Lineáris algebra
Freud, Róbert
Lineáris algebra
Freud, Róbert Publication date 2014
Szerzői jog © 2014 ELTE Eötvös Kiadó
Tartalom
BEVEZETÉS ... xi
1. Kiknek ajánljuk a könyvet? ... xi
2. Előismeretek ... xi
3. Feladatok ... xi
4. Az egyes fejezetek kapcsolata ... xi
5. Technikai tudnivalók ... xi
6. Stílus ... xii
7. Tanácsok ... xii
8. Hibák és hiányosságok ... xiii
9. Köszönetnyilvánítás ... xiii
1. 1. DETERMINÁNSOK ... 1
1. 1.1. Permutációk inverziószáma ... 1
1.1. 1.1.1 Definíció ... 1
1.2. 1.1.2 Definíció ... 1
1.3. 1.1.3 Tétel ... 1
1.4. 1.1.4 Tétel ... 2
2. 1.2. A determináns definíciója ... 3
2.1. 1.2.1 Definíció ... 3
2.2. 1.2.2 Definíció ... 4
2.3. 1.2.3 Tétel ... 5
3. 1.3. Elemi tulajdonságok ... 7
3.1. 1.3.1 Tétel ... 7
3.2. 1.3.2 Tétel ... 7
3.3. 1.3.3 Tétel ... 7
3.4. 1.3.3 A Tétel ... 8
3.5. 1.3.4 Tétel ... 8
3.6. 1.3.5 Tétel ... 9
3.7. 1.3.6 Tétel ... 9
4. 1.4. Kifejtés ... 11
4.1. 1.4.1 Definíció ... 11
4.2. 1.4.2 Tétel (Kifejtési tétel) ... 12
4.3. 1.4.3. Tétel (Ferde kifejtés) ... 13
5. 1.5. Vandermonde-determináns ... 15
5.1. 1.5.1 Definíció ... 15
5.2. 1.5.2 Tétel ... 15
2. 2. MÁTRIXOK ... 18
1. 2.1. Mátrixműveletek ... 18
1.1. 2.1.1 Definíció ... 18
1.2. 2.1.2 Definíció ... 18
1.3. 2.1.3 Tétel ... 19
1.4. 2.1.4 Definíció ... 19
1.5. 2.1.5 Tétel ... 20
1.6. 2.1.6 Definíció ... 21
1.7. 2.1.7 Definíció ... 21
2. 2.2. Az n×n-es mátrixok gyűrűje ... 23
2.1. 2.2.1 Tétel ... 23
2.2. 2.2.2 Tétel ... 23
2.3. 2.2.3 Lemma ... 24
2.4. 2.2.4 Tétel (Determinánsok szorzástétele) ... 24
2.5. 2.2.5 Tétel ... 24
3. 3. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK ... 27
1. 3.1. Gauss-kiküszöbölés ... 27
1.1. 3.1.1 Tétel ... 30
1.2. 3.1.2 Tétel ... 31
1.3. 3.1.3 Definíció ... 31
1.4. 3.1.4 Tétel ... 31
1.5. 3.1.5 Definíció ... 32
2. 3.2. Cramer-szabály ... 34
2.1. 3.2.1 Tétel (Cramer-szabály) ... 34
2.2. 3.2.2 Tétel ... 35
2.3. 3.2.3 Tétel ... 36
2.4. 3.2.4 Tétel ... 36
3. 3.3. Lineáris függetlenség Tk-ban ... 38
3.1. 3.3.1 Definíció ... 38
3.2. 3.3.2 Definíció ... 39
3.3. 3.3.3 Definíció ... 39
3.4. 3.3.4 Tétel ... 40
3.5. 3.3.5 Tétel ... 40
4. 3.4. A mátrix rangja ... 43
4.1. 3.4.1/O Definíció ... 43
4.2. 3.4.1/S Definíció ... 43
4.3. 3.4.1/D Definíció ... 44
4.4. 3.4.2 Tétel ... 44
4.5. 3.4.3 Tétel ... 45
5. 3.5. Reguláris és szinguláris mátrixok ... 48
5.1. 3.5.1 Definíció ... 48
5.2. 3.5.2 Tétel ... 48
5.3. 3.5.3 Tétel ... 49
4. 4. VEKTORTEREK ... 52
1. 4.1. Vektortér ... 52
1.1. 4.1.1 Definíció ... 52
1.2. 4.1.2 Tétel ... 54
2. 4.2. Altér ... 57
2.1. 4.2.1 Definíció ... 57
2.2. 4.2.2 Tétel ... 58
3. 4.3. Generálás ... 61
3.1. 4.3.1 Definíció ... 61
3.2. 4.3.2 Definíció ... 61
3.3. 4.3.3 Definíció ... 62
3.4. 4.3.4 Tétel ... 62
3.5. 4.3.5 Definíció ... 63
3.6. 4.3.6 Tétel ... 63
3.7. 4.3.7 Definíció ... 63
3.8. 4.3.8 Definíció ... 63
4. 4.4. Lineáris függetlenség ... 66
4.1. 4.4.1 Definíció ... 66
4.2. 4.4.2 Definíció ... 66
4.3. 4.4.3 Tétel ... 66
4.4. 4.4.4 Definíció ... 67
5. 4.5. Bázis ... 69
5.1. 4.5.1 Definíció ... 69
5.2. 4.5.2 Tétel ... 69
5.3. 4.5.3 Tétel ... 69
5.4. 4.5.4 Tétel ... 69
5.5. 4.5.5 Lemma (Kicserélési tétel) ... 70
5.6. 4.5.6 Tétel ... 71
5.7. 4.5.7 Tétel ... 71
6. 4.6. Dimenzió ... 73
6.1. 4.6.1 Definíció ... 73
6.2. 4.6.2 Tétel ... 74
6.3. 4.6.3 Tétel ... 74
6.4. 4.6.4 Tétel ... 74
6.5. 4.6.6 Tétel ... 75
6.6. 4.6.7 Tétel ... 75
7. 4.7. Koordináták ... 77
7.1. 4.7.1 Definíció ... 77
5. 5. LINEÁRIS LEKÉPEZÉSEK ... 79
1. 5.1. Lineáris leképezés ... 79
1.1. 5.1.1 Definíció ... 79
1.2. 5.1.2 Tétel ... 79
1.3. 5.1.3 Definíció ... 79
1.4. 5.1.4 Definíció ... 80
1.5. 5.1.5 Tétel ... 80
1.6. 5.1.6 Definíció ... 81
2. 5.2. Izomorfizmus ... 83
2.1. 5.2.1 Definíció ... 83
2.2. 5.2.2 Tétel ... 83
2.3. 5.2.3 Tétel ... 84
2.4. 5.2.4 Tétel ... 84
2.5. 5.2.5 Tétel ... 84
3. 5.3. Leképezés jellemzése a báziselemek képével ... 86
3.1. 5.3.1 Tétel ... 86
4. 5.4. Dimenziótétel ... 87
4.1. 5.4.1 Tétel ... 87
4.2. 5.4.2 Tétel ... 87
5. 5.5. Lineáris leképezések összege és skalárszorosa ... 88
5.1. 5.5.1 Definíció ... 88
5.2. 5.5.2 Definíció ... 89
5.3. 5.5.3 Tétel ... 89
6. 5.6. Lineáris leképezések szorzása ... 91
6.1. 5.6.1 Definíció ... 91
6.2. 5.6.2 Tétel ... 91
6.3. 5.6.3 Tétel ... 92
6.4. 5.6.4 Tétel ... 92
6.5. 5.6.5 Definíció ... 92
6.6. 5.6.6 Tétel ... 93
6.7. 5.6.7 Tétel ... 94
7. 5.7. Lineáris leképezés mátrixa ... 97
7.1. 5.7.1 Definíció ... 97
7.2. 5.7.2 Definíció ... 97
7.3. 5.7.3 Tétel ... 98
7.4. 5.7.4 Tétel ... 98
7.5. 5.7.5 Tétel ... 99
7.6. 5.7.6 Tétel ... 99
7.7. 5.7.7 Tétel ... 99
8. 5.8. Áttérés új bázisra ... 101
8.1. 5.8.1 Tétel ... 101
8.2. 5.8.1A Tétel ... 102
6. 6. SAJÁTÉRTÉK, MINIMÁLPOLINOM ... 104
1. 6.1. Sajátérték, sajátvektor ... 104
1.1. 6.1.1 Definíció ... 104
1.2. 6.1.2 Definíció ... 104
1.3. 6.1.3 Tétel ... 104
1.4. 6.1.4 Tétel ... 105
2. 6.2. Karakterisztikus polinom ... 106
2.1. 6.2.1 Tétel ... 106
2.2. 6.2.2 Definíció ... 106
3. 6.3. Minimálpolinom ... 108
3.1. 6.3.1 Definíció ... 108
3.2. 6.3.2 Tétel ... 108
3.3. 6.3.3 Tétel (Cayley-Hamilton-tétel) ... 109
3.4. 6.3.4 Tétel ... 109
3.5. 6.3.5 Tétel ... 109
4. 6.4. Invariáns altér ... 111
4.1. 6.4.1 Definíció ... 111
5. 6.5. Rend ... 113
5.1. 6.5.1 Definíció ... 113
5.2. 6.5.2 Tétel ... 113
5.3. 6.5.3 Tétel ... 113
5.4. 6.5.4 Tétel ... 113
5.5. 6.5.5 Tétel ... 114
5.6. 6.5.6 Tétel ... 114
5.7. 6.5.7 Lemma ... 114
5.8. 6.5.8 Tétel ... 115
6. 6.6. Transzformációk szép mátrixa ... 116
6.1. 6.6.1 Tétel ... 117
6.2. 6.6.2 Tétel ... 117
6.3. 6.6.3 Tétel ... 118
6.4. 6.6.4 Tétel (Jordan-féle normálalak) ... 118
7. 7. BILINEÁRIS FÜGGVÉNYEK ... 121
1. 7.1. Valós bilineáris függvény ... 121
1.1. 7.1.1 Definíció ... 121
1.2. 7.1.2 Tétel ... 122
1.3. 7.1.3 Definíció ... 122
1.4. 7.1.4 Tétel ... 122
2. 7.2. Ortogonalizálás ... 124
2.1. 7.2.1 Definíció ... 124
2.2. 7.2.2 Tétel ... 124
2.3. 7.2.3 Tétel ... 124
2.4. 7.2.4 Definíció ... 124
2.5. 7.2.5 Tétel ... 128
2.6. 7.2.6 Tétel (Tehetetlenségi tétel) ... 128
3. 7.3. Kvadratikus alak ... 130
3.1. 7.3.1 Definíció ... 130
3.2. 7.3.2 Definíció ... 131
3.3. 7.3.3 Tétel ... 132
3.4. 7.3.4 Tétel ... 132
4. 7.4. Komplex bilineáris függvény ... 134
4.1. 7.4.1 Definíció ... 134
4.2. 7.4.2 Tétel ... 134
4.3. 7.4.3 Tétel ... 134
4.4. 7.4.4 Tétel ... 135
8. 8. EUKLIDESZI TEREK ... 137
1. 8.1. Valós euklideszi tér ... 137
1.1. 8.1.1 Definíció ... 137
1.2. 8.1.2 Tétel ... 138
1.3. 8.1.3 Definíció ... 138
1.4. 8.1.4 Definíció ... 138
1.5. 8.1.5 Definíció ... 138
1.6. 8.1.6 Definíció ... 138
1.7. 8.1.7 Tétel ... 139
2. 8.2. Hossz, távolság, szög ... 141
2.1. 8.2.1 Definíció ... 141
