Az inverzmatrix értelmezéséről (II.)

AZ INVERZMATRIX ÉRTELMEZÉSÉRÖL (ll)

SZABÓ LÁSZLÓ

A tanulmány első részében (lásd a Statisztikai Szemle 1963. évi 4. sz. 369—

393. old.) az ágazati kapcsolatok és kibocsátások egyenletrendszerének figyelem—

bevételével értelmeztük a statisztikai elemzés és a tervezés egyik fontos eszkö—

zének, az inverzmatrixnak elemeit a termékmozgások különböző eseteiben. Meg- állapítottuk, hogy az inverzmatrix oszlopelemei az egységnyi nettó kibocsátás tel-—

jes termelési igényét fejezik ki. Ezek az elemek lényegükben bruttó kibocsátások.

'(I—III. fejezet.) '

A IV. fejezet már közölt részében az inverzmatrix jellegének a technológiai matrixtól való függősége kerűlt tárgyalásra. Kérdés, hogy a közvetlen anyagrá—

fordítások együtthatói (az A matrix elemei) meddig változhatnak egy '— az anyagmozgások tekintetében — zárt termelési rendszer keretei között. Mi törté—

nik az inverzmatrix elemeivel, ha az anyagráfordítások éppen egyenlők a terme-—

lés eredményével, vagy ha meghaladják azt? A matrixaritmetika eredményeinek felhasználásával eldönthető az A matrix által leírt termelési kapcsolatok zárt rendszeren belüli fenntarthatósága. Ehhez szükséges annak a termelési vektornak '(az A matrix sajátvektorának) megállapítása, amelynek elemeiből ugyan-—

azon l szorzó (az A matrix sajátértékének) alkalmazásával képezzük az anyag—

ráfordítás vektorának valamennyi elemét. Ha ez a 2 szorzó kisebb l—nél, az A ánatrixban foglalt kapcsolatok zártrendszerű és nettó kibocsátást biztosító terme—

lést tesznek lehetővé. Ez esetben az (E—A) matrix inverze-nek elemei nullánál

nem kisebb valós számok.

A továbbiakban megvizsgáljuk az inverz létezését, illetve annak jelle—

gét ll : 1 és 2)1 esetekben. Értelmezni fogjuk a költségegyütthatók alapján

szerkesztett S inverzmatrixot is, majd ennek és az R inverznek kapcsolatát mutatjuk be.

3. Van—e inverzmat'rix A : 1 esetén?

További általános Vizsgálat tárgya lehetne az, hogy mely esetben, milyen A

technológiai matrix rsajátértéke egyenlő l—gyel, és ilyenkor az inverzmatrix

hogyan viselkedik (ha egyáltalán létezik).

Az általános törvényszerűségek bizonyításának és megállapításának igénye nélkül csak egy egyszerű gyakorlati példán vizsgáljuk meg a kérdést.

7. példa. Változtassuk meg 2. példánk A matrixának aal-es elemét, s legyen

adva a következő technológiai matrix:

Al? 2]

^I.?

464 SZABÓ LASZLO

1 _ *

A matrixból kiolvasható, hogy minden egyes A termék megtenne—lése **B ter—

2

mék felhasználását jelenti. Mivel minden B termékegyse'g ZA terméket igényel, az

1 ].

%B termék megtermeléséhez "2' '2 : 1A termék szükséges. Tegyük fel, hogy ter—

1

melési célkitűzéseink éppen § B és a belőle előállítható IA termék, amely ponto—e

1

san az 2B előállításához elégséges. Az anyagráfordítás és termelés éppen egymás——

sal egyenlő, vagyis arányuk éppen 1. Tehát A a— 9-

0 2 l l

1 , 1 : 1

2 2 , 2

Nézzük meg, hogyaz A mátrix sejátérteke mit mutat. Evégből behelyettesí—

tünk a /15/ egyenletbe:

1 _

APJA—Erno, ebből zzel/1 2351.

A gyakorlatilag értelmezhető sajátérték itt 4—1, amint ezt vártuk is. Mit jelent

a ). — 1? Azt jelenti, hogy az A-hoz rendelhető sajátvektor, amely a termelési

vektor szerepét tölti be, és az anyagráfordítás vektor-a éppen egymással egyenlő;

nettó kibocsátás nincs, a termelés tehát egyfunkciós termelés.

