Az inverzmatrix értelmezéséről (I.)

MÓDSZERTANI TANULMÁNYOK

AZ INVERZMATRIX ÉRTELMEZÉSÉRÖL (I)

SZABÓ LÁSZLÓ

Az utóbbi időszakban a gazdasági élet kérdéseinek vizsgálatában, megol- dásában mind jelentősebb szerephez jut a fejlettebb matematikai módszerek alkalmazása. A problémák jellege, mélysége, a pontosságra, gyorsaságra való

törekvés egyre nagyobb követelményekkel lép fel a tervező, elemző munkát

végző közgazdásszal szemben, és sok esetben az egyszerű matematikai eszközök kevésnek bizonyulnak.

Napjainkban —— éppen a nagyhatékonyságú elektronikus számológépek közreműködésének eredményeként —— a korábban esetleg csak elvileg rögzített módszerek konkrét gyakorlati számításokban öltenek testet. Különös jelentő—- ségre tett szert a matrixalgebra alkalmazása.

Már több, mint két éve annak, hogy a Statisztikai Szemlében megjelent az ágazati kapcsolatok 1957. évi mérlege alapján készített teljes ráfordítási együtt—

hatók matrixa, az ún. inverzmatrix.i A Statisztikai Évkönyv 1960. évi kötetében pedig az 1959. évre vonatkozó nagyobb terjedelmű inverz is napvilágot látott.

Ezek a mátrixok még elsősorban az ipari elemzések céljaira szolgáltak. Azóta már —— az 1959. évre vonatkozóan —— a mezőgazdaságot részletesen taglaló ágazati kapcsolatok mérlege is elkészült, melyből a Központi Statisztikai Hivatal szintén készít inverzmatrixot.

Ezek az inverztáblázatok —— amint ez általában ismeretes -—— a tervezésben betöltött szerepükön kivül többféle elemzési lehetőséget biztosítanak. Segítsé—

gükkel meghatározható a teljes munkaráfordítás, a teljes importigény, a teljes költségráfordítás stb., továbbá különböző gazdaságossági számítások végezhetők.

Az újabb —- a matrixszámítás bizonyos fokú ismeretét megkívánó —— elemző módszerek jobbak, gyorsabbak, pontosabbak, mint a korábban alkalmazottak.

A gazdasági szakembereknek ma már mind nagyobb része él is, e lehetőségek—

kel, de még ma is sokan vannak, akik a fejlettebb módszereket mellőzik. A mel—

lőzés oka nem feltétlenül a matematika iránti ellenszenvben, sokkal inkább a tárgyi ismeret hiányában, e tudomány elvontságában, tömörségében keresendő, ami ennek elsajátítását nehézzé és időigényessé teszi. Sok esetben az alapfogal—

mak meg nem értésében van a hiba, máskor csak az elmélet és gyakorlat össze—

kapcsolása hiányzik, lényeg azonban az, hogy ha van is egynéhány kiváló szak—

könyvünk, amely segíti a közgazdászokat a magasabb fokú matematikai ismere—

tek megszerzésében, az alkalmazás alapjainak többoldalú megvilágítása mindíg időszerű marad.

1 Lásd Dr. Rácz Albert—Ujlaki Lászlóné: Az ágazati kapcsolatok 1957. évi mérlegének in—

verze (statisztikai Szemle. 1960. évi 12. sz. ima—1229. old.) c. tanulmányát. mely az lnverztábláza- ton kívül az invertálás gyakorlati módszerére, ellenőrzésére és az inverz értékelésére vonatkozó fejtegetéseket is tartalmaz.

3 Statisztikai Szemle

370 ' szmo mszw

Jelen tanulmany is ennek a célkitűzémek jegyében született. Didaktikaí jelleggel, a matematikai és gazdasági háttér egyidejű szem előtt tartásával, egy—

szerű eszközökkel —— természetesen a matrixalgebra alapfogalmainak ismeretét feltételezve2 — kívánja a termelőágazatok kapcsolatainak elemzésében olyan nagy szerepet játszó matríxfogalomnak: az inverzmatrixnak értelmezését be- mutatni.3

A tapasztalatok azt mutatják, hogy a nagyobb (50—100 és ennél is több szektoros) inverztáblák és a segítségükkel nyert eredmények a nagyszámú

— elektronikus számológépekkel végzett -— művelet miatt nem tekinthetők át, nehezen ellenőrizhetők. Ezért ilyenkor 2—3 szektoros modelleket szokás

szerkeszteni és megkísérelni az így; szerzett tapasztalatok egybekapcsolását a nagy

táblázat mondanivalójával, a matematika, a szakirodalom megállapításával.

Ilyen jellegű kísérlet jelen tanmlmányunk is.

1. AZ AGAZATOK KÖZÖTTI KAPCSOLATOK És A KiBocsAfrAsok EGYENLETRENDSZERE

A termelés folyamán az egyes tem-nelőágazatok (tennelőhelyek) termékeik

elkészítéséhez általában más ágazatok termékeit is igénylik. Például a liszt meg-

termeléséhez búza, a búzához vetőmag és gép, a géphez [acél, ehhez vasérc és energia stb. szükséges. Amíg a vetőmag, energia és vasérc mint kezdőtermékek

—— több—kevesebb munka hozzáadása révén —— lisztté alakulnak, eléggé bonyolult;

hosszadalmas utat tesznek meg. Az elkészült termék útja is többfelé vezethet.

A lisztet például fel lehet használni a termelés területén (sütő—, tésztaípar), elfogyaszthatja a lakosság, exportálni lehet, sőt a liszt növelheti a készleteket is.

A termék tehát készítése és felhasználása során kapcsolatba kerül más ter-

mékkel: ráfordításokról és kibocsátásokfól beszélünk. Ismeretes az a táblázatos mérlegséma, amely jól áttekinthető formában mutatja be az ágazatok egymás közti kapcsolatát.

1. tábla

A ráfordítások és kibocsátások táblázata

Ráfordítás EISÖ Második n-edlk lNem termelő Ö

' 832886",

Kibocsátás terméknél , ágazatoknál

:— _

Első termékből ... gu g,, . . . ; (lm

Második termékből ... 921 922 g,"

rt.-edik termékből ... g,;l (] , x , g,",

Munkaerő ... l gnln ! ant" ! ... ! gut," !

A tábla sorai n különböző terméket előállító termelőrendszer kibocsátásait, oszlopai pedig a ráfordításokat tartahnazzák. A g,] jelentse azt a természetes mértékegységben megadott termékmennyiséget, amelyet az i—edik ágazat a j-edik

felé kibocsát, illetve —— a ráfordítás oldaláról nézve a kérdést —— amelyet a

? A tanulmány azonban nemely helyen (például a IV. fejezetben) valamivel nagyobb kö- vetelményt támaszt az olvasóval szemben.

3 Az inverzmatrix értlemezését több korábban megjelent —- elsősorban módszertani —- tanul—

mányban megtalálhatjuk. Igy például Bródy András: ,,Az ágazati kapcsolatok mérlege és a köz—- vetett beruházások" cimű (Közgazdasági "Szemle, 1960. évi 5. sz. sel—586. old.) tanulmányát emeljük. ki, amely az értelmezésen túl bemutatja az inverz matrlxhatványsorral történő elö- állítását, gazdasági jelentését és egyik igen fontos felhasználási lehetőségét is. A hatványsorba- fejtés értelmét tanulmányunkban csak érintjük.