2.2. 8.2.2 Tétel ... 141
2.3. 8.2.3 Definíció ... 142
2.4. 8.2.4 Definíció ... 142
2.5. 8.2.5 Tétel ... 142
2.6. 8.2.6 Definíció ... 142
2.7. 8.2.7 Definíció ... 142
2.8. 8.2.8 Tétel (Cauchy-Bunyakovszkij-Schwarz-egyenlőtlenség) ... 143
3. 8.3. Komplex euklideszi tér ... 145
3.1. 8.3.1 Definíció ... 145
3.2. 8.3.2 Tétel ... 146
4. 8.4. Transzformáció adjungáltja ... 147
4.1. 8.4.1 Tétel ... 147
4.2. 8.4.2 Tétel ... 148
4.3. 8.4.3 Tétel ... 148
5. 8.5. Normális, önadjungált és unitér transzformációk ... 149
5.1. 8.5.1 Definíció ... 149
5.2. 8.5.2 Tétel ... 149
5.3. 8.5.3 Tétel ... 150
5.4. 8.5.4 Definíció ... 150
5.5. 8.5.5 Definíció ... 150
5.6. 8.5.6 Tétel ... 151
6. 8.6. Szimmetrikus és ortogonális transzformációk ... 153
6.1. 8.6.1 Definíció ... 153
6.2. 8.6.2 Tétel (Főtengelytétel) ... 153
6.3. 8.6.3 Definíció ... 153
6.4. 8.6.4 Tétel ... 153
9. 9. KOMBINATORIKAI ALKALMAZÁSOK ... 156
1. 9.1. Szép polinomok ... 156
1.1. 9.1.1 Tétel ... 156
2. 9.2. Fibonacci-számok ... 157
2.1. 9.2.1 Tétel ... 158
3. 9.3. Négyzetszámok keresése ... 161
3.1. 9.3.1 Tétel ... 161
4. 9.4. Páratlanváros és Párosváros ... 163
4.1. 9.4.1 Tétel (Páratlanváros) ... 164
4.2. 9.4.2 Tétel (Párosváros) ... 164
5. 9.5. Szép gráfok ... 167
5.1. 9.5.1 Tétel (Hoffman-Singleton-tétel) ... 167
6. 9.6. Sidon-sorozatok ... 169
6.1. 9.6.1 Tétel ... 169
6.2. 9.6.2 Tétel ... 170
6.3. 9.6.3 Tétel ... 170
6.4. 9.6.4 Tétel ... 171
7. 9.7. Hilbert harmadik problémája ... 174
7.1. 9.7.1 Tétel ... 174
8. 9.8. Térfogat és determináns ... 176
8.1. 9.8.1 Tétel ... 177
10. 10. KÓDOK ... 179
1. 10.1. Hibajelzés, hibajavítás ... 179
1.1. 10.1.1 Definíció ... 179
1.2. 10.1.2 Definíció ... 180
1.3. 10.1.3 Definíció ... 180
1.4. 10.1.4 Definíció ... 180
1.5. 10.1.5 Tétel ... 180
1.6. 10.1.6 Definíció ... 181
2. 10.2. Lineáris kód ... 182
2.1. 10.2.1 Definíció ... 182
2.2. 10.2.2 Tétel ... 183
2.3. 10.2.3 Definíció ... 183
3. 10.3. Hamming-kód ... 185
3.1. 10.3.1. Definíció ... 185
3.2. 10.3.2 Tétel ... 186
3.3. 10.3.3 Tétel ... 186
3.4. 10.3.4 Definíció ... 186
4. 10.4. BCH-kódok ... 188
4.1. 10.4.1 Tétel ... 189
4.2. 10.4.2. Tétel ... 189
4.3. 10.4.3 Definíció ... 190
4.4. 10.4.4 Tétel ... 190
A. A. ALGEBRAI ALAPFOGALMAK ... 193
1. A.1. Művelet ... 193
1.2. A.1.2 Definíció ... 194
1.3. A.1.3 Definíció ... 194
1.4. A.1.4 Definíció ... 194
1.5. A.1.5 Definíció ... 195
1.6. A.1.6 Definíció ... 196
1.7. A.1.7 Tétel ... 196
2. A.2. Test ... 198
2.1. A.2.1 Definíció ... 198
3. A.3. Gyűrű ... 200
3.1. A.3.1 Definíció ... 200
3.2. A.3.2. Definíció ... 201
3.3. A.3.3 Tétel ... 201
4. A.4. Polinomok ... 203
4.1. 1. Polinom ... 203
4.2. 2. Polinomfüggvény ... 203
4.3. 3. Műveletek ... 203
4.4. 4. AT[x]polinomgyűrű ... 204
4.5. 5. Fokszám ... 204
4.6. 6. Gyök ... 204
4.7. 7. Multiplicitás ... 204
4.8. 8. A gyökök száma ... 204
4.9. 9. A gyökök meghatározása ... 205
4.10. 10. Derivált polinom ... 205
4.11. 11. Összefüggés a gyökök és együtthatók között ... 205
4.12. 12. Polinomok számelmélete ... 206
4.13. 13. Irreducibilis polinomok ... 206
4.14. 14. Egész együtthatós polinomok ... 207
5. A.5. Csoport ... 210
5.1. A.5.1 Definíció ... 210
5.2. A.5.2 Definíció ... 211
5.3. A.5.3 Definíció ... 211
5.4. A.5.4 Definíció ... 211
5.5. A.5.5 Definíció ... 212
5.6. A.5.6 Tétel (Lagrange tétele) ... 212
6. A.6. Ideál és maradékosztálygyűrű ... 213
6.1. A.6.1 Definíció ... 213
6.2. A.6.2 Definíció ... 214
6.3. A.6.3 Tétel ... 214
6.4. A.6.4 Tétel ... 214
6.5. A.6.5 Tétel ... 215
6.6. A.6.6 Tétel ... 215
7. A.7. Testbővítés ... 217
7.1. A.7.1 Definíció ... 217
7.2. A.7.2 Definíció ... 218
7.3. A.7.3 Tétel (Testbővítések fokszámtétele) ... 218
7.4. A.7.4 Definíció ... 218
7.5. A.7.5 Tétel ... 218
7.6. A.7.6. Definíció ... 219
7.7. A.7.7 Definíció ... 219
7.8. A.7.8 Tétel ... 219
7.9. A.7.9 Definíció ... 219
7.10. A.7.10 Tétel ... 220
7.11. A.7.11 Tétel ... 220
7.12. A.7.12 Tétel ... 220
8. A.8. Véges testek ... 222
8.1. A.8.1 Tétel ... 222
8.2. A.8.2 Tétel ... 222
8.3. A.8.3 Tétel ... 223
8.4. A.8.4 Tétel ... 223
8.5. A.8.5 Tétel ... 224
8.6. A.8.6 Tétel ... 224
B. EREDMÉNYEK ÉS ÚTMUTATÁSOK ... 228
1. 1. Determinánsok ... 228
1.1. 1.1. ... 228
1.2. 1.2. ... 228
1.3. 1.3. ... 229
1.4. 1.4. ... 230
1.5. 1.5. ... 231
2. 2. Mátrixok ... 231
2.1. 2.1. ... 231
2.2. 2.2. ... 232
3. 3. Lineáris egyenletrendszerek ... 233
3.1. 3.1. ... 233
3.2. 3.2. ... 234
3.3. 3.3. ... 235
3.4. 3.4. ... 235
3.5. 3.5. ... 236
4. 4. Vektorterek ... 237
4.1. 4.1. ... 237
4.2. 4.2. ... 238
4.3. 4.3. ... 239
4.4. 4.4. ... 240
4.5. 4.5. ... 241
4.6. 4.6. ... 241
4.7. 4.7. ... 242
5. 5. Lineáris leképezések ... 242
5.1. 5.1. ... 242
5.2. 5.2. ... 243
5.3. 5.3. ... 243
5.4. 5.4. ... 244
5.5. 5.5. ... 244
5.6. 5.6. ... 244
5.7. 5.7. ... 246
5.8. 5.8. ... 247
6. 6. Sajátérték, minimálpolinom ... 247
6.1. 6.1. ... 247
6.2. 6.2. ... 247
6.3. 6.3. ... 248
6.4. 6.4. ... 249
6.5. 6.5. ... 250
6.6. 6.6. ... 251
7. 7. Bilineáris függvények ... 252
7.1. 7.1. ... 252
7.2. 7.2. ... 253
7.3. 7.3. ... 253
7.4. 7.4. ... 255
8. 8. Euklideszi terek ... 255
8.1. 8.1. ... 256
8.2. 8.2. ... 256
8.3. 8.3. ... 258
8.4. 8.4. ... 259
8.5. 8.5. ... 260
8.6. 8.6. ... 261
9. 9. Kombinatorikai alkalmazások ... 263
9.1. 9.1. ... 263
9.2. 9.2. ... 263
9.3. 9.3. ... 265
9.4. 9.4. ... 266
9.5. 9.5. ... 269
9.7. 9.7. ... 271
9.8. 9.8. ... 273
10. 10. Kódok ... 273
10.1. 10.1. ... 273
10.2. 10.2. ... 274
10.3. 10.3. ... 275
10.4. 10.4. ... 276
11. A. Algebrai alapfogalmak ... 277
11.1. A.1. ... 277
11.2. A.2. ... 278
11.3. A.3. ... 278
11.4. A.4. ... 279
11.5. A.5. ... 281
11.6. A.6. ... 282
11.7. A.7. ... 284
11.8. A.8. ... 285
C. MEGOLDÁSOK ... 288
1. 1. Determinánsok ... 288
2. 2. Mátrixok ... 290
3. 3. Lineáris egyenletrendszerek ... 290
4. 4. Vektorterek ... 292
5. 5. Lineáris leképezések ... 294
6. 6. Sajátérték, minimálpolinom ... 295
7. 7. Bilineáris függvények ... 297
8. 8. Euklideszi terek ... 299
9. 9. Kombinatorikai alkalmazások ... 301
10. 10. Kódok ... 311
11. A. Algebrai alapfogalmak ... 313
D. TÁRGYMUTATÓ, JELÖLÉSEK ... 316
BEVEZETÉS
1. Kiknek ajánljuk a könyvet?
A könyv elsősorban az ELTE TTK matematika tanári szakán tartott (reguláris és fakultációs) lineáris algebra előadásokhoz és gyakorlatokhoz kapcsolódik, de ennél jóval bővebb anyagot tartalmaz. A matematika tanári szak mellett jól használható a matematikus, alkalmazott matematikus, programozó matematikus és informatika szakokon, valamint alkalmas lehet a lineáris algebra önálló elsajátítására is.
2. Előismeretek
