konkáv ⇒(x0, y0)a maximalizálási feldat megoldása; L(x, y)konvex ⇒(x0, y0)a minimalizálási feldat megoldása. Matematikai ismétlés
Pl.: Legyeneky, x1 ésx2 endogén változók és a köztük lév® kapcsolatot a írja le azy=x21−6x1+x22− 4x2+ 113függvény. Milyenx1ésx2értékek esetén vesz fely minimum, illetve maximum értéket és mi ez az érték azx1+x2= 100feltétel mellett?
7