AZ INVERZMATRIX ERTELMEZÉSERÓL _ 3714

j—edik ágazat az i-edik ágazat termékéből felhasznál. Az i 1"— 1,*. . ;, n ágazatok kibocsátásai részben a termelőágazatokon belül, részben a nem termelő ágaza—

toknál kerülnek felhasználásra. A O,. mennyiségek egy-egy ágazat teljes vagy

bruttó kibocsátását jelentik. Egy külön sorban szerepel még a ,,kibocsátott"

munkaerő, amelyet az egyes termékek gnhj mennyiségben vesznek igénybe.

A nem termelő ágazatoknál felhasznált munkaerő g,,H. Végül az összes munka—

erő—igénybevételt GnH—gyel jelöljük. __ Ezzel az utolsó sorral, a munkaerő—kí-

bocsátással nem foglalkozunk, Vizsgálatunkat csak az anyagi termelés ágazataira

korlátozzuk, vagyis a táblázat belső (vastagon keretezett) négyzetes része szol—

gál a további vizsgálatok alapjául. '

A táblázat sorait kiemelve, az alábbi kibocsátásra vonatkozó egyenletek

írhatók fel: '

911*912* ' ' ' tgmtgngl 931'*"%2* ' ' ' **"?an4'92292

9n1*9n2* " ' *gnnl'gnzgrl — Ill

Ezek az összefüggések további nagyfontosságú egyenletek alapját alkotják.

Megfelelő átalakítás után a ráfordítások mélyebb elemzéséhez adnak segítséget.

E végből vezessük be a termékegységre jutó anyagfelhasználást, amelyet az 91"

:._____

(2,- / !

2

ai]

formula alapján számolhatunk ki. Ez a mutatószám, az ún. technológiai együtt—

ható megmutatja, hogy a j—edik termék egységének létrehozásához az i-edikwl mennyire van szükség. Természetesen csak a közvetlen felhasználásokat veszi figyelembe és némiképp következtetni enged a termelőágazatok műsmki szín—

vonalára, az egyes ágazatok közötti kapcsolatok erősségét—e. Az együttható el—

nevezés utal arra, hogy ezek a mutatók nemcsak önmagukban érdekesek, hanem szorzószámok szerepét is játsszák. Valóban, ha Oj-vel átszorozzuk,

0170,- "4 flij 13/

egyenlőséghez jutunk, amelyben [l,-j, mint a 0] együtthatója szerepel. Helyette- sítsük ez utóbbi egyenlőségünket a fenti /1/ egyenletrendszerbe:

"1101 * 0139, * ' ' ' 4" amen * 91 : 91 (13191 "" aug: '*' ' ' ' '*' azngn '*' 9: "" Og

an101*an292* ' ' ' teman—tanga ' ,v [4/

Ez az egyenletrendszer az alábbi vektoregyenlettel rövidebben is kifejezhetők,

e 31914'339,4' 'L'í' "Hm?,fHIZG, ,

ahol az a, vektorok az a, bruttó kibocsátás egyenletrendszer'együtthatói, (; pedig"

a nettó kibocsátást jelenti. _ V '1;;. _ . A ' , , v

3*

372 , — - _ SZABÓ'LÁSZLO

Ez az egyenlet más alakban -

% 9:

[ap az: ' ' 'lan] : '*'!ISÚV , [ől

Ön

Mivel azonban az egyenlet baloldalán Szereplő sorvektor elemei egy A

matrix oszlopvektoraiként foghatók fel, amelyet jobbról egy (! vektor szoroz, vektoregyenletünk matrixegyenlet formájában még egyszerűbb alakban írható

fel:

A (H-a : e /6/

ahol

A —-— a technológiai együtthatók matrixa, a —- a bruttó kibocsátás oszlopvektora,

g —— a nettó kibocsátás oszlopvektora.

A [6/ matrixegyenletből a nettó kibocsátás kifejezhető, ugyanis

A (a!-Hl : E 9

ebből pedig:

amely a bruttó kibocsátás ismeretében lehetőséget ad a nettó kibocsátás meg- határozására.

Most nyert egyenletünk mindkét oldalának (E—A)—1-ne1 (balról) történő

szorzásával az

(E—AYI (1 :: a, illetve Re : G! /8/

egyenlethez jutunk, amely viszont a nettó kibocsátás ismeretében az ismeretlen bruttó kibocsátás meghatározására alkalmas.

Az (E—A)*1:R matrix az ún. inverzmatrix, amely az E egységmátrix és az A technológiai matrix különbségének invertálásából adódik.

Ha a természetes mértékegységben szereplő adatok helyett núnde'nütt érték—*

adatok szerepelnek, akkor hasonló szerkezetű

x : (E——B) X és X : (IG—B)"1 x, illetve X : Sx /9/

egyenletek fejezik ki a nettó, illetve a bruttó kibocsátás értékének kapcsolatát.

A B matrix elemei már nemcsak technológiai, hanem árarányokat is tükröznek, számszerűleg is eltérnek A elemeitől, ezért a B mátrixot a technológiai matrixtól való megkülönböztetés érdekében nevezzük a költségegyütthatók matrixának,

az (E—B) inverzét, S-et pedig költséginverzmatrixnak.

Az inverzmatrix meghatározásának módja többféle lehet. Elvileg annyiféle,

ahány módszer létezik a lineáris egyenletrendszerek megoldására. Vizsgálataink

során —-— az egyik gyakorlati szempontból jól alkalmazható módszert ——-— a bázis-

AZ IN'VERZMATRIX ERTELMEZESEROL %37 3

vektorok cseréjén alapuló szimplexmódszert4 alkalmazzuk a kapott eredmények ellenőrzésére, illetve az inverz kiszámítására. Az invertálás lényegét és mód—

szerének ismeretét feltételezzük. Minthogy a matrix invertálása nem tekinthető át könnyen, leegyszerűsített példákban -— ahol lehet —— elemi módszerekkel is meghatározzuk az inverzmatrix elemeit, matematikai módszerekkel pedig ellen- őrizzük.

II. A TERMÉKMOZGÁSOK ALAPESETEI ÉS AZ INVERZMATRIX

E fejezetben a termeléssel kapcsolatos termékmozgások alapeseteít vizs- gálva, az ezekhez rendelhető inverz elemeit értelmezzük.

A termékmozgások alapesetei:

1. a termékek beépülése, kapcsolatának útja szigorúan egyirányú: az egy—

szerű terméktől az összetettebb ter-mék felé vezet, 2. visszirányú, visszaható kapcsolat is van,

3. visszirányú kapcsolat és az illető ágazaton belül termékmozgás és —fel—

használás (ún. belső felhasználás) is van.

1. Szigorúan egyirányú termékbeépüle's

Ez a termelésnek olyan típusú lefolyása, amelynél -a készülő termék anyag- felhasználásában a termelésnek csak korábbi szakaszán létrejött terméke szere—

pel. A gyakorlatban ilyen eset számtalanszor előfordul. Például bauxitot termelünk, ebből timföldet, majd alumínium tömböket gyártunk. A bauxit a termelésnek, egy korábbi szakaszán jött létre, és a későbben készült termékekből:

a timföldből vagy az alumínium tömbből nem igényel semmit termelése le—

bonyolításához, noha mindkét termék bármikor rendelkezésre áll a termelési rendszer zárt keretében. Az egyszerűbb termékből, a bauxitból lesz az össze—

tettebb termék, a timföld és a még összetettebb termék, az alumínium tömb.

A termékek mozgása szigorúan egyirányú: a beuxittól a timföld felé és tovább az alumínium tömb felé tart.

1. példa. Egy termelő vállalaton belül három különböző üzem készítsen három különböző (A, B, C) terméket. Legyen A a kezdőtermék, B a közbülső és C a végtermék. Az egységnyi termék létrehozása érdekében üzemi szinten felmerült közvetlen anyagráíordításokat a 2. tábla tartalmazza.

2. tábla

A B 0

O 2 3

B 0 O 4

C' 0 0 ()

A táblázat oszlopai megmutatják, hogy az egyes termékek előállításához a másik termékből mennyi volt szükséges. Az A termék anyagráfordítása ezek szerint nulla, a B termék elkészítéséhez ZA termék kell, és végül a C termék

' A módszer lényege és szabatoa tárgyalása megtalálható: Krekó Béla—Bocskay Zoltán:

Bevezetés a, lineáris programozásba. Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó. Budapest, 1951, továbbá az ugyanott újabban megjelent Krekó Béla: Lineáris programozás, Budapest. 1962. c. könyvben.

7374 ' _ amo LÁSZLÓ Vanyagfelhasználása SA és 48 termék.5 Ezek a felhasználások a közvetlen anyag-

felhasználások, amelyek a termelés egyes fázisaiban felmerülnek. ' Az egységnyi (bruttó) termék közvetlen anyagfelhasználásait szemléltetni is tudjuk. Az A, B, C termelőhelyek által létrehozott term—ékek beépülnek a nyilak által feltüntetett irányban és a fekete pontok, illetve négyszögek szerinti meny—

nyiségben.

1. ábra. A termékegységek közvetlen anyagráfordításai

0

JA 48

0 9

21

Ha az a kérdés merül fel, hogy vállalati szinten például mekkora a C ter—- mék anyagfelhasználása az A tenméleből, akkor nyilvánvaló, hogyVIC termék ' létrehozásához nem elég a BA termék, mert a felhasznált 4B termékhez is szűk- séges volt 42 : SA termék. Ez a SA termék a C termék közvetett anyagráfordí—

tása A—ból. A C tennékegység megtermeléséhez tehát vállalati szinten összesen 11A termék szükséges.

A közvetlen és közvetett anyagfelhasználás együttesen a teljes anyagráfor—

dítást adja meg. '

3. tábla

A B C'

A O 2 1 1

B 0 0 4

C 0 0 O

A 3. tábla azonban bizonyos tekintetben kiegészítésre szorul. Eddig az egyes termékekkel kapcsolatban azt vizsgáltuk meg, hogy rajtuk kívül a többi termék—

ből mekkona a teljes anyagszükséglet (termelési igény). Azt azonban ne felejtsük el, hogy a termelés az egységnyi nettó kibocsátás érdekében történik, amit a nettó kibocsátásra ,,kötelezett" ter'melőhelynek —— általában a többi termelő—

helyak közreműködésével —— meg kell tennelnie. A termékek iránti szükséglet tehát bővül a nettó kibocsátónál az egységnyi termék létrehozása mértékéig. Ez az egységnyi nettó termék úgy tudja elhagyni a termelés rendszerét, hogy a terme- lés zavartalanul továbbfolyik. A ráfordítások mértékét tehát két célkitűzés hatá—

rozza meg:

1. biztosítani kell a többi (kapcsolatban álló) tennék termelésének zavarta—

lan anyagellátását,

2. egy terméknek fölöslegben kell maradnia.

5 Itt és a továbbiakban az egyes termékek termelésének, felhasználásának csak a mérték—

számait tüntettük fel. A mértékegységeket a rövidebb írásmód kedvéért elhagytuk. A ZA termék—

felhasználás tehát 2 darab (kilogramm stb.) A termék felhasználását jelenti.

AZ INVERZMATRIX ÉRTELMEZÉSÉRÓL 375

E két követelménynek tesz eleget egy termelőhely (ágazat) bruttó ki—

bocsátása.

Az A termék termelési helyén meg kell tehát termelni a termelő felhasmá—

lás érdekében 2-1— 11 : IBA terméket és a nettó kibocsátás érdekében IA ter—

méket. Ez összesen 13 %— 1 : 14A termé—k. B helyen B—ből termelni kell összesen 4 4- 1 : 5 és C helyen C—ből 1 terméket. Végeredményben a 3. tábla így mó—

dosul:

4. tábla Termelési igény

,k a teljes anyagszükséglot fedezetére ? i Bruttó

Terme A B C egys 'gnl' kibocsátás

' ' nettó kl-

nettó tel-mékegység megtermelésének bocsátás biztosításához érdekében

A ... 0 2 11 1 14

B ... 0 0 4 1 5

C ... 0 () 0 I 1

Az egyszerűség kedvéért a nettó kibocsátás egységeit a belső négyzetbe is írhatjuk ugyanazon termék sorának és oszlopának találkozásához, a főátló men—

tén elhelyezkedő rovatokba, de vigyáznunk kell mindenkor az itt található ada—

tok értelmezésére.

5. tábla

Teljes termelési igény az egvségnyi nettó kibocsátás és a termelő anyagfelhasználás biztosításához az

Termék Összesen

A B C,

terméknél '

A . 1 2 11 14

B . . 0 1 4 5

C . . . . 0 0 1, 1

Megjegyzés. Az elöbb külön oszlopban szereplő dőlten szedett egységek itt már a fóá'dó

mentén helyezkednek el! '

0 A. nettó kibocsátás egységeinek "beépülése" a matrix elemei közé kltünáen látható az inverz hatvanysorbafejtéssel történő meghatározásánál. Ismeretes, hogy ha egy B matrix bár- melyik oszlopának elemeit összegezve 1-nél nagyobb számot nem kapunk, és az oszlopösszegek közül legalább egy l—nél kisebb szám, továbbá, ha az elemek között negatív elem nem szerepel (ún. Minkowski—Leontief matrix) -— ilyen matrix általában az_ értékben számított ágazati kapcsolatok mérlegéból képzett ráfordítási együtthatók matrixa —-—, ilyenkor az (E—B) '1 inverz-

OO

matrix —— C. Neumann vizsgálatai alapján — egy ): B" : E 4— B 4— 82 4— 834- . . . hatványsorral nezo

kifejezhető. A B matrix a közvetleneráfordításokat, a B* 83, . . . . stb. a közvetett ráfordításokat tartalmazza. Mindezekhez azonban meg hozzájön az E dlagonálmatrix, amelynek a fóátló menti elemei éppen az előbb említett egységek.

, Ha a termékek beépülése szigorúan egyirányú -— mint esetünkben —- a hatványsor szintén felhasználható és végesszámú lépés után az lnverznek pontos értékét adja. (Ebben az esetben azonban már nem hatványsorról. hanem polinomról beszélünk.) Méghozzá n méretű A matrix esetén a tagok képzésében n—l az utolsó matrix hatványkitevője (n—l lépéses beépülés).

Példánkban:

100 023 008 1211

R:E%A*A2:[O l O]-$—[0 () 4]%[0 0 0]:[0 1 4]

001 000 000 00 l

Egyezlk az előbbi más módon számított eredménnyel.

[376 . —_ -— szana utszm

A főátló mentén található valamennyi elem l—gyel egyenlő, s az egyesek

alatti elemek (az alsó balsarokban) kivétel nélkül mind nullák. Ez jellemző a

szigorúan egyirányú kapcsolatok inverzére.

Ez a logikai úton kapott eredmény a matrixalgebra segítségével, a szimplex módszer alkalmazásával gyorsan ellenőrizhető.

A 2. tábla elemeit egy A technológiai matrix elemeinek tekintjük. Az (IE-_A) mátrixot képezve végrehajtjuk az invertálást a bázisvektorok egymás utáni

cseréjével.

6.1:ábla

A (E—A) * (E—Arlzn

Am— —— . , —_

023 LTl—2—3É100 —2—3§'1A00 413120 1211

004 01—4§010 [— §010 -4§010 014

000 0015001— 013001 Tl§00i001

Megjegyzés. A bekeretezett 1-esek a kiválasztott generáló elemeket jelentik.

Látható, hogy a 6. tábla utolsó, vastag vonallal határolt matrixa, az R inverzmatrix, pontosan ugyanazokkal az elemekkel rendelkezik, mint az 5. tábla belső része, vagyis a logikai úton nyert eredmény megegyezik a számításered—

menyével.

Ezek után most már összehasonlítást tehetünk az A technológiai és az R in—

verzmatrix között.

Az A matrix egyes oszlopának elemei az egységnyi mennyiségű (darab, tonna, méter stb.) termék bruttó kibocsátásának, megtennelésének közvetlen anyagfelhasználásait mutatják, az inverzmatrix oszlopelemei (például a j—edik oszlop elemei) ezen túlmenően a közvetett —— más termelőhelyeknél jelentkező

— anyagráforditásokat is magukban foglalják. De már nem az egységnyi, hanem akkora bruttó termelési mennyiségre vonatkozóan, amebr egységnyi nettó (végső)

kibocsátást tesz lehetővé (a j—edik ágazat, termelőhely számára). Az inverz ele—-

mei azonban nemcsak ebben különböznek az A matrix elemeitől. Az R inverz íőátló menti elemei az illető termék (ágazat) teljes, halmozott anyagráforditásán kivül a termelés nettó (végső) kibocsátásra kerülő egységnyi mennyiségét, a ter—

melési rendszer termelésének nettó eredményét is tartalmazzák. Egy inverz

oszlopelemei tehát a zártrendszerű termelés kettős céljának megvalósításához szükséges termékmennyiséget mutatják. Ez a termékmennyiség (a nettó termék- egység kivételével) a felhasználó j—edik ágazat szempontjából anyagráforditás—

nak, a többi ágazat részéről pedig termelési kötelezettségnek számít. A j—edik ágazat tehát bizonyos termelési igénnyel lép fel a többi ágazattal és saját magával szemben a nettó kibocsátás teljesítése érdekében. Vagyis az inverzmatrix oszlop- elemei a kérdéses oszlop termékének (ágazatának) egységnyi nettó (végső) ki- bocsátása érdekében felmerülő, a termelési rendszer valamennyi termelőhelyé—

vel (ágazatával, szektorával) szemben támasztott termelési igényt fejezik ki.

Az 5. tábla utolsó. oszlopa, a bruttó kibocsátás (vagy termelés) is ellenőriz—

hető a '8/ formula felhasználásával. A (; oszlopvektor, az A, B, C termékek nettó kibocsátásai, éppen az egységgel egyenlők, vagyis

1211' 1 14

nana-:[Ol 4] [1]:[5]

00 1 1 1

AZ INVERZMATRDí ERTELMEZÉSÉRÓL 3 7 7

2. Visszaható kapcsolat7 a termékek között

Ha a termékek termelésének későbbi stádiumában keletkező termék vissza-

kerül egy korábbi szakaszba és az ott készülő termékbe beépül, azt mondjuk, hogy a termékek között visszafelé irányuló mozgás, visszaható kapcsolat van.

A gyakorlati életben ezek az esetek talán nagyobb számban fordulnak elő, mint az 1. pontban tárgyalt szigorúan egyirányú mozgások. Például a szénből villa—

mosenergia lesz, a villamosenergia egy része azonban visszafut a széntermelés—

hez. A ,,bonyolultab " termék tehát visszafordul az egyszerűbbhöz és beépül abba. Szemléltetve:

2. ábra

033

Szőr) V/l/amosmerg/a

Természetesen a valóságban ez a visszaható kapcsolat nemcsak két termék között bonyolódik le, hanem a termékkapcsolatoknak olyan szövevényével ál—

lunk szemben, amely az áttekinthetőséget, a termékmozgások nyomonkövetését úgyszólván lehetetlenné teszi. Az áttekinthetőség kedvéért éppen ezért szűkít—

sük le a kapcsolatok vizsgálatát csak két termékre.

2. példa. Legyen tehát két termelőágazat egymással olyan kapcsolatban, amelyben visszaható kapcsolat is van. A ráfordítások és kibocsátások irányát és

mértékét a 7. tábla szemlélteti.

' V . 7. tábla

- Ráfordítások A B

Kibocsátások _ termékegységnél

A termékből ... O 2 1

B termékből ... 1— 0

Az A termékegység létrehozásához tehát közvetlenül szükségünk van 1

_— B termékre. A B temiékegység pedig ZA terméket igényel. Belső felhasználás

4

nincs.

Kíséreljük meg először logikai úton meghatározni az inverzmatrix első osz—- lopának elemeit!

Ahhoz, hogy egy A terméket előállítsunk, a közvetlen anyagigény A—ból

' 1 1 - 1 1

nulla, B-ből "; termék. Igen ám, de EB termék előállítása ; 2 z—z—A termé—

ket kíván, mert a B termék ZA terméket igényel egységenként. Végeredményben

7 V. Sz. Nyemcstnov akadémikustól származó kifejezés, aki a ráfordítások elemzésével be- lha'tóan és közérthető módon. foglalkozik ,,A matematikai módszerek alkalmazása a közgazdasági

munkában" c. tanulmányában. (Lásd: A matematika alkalmazása a közgazdasági kutatásokban.

Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó, Budapest. 1962. c. tanulmánykötetben)

373 _ amo utam

tehát IA termék előállítása során EA termék felhasználódik, nettó kibocsátásra 1

nem marad csak EA termék.

Mit kell tehát tennünk az egységnyi nettó termék létrehozása érdekében?

1

Meg kell kettőzrú Bdből az anyagigényt (2 B lesz a szükséglet), ezzel azonban a termelés eredménye is megkettőződik, vagyis az IA temnék helyett ZA termék keletkezik. Ebből azonban csak az egyik A termék kerül Végső kibocsátásra, mert

1

a másik A terméket az %B term-ék igényli. Végső soron tehát IA nettó termék-

l

kibocsátás teljes termelési igénye A—ból 2, _B-ből pedig ;

1

termék.

Ezek után az invertálás segítségével határozzuk meg az ínverzmatrixot és hasonlítsuk össze eredményeinket

8. tábla

A (Fi—A) (E—Ar'laR

A vastagon bekeretezett R ínverzmatrix első oszlopának elemei megegyez—

l

nek előbbi eredményeinkkel, vagyis ZA és 58 terméket kell előállítani ahhoz,

hogy egy A termék a tenne-lés színterét elhagyhassa és a tennelés zavartalanul továbbfolyhasson.

Az elmondottak szemléltetésére szolgál az alábbi ábra.

3. ábra. Egységnyi A termék nettó kibocsátásának feltételei Anyag/élhasználás 'IA

lárma/Way Terme/aha

Mei/0:

kióocsa/ds

^'u

Terme/ás ; m. Terme/és

ZA Anyag/e/úax/st %B *

55

Megjegyzés. Nettó kibocsátás B termékből nincs.

Az ábra lehetővé teszi a termelési ciklus lefolyásának áttekintéseft is Ennek érdekében kezdjük megfigyelésünket éppen akkor, amikor az előző tennelési folyamat eredményeként készen lett a ZA tennék (induló helyzet). Az egyik

AZ INVER'ZMA'I'RIX ERTELMEZESÉRÖL 379

termék ebből elhagyja a termelés rendszerét (nettó kibocsátás), a másik pedig megy a B termelőhely felé (1. helyzet). A B termelőhelyen az IA termékből a

1 1

normatíva szerint 58 termék lesz (II. helyzet). Ez az EB termék elhagyja a B termelőhelyet és megindul az A termelőhely felé (III. helyzet). Az A termelő—

1

helyen az EB termékből a normatíva szerint ZA termék lesz (IV. helyzet). Ebből

a ZA termékből azután 1A nettó kibocsátásra kerül, a másik pedig újra végig—

megy az előbbi termelési szakaszokon. A lényeg tehát itt az, hogy minden ciklus után IA termék úgy hagyja el a termelés rendszerét, hogy a termelés zavartala—

nul továbbfolyik. :

Az előbbi módon kíséreljük meg az egységnyi B termék végső kibocsátásá—

hoz rszükséges 4A és ZB teljes termelési igényt (lásd 8. tábla inverzmatrixának 2. oszlopát) megmagyarázni a 4. ábra segítségével.

4. ábra. 'Eguség'nyi B termék nettó kibocsátásának feltételei Anyag/blúzmnálós 44

hrme/iúe/y Ne/to'

höapsáz'dr

—*

fő Terme/e': 26

!" " Anyayb/Imszna'loíf 15

Megjegyzés. Nettó kibocsátás A termékből nincs.

Az egységnyi A és B nettó kibocsátás temelési kör-folyamata természetesen egy ábrán is feltüntethető. Nem kell mást tenni, mint az előző két ábrát egye—

síteni.

5. ábra. IA és IB nettó kibocsátást eredményező termelési körfolyamat Anyagfe/haszna'laíe 5/1 5

A

Nem' Termelő/Jel

küacsa'fds

Nem!

kibocsóida

%%

¹⁵

űrme/És 64 [erme/és Zíb

' Awagű/lmsznd/ds !! 8

Amint látható az IA és IB termék nettó kibocsátásának biztosításához az A termelőhelyen 6A terméket kell előállítani. Ebből IA termék elhagyja a ter—

melési rendszert, 5A pedig átkerül a B termelőhelyhez, ahol a technológiai ará—

' 1

nyak szerint (ZA termék kell IB termékhez) 2§B termék készül belőle. Ebből

4 , ( 1 1

JIB termék nettó kibocsátása után megmarad 1—2— B termék. Ez azl ; B ter—

:380 ' , sms, LÁSZLÓ

mék (minthogy minden egyes A termékhez 2—— B kell) GA termék elkészítéséhez

elegendő.

_ 1 *

Az A termelőhelyen megtermelt 6A termék, valamint a B hely 2 EB tennéke az egyes termelőhelyek bvuttó termelése, amely a /8/ egyenlet felhasmálá-sával'

kiszámítható.

2 4 1 6

__ 2 1 a—

2 2

ahol:

(E—A) '"1 az inverzmatrix, (; — a nettó kibocsátás vektora.

1

A bruttó termelés tehát 614 és zé B termék. Ehhez az A illetve B termelő—

helyek által közvetlenül felhasznált anyag:

1 g 1 1 '

A tenmékegységhez EB tennék§ őA—hoz 6-1 :1 '2' B

2 _ , ,

Ezek a felhasználások is leolvashatók aza; ábráról. saga; bruttó termelés és

anyagráfordítások különbségeként jelentkező nettó—_ termelés (vagy kibocsátás) is

a : lizi] _ [ll] : [1] ' vagyis 1A és 13 termék.

2 2 ,

Látható, hogy __ egyszerű okoskodással —— már két termék esetén is milyen

figyelmet kíván a teljes termelési szükséglet megállapítása. A gyakorlatban elő-

forduló több tíz, sőt több száz termék anyagigényének ilyen módon történő meg- állapítása úgyszólván teljesen lehetetlen. Sokszor az inverzben található elemek egymásközti kapcsolatának még a logikai lehetőségét is nagyon nehéz megálla—

pítani. Ugyanúgy a kapcsolatok erősségét kifejező mennyiségnek a nagyságrend—

jére sem lehet egyszerű logikai meggondolásokkal következtetni; Erre csak a fel-—

sőbb matematikai módszerek adnak lehetőséget. __

B termékegységhez ZA termék, ZgB-hez 2 — - 2 : 511

3. Visszaható kapcsolat és belső felhasználás is van,

Ebben az esetben már a visszirányú kapcsolaton kívül olyan tennékfelhasz—

nálás is jelentkezik, amelyet a felhasználó ágazat saját maga termelt.,A gyakor—

latban számtalan ágazat saját termékének egyben fogyasztója is. Gondoljunk a

mezőgazdaságban a vetőmag és szaporítóanyag felhasználására, a szopós állatok tejfogyasztására stb. vagy az iparban az energiatermelő ágazatokra stb., amelyek- nél belső felhasználás is van. Ennek az alapesetnek előfordulása Szintén gyakori

és jelentőségét nem kell külön (kiemelni.

_, Belső felhasználás esetén az inverzmatrimak egyszerű logikai eszközökkel

történő meghatározása rendkívül körülmenyes, és így itt az invertálást a már

AZ INVERZMATRIX ERTELMEZESEROL 381

ismert.? matematikai módszerrel hajtjuk végre, majd az eredménnyel kapcsolat- ban végzünk ellenőrzést és vizsgálódásokat.

3. példa. Az előző példa feltételeit változtassuk meg annyiban, hogy az A

1

terméknél tételezzünk fel saját termelésű anyagfelhasmálást, mégpedig EA ber- méket egy A termék létrehozásához. Az inverz meghatározásához írjuk föl az A

matrixot és hajtsuk végre a vektorcseréket.

9.tábla

A (E—A) (F.—Ari

———-_ ,__..A_ ——.——._

1 2' 5 _3 53

—2 ———25 3—0

3 3 :1 0 :2

"" i 1 3 1 0 1 ;o 1 _l;3 1

_ __ 1. 4 :_

4 4 ! .__:8

Megjegyzés. Az invertálás által kapott eredményt célszerű matematikailag ellenőrizni.s

Ezután rátérünk az inverzelemek nagyságának logikai ellenőrzésére. Azt a módszert követjük, amit az előző példa végén alkalmaztunk, vagyis az inverz—

oszlopok által jelzett termelés teljesithetőségét vizsgáljuk a termelési rendszer zártságát feltételezve. S minthogy az inverz egyes oszlopelemei egységnyi nettó kibocsátás esetén az éppen szükséges termelést mutatják, amelyet a termelő- helyek a nettó kibocsátásegységen kívül maradéktalanul felhasználnak, elszámo—

lásunk folyamán a termelés és elosztás szigorú egyezőségének ki kell derülnie.

A felhasználás nagyságát _ az általánosítás érdekében — azonban most már matematikai eszközökkel határozzuk meg.

Ha az A és B termékegység közvetlen anyagráfordításait (az A technológiai matrixot) az inverzmatrix oszlopvekboraival külön-külön megszorozzuk, az egységnyi nettó kibocsátásokkal kapcsolatos anyagráfordításokat nyerjük. Pél—

dául ha csak az inverz első oszlopelemeivel szorzunk, akkor az A tenmé-kegység nettó kibocsátásának teljes anyagráfordítását kapjuk meg.

1 1

——2 6 _. 2

3 3 3 2 3 M

ArI: 1 3 :6 1 t— : 3 e : 3

——0 2 —— 0 2 O EB

4 4

_ Ugyanerre az eredményre jutunk, ha a szorzást az A matrix sorai szerint végezzük. Tehát

*

a ,.1 24-3 8 1-1 —2-—§—0

*! Az (E—A) (B:—A) 'ilszorzat kell hogy az E "egységmatrixot adja, jelen esetben egy másod—

0

!

rendű egységmatrixot: 0 1 -et.

Ertelmezzük az eredmériy'vektorelemeinek összetevőit. A ZA a 'sajáttemee'

lésű felhasználás, 3.4 a B terrr_ielőhe1y,§ B 'az A terfnelőhely felhasználás-,a (goa:

pedig nyilván a B hely felhasználása). , , _ , _

Ha e felhasználásokon kívül még az IA nettó kibocsátást is tekintetbe vesz—'

" szük, akkor a kétszektoros tennelési rendszer valamennyi termelési eredményét

elosztottuk, vagyis a bruttó kibocsátás nem lehet más, mint , '

5 1 6

1

a: 3 e : 3 , ahol[ *: (;, a nettó kibocsátás vektora.

_ —— 0

2 O 2 '

Az R inverz első oszlopában levő elemek is ugyanezek, vagyis a termelés és

elosztás egymással egyenlő, végső kikötésiink (az 1A nettó kibocsátás) teljesít—

hető, az inverz első oszlopának helyességét igazoltak.

Számításaink vég— és részeredményeit szémléltethetjük is

6. ábra. Az IA nettó kibocsátás és termékelosztás belső felhasználás esetén

NÉ/fű'

;, : :

"bocsátás * Balsa fe/haszna/as

;, Fe/fmsznd/ás

' ' *

A termeke/r . . Blame/rek

terme/ése A termekek—bol terme/ésa

thasznd/ds 5 termékei-1797

Az IB termék nettó kibocsátásával kapcsolatos anyagráfordítás és termék- elosztás ugyanilyen módon történik. Tehát

* 1 12

a1r3:[§_,2] [4]m—41—8:I2A

12A és 33 szükséges a termelés anyagszükségletének biztosításához, amely—

ből 4A és 3B (az első tagoky'az A hely fogyasztása, SA és OB a B helyé (második

tagok).

A két matematikai kifejezés egybe is építhető. Itt azonban nem követjük pontosan előbbi eljárásunkat. Egy ,,technikai finomítás" után vesszük figyelembe az egységnyi B nettó kibocsátást, és ezt is fonmulábá helyezzük.A skaláris smrzás

közben az összegezés eltüntetheti az összeadandók fontos mondanivalóját (tudniillik,_

hogy a 12A és 38 összetevői hol kerültek felhasználásra); Ennek ,,megakádályo—

AZ INVERZMATRIX ÉRTELMEZESÉRÓL 383

zása'_' céljából az ra oszlopvektor helyett az ennek elemeiből képzett Ra diagonále fmatrixot szorozzuk meg (balról) az A matrixszal. Az ily módon nyert termelő anyagfelhasználás matrixához az ez : [?] vektor elemeiből képzett Ez diagonál—

matrixot adjuk; Az eredménymatrix egyes oszlopvektorai jelzik az egyes ter——

melőhelyek anyagfelhasználásait és egy helyen (példárnkban most a B helyen) a' nettó kibocsátást is. Tehát

AR2 % 1—32 /10/

formula a B termék nettó kibocsátásával kapcsolatos (A és B bruttó termelési eredmény) felosztást fejezi ki.9 Ellenőrzés céljából behelyettesítünk

1

"§ 2 12 0 O 0, 4 8 O 0

4— : 4—

_l_ o o 4 o 1 3 o o 1

4

termelő egységnyi

anyag— nettó ki—

felhasz- * bocsátás

nálás B termék-

matrixa ből

A B termékkel kaposolatoseredményeinket foglaljuk táblázatba.

10. tábla

IB termék nettó kibocsátásának teljes termelési igénye és a termelés elosztása

Termelő felhasználás

Nettó Bruttó

A 1 B (végső) (összes)

Termékbő] ""—W

termelőhelyen kibocsátás

a ! b 0 i a 4- b 4— c

A ... 4 8 O 1 2

B ... 3 4 0 l 4

A felosztással kapcsolatos fejtegetések a közvetlen és közvetett anyagfel- használás megállapítását megkönnyítik. Minthogy az inverz oszlopelemei a teljes (közvetlen és közvetett) termelési igényt fejezik ki egy nettó termék kibocsátásá—

val kapcsolatosan, a diagonál menti elemből levonva a nettó terméket a mara—

dék (rű—1) termékmennyiség és az í-edík oszlop többi elemei az i-edik termék

nettó kibocsátásával kapcsolatos teljes anyagfelhasználást mutatják meg, amely közvetlen és közvetett anyagfelhasználásra bontható. Az elbírálás a nettó termék kibocsátojának nézőpontjából történik. Tehát utóbbi esetünkben a B termelő—

helyen felhasznált 8A és OB termék a közvetlen, a 4A és BB felhasználás pedig

közvetett felhasználásnak tekintendő. A 6. ábra is jól szemlélteti a közvetlen és közvetett anyagfelhasználásokat.

A saját tennelé—sű anyagfelhesználás feltételezése és számításba vétele telje—

sen megváltoztatta az invemmatríx értékét. Ez az oka annak, hogy nem közöm—-

!

' Természetes, hogy az A termék vonatkozásában a formula szerkezete azonos, csak ::

diagonálmatrixokat az elsö oszlopvektorok elemeiből kell képezni. Tehát AB, %- E, a felosztott

termékek. mennyisége. _ .

384 ' * "" ' 'SZABÖÁLAsztó bős a gyakorlati számításokban, hogy a belső felhasmálást is magában foglaló ágazati kapcsolatok mérlege (ún. bruttó mérleg) vagy az ezt mellőző (nettó) mér—*

- leg alapján készül-e az inverz!" Oskar Lange felhívja ezzel kapcsolatban a ii—

gyelmet a Leontief—fe'le (belső felhasználást elhagyó) matrix jelentősebb hibájára kevés ágazatból álló mérleg esetén. 11 '

III. AZ INVERZMATRIX ÉRTELMEZÉSE A TERMELÉSI EGYENLETRENDSZER ALAPJÁN A matrixegyenlet (la—Ra; /8/

91 * 71191 '*' 7119: '*' ' ' ' * "xn9n 9: : 71191 '*' 7339: * ' ' ' * ringn

On: nlgl'l'rnlgt'l' ' ' ' "H'nngn ful skaláregyenletrendszer alakjában isfeh'rható, amelynek jobboldalát rug] kétté—

nyezős szorzatok, illetve azok összegei alkotják. E két tényező —— gazdaságtan?

talmi jelentésén túlmenően -— az egyenletrendszerben betöltött szerepe alapján is vizsgálható. Ha a bruttó kibocsátást vagy termelést jelentő 01 a függő változó, akkor (11 nettó kibocsátás a független változó, az ru inverzelem—ek pedig a terme- lési rendszertől függő állandó szorzók, együtthatók szerepét töltik be.

Feladatunk az rí] együtthatók értelmezése, méghozzá a fenti egyenletrend—

szer alapján.

Válasszunk ki egy együtthatót, például az rm-et és kíséreljük meg ennek ér—

telmezését. Ez a tényező a (22 :rng, 4—1'22g2 % . . . 4—1'2ngn egyenlet első tagjá-

ban szerepel, amelynek értelmezését lehetetlenné teszi a többi tag jelenléte. Ez

utóbbiak azonban kizárhatók, ha a 0.2, (13, ..., (1,1 nettó kibocsátásokról feltesz- szük, hogy azok külön—külön mind nullával egyenlők, akkor nyilván az

2292, 72343, . . . , rang" is azok lesznek. Az egyenlet jobboldalán csak a kérdéses

elemet tartalmazó 721111 tag marad meg. Itt még a (11 tényező zavar, ezt azonban már nem lehet nullával egyenlővé tenni, mert ebben az esetben rm-re nézve semmi információt nem nyerünk, ha azonban gl—et l-nek választjuk, akkor az egyenlet jobboldalán egyedül már csak az 'rm elem áll és baloldalon 92 kezdettől megmaradt. Ez a két mennyiség egymással egyenlő, vagyis (22 :1'21 ; persze a be—

vezetett feltételek figyelembevételével. Az 1'21 jelenti tehát azt a bruttó kibocsá- tást, amely a 2. termelőhellyel szemben felmerül az egységnyi első termék (csak '

az első termék!) nettó kibocsátásával kapcsolatban. —

A (11 : 1; (12 : gs : . . . : g,, : 0 feltételezés a bruttó kibocsátások többi egyenleteit sem szüntette meg, csak módosította azokat. Érvényben Vannak

tehát a '

01 ! 'n 9: :" 'n

On : 'm

* Hazai gyakorlatban a Központi statisztikai Hivatal eddig valamennyi inverzmatrix táb- lázatát" Lásda belsőA felhasználástmatematika alkalmazásais tartalmazóaáeazatlközgazdaságikapcsolatokkutatásokbanmérlege c.alapjánid. műbenkészítette.O. Lange ,.Néhány gondolat a ráfordítás és termékkibocsátás mérlegének elemzéséhez" e. tanulmányát.

AZ mvEnzm'rmx ERTELMEZESERÖL 385

összefüggések, amelyek előbbi értelmezésünk kiterjesztését kívánják. A jobbolda- lon álló elemek, az R inverz első oszlopvektorának elemei, tehát valamennyien bruttó kibocsátást jelentenek. Az inverz második, harmadik, . . ., n—edik oszlop-

elemei ugyanigy értelmezhetők. 12 Mindig csak egy oszlopot értelmezünk, s az ér- telmezett inverzelemek oszlopindexe jelöli azt a terméket, amelyből a nettó kibo-

csátás egységnyi, a többiekből pedig nettó kibocsátás nincs.

_A kibocsátások egyben termelést'IS jelentenek, vagyis általában a 62, bruttó ki—

bocsátást vagy termelést jelöl és a (1, pedig nettó kibocsátást vagy termeléstu Ily módon az inverzoszlop elemei bruttó termelési igényként is felfoghatók, ame—

lyek valamennyi —- termelési rendszerbe tartozó — termelőhely (ágazat) és a nettó kibocsátásegység szükségletének fedezetére szolgálnak, s azt teljes egészé- ben ki is elégítik.

Szokás a szakirodalomban az inverzeszlop elemeit teljes ráfordítási együtt—- hatóknak is nevezni. Ez a kifejezés arra utal, hogy az inverzelemeknek, mint a tel—

jes bruttó termelésigényt kifejező mennyiségeknek az egységnyi bruttó tennelés'

ráfordításaival (az A matrixszal és az ezen kívüli ráfordításelemekkel) képzett

szorzatai a teljes (anyag—, bér—, munkaóra— stb.) ráfordításokat adják meg.

(Lásd a 3. példát!)

IV. A TECHNOLÓGIAI MATRIX ÉS AZ INVERZMATRIX JELLEGE

Az A technológiai matrix elemeiben foglalt anyagráfordítási arányok egyér- telműen meghatározzák az inverzmatrix elemeinek nagyságát és előjelét, más szóval az inverz jellegét. Ez természetes is, hiszen az invertálás kiindulópontja, alapja az A matrix. Mivel az A matrix elemei között negatív elemek nem fordul- hatnak elő (negatív anyagráfordítás a termelés során gyakorlatilag nem létezhet), ugyanígy az inverzmatrix sem tartalmazhat negatív elemet. Kérdés azonban, hogy bármilyen nem negativ elemű A matrix biztosit—e nem negativ elemű inverz—

mátrixot?

Eddig csak azt láttuk, hogy kiválasztott példáink A matrixa és inverze nem tartalmazott negatív elemet. Az inverzben kifejezett termelési igény minden fennakadás nélkül saját erőből, a termelési rendszer keretében teljesíthető volt.

Ez a teljesítés —— amint azt már többször is említettük — kettős cél megvalósí- tását jelentette: a termelőhelyek amegtermelték a rendszer teljes anyagráfordí—

tásaihoz szükséges tennékmennyiséget és biztosították az egységnyi nettó kibo—

ii A részletesebb magyarázat és a precíz matematikai kikötések kifejtésének mellőzésével megjegyezzük, hogy az inverz elemei a /11/ egyenletrendszerből a parciális deriválás alkalma- zásával is nyerhetők. Ha ugyanis a független változók, a (11,C12, . . . , a nettó kibocsátások közül csak egyet tartunk meg, a többi változót pedig állandónak tekintjuk — miközben az egyes egyenleteket parciálisan deriváljuk —— az inverz egyes osziopelemeit nyerjük.

Tehát

60; 803 89"

mzru, _S'n, . . . , az"! stb.

591 891 591

Általában

89 .

———i:ríj, ahol i,):l, 2, ..., n.

. 59] _

A deriválás alapvető feltétele természetesen a 0; függvények folytonossága.

13 Ez a kibocsátás-termelés egyenlőség csak a termelés szigorúan zárt rendszerében igaz.

A gyakorlatban az import (mint egy külső termelési rendszer termelésének eredménye), készlet- csökkenés (mint egy korábbi termelési ciklus termelési eredményének nem pótolt felhaszná—

láSa) a bruttó kibocsátást (felosztásra ke'rülő forrásokat) növelik. Ezektől a lehetőségektől azon—

ban tanulmányunkban mindvégig eltekintünk.

4 Statisztikai Szemle

386 , amo Mam

csátást. Mindezt minden külső segítség nélkül (de csak az anyagigénybevétel "be—?

kintetében), vagyis a termelés zárt rendszerén belül. Megfigyelhettiik, hogy a ter—

melési célok biztosítása az egyes termékek termelésének meghatározott mennyi—-

ségét követelte meg. A 2. példában például IA tennék nettó kibocsátásához és a

1 ,

teljes termelő anyagfelhasználáshoz ZA és §B termék, a 3. példában, ahol már belsó felhasználást is feltételeztünk (a többi arányok változatlanok voltak) GA és EB termék volt szükséges. A technológiai matrix elemeinek változása az inverz- matrix változását okozta.

Teljesen indokolt az a kérdés, hogy az A matrix elemei —— aközvetlen anyag—

ráfordítások —-- meddig, milyen határig változhatnak a termelés két fő célkitűzé—

sének veszélyeztetése nélkül.14 Továbbá fontos kérdés az is, hogy az kivel-matrix hogyan viselkedik a különböző jellegű, tehát a kettős funkciót biztosító, kedvező, illetve az azt nem biztosító kedvezőtlen esetekben. Amint látni fogjuk, ezeknek

a kérdéseknek elemzése közben nemcsak eredeti kérdésünkre (bámilyen nem negatív elemű A matrix biztosit—e nem negatív elemű inverzmatrixot) kapunk választ, hanem az inverz mélyebb megismerése által, annak értelme teljesebbé válik előttünk.

Az A matrix elemeiben rejlő, de korántsem jól látható termelési rendszer jel—- legének megállapítására külön vizsgálati módszert dolgoztunk ki, amely ugyan jobbára elvi jelentőségű, de az inverz mélyebb megismerésén túl a vizsgálat gazdaságilag jól értelmezhető lépései és eredményei gyakorlati haszcmnal járhat—

nak a termeléssel kapcsolatos gazdaságossági és jövedelmezőségi számításokkal foglalkozók számára.

Az inverzre vonatkozó megállapításokat tehát először az A technológiai mat- rixra vonatkozó vizsgálatoknak kell megelőzniök. Az első lépést a közvetlen anyag- ráfordítások és a termelés végén jelentkező termékek mennyiségének (a bruttó termelésnek) egybevetése képezi, de nem egy—egy termékre, hanem a termékek összességét magában foglaló olya-n termelési rendszerre vonatkozóan, amely a rendszer felé áramló anyagmozgás tekintetében zártnak tekinthető.

Még egy megjegyzés: a vizsgálat a természetes mértékegységben megadott arányok, tehát az A matrix felhasználásával történik, de elvégezhető volna a B költségmatrix segítségével is. Az eljárás számitástechnikailag megegyező ugyan, mondanivalónk áttekinthetősége az előbbi matrix alkalmazása esetén azonban

jobban biztosítható, ezért a költségmatrixszal nem számolunk.

1. Az anyag'ráforditások és a. termelési rendszer jellege

Az A matrix és a bruttó kibocsátás vagy termelés programjának ismeretében a közvetlen anyagráforditások egyszerű szorzatösszegként adódnak, amelyet

tömören az

Aozm /12/

egyenlet fejez ki, ahol C,) —— a bruttó kibocsátás (termelés), M —- pedig az anyag—

ráfordítás vektona.

i'- Ennek a kérdésnek jelentőségére Havas Péter hívta fel a figyelmemet, az általános mate-

matematikai megoldás, a mátrixok sajátértéke és a sajátvektor felhasználási Emmeline-1: gon—

dolata és gazdasági értelmezése pedig dr. Krekó Bélától ered.

AZ mvnnzm'rmx ER'rmszsnROL 387

A 9 és M vektor közvetlen összehasonlítása (M vektor kivonása a a—ból) megmutatja, hogy a termelés bruttó eredménye mennyivel haladja meg az anyag—

ráfordítást ((l—M :: (1 nettó kibocsátás). A vektorok összehasonlítása azonban

csak úgy lehetséges, ha az azonos pozicióban álló elemeket külön-külön össze-—

hasonlitjuk. Az egy—egy vektoron belüli elemösszegezést ugyanis nem tehetjük meg, mert azok különböző mértékegység-ben megadott mennyiségek. A 9 vektort akkor tekintjük nagyobbnak az M vektornál, ha a (! minden egyes eleme nagyobb az M elemeinél. A termelési rendszer ,,életképességéne ", külső segítség nélküli fenntarthatóságának alapvető feltétele, hogy a 9 vektor minden eleme nagyobb legyen (legalábbis ne legyen kisebb), mint az M vektorral5 Ebben az esetben a rendszer kettős feladatát teljesiti. Nevezzük ezért az ilyen termelést, termelési rendszert —— a rövidség kedvéért —— kétfunkciós termelési rendszernek.

Ha O,)Mi-nél bármely t—re nézve, akkor minden termék termelése és maga a termelési rendszer is kétfunkciós. Ha pedig egyes termékekből a termelés csak az anyagszükségletet fedezi (természetesen az egész rendszerét), de más termé—

kekből a nettó kibocsátásra is marad, ebben az esetben csak a termelési rendszer egészét tekintve lehet kétfunkciós temnelésről beszélni. A termelési és anyag—

vektor egyes elemeinél tehát legalább az egyenlőségnek fenn kell forognia. Ha bármelyik 9; kisebb mint M ,, ez azt jelenti, hogy a rendszer anyagszükséglete belső erőből nem biztosítható, a termelés megáll. Ennek a jelenségnek két oka is lehet:

a) a technológiai arányok kedvezők ugyan, de a bruttó kibocsátási (bruttó termelési) program nem,

b) már az A—ban foglalt technológiai arányok is kedvezőtlenek. Olyannyira, hogy egy zárt termelés semmiképp sem lehetséges.

A továbbiakban először a bruttó kibocsátás (termelés) programjának szere—

pét vizsgáljuk meg példák keretében. *

4. példa. Vegyük a 3. példa A matrixát és írjuk elő például az A és B termé—

kekből egyaránt 1—1 egység termelését. Tehát () :[1,1]*. Ebben az esetben az A és B termelőhelyen jelentkező együttes anyagráfordítás a /12/ egyenlet felhasz- nálásával kiszámítva

2 2

l

? 3

1 1 ' ( 1

? ?

1

Az anyagráíordítás tehát az A termékből Ig—dal nagyobb, a B termékből

3

azonban —— szerencsére —- z—del kisebb, mint a tennelés eredménye. Az A ter—

méknél jelentkező ráfordítástöbblet előre várható volt, hiszen az egységnyi B ter—

mék megtermelése önmagában 2 egység A termelését követeli meg. Ennél keve—

sebb A termék termelését előirányozni nem lett volna szabad.

A kérdés most itt az, vajon a B-nél mutatkozó terméktöbblet több—e, mint az A—nál jelentkező hiány. A közvetlen összehasonlitásra azonban nincs lehetőség a

15 Az elemek egyenlősége azonban minden egyes elemnél nincs megengedve.

4:

mértékegységek különbözősége miatt. Talán elő lehet azonban irni olyan terme-"

lési programot, amelynek teljesítése esetén az anyagráfordítás mindkét termék— 1"

nél kisebb lesz a bruttó temnelésnél. ; *

1 1

Legyen tehát A—ból 18, B-ből—2— egység a térmelési előírás. 15 Az anyagráfor—L ditás vektora ebben az esetben

2); 18 17

1

M:: 3 11 x:;- 9

,1_ __ _—

70, 2, 02

; Az A termékből tehát a bruttótermelés 18 egység, ugyanakkor az A, a helye-_

1 1 ^9._

ken jelentkező

ráfordítás

17 A. A B temékből

pedig2

'— ,ílletve

§ a temelés és

a ráfordítás nagysága. A termelőrendszer egészét tekintgve tehát a ráfordítás mind-

két terméknél a termelés bruttó eredménye alatt marad. vagyis a megadott tech——

nológiai arányok lehetővé teszik ennek a termelési programnak teljesítését: a tet—* , melésí rendszer kétfunkciós. (Ezt a lábjegyzetben közöltek alapján előre tudtuk) ;

*

Természetesen elképzelhető olyan technológiai matrix is, amelyhez hiába keresünk bármilyen termelési programot, a termelés egyáltalán nem lesz fenn—.

tartható (nem működő termelési rendszer), esetleg a termelés csak az anyagráfor—

ditásokat fedezi, nettó kibocsátásra semmi sem marad (önmagát- fenntartó, egy—

funkciós rendszer). Ha például feltételezzük azt az irreális esetet, hogy az A ter—'

, 1 *-

mék anyagfelhasználása A—ból § helyett 1 A termék, akkor bármilyen termelési _ terv esetén az A termékek termelésének anyagigénye mindig meghaladja a ter- melés mennyiségét annyi A termékkel, amennyi a B termékek előírttermelésének anyagigénye az A-ból.

Az egyfunkciós rendszer esetén a termelési folyamat fenntartható ugyan belső erőből, de értelmetlen és bizonyos, hogy ráfizetéses, mert a termelés egyéb (vállalati és társadalmi) ráfordításait-a (bér és akkumuláció) már nem marad semmi fedezet. Mi azonban nem a jövedélmézőség, hanem szigorúan csak az anyagráfordítások szempontjából vizsgáljuk a kérdést és csak ilyen szempontból

beszélünk a termelés fenntarthatósagáról.

;; A megfelelő termelési program kiválasztása —— példánk legalábbis azt mutatta _— a kétfunkciós termelésnek szükséges feltétele. Önmagában azonban a termelési program tetszőleges megválasztása nem elégséges. A lehetőség első—

rendűbiztosítékát az A matrixbankifejezett technológiai arányokban kell ke;

" Itt azt az érdekes esetet vizsgáljuk, amikor az ismert 3 inverz és az egységnnnettó kibOCSátások feltételezésével, a /8/ formula alapján kiszámított bruttó termelést

; 6 12 1 18 — ' _ ; 5 ;

' 3 : 11 tekintjük termelési programnak.

? 4 1 , f2- _ K