Csak minimális előképzettséget tételezünk fel: a középiskolás anyagon túlmenően mindössze a komplex számok és néhány elemi számelméleti fogalom (oszthatóság, maradékosztály, Euler-féle ϕ-függvény, lineáris kongruencia) ismeretére támaszkodunk. A további felhasznált algebrai fogalmakat (polinom, test, gyűrű stb.) és ezek leglényegesebb tulajdonságait a könyv végén az „Algebrai alapfogalmak” c. fejezetben foglaljuk össze.
3. Feladatok
A fejezeteket alkotó minden egyes pont után feladatok következnek. A feladatok részben az aktuális fogalmak, tételek, módszerek stb. megértését ellenőrzik és ezek elmélyítését segítik elő, részben újabb példákat, összefüggéseket és alkalmazásokat mutatnak be, részben pedig az adott témakörhöz kapcsolódó egyéb problémákat vizsgálnak. Gyakran szerepelnek feladatnak „álcázott” tételek is, amelyek az anyag részletesen nem tárgyalt további érdekes vonatkozásaira, távolabbi összefüggéseire hívják fel a figyelmet.
Ennek megfelelően a feladatok mennyisége és nehézsége igen tág határok között mozog, az éppen sorra kerülő anyag témájától, terjedelmétől és mélységétől függően. A(z általunk) nehezebbnek ítélt feladatokat csillaggal, a kiemelkedően nehéznek tartott feladatokat pedig két csillaggal jelezzük. (Természetesen egy feladat nehézsége mindig relatív; a megoldó képességeitől, érdeklődésétől és általános előismeretétől eltekintve jelentősen függhet
— többek között — a korábban megoldott feladatoktól is.)
A feladatok eredményét és/vagy a megoldáshoz vezető (egyik lehetséges) útmutatást — minimális számú kivételtől eltekintve — az „Eredmények és útmutatások” c. fejezetben közöljük. Néhány (elsősorban nehezebb) feladathoz részletes megoldást is adunk a „Megoldások” c. fejezetben, ezeket a feladatokat a kitűzésnél M betűvel jelöltük meg.
4. Az egyes fejezetek kapcsolata
Szoros egységet alkot és egymásra épül az 1., a 2. és a 3. fejezet, amelyekben a „legklasszikusabb” lineáris algebra anyagot jelentő determinánsokat, mátrixokat és lineáris egyenletrendszereket tárgyaljuk.
Hasonló szoros kapcsolatban áll egymással a 4., az 5. és a 6. fejezet, amelyekben a vektorterekre, valamint a lineáris leképezésekre és transzformációkra vonatkozó általános alapismeretek szerepelnek. A 4. és 5. fejezet legnagyobb része az első három fejezet nélkül is megérthető.
A 7-10. fejezetek általában erősen támaszkodnak az első hat fejezetre. Közülük a bilineáris függvényeket és az euklideszi tereket bemutató 7. és 8. tartozik szorosan össze. A 9. fejezetben főleg kombinatorikus jellegű alkalmazásokat gyűjtöttünk csokorba, a 10. fejezet pedig algebrai kódokkal foglalkozik. Ez a két fejezet egymástól és — a 9. fejezet néhány részét leszámítva — a 7. és a 8. fejezettől is független.
A könyv végén szereplő „A” jelű fejezetben — mint már említettük — röviden összefoglaljuk a könyvben felhasznált algebrai alapismereteket.
5. Technikai tudnivalók
Az egyes fejezetek ún. pontokra tagolódnak. A definíciókat, a tételeket és a feladatokat k.m.n típusú módon számoztuk, ahol k a fejezetet, m ezen belül a pontot és n a ponton belüli sorszámot jelenti. A definíciók és a
képletek stb. (sima, egy számmal történő) számozása pontonként újrakezdődik. A definíciók, illetve a tételek megfogalmazásának a végén ❶ áll, a bizonyítások befejezését pedig ❷ jelzi.
A jelölések, fogalmak, tételek visszakeresését megkönnyít(het)i a „Tárgymutató, jelölések” c. fejezet, amelyet igyekeztünk nagyon részletesen összeállítani.
A leggyakrabban előforduló fogalmakkal kapcsolatban itt is felsoroljuk, hogy a vektorokat aláhúzott latin kisbetűvel (pl. ), a skalárokat általában görög kisbetűvel (pl. α), a mátrixokat dőlt latin nagybetűvel (pl. A), a lineáris leképezéseket írott latin nagybetűvel (pl. ), a bilineáris függvényeket pedig vastag latin nagybetűvel (pl. A) jelöljük. Felhívjuk még a figyelmet arra, hogy a nulla nagyon sok mindent jelenthet (egész számot, gyűrű nullelemét, testbeli skalárt, vektort, vektorteret, alteret, mátrixot, lineáris leképezést, bilineáris függvényt stb.), és ezek közül többet ugyanúgy is jelölünk, azonban a szövegösszefüggésből mindig kiderül, hogy melyik jelentésről van szó.
A polinomok fokszámát „deg”-gel, a komplex számok valós és képzetes részét „Re”-vel, illetve „Im”-mel jelöljük, tehát pl. deg(x3+x)=3, Re(4-i)=4, Im(4-i)=-1. Megkülönböztetjük a (valós) számok alsó és felső egész részét, és ezeket illetve jelöli, így pl. a[π] jelölést nem használjuk. Az oszthatóságra, a legnagyobb közös osztóra és a legkisebb közös többszörösre (az egész számok és a polinomok esetén is) a szokásos jelöléseket használjuk, tehát pl. x–1ǀx2–1, (9,15)=3, [9,15]=45. A [ ] szögletes zárójel a legtöbbször egyszerűen zárójelet, néha legkisebb közös többszöröst, a 9.6 pontban pedig zárt intervallumot jelöl, továbbá illetve [A] az lineáris leképezés, illetve az A bilineáris függvény mátrixát jelenti.
6. Stílus
A fogalmakat, állításokat stb. a formális megfogalmazáson túlmenően is alaposan „körbejárjuk”,
„emberközelbe” hozzuk; ezeket mindig példákkal illusztráljuk, megpróbáljuk a „szemléletes” tartalmukat megjeleníteni, a „lényegi” vonásaikat megragadni, bemutatjuk a korábbi anyaghoz való kapcsolódást, felhívjuk a figyelmet az esetleges buktatókra, elemezzük, mi indokolja az adott fogalom bevezetését stb. Nagy súlyt helyezünk arra, hogy lehetőleg a konkrétból kiindulva haladjunk az általános felé.
A bizonyítások leírásakor — különösen a bevezetőbb jellegű témaköröknél — elemi és kevésbé absztrakt segédeszközöket használunk, és a túlzottan tömör indoklások helyett inkább részletes magyarázatokat adunk, hogy a megértést a „kezdő” Olvasók számára is maximálisan megkönnyítsük. Gyakran külön is emlékeztetünk (időnként zárójeles formában) az egyébként korábban kikötött vagy a korábbiakból következő feltételekre.
Hangsúlyt helyezünk az alkalmazások szerepeltetésére, közöttük olyanokéra is, amelyek viszonylag kevés előismerettel már tárgyalhatók. Ezzel kapcsolatban külön felhívjuk a figyelmet a 9. fejezetre, amelynek egyes részei már igen szerény lineáris algebrai tudás birtokában is jól követhetők.
Igyekszünk a lineáris algebrának a matematika más területeivel való szoros és sokszínű kapcsolatát minél átfogóbban érzékeltetni. (Néha talán túlzottan is elkalandozunk a szorosan vett lineáris algebrai anyagtól — bár igen nehéz megmondani, hol a határ, hiszen a matematika egyes területei ezer szállal szövődnek egymáshoz.) Az anyag érdekes és színes bemutatása érdekében — természetesen a matematikai precizitás keretein belül maradva — nem riadunk vissza a szokatlanabb megfogalmazásoktól sem (a legkirívóbb esetekben ezeket idézőjelbe tesszük).