Következő kérdésünk, hogyan viselkedik ebben az esetben az R inverz-'—

matrix?

Kíséreljük meg az (E—A) matrix inverzének előállítását!

11. tábla

l

0211—2á10 —2§10

A (E—A)

1

13 :

——o——1;01 0301

2 2 : :

A második vektorcsere már nem történhetett meg, mert generáló elemként a nulla nem Választható (lásd a nyíllal jelölt oszlopot ') Matematikai szempontból

ez azt jelenti, hogy az R— * (E)—A)"1 inverzmátrix—ez esetben—_ nem állítható

elő, mert az eredeti (E—A) matrix szinguláris mátrix volt, oszlopvektorai ugyanis nem voltak lineárisan függetlenek Ez pedig az invertálást kizárja 19 Valóban az

(E——A) matrix második oszlopvektora az első oszlopvektor —- 2-szerese:

—2 l']

-_-.-——2 IJ

1 _—

2

19 Részletes magyarázat Krekó Béla és Szép Jenő: Matematika I. (Lineáris algebra) a Köz—

gazdaságtudományi Egyetem hallgatói számára (Kézirat, 1962) írt jegyzetében található.

AZ INVERZMATRIX ÉRTELMEZÉSERÓL 465

Mi ennek a matematikai értelmezésnek gazdasági háttere? Legegyszerűbb lesz, ha a termelés lefolyását ábrázoljuk. Tegyük fel, hogy az A termék termelő- helyén rendelkezünk IA termékkel, amellyel a termelést elkezdjük. A teljes ter-

melési ciklus befejezése után ZA terméknek kellene lennie, hogy 1A nettó kibo-

csátás megtörténhessen és visszakapjuk az induló IA terméket. Nézzük meg így van—e!

A termelő/reá; 5 termelő/My

Terme/és ! A hanme/ési B

Az A termelőhelyről elindul az 1A termék a B termelőhely felé. B helyen

1

lesz belőle az A matrixban foglalt feltételek szerint EB termék (mert az IB ter—

l

mékhez ZA kell). A B termelőhelyről elinduló —2—B termék csak 1A termék legyár—

tásához elegendő. Vagyis a termelés úgy folyt le, hogy nettó kibocsátásra semmi sem maradt. Noha a temetési körfolyamat külső segítség nélkül újra (és újra)

végbemehet, a termelés öncélú, értelmetlen, mert csak éppen annyit termel,

amennyit fel is használ. A gyakorlatban nyilván már eddig a határig sem lehet el—

menni, mert a nettó kibocsátás hiányában a termelés egyéb ráfordításainak (pél- dául élőmunka—ráfordítás) nincs fedezete.

Ezt jelenti tehát az, ha az (E—A) matrix nem invertálható.20 4. Az inverz értelmezése A) 1 esetén

Bár a mondottak értelmében világos, hogy egy valóságos termelőrendszer .A technológiai matrixának sajátértékc nem lehet nagyobb l-nél (ami azt jelen—

tené, hogy az anyagráfordítások — a sajátvektornak megfelelő bruttó kibocsátási program esetén -— minden egyes terméknél meghaladnák a termelés bruttó ered—

ményét), mégis az inverz értelmezésének teljessége érdekében foglalkozunk ezzel az irreális esettel is. Tegyük fel, hogy előző példánk A matrixának 1121-es elemét tovább növeljük, amikor is feltehető, hogy annak 1 értéke nagyobb lesz 1—nél,

hiszen

'

02

Aal

'-——O 4

V?

esetén lzT : O,707 volt

a Az elmondottak alapján érthetővé válik a Minkowskl—Leontief matrix inverze hatvány—

sorral történő meghatározásának egyik azon feltétele. hogy B matrix oszlopösszegei közül leg- alább egynek l—nél kisebbnek kell lennie (a több! lehet 1). Valamennyi terméknél (ágazatnál) a

termelötelhasználások ugyanis nem érhetik el a termelést, mert a termelés egytunkctóssa valna, s ez esetben inverz nincs.