Helyesírási szempontból megjegyezzük, hogy jelzőként mindig egybeírjuk a nemnulla, nemkommutatív stb.
szavakat („egy nemnulla számmal lehet osztani”), de állítmányként nem („a mátrix determinánsa nem nulla”), továbbá (a nehézkes „Hermite-féle” vagy „hermite-ikus” kifejezés helyett) az „ermitikus” írásmódot használjuk.
Annak ellenére, hogy mind a jelöléseket, mind az általános stílusjegyeket igyekeztünk következetesen végiggondolni, bizonyos eltérések és egyenetlenségek előfordul(hat)nak (akár félig-meddig szándékosan, az
„írói szabadság” terhére is). Reméljük azonban, hogy a könyv stílusa (is) egységes képet mutat.
7. Tanácsok
Matematikáról lévén szó, nem kell külön hangsúlyoznunk, hogy az egyes fogalmak, tételek alapos megértése nélkül azok megtanulása fabatkát sem ér. Ezért azt javasoljuk az Olvasónak, hogy ne ugorja át a legapróbb
homályosnak tűnő részletet sem, a felhasznált hivatkozásokat keresse vissza és ellenőrizze, és pontosan gondolja végig a „könnyen igazolható” jelzéssel közölt állításokat is.
A formális, pontról pontra történő megértésen túlmenően egy fogalomnak vagy tételnek akkor lesz igazán
„mondanivalója”, ha azt jól el tudjuk helyezni a matematikai környezetében, világosan látjuk a kapcsolatait és alkalmazásait. Ehhez érdemes minél több illusztrációs példát végiggondolni, valamint az adott fogalomhoz, tételhez kapcsolódó feladatokat megoldani.
Néhány további jótanács az Olvasóhoz. A tanulás során ne ragaszkodjon betűről betűre a könyvbeli szöveghez, fogalmazza meg másképp, saját szavaival az adott fogalmat vagy állítást (de gondosan ellenőrizze, hogy tényleg
„ugyanazt” mondja-e). Vizsgálja meg, hogy egy tétel bizonyításakor az egyes feltételeket hol használjuk ki, hogyan szól és igaz-e a tétel megfordítása stb.
A feladatok megoldását (a legkönnyebbektől eltekintve) ne csak fejben gondolja át, hanem írja is le részletesen;
eközben gyakran egyszerűsödik a gondolatmenet, világosabbá válik a lényeg, és a(z esetleges) hibák vagy hiányok is kevésbé sikkadnak el.
Mindig próbálja meg kideríteni a feladat „mondanivalóját”. Az is nagyon hasznos, ha általánosít vagy önállóan vet fel újabb problémákat (még akkor is, ha ezeket nem tudja megoldani).
Lehetőleg csak akkor nézze meg a feladatokhoz adott útmutatást vagy megoldást, ha semmiképpen sem boldogul a feladattal. Térjen inkább vissza többször is ugyanarra a problémára, esetleg oldja meg előbb valamelyik speciális esetet.
8. Hibák és hiányosságok
A könyvben minden igyekezetem ellenére bizonyára akadnak hibák és hiányosságok. Minden észrevételt (legyen az akár a legapróbb sajtóhiba, akár a könyv egészére vonatkozó alapvető koncepcionális megjegyzés) bárkitől köszönettel fogadok.
9. Köszönetnyilvánítás
Több érdekes feladatot és sok értékes megjegyzést kaptam közvetlen kollégáimtól, az ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék (belső és külső) munkatársaitól, akik közül néhányan a könyv egyes részeit már a gyakorlatban is kipróbálták. Köszönettel tartozom hallgatóimnak is, részben azért, mert tőlük is számos visszajelzés érkezett, részben pedig azért, mert közel 30 éves oktatói pályafutásom során elsősorban a nekik tartott előadások és gyakorlatok során szereztem meg azokat a tapasztalatokat, amelyekre a könyv írásakor támaszkodni tudtam.
Név szerint szeretnék köszönetet mondani Babai Lászlónak, akitől nagyon sokat tanultam, és mindezt a könyvben is jelentősen hasznosítottam.
Külön köszönetet mondok feleségemnek, Gyarmati Editnek, hiszen a könyv felépítése, szemléletmódja és stílusa egyaránt magán viseli az ő sok évtizedes oktatói munkájának, kísérletező kedvének és számos alapvető tartalmi és formai újításának a jegyeit. Emellett „nemhivatalos lektorként” messze a legszigorúbb kritikusomnak bizonyult, és rengeteg szakmai, didaktikai és stiláris javaslattal segítette a könyv megszületését.
Végül, szeretném megköszönni azt a nehéz és áldozatos munkát, amelyet a két lektor, Hermann Péter és Kiss Emil végzett, akik rendkívüli alapossággal nézték át a kéziratot, aprólékosan ellenőrizték a feladatokat és azok eredményét, illetve megoldását, és a hibák kiszűrésén túl igen sok általános, konkrét és stiláris észrevételt tettek, amelyeket igyekeztem maximálisan figyelembe venni. Kiss Emil emellett igen nagy segítséget nyújtott azoknak a technikai problémáknak a megoldásában is, amelyek a számítógépes „szedési” munkám során merültek fel.
Budapest, 1996. szeptember 1.
Freud Róbert
ELTE TTK Matematikai Intézet Algebra és Számelmélet Tanszék
1117 Budapest, Pázmány Péter sétány 1/c email: freud@cs.elte.hu
1. fejezet - 1. DETERMINÁNSOK
A determinánsfogalom kialakulása történetileg a lineáris egyenletrendszerek megoldásához kapcsolódik, de a determinánsok azóta a matematika szinte minden területén alapvető fontosságúvá váltak. Ez a bonyolultnak és mesterkéltnek látszó fogalom (amely tulajdonképpen csak egy célszerű jelölésrendszer) nagyon szerencsésnek bizonyult a legkülönbözőbb problémák kényelmes, elegáns és természetes kezeléséhez. Erre számos példát tartalmaznak majd a későbbi fejezetek is.
1. 1.1. Permutációk inverziószáma
A permutációk inverziószámára csak a determináns definíciójához és ennek kapcsán néhány tulajdonságának a bizonyításához lesz szükségünk. Emiatt megelégszünk a permutáció legegyszerűbb, „hétköznapi” definíciójával:
n különböző elemnek valamilyen sorrendje. Jól ismert, hogy adott n elem esetén n!=n·(n-1)·…·2·1 ilyen sorrend lehetséges.
A továbbiakban feltesszük, hogy a kérdéses elemek számok, és ezen belül is általában az 1,2,…,n számok permutációiról lesz szó. Megállapításaink ugyanúgy érvényben maradnak, ha az elemek között egy „természetes sorrendet” rögzítünk, és a permutációknak az „ehhez a természetes sorrendhez viszonyított eltéréseit”
vizsgáljuk.
Tekintsük tehát az 1,2,…,n számoknak egy sorrendjét. Az első helyen álló számot jelöljük σ(1)-gyel, a második helyen állót σ(2)-vel stb. Ha pl. n=5, akkor a 31452 permutáció esetén σ(1)=3, σ(2)=1, σ(3)=4, σ(4)=5 és σ(5)=2.
Ez tulajdonképpen azt is jelenti, hogy a permutációt felfoghatjuk mint egy függvényt: ez a σ függvény az {1,2,…,n} halmaznak önmagára történő kölcsönösen egyértelmű (bijektív) leképezése (az i-edik helyhez az ott álló σ(i) számot rendeljük).
Megjegyezzük, hogy a permutációt legtöbbször ilyen bijekcióként célszerű tekinteni. A mi szempontjainknak azonban tökéletesen megfelel, ha a permutációra, mint az 1,2,…,n számok egy sorrendjére gondolunk.
Most rátérünk az inverzió definíciójára. Az inverzió(=„fordítottság”) azt jelenti, hogy egy permutációban két elem egymáshoz képest a természetestől eltérő, „fordított módon” helyezkedik el:
1.1. 1.1.1 Definíció
Az 1,2,…,n elemek egy permutációjában két elem inverzióban áll, ha közülük a nagyobbik megelőzi a kisebbiket. Egy permutáció inverziószámán az inverzióban álló elempárok számát értjük.❶
A σ permutáció inverziószámát I(σ)-val jelöljük. A fenti 31452 példában a 3 és az 1, a 3 és a 2, a 4 és a 2, valamint az 5 és a 2 állnak inverzióban, az inverziószám tehát 4.
A σ jelöléssel az inverzió úgy fogalmazható meg, hogy valamely i<j-re σ(i)>σ(j) (azaz az előrébb, az i-edik helyen álló σ(i) elem nagyobb a hátrébb, a j-edik helyen következő σ(j) elemnél).
A továbbiakban csak az játszik majd szerepet, hogy egy adott permutációban az inverziószám páros-e vagy páratlan:
1.2. 1.1.2 Definíció
Egy permutáció aszerint páros, illetve páratlan, hogy az inverziószáma páros, illetve páratlan.❶
A fenti 31452 permutáció tehát páros. A legegyszerűbb páros permutáció az 12…n természetes sorrend, amely a σ(x)=x identikus függvénynek felel meg; ennek 0 az inverziószáma.
1.3. 1.1.3 Tétel
I. Ha egy permutációban két szomszédos elemet felcserélünk, akkor az inverziószám 1-gyel változik (nő vagy csökken).
Bizonyítás: I. A két felcserélt elem viszonya megváltozott, azaz ha eredetileg inverzióban álltak, akkor a csere után már nem állnak inverzióban, és fordítva. Mivel szomszédosak voltak, ezért a többi elemhez képest az elhelyezkedésük nem változott, és természetesen a többi elem egymáshoz viszonyított helyzete sem módosult.
II. Ha a két elem, b és c között k darab másik áll, akkor először a hátrébb álló c-t sorra megcseréljük a mindig éppen előtte állóval, amíg közvetlenül b mögé nem kerül, ez szomszédos elemek közötti k cserét jelent. Ezután megcseréljük (a most egymás mellett levő) b-t és c-t. Végül újabb k cserével b-t rendre megcseréljük a mögötte álló elemekkel, amíg végül a b elem a c eredeti helyére nem kerül. Ez összesen 2k+1, szomszédos elemek közötti csere volt, amelyek mindegyikénél 1-gyel változott (nőtt vagy csökkent) az inverziószám.
Összességében az inverziószám tehát (egy 2k+1-nél nem nagyobb) páratlan számmal változott.❷ Az előző tétel segítségével könnyen nyerhetünk információt a páros, illetve páratlan permutációk számára:
1.4. 1.1.4 Tétel
Ha n>1, akkor n elemnek ugyanannyi páros és páratlan permutációja van.❶
Bizonyítás: Tekintsük az 1,2,…,n számok összes páratlan permutációját, és mindegyikben cseréljük fel az első és a második helyen álló elemet. Ekkor csupa páros permutációhoz jutunk, amelyek mind különbözők. Ebből azt kaptuk, hogy legalább annyi páros permutáció van, mint páratlan. Ha ugyanezt az eljárást a páros permutációkból kiindulva hajtjuk végre, akkor az adódik, hogy legalább annyi páratlan permutáció van, mint páros. Így a páros és páratlan permutációk száma valóban megegyezik (=n!/2).❷
Feladatok
Valamennyi feladatban az 1,2,…,n számok σ permutációiról lesz szó.
1.1.1
a) Bizonyítsuk be, hogy
b) Legyen tetszőleges egész. Bizonyítsuk be, hogy van olyan σ, amelyre I(σ)=k.
1.1.2 Mennyi az alábbi permutációk inverziószáma (n=101)?
a) 1,3,5,…,99,101,100,98,…,4,2;
b) 51,52,50,53,49,…,101,1;
c) 62,63,64,…,101,61,60,59,…,1;
d) 100,101,98,99,96,97,…,2,3,1.
1.1.3 Vegyünk egy tetszőleges permutációt, majd írjuk fel az elemeit pontosan fordított sorrendben, ezzel egy másik permutációt kaptunk. (Pl. a 25413-ból kiindulva a 31452 permutációt nyerjük.) Mi a szükséges és elégséges feltétele annak, hogy a két permutáció azonos paritású (azaz vagy mindkettő páros, vagy mindkettő páratlan) legyen?
1.1.4 Egy permutációban az első helyen álló elemet az utolsó, n-edik helyre visszük (a többi elem pedig egy hellyel előbbre csúszik). Mi volt az elmozgatott elem, ha az új permutációban ugyanannyi inverzió van, mint az eredetiben?
1.1.5
a) Mi a lehető legnagyobb inverziószám-változás, amelyet két elem cseréjével megvalósíthatunk? Milyen esetben lép ez fel?
M*b) P és C az alábbi játékot játsszák. P választ egy tetszőleges permutációt. Ezután C ebben a permutációban felcserél két tetszőleges elemet, majd megnézik, hogy a cserénél mennyit változott az inverziószám. P-nek az a célja, hogy a lehető legkisebb inverziószám-változás következzen be, C-nek pedig az, hogy a lehető legnagyobb.
Mekkora lesz az inverziószám-változás, ha mindketten optimálisan játszanak?
1.1.6 P és C játékszenvedélyüket újabb játék(ok)ban élik ki. P választ egy tetszőleges permutációt. C feladata ezután a természetes sorrend visszaállítása bizonyos megengedett lépések egymás utáni alkalmazásával. P-nek az a célja, hogy C a természetes sorrendet a lehető legtöbb lépésben érje el, C-nek pedig az, hogy a lehető legkevesebben. Mekkora lesz a lépésszám, ha mindketten optimálisan játszanak és egy lépés
a) két szomszédos nagyságú elem cseréjét jelenti (pl. a 6-ét és a 7-ét, akárhol is állnak);
*b) két tetszőleges elem cseréjét jelenti;
*c) az 1-esnek valamelyik másik elemmel történő cseréjét jelenti?
M1.1.7 Mely n-ekre létezik az 1,2,…,n számoknak olyan permutációja, amelyben minden elem pontosan a) 1; b) 2; **c) k másik elemmel áll inverzióban?
*1.1.8 Jelöljük f(n,k)-val az 1,2,…,n elemek azon permutációinak a számát, amelyekben pontosan k inverzió van.
a) Bizonyítsuk be, hogy b) Bizonyítsuk be, hogy
c) Adjuk meg egyszerűbb alakban a összeget.
d) Adjuk meg egyszerűbb alakban a összeget.
e) Bizonyítsuk be, hogy n>2-re
f) Mely k-ra lesz f(n,k) maximális (rögzített n mellett)?
2. 1.2. A determináns definíciója
Legyen n rögzített pozitív egész. A determinánst első közelítésben úgy tekinthetjük, mint egy számot, amelyet n2 darab számból bizonyos bonyolult szabályok szerint számítunk ki.
A determináns definícióját számok helyett általánosabban egy tetszőleges T kommutatív test elemeire fogjuk kimondani. A kommutatív test pontos definíciója megtalálható az A.2 pontban, röviden összefoglalva ez azt jelenti, hogy a „négy alapművelet” (a nullával való osztás kivételével) elvégezhető, és a szokásos műveleti azonosságok érvényesek. Legfontosabb példák: R, C, illetve Q, a valós, a komplex, illetve a racionális számok teste, valamint Fp, a modulo p maradékosztályok teste, ahol p prímszám. Azt is megjegyezzük, hogy a determináns definíciójához és az ebben a fejezetben tárgyalt tulajdonságaihoz osztásra nincs is szükség, és így pl. egész számokból vagy polinomokból képezett determinánsról is beszélhetünk.
Nem befolyásolja a továbbiak megértését és az Olvasó helyes képet fog kapni a megfelelő fogalmakról akkor is, ha a továbbiakban a „T kommutatív test elemei” helyett egész egyszerűen (pl. valós vagy komplex) számokra gondol.
A determináns definíciójához lényeges lesz, hogy n2 darab T-beli elemet egy n×n-es négyzet alakú táblázatba rendezzünk. Az ilyen és az ennél általánosabb, téglalap alakú táblázatokat mátrixoknak nevezzük:
2.1. 1.2.1 Definíció
Legyen T egy kommutatív test és k,n adott pozitív egészek. Ekkor a T test feletti k×n-es mátrixon egy olyan téglalap alakú táblázatot értünk, amelynek k sora és n oszlopa van, és amelynek elemei T-ből valók.❶
Jelölések: Magát a mátrixot úgy jelöljük, hogy a táblázatot zárójelek közé foglaljuk. A továbbiakban sima gömbölyű ( ) zárójelet fogunk használni, de szokásos a szögletes [ ] zárójel használata is.
Egy általános A mátrix i-edik sorának j-edik elemét αij-vel fogjuk jelölni. Az első index tehát azt jelzi, hogy a szóban forgó elem a táblázat hányadik sorában áll, a második index pedig azt, hogy hányadik oszlopban. Az előző példában α23=4. Ennek megfelelően egy k×n-es mátrix általános alakja
A mátrixok részletes tárgyalása a következő fejezetben kezdődik.
Ennek a fejezetnek a további részében csak n×n-es négyzetes mátrixokról lesz szó. Ezek általános alakja
Most rátérünk a determináns definíciójára. Az A mátrix determinánsán (ezt det A-val jelöljük majd) egy olyan T- beli elemet értünk, amelyet a következőképpen határozunk meg. Először is n-tényezős szorzatokat képezünk minden lehetséges módon úgy, hogy a mátrix minden sorából és minden oszlopából pontosan egy tényezőt veszünk (összesen n! ilyen szorzat képezhető). A következő lépésben minden egyes szorzatot „+” vagy „–”
előjellel látunk el: ez azt jelenti, hogy vagy magát a szorzatot tekintjük, vagy pedig a negatívját (ellentettjét). Az előjelezési szabályt a következő bekezdésben részletezzük. Végül ezeket az előjeles szorzatokat összeadjuk (azaz az összeg minden tagja vagy egy ilyen szorzat, vagy pedig a szorzat negatívja). Az így kapott (n!-tagú) összeget (amely tehát egy T-beli elem) nevezzük az A mátrix determinánsának vagy más szóval az αij elemekből képezett (n-edrendű vagy n×n-es vagy n méretű) determinánsnak.
Egy szorzat „előjelezése” a következőképpen történik. A szorzat tényezőit írjuk fel olyan sorrendben, hogy az első helyen az 1. sorból vett elem álljon, a második helyen a 2. sorból vett elem stb. Ha itt rendre megnézzük, hogy a szorzat tényezői hányadik oszlopból valók, akkor ezek az oszlopindexek is valamilyen sorrendben az 1,2,…,n számokat futják be (hiszen minden oszlopból pontosan egy elem szerepel), tehát ezek az oszlopindexek az 1,2,…,n számok egy permutációját adják. A szorzatot aszerint látjuk el pozitív, illetve negatív előjellel (tehát aszerint szerepel maga a szorzat, illetve az ellentettje majd az összegben), hogy ez a permutáció páros, illetve páratlan.
Példa: esetén az egyik szorzat a 2·6·7. Itt a tényezők már sorok szerint vannak rendezve, és ezeket a tényezőket rendre a 2., a 3., majd az 1. oszlopból vettük. Az oszlopindexek permutációja tehát 231, amelyben két inverzió van. Így ez páros permutáció, a szorzat előjele tehát pozitív (vagyis maga ez a szorzat, nem pedig az ellentettje fog szerepelni a determinánst megadó összegben).