2 Statisztikai Szemle

466 szmo LÁSZLÓ

l !

esetén — ahol az (zu—es elemet z—ről g—re növeltük —— a A már l—gyel volt egyenlő, további növelés esetén, például ha an : 1, az

mau—ix sajátértékét, ha kiszámítjuk, azt 2 : VE : 1,414-nek találjuk.

Invertáljunk ismét!

12. tábla

A (E—A) (is—Ar!

02 E—ZÉIO —2§10 4—2

10 —1 1§01 —1§11 4—1

: : . :

.

Rendkívül érdekes eredményhez jutottunk. Először is—az előbbi, esettől kü—

lönbözve —— az invertálás lehetséges volt, másodszor —- az eddigiektől eltérően ——

az inverz csupa negatív elemből áll. Persze az inverz értelmezése most új felté—

telezések bevezetését követeli meg. Feltesszük, hogy az egyes oszlopok tartalma most sem jelenthet mást, mint az eddigiekben: a nettó kibocsátás érdekében fel- merült bruttó termelési, kibocsátási igényt az egyes tennelőhelyekkel szemben, A negatív előjel a kibocsátásnak nyilván az ellenkezőjét: az egyes tennelőhelyek—

nél jelentkező bruttó termékhiányt mutatja, amely egy temelési ciklus során az egységnyi nettó kibocsátás miatt keletkezett. Ha tehát a nettó kibocsátásnak meg- felelő mennyiséget a termelőrendszerbe ,,visszatápláljuk", az egyes termelő—

helyeknél mutatkozó hiánynak meg kell szűnnie. Feltételezésünk igazolását ilyen

módon kíséreljük meg, valamivel nagyobb -—— mondjuk —— 3 termékes modell

segítségével, de a felesleges bonyodalmak elkerülése céljából, az egyes termékek termeléséhez saját termelésű tmméket nem használunk fel.

8. példa. Tegyük fel, hogy az A technológiai matrix ismert 021

1 el

A: 2

13 24

Ha az R inverzet kiszámítjuk, akkor azt a következőnek találjuk:

— 5 —22 -16 1

R:" -10 — 4 ——12 25

—10 —14 4— 8

Az inverz érdekessége, hogy az 1133-es elem kivételével valamennyi eleme negatív.

AZ INVERZMATRIX ÉRTELMEZÉSÉRÖL 467

Ha az A matrix sajábérbékét kiszámítjuk, az jóval nagyobb l—nél. A : 1,88. A saját-

vektor .

1,s7 , )

a: 1,26 1

A sajátérték és sajátvektor értékét ellenőrizni tudjuk a /14/ egyenletbe helyette——

sítéssel

0 2 1

1 1,87 1,87

1 0 *—

2 1,26 :1,88 1,26

1 3

_— —— O 1 1

2 4

a szorzásokat elvégezve megállapíthatjuk, hogy a két oldal egymással egyenlő

3,52 3,52—

2,37 : 2,37 1,88 1,88

(Itt is látható, hogy a bruttó kibocsátás vektora kisebb az anyagráfordítás vektoránál, vagyis

1,87 3,52_

1,26 ( 2,37

1. 1,ss

A G! ( M jellemző a A) 1 technológiai matrixú termelési rendszerre nézve.)

Ha most ,,hagyományos módszereinkkel" ábrázoljuk az inverz egyes oszlo—

paiban található termelési (kibocsátási) igényeket és kiszámítjuk az A matrix segítségével az ezekkel kapcsolatos anyagráfordításokat, majd a termékáramlá—

sokat is feltünbetjük, akkor például az R inverz második oszlopában kifejezett gazdasági tartalmat a következőképp szenúéltethetjük:

10. ábra. Az inverz második oszlopának értelmezése

A terme/üa/y 5 terme/02254;

C !erme/ó'lze/y

28!

468 SZABÓ LÁSZLÓ

A termelőhelyekhez (az ábrán a három kör) beírtuk az inverz második osz-

lopában szereplő elemeket. Utalva a ,,rendellenes" eredményekre, a negatív elő—

jelet is mindenütt feltüntettük. Az áramlások irányát bejelölve az ezekkel kap-

csolatos mennyiségeket az A matrix felhasználásával rendre kiszámoljuk és elő- jelekkel ellátjuk.