FIGYELEM! A szorzat előjelezésének semmi köze sincs maguknak a szorzótényezőknek az értékéhez, ez kizárólag az n tényezőnek a mátrixon belüli elhelyezkedésétől függ. Az előjel meghatározásánál csakis az oszlopindexek imént említett permutációjának paritása számít, ez a permutáció pedig mindig az 1,2,…,n természetes számokra vonatkozik, függetlenül attól, hogy a mátrix elemei (valós, komplex stb.) számok vagy sem (pl. maradékosztályok).
A determinánst úgy jelöljük, hogy a táblázatot (a zárójelek nélkül) két függőleges vonal közé tesszük.
A fentieket az alábbi definícióban foglaljuk össze:
2.2. 1.2.2 Definíció
Az mátrix determináns a (vagy más szóval az αij,i,j=1,2,…,n elemekből képezett determináns)
❶
A jobb oldalon álló ∑ összegzést az 1,2,…,n számok minden lehetséges σ permutációjára kell elvégezni. Az összegben az n! tagnak pontosan a felét láttuk el negatív előjelezéssel (azaz ennyiszer szerepel a szorzat helyett az ellentettje), hiszen ugyanannyi páratlan és páros permutáció van (az n=1 triviális esettől eltekintve).
Példa:
A definíció alapján meglehetősen nehézkes egy determináns kiszámítása. Később látni fogjuk, hogy egy determinánst szinte sohasem a definíció alapján számítunk ki, hanem azoknak a módszereknek a segítségével, amelyeket majd a következő pontokban tárgyalunk.
Néhány további megjegyzés a determináns definíciójával kapcsolatban. Ha jobban belegondolunk, akkor a(z n- edrendű) determináns tulajdonképpen egy függvény, amely az n×n-es mátrixokhoz rendel T-beli elemeket. Egy adott mátrix determinánsa ekkor egy konkrét függvényérték. A „determináns” szót mindkét értelemben fogjuk használni (tehát mind a függvényt, mind pedig annak egy értékét így nevezzük), de ez (reméljük) nem okoz félreértést.
Ha ki akarjuk hangsúlyozni, hogy egy adott A mátrix determinánsáról van szó, akkor erre a det A jelölést használjuk. Ha egy determináns valamelyik soráról, oszlopáról vagy eleméről beszélünk, ezen a megfelelő mátrix adott sorát, oszlopát, illetve elemét értjük. Például egy olyan kijelentés, hogy „a determinánsban két sort felcserélünk”, annak a rövidített megfogalmazása, hogy a mátrixban felcserélünk két sort és az így keletkező mátrix determinánsát vizsgáljuk.
Még egyszer hangsúlyozzuk azonban, hogy a mátrix és a determináns alapvetően különböző matematikai fogalmak. A mátrix egy táblázat, tehát T-beli elemek bizonyos rendszere, míg a determináns egyetlen T-beli elemet jelent. Ezért nagyon ügyeljünk a határolójelek helyes használatára; mátrixnál ez gömbölyű zárójel, determinánsnál pedig két függőleges egyenes vonal.
A determináns fenti definíciójában lényeges volt, hogy egy n-tényezős szorzatot először a sorindexek szerint rendezzünk, és csak utána nézzük az oszlopindexek permutációjának paritását (páros vagy páratlan voltát). Ha más sorrendben írjuk fel a tényezőket, akkor az oszlopindexek permutációja is más lesz, és a paritás is megváltozhat, ily módon nem nyerünk információt az előjelezéssel kapcsolatban. Az alábbi tétel akkor is lehetővé teszi az előjel meghatározását, ha a tényezőket tetszőleges sorrendben írtuk fel. Ez a kiszámítási mód egyben megszünteti a sorok és oszlopok szerepének eddigi aszimmetriáját.
2.3. 1.2.3 Tétel
Tekintsünk egy, a determináns definíciójában szereplő n-tényezős szorzatot, ahol tehát minden sorból és minden oszlopból egy elem szerepel. Ez a szorzat (a tényezőket tetszőleges sorrendben felírva) αρ(1)π(1)…αρ(n)π(n) alakú, ahol ρ a sorindexeknek, π az oszlopindexeknek megfelelő permutáció. Ekkor az előjelet(–1)I(ρ)+I(π) határozza meg.❶ Bizonyítás: Ha ρ a természetes sorrendnek megfelelő permutáció, akkor ez éppen a determináns definíciójában szereplő előjelezés, hiszen I(ρ)=0. Könnyen látható, hogy a tényezőknek ebből a sorrendjéből kiindulva cserék egymásutánjával bármelyik másik sorrendhez eljuthatunk. Így elég azt megmutatnunk, hogy ha a szorzatban két tényezőt felcserélünk, akkor az I(ρ)+I(π) összeg paritása nem változik. Ez valóban igaz: egy ilyen csere ugyanis mind a ρ, mind a π permutációban két elem cseréjét jelenti, ezért mindkét permutációban az inverziószám páratlannal változik, tehát az inverziószámok összegének paritása változatlan marad.❷
Az 1.2.3 Tétel egyik következménye, hogy a determináns definíciójában a sorok és oszlopok szerepe felcserélhető; az előjelezést úgy is végezhetjük, hogy a szorzatok tényezőit az oszlopok sorrendjében írjuk fel, és az ekkor kialakuló sorindexek permutációjának a paritását nézzük. Ez az 1.2.3 Tétel jelölései szerint annak az esetnek felel meg, amikor π éppen a természetes sorrend.
Feladatok
1.2.1 Mi az alábbi polinomokban x3 együtthatója? a) b)
a) Ha egy mátrix minden eleme racionális szám, akkor a mátrix determinánsa is racionális szám.
b) Ha egy mátrix minden eleme irracionális szám, akkor a mátrix determinánsa is irracionális szám.
c) Ha egy mátrixnak pontosan egy eleme irracionális szám, a többi pedig racionális, akkor a mátrix determinánsa irracionális szám.
d) Ha egy n×n-es mátrixnak legalább n2–n+1 eleme 0, akkor a mátrix determinánsa 0.
e) Ha egy mátrix determinánsa 0, akkor a mátrixban előfordul 0 elem.
f) Ha egy mátrix elemei racionális számok és a determinánsa 1/27, akkor a mátrixban van olyan elem, amelynek a nevezője 3-hatvány.
g) Ha egy mátrix elemei racionális számok és a determinánsa 1/27, akkor a mátrixban van olyan elem, amelynek a nevezője 3-mal osztható.
1.2.3 Számítsuk ki az n-edrendű determinánst, ha tudjuk, hogy a) α1j=0 minden j-re (azaz az első sor minden eleme 0);
b) αij=0 minden i<j-re (azaz a főátló felett minden elem 0);
c) αij=0, ha i+j>n+1 (azaz a mátrix bal alsó és jobb felső sarkát összekötő átló alatt minden elem 0).
1.2.4 Számítsuk ki az alábbi n-edrendű determinánsokat (n>1).
a) (azaz közvetlenül a főátló felett, valamint a bal alsó sarokban 1-ek állnak, minden más elem 0).
b) αij=1 (azaz minden elem 1).
c) (azaz közvetlenül a főátló felett és alatt 1-ek állnak, a többi elem 0).
1.2.5 Egy n×n-es mátrixban van egy k sorból és m oszlopból álló téglalap alakú rész, amelyben minden elem 0.
Bizonyítsuk be, hogy ha k+m>n, akkor a mátrix determinánsa 0.
1.2.6 Egy n×n-es mátrixban két elemet felcserélünk, a többin nem változtatunk. Tekintsük az eredeti és az új mátrix determinánsának a definíció szerinti felírását. Hány azonos szorzat szerepel a tagok között, ha a szorzatok előjelezését nem vesszük figyelembe? Változik-e a helyzet, ha a szorzatok előjelezését is figyelembe vesszük?
1.2.7 Egy 1000×1000-es valós elemű mátrixban tetszőleges számú elem helyére általunk választott elemeket írhatunk. Legkevesebb hány elem módosításával tudjuk elérni, hogy a keletkező determináns 0 legyen?
1.2.8 Tekintsük az α11x1+α12x2=β1, α21x1+α22x2=β2 lineáris egyenletrendszert, és tegyük fel, hogy Bizonyítsuk be, hogy az egyenletrendszer egyetlen megoldása
1.2.9 Tekintsük azt a paralelogrammát, amelynek egyik csúcspontja az origó, két másik csúcspontja pedig (β1, β2), illetve (δ1, δ2). Bizonyítsuk be, hogy a paralelogramma területe abszolút értéke.
*1.2.10 Tekintsük az összes olyan n×n-es A mátrixot, amelyek minden sorában legfeljebb két darab nemnulla elem áll. Jelöljük k(A)-val, hány nemnulla tag lép fel abban az (előjeles n-tényezős szorzatokból képezett) összegben, amely det A definíció szerinti felírását adja. Mi k(A) lehető legnagyobb értéke?
1.2.11 Bizonyítsuk be, hogy
3. 1.3. Elemi tulajdonságok
A determináns definíciójából azonnal adódnak az alábbi egyszerű állítások:
3.1. 1.3.1 Tétel
I. Ha a főátló (azaz a bal felső sarkot a jobb alsó sarokkal összekötő „ÉNy-DK” irányú egyenes) alatt vagy fölött minden elem 0, akkor a determináns a főátlóbeli elemek szorzata.
II. Ha valamelyik sor vagy oszlop minden eleme 0, akkor a determináns is 0.
III. Ha valamelyik sor vagy oszlop minden elemét λ-val megszorozzuk, akkor a determináns is λ-val szorzódik.❶
Bizonyítás: I. és II. lényegében szerepelt az 1.2.3 feladatban. III. esetében a determináns definíció szerinti felírásában minden szorzat λ-val szorzódik, hiszen minden szorzatban pontosan egy tényező van az adott sorból, illetve oszlopból. Mivel az előjelezés nem módosult, így a λ-t minden tagból kiemelve kapjuk, hogy a determinánst adó előjeles összeg is λ-szorosára változott. Megjegyezzük, hogy a II. állítás a III-nak a λ=0 speciális esete.
A következő tulajdonság hasonlóan igazolható (a bizonyítást az 1.3.4 feladatban tűztük ki):
3.2. 1.3.2 Tétel
Ha valamelyik sor vagy oszlop minden eleme egy kéttagú összeg, akkor a determináns két determináns összegére bomlik, ahol az egyikben az adott sorban, illetve oszlopban rendre az összegek egyik tagja szerepel, a másikban pedig a másik tag, a többi elem pedig mind a két determinánsban ugyanaz, mint az eredetiben volt.
Azaz (pl. az első sor elemeire nézve)
Mielőtt továbbmennénk, egy általános észrevételt teszünk. Az eddigiekben úgy tapasztaltuk, hogy ha egy tulajdonság sorokra érvényes volt, akkor ugyanúgy fennállt oszlopokra is (és viszont). Megmutatjuk, hogy ez mindig szükségképpen így van. Az 1.2.3 Tétel alapján ugyanis a determinánsban a sorok és az oszlopok szerepe teljesen szimmetrikus, vagyis ha a determináns definíciójában a „sor” és „oszlop” szavakat következetesen kicseréljük, akkor ugyanahhoz a fogalomhoz jutunk. (Vigyázat, magából az 1.2.2 Definícióból ez nem látszott, viszont az 1.2.3 Tételből már következett.) Tegyük fel most, hogy a sorokkal kapcsolatban igazoltunk valamilyen általános tulajdonságot. Ha itt a bizonyításban következetesen a „sor” szó helyett az „oszlop” szót írjuk és viszont, akkor ugyanennek a tulajdonságnak az oszlopokra vonatkozó változatára kellett hogy nyerjünk egy kifogástalan levezetést.
Ennek alapján bármely, a sorokra fennálló tulajdonság oszlopokra is igaz. Megjegyezzük, hogy mindez majd az 1.3.6 Tételből is közvetlenül adódik. A további tulajdonságokat ezért csak sorokra fogjuk kimondani (de természetesen oszlopokra ugyanúgy érvényesek).
3.3. 1.3.3 Tétel
Ha két sor egyenlő (azaz a megfelelő elemek megegyeznek), akkor a determináns 0.❶
Bizonyítás: Megmutatjuk, hogy a determináns definíció szerinti felírásában a szorzatok párba állíthatók úgy, hogy bármely két összetartozó szorzat ugyanaz, azonban az előjelezésük ellentétes. Ebből a tétel nyilvánvalóan következik.
A bizonyítást az egyszerűség kedvéért arra az esetre mondjuk el, amikor az első két sor egyenlő: α1j=α2j minden j-re.
A bizonyítás gondolatát először egy konkrét példán illusztráljuk. Legyen n=5, és tekintsük a determináns definíciójában az
szorzatot. Mivel a feltétel szerint α13=α23 és α25=α15, ezért a determinánsban szintén szereplő
szorzat egyenlő S-sel.
Vizsgáljuk most meg az S, illetve S’ szorzatok előjelezését. Ehhez az oszlopindexekből képezett 35412, illetve 53412 permutáció inverziószámát kell tekintenünk. Az utóbbi permutációt az előzőből úgy nyertük, hogy az első két elemet felcseréltük. Ennek alapján az inverziószám páratlannal változott (jelen esetben 1-gyel, mert a felcserélt elemek szomszédosak voltak). Ez azt jelenti, hogy a két permutáció ellentétes paritású, és így az S és S’ szorzatok előjelezése is ellentétes (jelen esetben a determinánst adó összegben –S és +S’ fog szerepelni).
Pontosan ugyanígy kell végiggondolni az általános esetet is. A determináns definíciójában szereplő szorzatok általános alakja
Ugyanez a szorzat még egyszer előfordul mint
hiszen α1ζ(1)=α2ζ(1) és α2ζ(2)=α1ζ(2). Könnyen látható, hogy ezzel a szorzatokat valóban párbaállítottuk.
Végül igazoljuk, hogy S és S’ ellentétes előjelű lesz. S előjelét a ζ(1)ζ(2)ζ(3)…ζ(n) permutáció paritása, S’-ét pedig a ζ(2)ζ(1)ζ(3)…ζ(n) permutáció paritása adja. Mivel az utóbbi permutáció az előbbiből (az első) két elem cseréjével keletkezett, így a paritás valóban az ellenkezőjére változott.❷
Az 1.3.3 Tételt az 1.3.1 Tétel III. részével kombinálva azonnal adódik az alábbi következmény:
3.4. 1.3.3 A Tétel
Ha valamelyik sor egy másik sor λ-szorosa, akkor a determináns 0.❶
Az alábbi tulajdonság lesz az, amelyet a determinánsok számolásánál talán a legtöbbször fogunk alkalmazni.
3.5. 1.3.4 Tétel
Ha egy sorhoz hozzáadjuk egy másik sor λ-szorosát, akkor a determináns nem változik.❶
Bizonyítás: Az egyszerűbb leírás kedvéért tekintsük azt az esetet, amikor az első sorhoz adjuk hozzá a második sor λ-szorosát. Ekkor az 1.3.2 Tétel alapján
és a jobb oldalon álló második determináns az 1.3.3A Tétel szerint 0.❷
3.6. 1.3.5 Tétel
Ha két sort felcserélünk, akkor a determináns a negatívjára változik.❶
Bizonyítás: A bizonyítást most is az első két sor esetére végezzük. Az 1.3.4 Tételt fogjuk többször egymás után alkalmazni. Először a második sort kivonjuk az első sorból, majd az (új) első sort hozzáadjuk a második sorhoz, végül a(z új) második sort kivonjuk az (új) első sorból. Eközben a determináns nem változik, az első két sor j- edik eleme pedig a következőképpen módosul:
Végül az első sorból (–1)-et kiemelve, a kapott determináns egyrészt az eredeti determináns(–1)-szerese (1.3.1/III Tétel), másrészt ez a determináns az eredetiből éppen az első két sor felcserélésével keletkezett.❷
3.7. 1.3.6 Tétel
Ha az elemeket a főátlóra tükrözzük, akkor a determináns nem változik.❶
Bizonyítás: Megmutatjuk, hogy a két determináns definíció szerinti felírásában ugyanazok a szorzatok szerepelnek és az előjelezésük is azonos.
Az eredeti determináns elemeit jelöljük αij-vel, az újét pedig βij-vel. A feltétel szerint βij=αji minden i,j-re.
Az eredeti determinánsban szereplő szorzat általános alakját most az 1.2.3 Tételben szereplő módon,
αρ(1)π(1)…αρ(n)π(n) formában írjuk fel, ahol ρ a sorindexeknek, π az oszlopindexeknek megfelelő permutáció.
Ugyanez a szorzat a főátlóra történő tükrözés után is szerepelni fog, éspedig βπ(1)ρ(1)…βπ(n)ρ(n) alakban. A két szorzat előjelezése is megegyezik, hiszen az előjelet az 1.2.3 Tétel szerint az eredeti determinánsban (–1)I(ρ)+I(π), a tükrözés utániban pedig (–1)I(π)+I(ρ) határozza meg.❷
Megismételjük, hogy az 1.3.6 Tételből (is) következik, hogy bármely, a sorokra érvényes általános determinánstulajdonság szükségképpen igaz az oszlopokra is.
Az 1.3.1–1.3.6 Tételek alapján egy determinánst általában a következő módszerrel tudunk kiszámítani. Arra törekszünk, hogy végül a főátló alatt csupa 0 legyen, ekkor a determináns a főátlóbeli elemek szorzata. Ha az eljárás közben bármikor az adódik, hogy valamelyik sorban vagy oszlopban csupa 0 áll, akkor a determináns 0.
Az eljárás során csak olyan lépéseket alkalmazunk, amikor a determináns nem változik, illetve csak előjelet vált (ez utóbbiakat természetesen gondosan nyomon kell követni).
Ha α11≠0, akkor minden sorból az első sor alkalmas többszörösét levonva, elérhetjük, hogy az első oszlop többi eleme 0 legyen. Ha a bal felső sarokban eredetileg 0 állt, akkor az első sort előbb felcseréljük egy olyan sorral, amelynek első eleme nem volt 0, és ezután végezzük a fenti kivonogatásokat. (Ha nincs ilyen sor, akkor az első oszlop minden eleme 0, tehát a determináns 0.)
Ha az első oszlopban az első elem kivételével már minden elem 0, akkor megtehetjük, hogy az első sor második, ..., n-edik elemét minden gondolkodás nélkül 0-ra változtatjuk. Ez abból következik, hogy ha az első oszlop megfelelő többeseit a többi oszlopból levonjuk, akkor az első sorban ezeknek az elemeknek a helyére 0 kerül, és közben semelyik másik elem sem módosul, valamint a determináns sem változik. Erre a lépésre azonban tulajdonképpen nem lesz szükségünk.
A későbbiekben az első oszlop már mindenképpen változatlan marad. Most továbblépünk (az új) α22-re. Ha ez nem nulla, akkor a harmadik, ..., n-edik sorból a második sor megfelelő többszörösét levonva, a főátló alatt a második oszlopba is csupa 0 kerül. Ha α22=0, akkor ezen úgy segíthetünk, hogy a második sort valamelyik alkalmas későbbi sorral felcseréljük. (Ha a második oszlop minden további eleme is 0, akkor a determináns könnyen láthatóan maga is 0.) Ezt az eljárást folytatva, vagy kiderül, hogy a determináns 0, vagy pedig elérhetjük, hogy a főátló alatt csupa 0 álljon.
Példa: Az előző pontban már szerepelt determinánst a következőképpen számíthatjuk ki. A második, illetve harmadik sorból levonjuk az első sor 4-, illetve 7-szeresét:
kétszerese, tehát a determináns 0. (Ugyanez adódik a fenti eljárásból is: a harmadik sorból a második sor kétszeresét levonva, a harmadik sorba csupa 0 kerül.)
A fenti eljárást, pontosabban annak finomítását fogjuk lineáris egyenletrendszerek megoldásánál is alkalmazni;
ezt hívják Gauss-féle kiküszöbölésnek (lásd a 3.1 pontot).