Az egyes termelőhelyekhez írt negatív előjeles mennyiségek az egész termelő—

rendszer termékhiányait mutatják (a nyilakhoz irt mennyiségek pedig a ,,hiányok elosztására" utalnak), amelyek az egyes termékekből jelentkeztek a termelést meghaladó anyagfelhasználás következtében. Ebben az esetben azonban már csak

negatív nettó kibocsátásról lehet beszélni, ami annyit jelent, hogy a termelési

rendszer minden egyes termelési körfolyamatának az inverzoszlopban szereplő ,,termékhiány termelése" (ezt mondhatjuk, ha minden elem negatív, mint ese—- tünkben) az IB ,,nettó" termék betáplálásával egyenlíthető ki. Vagyis a termelő- rendszer nem nettó kibocsátásra, hanem nettó felhasználásra van beállítva.

Az egységnyi B termék nettó betáplálásának matematikai értelmezése is fí—

gyelemre méltó. Ha a tennelőrendszerből távozó (1 nettó kibocsátás elemeit pozi- tív előjellel értelmezzük, a rendszerbe táplált érték negatív előjelű lesz. Ese—

tünkben csak a B termékegység tart a rendszer felé ezért —g2 : 1, vagy ami

ezzel egyértelmű (12 : —1. A /8/ formulát felhasználva megállapíthatjuk, hogy a betáplálás mekkora 9 bruttó kibocsátást tesz lehetővé.

' 0

Ra :0, ahol R az inverzmatrix és az: [ —- 1]

0

Behelyettesitve

22 4 14

%l— : J] , vagyis az inverz második oszlopának elemei a kibocsá—

25 25 25

tás elemei, de ellenkező előjellel.

Ha most a (; elemeihez tartozó anyagráfordításokat az A matrix felhasmá—

lásával kiszámítjuk, megállapíthatjuk, hogy a

14

22 43

Off—3311 éppen elég a '— Bés 530 megtermeléséhez. A

14 22 4

09550 éppen elég a *— Aés EBBa megtenneléséhez.

4

A termelt Oz : 238 azonban önmagában nem elég az A és C termékek anyag—

szükségletének fedezéséhez. Ehhez nyújt segítséget a betáplált IB mennyiség, amellyel együtt éppen biztosítja az A és C helyek anyagellátását. Az igények ki—

elégítése egyben a termékek ,,megsemmisítő elfogyasztását" is jelentette, vagyis a termelő rendszer a betáplálással segített körfolyamat után éppen a ,,nulla pon-

ton áll". (Az elmondottak lényegét a 11. ábra szemlélteti.)

A B termék forrása és felhasználása most már egyenlő.

4 25 22 7

'*'-F *—

25 26 25 25

Tanulságos az inverz harmadik (C termékre vonatkozó) oszlopának értelme- zése is, amelynek különös érdekességet az ad, hogy az 1'33—38 elem —-— az M ru, ra, elemek előjelétől eltérően —— pozitív előjelű.

AZ INVERZMATRD! ERTELMEZESEROL 469

11. ábra. A nettó kibocsátás oisszatáplálása

fra-IB

*

Látható tehát, hogy az olyan termelési folyamat, amelynek A technológiai matrixa A) 1 sajátértékkel rendelkezik, külső segítség nélkül már nem tartható

fenn, mert a termelési rendszer a kedvezőtlen technológiai arányok miatt még az anyagigényt sem tudja belső erőből fedezni, amit az inverz negatív előjelű elemei jeleznek.

Választ kaptunk tehát arra a fejezet elején felvetett kérdésünkre, hogy bár—

milyen nem negatív elemű A matrixhoz rendelt (E—A) matrix inverze nem bizo- nyos, hogy csak pozitív elemeket tartalmaz. Elvileg legalábbis így van! Mivel azonban a gyakorlatban egy termelőrendszer globális anyagfelhasználása soha sem haladhatja meg a bruttó termelés nagyságát (A nem lehet nagyobb l—nél), érthető, hogy az inverzmatrixban miért nem szerepelhet negatív elem.

V. A KÖLTSÉGINVERZMATRIX ÉRTELMEZÉSE

A gyakorlatban a rendelkezésünkre álló adatok általában értékben megadott költségadatok, amelyekhez természetes mértékegységben kifejezett mennyiségi adatok sok esetben egyáltalán nem rendelhetők. A természetes mértékegységben kifejezendő technológiai arányoknak, az A matrix elemeinek meghatározása elé ugyanis bizonyos akadályok gördülnek. Ahhoz, hogy a kérdést rögtön konkreti- záljuk, gondoljunk a népgazdasági szintű számítások alapmérlegére: az ágazati kapcsolatok mérlegére, amelyek legyenek bármilyen nagyméretűek is, a szektorok száma sohasem érheti el (legfeljebb elméletben) a népgazdaság által előállított va—

lamennyi termék számát, mert ennek a táblázat-összeállítás munkaigényessége,

továbbá az elektronikus számológépek kapacitása feltétlenül határt szab, és így

egy-egy szektor nem termékre, hanem termékcsoportra, sőt iparágra stb.-re vonat—

kozik. Egy—egy szektor tehát bizonyos aggregátum összevont adatait foglalja magában. Az összevonás módjára nézve történtek már az értékelést kikerülő el- járások (például a mezőgazdasági termékek mindenfajta termékének ,,gabona- egységekben" való kifejezése), a járható út azonban — ha nem is teljes érvé—

nyességgel -—— mégis csak az értékelt adatokból történő összevonás marad. Igaz, hogy ez az összevonás bizonyos _ nem is elhanyagolható —— hibákat takar. Az egy szektorba összevont termékek különböző költségszerkezete, az árakból adódó tor-

470 7 — ( SZABÓ mano,

zítások stb. hibái csökkentikaz értékelt adatokból számított matrix és inverz megbízhatóságát, mégis mindezek ellenére csak az összevonás nyújt lehetőséget a különben lehetetlen számítások elvégzésére.

Mindezek a kérdések olyan módszertani kérdések, amelyek az inverzszámí—

tás technikáját nem érintik. Természetesen az inverz gyakorlati felhasználói (akár a tervezésben, akár a statisztikai elemzésben) az inverzmatrixot más oldal-—

ról és még mélyebben értelmezni kívánó olvasói azonban állíthatnak ilyen köve—

telményt is az inverz értelmezésével kapcsolatban. Jelen tanulmány célkitűzése

azonban nem ebbe az irányba mutat.

Igy a költséginverz értelmezésével kapcsolatban sem a gyakorlati — meglehe—

tősen gazdag —— problémákat érintjük. Ismét csak egy kétszektoros modellen be—

mutatjuk a költséginverz kiszámításmódját, értelmezzük az egyes oszlopvektoro—

kat, majd az általánosítás érdekében matematikailag is bemutatjuk a technológiai matüxból képzett inverz és a költségegyütthatókból képzett inverz kapcsolatát.

1. A költségegyütthatókból számított inverzmatrix

Ha az egy forint értékű termelés anyagköltség—ráfordításait. termékenként oszlopokba rendezve felírjuk, egy B anyagköltségmatrixhoz jutunk. Ezt a mat—- rixot az E egységmatrixból levonva -—— az (E—A) matúxszalkövetett eljárást meg-—

tartva -— majd invertálva, az (E—B) " 1 :: S költséginvemnatrixot nyerjük ered-—

ményül, amely a /9/ egyenletben felírt szerepét és egyéb alkalmazhatósági lehe—

tőségét tekintve az (E—A) " 1 ': R inverzzel egyenértékűnek mondható.

Az S költséginverzmatrix kiszámítását és értelmezését egy példán ,, mutat—

juk be. .

9. példa. Álljon egy zárt termelési rendszer csupán 2 termelőhelyből, amely

csak két különböző (A és B) terméket állít elő. A termékek előállításával kapcso- latban jelentkező anyag- és bérköltséget, továbbá a társadalmi tiszta jövedelmet—

(akkumulációt) egy táblázatban tüntetjük fel.

13. tábla

] Ráfordítás

Közvetlen költségek A B A B

és akkumuláció termékegységre 1 forint termelésre

forintban

.

_ 3

Anyagköltség ... A () (30 O I

2

B 20 0 —— 0

3

_

A 1 1

Bérköltség, akkumuláoió ... 10 20 —3— ?

Termelési érték ... 30 80 l l

A táblázat első két számoszlopa az egységnyi mennyiségre jutó (A terméknél példáula darabonkénti, B—nél például kilogrammonkénti) termelési értéktétnye-

Az INVERZMA'I'RIX ERTELMEZESERÖL 471

zőket és termelési értéket (az egységárakat) is tartalmazza, amit a következőkben az inverzek összehasonlításánál még felhasználunk -

A vastagon bekeretezett B anyagköltségnatrix alkotja további számításaink alapját bevonjuk ezt az egységtnatrixból, s az ismert módon invertálunk:

14. tábla

B (E—B) (x:—arus

3 3 3

o _. 1 —— 2 —

4 4 2

2 2 4

— o —— 1 — 2

3 3 3

Megjegyzés. Az invertálás közbülső lépéseit elhagytuk.

Az S inverz egyes oszlopainak értelmezése hasonló az R inverz oszlopainak értel—

mezéséhez, csak ———- a kiindulásnál felhasznált adatoktól függően —— a vonatkozta—

tott mennyiségek, illetve az ehhez rendelt mértékegységek aránya lesz más.

Az első oszlop jelenti az 1 forint értékű nettó A termékkibocsátás teljes ter—

melési igényét, másként azt az A és B termelőhelyeknél létrehozandó bruttó ter—

melési értéket, amely 1 forint nettó kibocsátást eredményez a termelő felhaszná- lások biztosításán túlmenően. Ahhoz tehát, hogy 1 forint A termék a zavartalan

*továbbtermelést nem gátolva, elhagyhassa a termelés rendszerét, meg kell ter—

4

melni 2 forint értékű A terméket és; forint B terméket. A 2 forint A—ból 1 forint 4

A megy a ; forint B termék megtermeléséhez, 1 forint pedig nettó kibocsátásra

2

marad. Minden 1 forint A termék ugyanis § forint B—t igényel, 2 forint A termék

4

megtermelése pedig kétszer annyit, tehátg forint B—t.

Abrázolva:

12. ábra

A 6 !ecme'kek meg—

terme/81952? szükséges A

Alf/m' [(i— "!

bocsá/ás

ffM

mali/ml ZF: 2 5 terme/íóa/y

A ígíme/e'sey A 5 ;! terme/ése

z; — -— na

Az A termé/rek megter- me/éséhez szükséges

47 2 SZABÓ LÁSZLÓ

Látható, hogy a B termelőhely csak éppen annyit termelt, amennyit az A hely a 2 forint A termeléséhez felhasznált, nettó kibocsátás B-ből nincs. A második oszlop értelmezése esetén pedig csak a B helyen jelentkezne 1 forint nettó kibo-

csátás, az A helyen pedig nem. Elképzelhető persze olyan ábra is, amelyen a két oszlop elemei egyesítve szerepelnek. Ebben az esetben a termelőhelyek mind- egyike a rendszer anyagfelhasználásához szükséges termékek megtermelésén

kívül 1—1 forint nettó terméket is előállít. Vagyis az A hely bruttó termelése

3 1 4 1

2'l'íz35 forint, a B helyé pedig -3-—l-2 : 3§forint. Az eredmény megegye-

zik a /9/ egyenlet felhasználásával nyerhető X bruttó termeléssel. Ugyanis, ha

:: nettó kibocsátás vektorának elemei 1 forint A és 1 forint B, akkor az

X::Sxalapján 3

__ 1 3——

2 2 2

X : :

4 1

—— 2 1 3—

3 3

2. Az R és S ínverzmat'rixok kapcsolata

Ha egy termelési rendszer technológiai matrixából képzett R inverzmatrixot

és az egyes termékek árait (árarányait) ismerjük az R inverzből az S inverzet (és

fordítva) meghatározhatjuk.

10. példa. Előbbi példánk anyagköltségeit ugyanis a 2. példa ráfordításaibóli a darabonkénti 30 forint illetve kilogrammonkénti 80 forint egységárak feltétele—

zésével képeztük. Tehát, ha ismert 0 2

;!)1 30 A : 1 matrix és p :: :

'I 0 7), 80

egységárvektor, a termékegységre jutó ráfordítások forintra átszámíthatók.

(Ellenőrizzük a 13. tábla első két oszlopát!) Az egy forint termelési érték anyag-—

költség-tényezői (a B matrix elemei) ebből egyszerűen nyerhetők.

Tudjuk a 2. és 9. példából, hogy az inverzek milyen elemekből állnak:

2 4 2 3

R:(E—A)"': 1 és sans—Bria 4 2

? 2 - ; 2

Az ismert eredmények birtokában felvethető a kérdés, van—e lehetőség a két inverz közötti összefüggés kimutatására. Ha igen, ez a kapcsolat mit mutat?

az INVERZMATRIX ERTELMEZÉSERÖL 473

E végből az R inverz elemeit lássuk el a mértékegységek arány'aival is, fel—

téve, hogy a létrehozott A termékek mértékegysége darab, a B termékeké pedig kilogramm. Ez esetben a pontosabb jelölés:

db db

2—.— 4——

db kg

R :

1 kg 2 kg

2 db kg

Ha most a mértékegység—arányokat a megfelelő árarányokkal megszorozzuk,

ldául ls" szl 'sodik l ' 1 kg uk 80 Ft/kg '

pé (az e 00 op ma e emet, az 2 db —ot szorozz 30 Ft'db Vlszony—

számmal (tehát az inverz 2. sor 1. oszlopában található elemét a 2. és 1. termék egységár—arányszámmal)

1 80 Ft t

—— —-——— :É É—hoz jutunk, ami az S matrix második sorának első oszlop——

2 30 Ft 3 Ft

eleme (.s-21). Tehát

db 30 Ft/db 4 db 30 Ft/db 2Ft 3 Ft.

db 30 Ft/db kg 30 Ft/kg Ft 2 Ft

sz :

1 k_g so Ft/db 2 kg 80 Ft/kg 4 Ft, 2Ft * 2 db 30 Fia/db kg 80 Ft,/kg 3 ?: Ft

vagy egyszerűen csak

3

2 ___

2

s .:

4

—— 2 3

Az átszámítás logikailag könnyen értelmezhető. Ha az R inverzmatrix oszlop- elemeit a felhasznált különböző termékek egységáraival megszorozzuk a kérdé- ses oszlop egységnyi (darab, kilogramm) nettó mennyiségének forint értékéhez, egységárához tartozó teljes termelési igényét kapjuk meg forintban. Ha nem az egységárhoz, hanem az egy forint nettó kibocsátáshoz szükséges termelési értéke-—

ket akarjuk, a kérdéses oszlop termékének egységárával minden egyes értékele—

met el kell osztani. Ez lesz az egy forint nettó kibocsátás teljes (bruttó) termelési igénye.

A vázolt módszer megfordítása lehetőséget ad S költséginverzből az R meg- határozására is.

A példában bemutatott módszer általánosítható és matematikailag is bizo—

nyítható. Az S költséginverz nem volt más mint

SzPRP—l /1s/

matrixszorzat eredménye, ahol P az egységárak diagonálmatrixa P— 1 pedig ennek reciproka, vagyis

1 1 3

2 4 — 0 —- 2 ——

30 0 30 60 120 30 2

s : 1 : :

0 80 " 2 1 40 160 l 4

2 0 -— 0 — —— z

474 _ SZABÓ LÁSZLÓ

Bizonyításképpen tehát feltesszük, hogy

' (r:—Brr: P (E—A)—1 P—1

Mivel

s : (E—B)—-1 és n : (re—AH,

a feltételezett egyenlet tovább alakítható, ha mindkét oldalon balról (E'—Byvel szorzunk

E : (E—B) P-(E—A)—1 P—l, ez azonban '

E : P(E—A) (E—A)—1 P—l-gyel és

E :: PfP—1 : E-vel egyenlő, ami a két oldal azonosságát mutatja; A megoldás kulcsa az '(E—B) ? :: P (E—A) egyenlőség belátás-án múlik, amit még be kell mutat-f nunk. A B költségmatríx elemei kifejezhetők az A matrix elemeivel is.%

pl pl . 771

an ... an— ' ' ' am"

Pl Pa Pn

bu bla ' ' ' bm

P: P: Pa

B— bm bu m : az;—' az:—* am— :

... Px Pa P,,

bm bme bnn . .pn. . . .p; ... ?"

nr— m'" ann—

p1 pa Pn

1

— 0 - 0

Pl

Pl O 0 au (11! am 1

— 0 p, 0 an az: (lm 0 ; ' 0 :PAP—l ne;

... a

0 0 p" am a", an" ... 1.

0 0 . __

pr:

(] alj—'

I2OI

_ Xi 9; ' Pf Pf _

Tehát B : P A P—l, mindkét oldalt P diagonálmatrixszal (jobbról) szorozva

BPzPAP—lePAEzPA '

ugyanakkor az

(E—B) P : P (E—A) egyenlet is erre az alakra hozható, mert

EP—BPzPE—PA-ból EPzPEáP—t levonva és (—1)—gyel a két oldalt meg-

szorozva BP :PA adódik, ami az előbbi egyenlőség érvényességét mutatja. Végered—

ményben tehát

(E——B)P : P (E—A) egyenlőség igaz és következőleg

s : P R P—l is.

A bizonyításhoz felhasznált /20/ kapcsolat önmagában is jelentős, mert utal arra, hogy a költségmatríx minden egyes eleme árarányok függvénye is (a technológiai ará—

3" Lásd Prékopa András: Matematikai jegyzetek I. Lineáris algebra. 1960. 147. old. (Kézirat) Ganczer Sándor: Az árváltozások kölcsönhatásal és vizsgálatuk módszerei a szocializmus—

ban (Közgazdasági Szemle. 1960. évi 3. sz. 276—292. old.) c. tanulmánya rámutat ennek az átalakí- tásnak jelentőségére. Az összefüggés ismerete az inverzmatrix egyik fontos alkalmazási terü—

letén, az átképzésben használatos alapformula levezetéséhez egyszerű módot- nyújt.

az INVERZNLATRIX ÉRTELMEZÉSÉRÖL 475

nyokon túlmenően), és természetesen a költséginverzelemek is. Ezért nem mindegy, hogy a felhasznált árak milyenek (megvan-e az ár—érték egyensúly, ugyanazon termek felhasználását mindig azonos árakon számoljuk—e el stb.)

!

A tanulmány végéhez érkezve — úgy véljük —— kórántsem merítettük ki az inverzmatrix értelmezésével kapcsolatos valamennyi lehetőséget. Ez nemcsak egy tanulmány kereteit, de célkitűzésünket is meghaladta volna. Mert csupán arra a feladatra vállalkoztunk, hogy az inverz értelmezését a lehetőséghez képest egy- szerű eszközökkel, számokkal illusztrált példák segítségével egy kissé közelebb hozzuk a gyakorlati ember számára, s ilyen módon ismereteinket ebben az irány- ban is bővítsük.

FELHASZNÁLT IRODALOM

Krekó Béla—Bacskay Zoltán: Bevezetés a lineáris programozásba. Budapest, 1957.

Krekó Béla: Lineáris programozás. Budapest, 1962.

Krekó Béla—Szép Jenő: Matematika I. (Lineáris algebra) Közgazdaságtudományi Egyetem jegyzete. (Kézirat. 1962.)

Prékopa András: Matematikai jegyzetek I. rész. Lineáris algebra. Kézirat. 1960.

A matematika alkalmazása a közgazdasági kutatásokban. (Szerk. V. Sz. Nyemcsinov) Buda—

pest, 1962.

Kenessey Zoltán—Nemény Vilmos—Szakolczai György: A ráfordítás-kibocsátás (input- output) rendszer vázlatos ismertetése. 1957. Különlenyomat a Statisztikai Szemléből.

Oskar Lange: Bevezetés az ökonometriába. Varsó, 1958. (Magyar fordítás: Központi Sta—

tisztikai Hivatal Könyvtára, Budapest, 1960.)

Jan Tinbergen: Ökonometria. Budapest. 1957.

A._Adam és szerzőtársai: Anwendungen der Matrizenrechnung auf wirtschaftliche und statistische Probleme. Würzburg 1959.