Megjegyezzük, hogy a determináns kiszámításánál a sorok helyett természetesen az oszlopokkal is hasonlóan manipulálhatunk, sőt akár felváltva, hol oszlopokkal, hol pedig sorokkal dolgozhatunk. Számos determináns kiszámításánál nem feltétlenül a fenti általános módszer a célravezető, hanem mindenféle egyedi trükköket lehet (vagy kell) alkalmazni.
Néhány jótanács. Érdemes a determináns elemeiből minél többet részletesen felírni, és ezeknek a változását az egyes lépéseknél gondosan regisztrálni. Gyakran a részletes és pontos felírás már félmegoldás, mert szinte sugallja, hogy a következő lépésben mit érdemes csinálni. Azt is fontos jelezni, hogy mi az a lépés, amit éppen végeztünk, mert különben később (pl. egy esetleges hibakeresésnél) gyakran már magunk sem tudjuk rekonstruálni, hogy mire is gondoltunk akkor.
Nagyon veszélyes, ha több lépést megpróbálunk összevonni. Ha pl. a második sorból kivontuk az első sort, akkor a következő lépésben már egy „másik” determinánst alakítunk tovább, amelynek új a második sora. Ezért legfeljebb olyan típusú összevonásokat szabad csinálni, amikor az egyes lépések nem befolyásolják egymást, pl.
az első sort kivonjuk az összes többi sorból.
Pontosan át kell gondolni a „minden sorból kivonjuk a fölötte álló sort” típusú manővereket. Nem mindegy ugyanis, hogy ezt alulról, vagy felülről kezdjük. Ha felülről kezdjük, akkor a harmadik sorból már egy módosított második sort (ti. az eredeti második sornak és az eredeti első sornak a különbségét) kell levonni. Ha alulról haladunk felfelé, akkor mindig az eredeti sorok kerülnek levonásra. Azt se felejtsük el, hogy az első sor mindenképpen változatlan marad.
Feladatok
1.3.1 Mi történik egy determinánssal, ha a függőleges középvonalára tükrözzük?
1.3.2 Hány olyan komplex szám van, amellyel egy n×n-es komplex elemű mátrix minden elemét megszorozva a mátrix determinánsa az ellentettjére változik?
1.3.3 Számítsuk ki az alábbi determinánsokat: a) b) 1.3.4 Bizonyítsuk be az 1.3.2 Tételt.
1.3.5 Bizonyítsuk be az 1.3.5 Tételt közvetlenül, az 1.3.4 Tétel felhasználása nélkül.
1.3.6 Mutassuk meg, hogy pl. valós számokra az 1.3.5 Tételből azonnal következik az 1.3.3 Tétel.
Alkalmazható-e ez a gondolatmenet bármely test esetén?
1.3.7 Legyen α≠0 rögzített komplex szám. Egy (komplex elemű) n×n-es mátrixban (minden k-ra és j-re) a k-adik sor j-edik elemét a)αj–k-val; b)αj+k-val megszorozzuk. Mi a kapcsolat a régi és az új mátrix determinánsa között?
1.3.8 Számítsuk ki az alábbi n×n-es determinánsokat.
a)
b) αij=min(i,j).
c) αij=ij.
d) αij=i+j.
e) αij=i2+j2.
1.3.9 Egy determináns minden sora számtani sorozat. Számítsuk ki a determinánst.
1.3.10 3ǀ5301, 3ǀ4227, 3ǀ8340, 3ǀ2346 és történetesen Vajon a véletlen játékával állunk-e szemben?
Mi a helyzet 3 helyett 23-mal?
1.3.11 Legyenek γ1,…,γn és δ1,…,δn tetszőleges komplex számok, és tekintsük azt a mátrixot, amelyben az i-edik sor j-edik eleme 1+γiδj. Számítsuk ki a mátrix determinánsát.
1.3.12 Egy determináns főátlójának minden eleme γ, a többi helyen pedig δ áll. Számítsuk ki a determinánst.
1.3.13 Egy páratlan rendű négyzetes mátrixban αij+αji=0 teljesül minden i, j-re (ferdén szimmetrikus vagy antiszimmetrikus mátrix). Mennyi a determinánsa?
1.3.14 Egy komplex elemű D determináns bármely sorához van a determinánsnak (legalább egy és az adott sortól nem feltétlenül különböző) sora, amely ennek a sornak a konjugáltja (azaz a megfelelő elemek egymás konjugáltjai). Bizonyítsuk be, hogy D2 valós szám.
1.3.15 Számítsuk ki az alábbi determinánst és általánosítsuk a feladatot:
1.3.16 Számítsuk ki az alábbi n×n-es determinánsokat; b)-ben αij=i, ha j≡1 (mod i), a többi helyen pedig 1 áll.
a) b)
1.3.17 Egy n×n-es mátrix főátlójában csupa 1-es áll, közvetlenül a főátló alatt mind az n–1 elem –1, közvetlenül a főátló fölött rendre 12,22,…,(n–1)2helyezkedik el, a többi elem pedig 0. Számítsuk ki a mátrix determinánsát.
1.3.18 Legyenek θ1,…,θn tetszőleges szögek és az n×n-es A mátrix elemei αij=cos(θi+θj). Számítsuk ki det A-t.
1.3.19 Egy n×n-es mátrix elemei egész számok, és egyetlen sorban sincs két olyan szám, amely azonos maradékot adna n-nel osztva. Bizonyítsuk be, hogy ha n páratlan szám, akkor a mátrix determinánsa osztható n- nel. Mit állíthatunk páros n esetén?
1.3.20 Egy ϕ(n)×ϕ(n)-es mátrix elemei n-hez relatív prím egész számok, és egyetlen sorban sincs két olyan szám, amely azonos maradékot adna n-nel osztva (ϕ(n) az Euler-féle ϕ-függvény). Bizonyítsuk be, hogy ha n>2, akkor a mátrix determinánsa osztható n-nel.
*1.3.21 Legyen n≥7 és tekintsük azt az n×n-es mátrixot, amelyben αij=ij legkisebb pozitív maradéka modulo n (tehát ha ij osztható n-nel, akkor aij=n, nem pedig 0). Bizonyítsuk be, hogy a mátrix determinánsa 0.
4. 1.4. Kifejtés
Ebben a pontban a determináns egy másik, rekurziós típusú kiszámítási módjával ismerkedünk meg, amikor egy n-edrendű determinánst n darab n–1-edrendű determinánsra vezetünk vissza. Ez elsősorban elméleti szempontból jelentős, de egyes determinánsok gyakorlati kiszámításánál is jól alkalmazható.
Ehhez először az előjeles aldetermináns fogalmát definiáljuk. Ebben a pontban végig feltesszük, hogy n>1.
4.1. 1.4.1 Definíció
Tekintsünk egy n-edrendű determinánst. Hagyjuk el az i-edik sort és a j-edik oszlopot, így egy (n–1)×(n–1)-es determináns keletkezik. Az αij elemhez tartozó Aijelőjeles aldeterminánson ennek a determinánsnak a (–1)i+j- szeresét értjük.❶
Példa: esetén
FIGYELEM! Az aldetermináns előjelezésének semmi köze sincs a determináns definíciójában az egyes szorzatok előjelezéséhez, itt semmiféle permutáció vagy inverziószám nem szerepel. Az aldetermináns előjelét kizárólag az határozza meg, hogy melyik sort és oszlopot hagytuk el: ha ezek indexe („sorszáma”) azonos paritású (tehát ha páratlanadik sort és oszlopot vagy párosadik sort és oszlopot hagytunk el), akkor az előjel „+”, ellentétes paritás esetén pedig „–”. Az előjelezést így az ún. „sakktáblaszabály” adja:
Speciálisan, a főátló elemeihez tartozó aldeterminánsok mindig pozitív előjelet kapnak.
Az „előjeles aldetermináns” kifejezésben az „előjeles” jelzőt mindig ki fogjuk tenni, hogy ezt a fogalmat élesen megkülönböztessük a mátrixok rangjánál szereplő aldeterminánsfogalomtól (lásd a 3.4 pontot).
Az előjeles aldeterminánsok jelentőségét az ún. kifejtési tétel adja:
4.2. 1.4.2 Tétel (Kifejtési tétel)
Ha egy sor minden elemét megszorozzuk a hozzá tartozó előjeles aldeterminánssal, az így kapott szorzatoknak az összege a determinánssal egyenlő:
❶
Ezt hívjuk a determináns i-edik sor szerinti kifejtésének. Természetesen hasonló állítás érvényes sorok helyett oszlopokra is.
Példa: a determinánst a második oszlopa szerint kifejtve
adódik (amely természetesen egyezik a korábban más módokon kiszámolt eredménnyel).
Bizonyítás: Tekintsük a det A=D determináns definíció szerinti felírását.
Az n-tényezős szorzatokat csoportosítsuk aszerint, hogy az i-edik sorból melyik elem szerepel bennük. Ezt a közös elemet kiemelve, a determináns D=αi1β1+αi2β2+…+αinβn alakban írható. Megmutatjuk, hogy bármely j-re βj=Aij.
Fel fogjuk használni az 1.2.3 Tételt, amely akkor is lehetővé teszi a determinánsban szereplő szorzatok előjelezését, ha a szorzat tényezőit nem (feltétlenül) a sorindexek szerint rendeztük.
Tekintsük most a D determinánsban (rögzített j-re) az αij-t tartalmazó szorzatoknak egy olyan felírását, amikor az αij tényező áll elől. Egy ilyen szorzat általános alakja:
Itt ρ a sorindexeknek, π az oszlopindexeknek megfelelő permutáció (tehát ρ(1)=i,π(1)=j). Ennek a szorzatnak az előjele (a D determinánst definíció szerint előállító összegben) az 1.2.3 Tétel szerint (–1)I(ρ)+I(π) (ahol I(ρ), illetve I(π) az i,ρ(2),…,ρ(n), illetve j,π(2),…,π(n)permutáció inverziószámát jelöli).
Az αij kiemelése után így βj-re az alábbi összeg adódik:
