MÓDSZERTANI TANULMÁNYOK
A TERMELÉSI FUGGVÉNYEK
ÉS A VÁLLALATl—PROGNÓZISOK (ll.)
DR. RÉDEY KATALIN — DR. SlPOS BÉLA
Tanulmányunk első részében — lásd: Statisztikai Szemle. 1981. évi 5. sz. 488—
498. old. — a termelési függvények vállalati szintű alkalmazásának általános, mód- szertani jellegű kérdéseit tárgyaltuk.2 Ennek alapján most egy cipőipari vállalatnál végzett számításaink fontosabb eredményeit ismertetjük.3
A TERMELÉSI FUGGVÉNY GYAKORLATI FELHASZNÁLÁSA
Az iparvállalati tervezést megalapozó döntéselőkészítő munkát ki kell terjeszteni a ,,külső". piaci vizsgálatokon (eladói pozíció) kívül a vállalat belső szerkezetének.
erőforrásainak (vevői pozíció) vizsgálatára is.
A vállalati termelési függvények specifikálása lehetővé teszi a ráfordításstruktú- ra átfogó vizsgálatát, mérhetővé teszi a kibocsátások és ráfordítások közötti kapcso—
latokat, elősegíti a ráfordítások eredményes felhasználását stb. A vállalati termelési függvény számítását korreláció— és regressziószámításként értelmezzük. és a válla—
lati termelési függvényt előrejelzési célokra is felhasználjuk. A korreláció- és reg—
ressziószámítás figyelembe veszi a termelési függvény sztochasztikus jellegét és a tényezők közötti ok-okozati összefüggéseket.
A korreláció és regressziószámításon alapuló prognóziskészítésnek nagy az in—
formáció igénye. Alkalmazásónak sikere nagymértékben függ attól, hogy mind a módszerről, mind a prognosztizáiandó folyamatról kielégítő szakismerettel rendel- kezünk—e.
A cipőipari vállalatnál végzett termelési függvényszámítás adatbázisa:
y — a termelés (ezer pár),
xí —- a munkások teljesitett közvetlen órái (ezer óra), xm — a gépek, berendezések amortizációja (millió forint).
xm —- a gépek. berendezések bruttó értéke (millió forint 1968. évi árszinten), x23 —— a gépek, berendezések nettó értéke (millió forint 1968. évi árszinten), x3 -— a felsőbőr-felhasználás (tíz millió négyzetméter).
Az adatok az 1968 és 1977 közötti időszakot reprezentálják.
, Az 1930-es évek közepén az iparvállalatí termelési függvények kutatása területén jelentős eredménye- ket ért el Mórótz Kálmán, aki a Heller Farkas által irányított iskolához tartozott. (Lásd: Márólz Kálmán: A termelés rugalmasságának csökkenése és a termelési politika. Közgazdasági Szemle. 1936. évi 7—8. sz. 398—
452. old.) Ennek az ígéretes kutatásnak sajnos hosszú ideig nem volt folytatása.
3 A számításhoz, elemzéshez szükséges adatokat dr. Soós Csaba bocsátotta rendelkezésünkre. A számí- tógépes munkát az Egyetemi Számítóközpontban Bakos Eva és Pogány Ursné vezette. A kiegészitő számításo- kat Compucorp 327 asztali programozható kolkulátoron végeztük a (25) és (28) esettanulmányckbun kidolgo- zott programok felhasználásával.
Az árváltozások torzító hatásának kiküszöbölésére mind a termelést, mind a rá- fordításokat természetes mértékegységben (illetve a gépek, berendezések értékét 1968-as árakon) vettük figyelembe. Az adatok hibája, hogy az amortizáció az álló—
eszközök tényleges, különösen erkölcsi elhasználódását csak kevéssé követi. A má-
sik lényeges probléma, hogy az adatok nem tájékoztatnak a termelési kapacitás ki—használtságának mértékéről (20). A műszakszám 1968 és 1977 között nem változott.
a vállalat a vizsgált időszakban két műszakban üzemelt, így a műszakszám változá- sát nem kellett figyelembe vennünk. A kapacitáskihasználásra vonatkozó részlete—
sebb adatok viszont nem álltak rendelkezésünkre. Vizsgálatunkban több mennyiségi tényező hatását ítéltük jelentősnek. ezért többváltozós regresszióanalízist alkalmaz- tunk, tehát több tényezőnek az eredményváltozóra gyakorolt hatását elemeztük. Az ismertetett jelölések felhasználásával a cipőipari vállalat termelési függvénye az
Y : f(X1, X21: X22, X23: X3: U) /3/
alakban írható le, ahol a még nem ismert jelölés:
u —- a véletlen tényező,
l — a regressziós függvény típusa (például lineáris. hatványkitevős, exponenciális stb.).
A regressziószámításhoz felhasznált függvényeket (f) alapvetően két csoportba sorolhatjuk. Beszélhetünk lineáris és nem lineáris regressziós függvényekről. A köny- nyen kezelhető és értelmezhető lineáris és lineárisra logaritmikus transzformációval visszavezethető hatványkitevős (multiplikatív) regressziós függvények alapján végez—
tük el az elemzést és a prognosztizálást.
A többváltozós lineáris regresszió számításának eredményei
Az általunk figyelembe vett öt tényezőváltozó bevonásával a következő több- változós lineáris becslőfüggvényt kaptuk:
Ay : - 1237.61—l—O.702—x11—l—477,496-x21 _ 19.996-x22—j—5,83O-x23—l—64.831 -x3 /4/
A reziduális szórás (06) 33,5 (33 500 pár).
A gépek, berendezések bruttó értékének (ng) negatív parciális regressziós együtthatóját (—'l9,996) közgazdaságilag azzal tudjuk indokolni. hogy az ötödik öt- éves tervidőszakban a vizsgált cipőgyárban jelentős összegeket fordítottak beruhá—
zásra, több mint 50 százalékát közvetlen termelő üzemi gépesítésre. A vizsgálat utolsó két évében ezért a gépek. berendezések bruttó értéke jelentősen emelkedett, a termelés nem változott, sőt, 1977-ben visszaesett. Az ötödik ötéves tervben a vál—
lalat termelésének —- természetes mértékegységben kifejezve — 33 százalékos növe—
lését tervezte, de ezt a következő okok miatt nem tudta megvalósítani:
-— 1975 és 1980 között a teljes munkaidős fizikai foglalkoztatottak létszáma mintegy 20 százalékkal csökkent, ezen belül a szakmunkások számának csökkenése nagyobb mértékű volt
meghaladta a 25 százalékot;
— megváltozott a termékszerkezet, nőtt a magasabb anyagigényességű és munkaigé—
nyességű termékek (csizma, szárascipő stb.) aránya;
-— a vállalat növelte a női cipők arányát. amelyek munkaigényesebbek, mint a férfi ci—
pők, a fajlagos anyagfelhasználásuk viszont kisebb;
-— az értékesítési szerkezet is módosult, növekedett a belkereskedelmi értékesítés, kis- mértékben csökkent a rubel elszámolású export, és jelentősen emelkedett (1970 és 1975 kö- zött megkétszereződött) a nem rubel elszámolású export:
— a Minisztertanács 1977-es határozatát követően a minőség javításának tendenciája mutatkozik, nőtt az értékesebb nyersanyagok (például a puhabőrök) felhasználása és ezzel a
608 DR. RÉDEY KATALiN -— DR. SIPOS BELA
fajlagos anyagígényesség is; a minőségjavitás a fajlagos munkaigényességet is növelte a kö- vetkező okok miatt: biztonságosabb gyártástechnológiák kerültek bevezetésre. a divatjelleg fokozódott; a választékbővítéssel új gyártmányok — például férfi ún. magasminőségű valódi
bőrtolpas divatcipők — jelentek meg.
Az általunk specifikált többváltozós lineáris regressziós termelési függvény elemzésre és előrejelzésre még nem használható fel. A modellben szereplő öt té- nyezőváltozó esetén ugyanis nagy a multikollinearitás veszélye, aminek egyik követ—
kezménye, hogy nem tudjuk megfelelően szétválasztani a tényezőváltozók hatását.
Ezenkívül a becslés pontossága is csökken. mivel a paraméterek standard hibája és konfidencia intervalluma is nő. Multikollinearitás esetén a termelési függvény elem- zésre nem használható fel. A multikollinearitás tesztelésére (: ZZ. az F és a t próbá—
kat alkalmaztuk.
A muitikollinearitás feltárására és kiküszöbölésére a korábban ismertetett el—
járásokat alkalmaztuk a gyakorlatban.
A multikollinearítás vizsgálata
A 2. táblában a multikollinearitás mérésére és lokalizálására (4) vonatkozó számításaink eredményét foglaltuk össze.
2. tábla
A muliikollínearítás mérése és lokalizálósa
Megnevezés xi xm, XI! ! X23 ! X3
Munkások munkaórái (x.) . . . 0.939 1.856 0.389 0.082 1.424
Amortizóció (xm) . . . . . . . . —0,680 0925 1.395 0.876 1.639
Gépek bruttó értéke (m) . . . 0.191 0.572 o,997 8.963 2.081
Gépek nettó értéke (xm) . . . . . ——0,041 —0,398 0.976 0.997 1.597 Felsőbőr—felhasznólás (X3) . . . . . ——0.580 —0.634 0.721 —0.624 0.956 in próba (10:5) . . . . . . _. . 19.241 15.416 415.416 415.416 21.159
A tényezőváltozók korrelációs matrixának determináns értékéből (R' ::
: 0.000 017) előállított 12 érték (31.002) a kritikus 18.307—es értéknél nagyobb (10 szabadságfokú. p : 0,05). ami erős multikollinearitásra utal.
A diagonálon tüntettük fel az an- értékeket. melyek az x változónak a többi tényezőváltozóro vonatkoztatott többszörös determinációs együtthatója. Ezen érté—
kek meghatározására az alábbi összefüggést használtuk fel:
R2. : 1 _ __1_
x' 'n'
ahol:
r,-,— — a tényezővóltozók korrelációs matrixának inverzéből az í-edik diagonális elem.
Az Rf,- értékeket F próbával teszteltük, melynél a kritikus érték Fo.os : 5.19 (a számláló szabadságfoka 5 —1 : 4. a nevezőé 10 — 5 :: 5. mivel 5 a becsült para- méterek száma). A számított E.,-(105) értékeket ezzel összehasonlítva megállapíthat- juk. hogy a gépek bruttó értékéhez és a gépek nettó értékéhez tartozó értékek lé—
nyegesen. a munkások munkaóráihoz. az amortizációhoz és a felsőbőr-felhasználás—
hoz tartozó értékek kisebb mértékben, de úgyszintén meghaladják a táblabeli kri- tikus értéket.
A tényezőváltozók közötti parciális korrelációs együtthatókat (ri,- .y ) és az ezek-
hez kapcsolódó t értékeket (tü) vizsgálva. a kritikus tops (10 — 5) : 2.571 -es értéknélcsak a izma : 8.963 nagyobb. Nyilvánvaló, hogy a vizsgált három állóeszköz-té-
nyező közül csak az egyiket célszerű szerepeltetni a modellben.
A modellben szereplő öt tényezőváltozó között számottevő lineáris korrelációs kapcsolat van, tehát modellünk multikollineáris változókat tartalmaz. A tényezővál—
tozók kapcsolatának páronkénti vizsgálata alapján a gépek bruttó értéke és nettó értéke között állapítottunk meg szignifikáns multikollinearitást. A kérdés tehát az.
hogy az állóeszköz-tényezőt közelítő idősorok közül melyiket tartsuk meg a modell- ben.
A kérdés megoldására két módszert alkalmaztunk, a ,.Backward eliminációs módszert" és a faktoranalízist. A következőkben e számítások fontosabb eredmé-
nyeit ismertetjük.
A ,,Backward eliminációs módszerrel" végzett vizsgálat eredményei
A számítógépen elvégzett vizsgálat főbb lépéseit és eredményeit a 3. tábla tar—
talmazza. ,
3. tábla Az optimális lineáris regressziós függvény meghatározása
,,Backward eliminációs módszerrel"
Megnevezés Első lépés Nézzük Haggggik Nitéggígik
"' próba . . . . . . . . . . . 12.454 15.421 110,90 107.68
Kerem) . . . . . . . . . . . (0.870) (0.869) (0.974) (0969)
F próba . . . . . . . . . . . 2.618 3.985 3.866 4.487
f(ey,ex21) . . . . . . . . . . . (04529) (0.666) (0.626) (0.625)
F próba . . . . . . . . . . . 0.098 1.640 1.248
f(ey, em?) . . . (—0.155) (—-0.497) (-—0.415) elhagytuk F próba . . . . . . . . . . . 0.008
f(ey,ex23) . . . ' . (0,047) elhagytuk — —
F próba . . . ,. . . . 0.307 0.713
f(ey,ex3) . . . (0.267) (0,304) elhagytuk —
n . . . . . . . . . . . . . 10 10 10 10
k . . . . . . . . 6 5 4 3
A számláló szabadságfoka . . . . 1 1 1 1
A nevező szabadságfoka (n—k) . . 4 5 6 7
Fo,05 . . . . . . . . . . . . 7.61 6.61 5.99 5.59
Megjegyzés. A parciális korrelációs együtthatóból ! próbát számítottunk. és a kapott eredményt négy- zetre emelve nyertük az F próba értékét.
A ,,Backward eliminációs módszer" alkalmazása alapján arra a következtetésre jutottunk, hogy két tényezőváltozót célszerű a modellben megtartani:
—a munkások teljesített munkaóráit (xi).
—a gépek és berendezések amortizácíój'át (xm).
4 Statisztikai Szemle
610 DR. RÉDEY KATALIN — DR. SIPOS BÉLA
Ennek alapján a lineáris regresszió optimális becslőfüggvénye a következő:
? : — 273415—l-o.57s-x1—H91.167—x21 /5/
A multikollinearitás a 22 próba alapján nem jelentős. Az autokorrelációt az r,,
és d mutatókkal tesztelve, az nem tekinthető szignifikánsnak. Tehát, ez a függvény
elemzésre és előrejelzésre is felhasználható.,A foktoronalízissel végzett számítások fontosabb eredményei
A faktoranalízist olyan összefüggésvizsgálatok esetén célszerű alkalmazni.
amelyekben igen sok változó szerepel. A nagyszámú változóban rejlő információt áttekinthetővé tehetjük a közös faktorok képzésével, melyek száma a változók szá—
mának csupán egyharmada. egyhatoda. Az eljárás célja, hogy a megfigyelt válto-
zókat olyan közös faktorok lineáris kombinációjaként fejezze ki, amelyek az eredeti
változók számának túlnyomó részét megmagyarázzák.A faktoranalízis számításai a változók közötti egyszerű korrelációs együtthatók matrixán alapulnak. Az említett matrix sajátértékei. sajátvektorai alapján lehet a faktorokat meghatározni. A faktorsúlyok a korrelációs együtthatókhoz hasonló mu- tatószámok, a kérdéses változó és faktor közötti kapcsolat erősségét fejezik ki. Ér—
tékük -1 és —l—1 közötti intervallumban helyezkedik el./* A kapcsolatokat szorosságuk alapján négy kategóriába sorolhatjuk:
— az első csoportba azok a változók kerülnek, amelyeknek kapcsolata a faktorral igen szoros, ekkor a faktor a változó szórásnégyzetének több mint 95 százalékát magyarázza: a faktorsúly értéke ebben az esetben nagyobb. mint 0.975;
! —— a második csoportba tartozó változók kapcsolata a faktorral szoros, a faktorsúly négy—
zete legalább 75 százalék, de alacsonyabb 95 százaléknál; a faktorsúlyok értéke ebben az esetben 0.866 és 0.975 között van :
— közepesnek minősítjük a kapcsolatot. !ha a faktor a változó szórásnégyzetének több mint 50 százalékát, de kevesebb mint 75 százalékát magyarázza; (: faktorsúlyok intervallu-
ma ekkor 0.707 és 0.866 között van; ,
-— végül. ha a faktorsúly 0.707—nél kisebb, a kapcsolat gyengének minősül.
A faktoranalízis eredményeinek értelmezését általában megkönnyíti, ha végre- hatjuk az ún. rotálást. A rotálással új faktorokat állítunk elő. amelyek az előbbieknek transzformációi. A rotált faktorsúlyok alapján az egyes változók és faktorok kapcso-
lata egyértelműbbé válik.
A faktoranalízissel végzett számításainkat öt változatban készítettük el,5 ame- lyeket a 4. tábla tartalmaz. ,
Az első változat tartalmazza az öt tényezőváltozót az eredményváltozót és az időváltozót. A második változatban az időváltozót nem vontuk be az elemzésbe. A harmadik változat az öt tényezőváltozót és az időváltozót tartalmazza, míg a ne—
gyedik változatban az időt elhagytuk. Az ötödik variációban a számításokat trend- hatásmentesen az öt tényezőváltozóra végeztük el úgy. hogy a megfigyelt értékekből
levontuk a lineáris trend alapján számitott értékeket.
Az öt változat kidolgozásakor a következő szempontokat vettük figyelembe:
— az időtényező az idősoros vizsgálatoknál zavaróan hat, mivel minden vizsgált meny- nyiség időbeli változásnak van alávetve. ami (: korrelációt torzíthatja. ezért vizsgálatainkban az időtényező bevonásával (1. és 3. változat). elhagyásával (2. és 4. változat) végeztünk
4 A faktorsúly négyzete azt fejezi ki, hogy a kérdéses faktor az adott változó varlanciájának mekkora
részét magyarázza meg. , ,
5 A számítógépes feldolgozás az Egyetemi Szamítóközpontban készült a főfaktor módszer alkalmazásá—
val. A faktorok rotácmjat vorimax módszerrel végezték.
elemzéseket (az 5. változatban trendhatásmentes idősorokkal kíséreltük meg az időtényező hatását kiszűrni);
— számításokat végeztünk az eredményváltozót, tehát a termelést tartalmazó (1. és 2.), illetve csak a tényezőváltozókat tartalmazó (3. és 4.) idősorok alapján is (ismeretes. hogy a faktoranalízis számításait eredményváltozót tartalmazó minták nélkül is el lehet végezni - ez a regressziószámítósnál nem lehetséges —. sőt a Kendall által kidolgozott főkomponens mód- szer alkalmazásánál erre van szükség. ebben az esetben a tényezőváltozók motrixának struk- túráját önmagában elemezhetjük):
— a számítások több változatban való elvégzése lehetővé teszi a regressziós modell ér- zékenységének vizsgálatát.
4. tábla
Az egyes változatok eredményei
A faktorok sajátértéke A kommunalitások (h,-2)
Változat Fi l FB együt.
Fi Fz összege _" "***—__— tesen
részesedése (szála lék) (száza lék)
81.78 14.83 96.61 79.80 17.29 97.09 81.40 15.48 96.88 78.70 18.57 97.27 77.22 20.16 97.38
. . . . 57251 10383
. . . . 4,7885 1.0375 4,8844 0.9285
. . . . 3.9354 09285
. . . . 3.8610 1.0838
SMPPEÚTA (110100st
Megjegyzés. A faktor soiátértéke: az egyes változókhoz tartozó foktorsúlyok négyzetösszege, mely meg- mutatja. hogy a kérdéses faktor mekkora szerepet játszik az összes változó szórásnégyzetének megmagyará- zásában. Kommunalítás: az adott változó szórásnégyzetének a figyelembe vett faktorok alapján megmagyará- zott része. melyet az adott változókhoz tartozó faktorsúlyok négyzetösszege ad meg.
A 4. tábla alapján megállapíthatjuk, hogy mindegyik változatban az F1 faktor a domináló, mivel a megfelelő változók szórásnégyzetének 77,22—81,78 százalékát magyarázza. Az F2 faktorral csak a változók szórásnégyzetének 14,83—20,16 száza- lékát magyarázhatjuk meg. Az F1 és az F2 faktorok a változók varianciájának 96.6—
97.3 százalékát befolyásolják. tehát több faktor elemzése nem szükséges, mivel az F3, Fz, stb. faktorok a modell magyarázó erejét nem növelik. A faktorsúlyokat és kommunalitásokat az 5. tábla, a rotálás utáni foktorsúlyokat a 6. tábla tartalmazza.
Az F2 faktor esetén az eltérő előjel (—1)-gyel való beszorzással kiküszöbölhető.
A faktorsúlyok és kommunalitások az 5. táblában igen nagyok, aminek oka az, hogy a korrelációs matrixban levő együtthatók is magasak voltak. A varimax rotálás után a célmennyiségre ható tényezők befolyásának rangsorát egyértelműbben ha—
tározhatjuk meg. Az aüfoktorsúly a z; változónak az F,- faktorral való korrelációját ad—
ja meg. ahol 2,- oz eredeti változók standardizálással nyert értéke. A változók stan-
dardizálásával a változók várható értéke nulla, szórása egy lesz, tehát az ered—
ményekből kiküszöbölhetők a változók dimenziós különbségeiből adódó torzítások.
Az 5. és 6. tábla elemzésekor felhasználtuk a korábban ismertetett intervallumokat.
Megállapítható, hogy az 1—4. változatoknál:
— szoros a kapcsolat az F1 faktor alapján a holt munkát közelítő tényezőváltozókkal:
az amortizációval (xm), a gépek bruttó értékével (Xn). 0 gépek nettó értékével (x%);
— szoros a kapcsolat az F2 faktor alapján a munkatényezőt közelítő tényezőváltozóval:
a munkások teljesített munkaóráival (x1);
- a faktoranalízissel tehát szétválaszthattuk a termelésre ható tényezőket (élő és holt munka), mivel ezeknek a tényezőváltozóknak az alakulása eltérő okokra vezethető vissza;
— az időtényező hatását az F1 faktor alapján közepesnek minősíthetjük;
—— az F2 faktor ——1-gyel való beszorzósa után negatív szoros kapcsolatot mutathatunk ki az anyagfelhasználásnál (xB). aminek oka a fajlagos anyagigényességnek az előzőkben rész-
letesen indokolt növekedése.
4—
612 DR. REDEY KATALIN — DR. swos BÉLA
5. tábla
A faktorsúlyok és a kommunah'tások
Megnevezés 0710, ) OAH) agj xm) OMV?) [kih-za) 05] x%!) atja)
1. változat _
Fi . . 0.9342 0.9029 0.8892 0.8842 0.9354 —O.7997 0.9797 _
F2 , —O.3133 —O.4035 03641 0.4584 0.3293 0.5662 - 0.5662
h? . . 0.9937 0.9945 0.9874 09993 09989 09914 09895 ,
2. vóhozct
F. . 09407 09120 0.8877 0.7837 0.9284 —0.81 15 —
F; . -—0.2958 ——0.3863 0.3871 0.4740 O,34ó7 0.5533 —
h; . 0.9724 0.981 1 09378 09880 09821 09647 —
3. változat ,
Fi — 0.8696 0.9134 0.9157 0.9581 —0.7605 0.9793
Fa — —O,4645 0.305? 0.3898 0.2565 0.6335 09036
. h,? - 0.9720 0.9280 09905 09837 09797 09590
4. változat
Fi - —— 0.8710 09179 09142 0.9579 —0.7623 _
Fz . . . —- —O.4635 0,3071 03908 02576 0.6327 -
h,? . — 09734 09369 0.9884 0.9839 0.9813 ——
5. változat
F1 . — 0.9105 0.9398 —0.801 9 -—O.8486 —O,7934 —
F; . — O,3069 ( 0.2472 0.5327 0.4542 0.0481 -
hm. . . . . . - 0.9232 09442 09269 09264 0.6318 —
6. tábla
A varímax módszer szerinti faktorsúlyok
Megnevezés GNU) 01195) aa)-(xm) 03j(x22) 041923) 05j(x3) atiu)
1. változat
Fi . . 0.4822 ' 0.3984 0.9035 0.9631 0.9144 —0.2126 0.7727
F; . ——0.8593 —O.9052 —O.327O —0,2537 -O.3838 0.9565 —0.5991
2. változat
Fi . 0,4745 ' 0.3912 09087 09588 09102 —O.2031 --
Fz . —O.8644 —O.91OO -—O.3347 —0,2623 —0.3920 0.9610 -—
3. változat
Fi . . — I 0,4188 09149 09670 0.921 1 ——O.2302 0.7868
F2 . — —O,8925 ——O,3015 -—0.2356 —0.3678 0,9627 —-O.5831
4. változat
F1 — ! 0.4141 0.9170 09646 09189 —o.2252 —
F2 — —0,8955 —0,3098 ——0.2408 -—O.3734 0.9647 —
5. változat
Fi — 0.5952 0.6523 —0.9623 ——O,9589 —0,6909 —
F: . . . . — 0.7543 ' 0.7202 0.0084 —-0,0828 -—0.3929 —-
Az 5. változat eredményei (trendhatásmentes idősorok alapján) eltérő struktú- rát mutatnak. a rotálás után:
—— gyenge pozitív a kapcsolat a munkaerővel (xi) és az amortizációval (xm) az F1 és az F2 faktor alapján;
—- szoros negativ kapcsolat van az F1 faktor alapján a gépek bruttó értékével (X22) és
a nettó értékével (xm): ,
— gyenge negatív a kapcsolat az F; és az F2 faktor alapján az anyagfelhasználásnál (x3).
'
A ..Backward módszerhez" hasonlóan két tényezővc'rltozót célszerű a lineáris regressziós modellben megtartani:
-— a munkások munkaóráit (xi) az F2 faktor alapján.
— a gépek, berendezések amortizációját (xm) az F1 faktor és az 5. változat alapján.
Termelési függvény számítás a Kendall—féle főkomponens módszerrel
Az eddig ismertetett módszerek lényege az volt. hogy a kollíneáris tényezővál—
tozót vagy változókat egyszerűen elhagytuk a modellből. Ez a megoldás nem prob—
lémamentes, hiszen előfordulhat. hogy —— mint korábban említettük — a helyesen specifikált modellből egy lényeges változót hagyunk el.
A multikollineáris tényezőváltozókat tartalmazó modell esetére Kendall a kö—
vetkező módszert dolgozta ki. Az X matrix változóit először olyan vóltozókká transz—
formáljuk. amelyek páronként nem korreláltak, és a transzformált változók varian-
ciója a meghatározás sorrendjében csökken (15).
Ezeket a transzformált változókat főkomponenseknek nevezzük. A számításokat a 4. változatra vonatkozóan mutatjuk be. A főkomponensek meghatározása az (X'X) matrix sajátértékeínek és sajátvektorainak meghatározását jelenti. Egy-egy saját—
érték azt fogja mutatni, hogy a vizsgált főkomponens az X matrix varianciájának hány százalékát magyarázza meg. Mivel általában néhány főkomponens az X mat- rix varianciájának igen jelentős hányadát képviselheti, eljárhatunk úgy is. hogy nem az X tényezőváltozót zárjuk ki a modellből, hanem az alacsony sajátértékkel ren- delkező főkomponenseket. A 4. változatban a főkomponenseket (melyek az F1, Fz, . . .,
F5 faktorokkal egyenlők) és a hozzájuk tartozó sajátértékeket a 7. táblában tüntet—
jük fel.
7. tábla
Faktorok és saiátértékek (4. változat)
. . _ . . K I ' lt
sem 5542: 33333 959235?!
VISZOnYSZGm
Fi . . . . . . . . 3.9354 78.71 78.71
Fz . . . . . . . . 0.9285 18.57 97.28
F3 . . . . . . . . (11043 2,09 99.37
F4 . . . . . . . . 0.0303 0.61 99.98
F5 . . . . . . . . 0.0015 _ 0.02 100,00
Összesen
5.0000 I 1oo,oo ! _
A táblából látható, hogy az F3, F4, F5 alacsony sajátértékkel rendelkező kom—
ponenseket kizárhatjuk a modellből. így az F1 és F; komponensre (amelyek a ténye- zőváltozók matrixának varianciáját 9728 százalékban magyarázzák meg) és az y
614 DR. RÉDEY KATALIN — DR. SlPOS BÉLA
eredményváltozókra regressziós összefüggést határozunk meg úgy, hogy az F1 és F2 faktoregyütthatókat tartalmazó komponenseket beszorozzuk a tényezőváltezó—kat
tartalmazó matrix megfelelő soraival (Z : X-A). Példánkban:
Azi : 0.87107x1—l—O,9179-xm—l-O,9142-x22—l—0.9579—x23—0,7623-X3 jó],
?2 ; —O.4635—x1—l—O,3071-x21—l—O.3908-x22—l—-O.2576'x23—l—0.6327-x3 [7/
Az xi, xm, ..., X3 változók megfigyelt értékei az 1968 és 1977 közötti időszakot reprezentálják, tehát a regressziószámitás adatbázisa a következő lesz.
8. tábla
A Kendall—féle módszer kiinduló táblája
Év . Sorszá m 21 12 Termelés (y)
1968. . . . . . . . . . . . 1. 1576581.15 ——809387.46 1009465
1969. . . . . . . . . . . . 2. 1921993,60 -—989521,85 1099108
1970. . . . . . . . . . . . 3. 2301624,54 —1191615,58 1475565
1977 : . . . . . . . . . . . 16. 247967393 —1267.187,00 166l393
A becslőfüggvény:
? : — l92188,ll—l—l,9892-11—l—2,4508-12 /8/
A termelés és a transzformált változók közötti kapcsolat (R : 0.9604) szoros- nak mondható. Ezután a becsült regressziós paraméterek (1.9892 : b1 és 24508 : : b2) segítségével az eredeti változókra transzformáljuk vissza a modellt.
Az így meghatározott paraméterek esetén nem áll fenn a multikollinearitás ve—
szélye. Ha a multikollinearitás iránya és erőssége a jövőben megváltozik, akkor a Kendall—módszerrel megbízhatóbb prognózist tudunk készíteni. A becslőfüggvény a következő:
7 : _ 192188,1 1—l—O,5966-x1-l—2,5785'x21—l—2.7762—x23—l—2.53ó7'x23—k0,0342-X3 /9/
A transzformációt úgy hajtottuk végre. hogy a megfelelő változók faktorsúlyait beszoroztuk a 11 és 12 változók együtthatóival (például xi együtthatója: 1.9892X X0,87'l —- O,4ó35-2.4508 : 0.5966).
A rezicluális szórás (0 : 50.58) ebben az esetben nagyobb, mint a lineáris reg—
resszió esetén (50,58 ) 33.50). A Kendall-féle főkompon'en's módszerrel kapott line- áris becslőfüggvény bizonytalanabb becslést adott. mint a többváltozós lineáris reg—
resszió alapján végzett becslés. de a multikollinearitóst kiküszöböltük. A bizonyta- lanabb becslést az okozta, hogy az eredeti modell X tényezőváltozó halmaza által
tartalmazott információmennyiség csökkentése után nyertük a paraméterek becslé—
sét, ami esetleg még az eredeti adatok alapján kapható becsléseknél is bizonytala-
nabb lehet (29). A faktoranalízis segítségével bonyolult közgazdasági folyamatokat
viszonylag kevés számú váltázó segítségével jól közelíthetünk. A termelés alakulását példánkban két faktor segítségével 97.28 százalékban megmagyarázhattuk.A többváltozós hatványkítevős regressziószámítás eredményei
A vállalati termelési függvények specifikálósánál néha indokolatlan egyszerű- sítést jelentene, ha csak lineáris függvényt alkalmazunk. A függvényt prognóziské- szitésre is felhasználhatjuk. így téves ex ante információkat kaphatunk, ugyanis például dinamikusan fejlődő vállalatnál a változók közötti kapcsolat a lineáristól eltérő lehet (hatványkitevős, exponenciális stb.). Az ilyen vállalatnál a gépesítés mértéke és a termelés volumene közötti összefüggés általában nem lineárisan ola- kul (21).
A vállalati gyakorlatban sokszor előfordul —— bizonyos korlátok között —, hogy a tényezőváltozó egységnyi relativ változása a termelés mint eredményváltozó konstans relatív változását vonja maga után, azaz az elaszticitás állandó. Ebben az esetben hatványkitevős regressziós függvény alkalmazása az indokolt. E függvény fontos tu—
lajdonsága, hogy logaritmikus transzformációval lineáris alakra hozható, ami igen leegyszerűsíti a paraméterek meghatározását.
A multikollinearitás mérésére és lokalizálására. a regressziós függvény paramé—
tereinek tesztelésére. illetve az optimális regressziós görbe meghatározására ugyan—
azokat a módszereket alkalmaztuk, mint lineáris esetben.
A számítások részletes ismertetésétől eltekintünk, csak a fontosabb megállapí- tásainkat foglaljuk össze:
— a tényezőváltozók korrelációs matrixának struktúrája hatványkitevős és lineáris eset- ben megegyezik (a megfelelő korrelációs együtthatók eltérései a 0,03-ot nem hadják meg);
ebből következik, hogy a különböző próbák alapján hasonló eredményeket kapunk, mint li—
neáris esetben;
-— (: ,,Backward eliminációs módszer" alapján (lásd a 9. táblát) (: hatványkitevős reg- ressziós függvényben is a következő két tényező-változót célszerű alkalmazni: a munkások munkaóráit (xi) és az amortizációt (xm).
9. tábla
Az optimális hatványkitevős regressziós függvény meghatározása ,,Backward eliminácíós módszerrel"
, Első Második Harmadik Negyedik
Megnevezes lépés lépés lépés lépés
F próba . . . ._ . . 9,665 12,08 86,43 89.37
f(ey, exl) . . . . . . (0.841) (0.841) (0.967) (0963)
F próba . . . . . . 0.558 2.135 4.75 3.23
T(ey, xm) . . . . . . (0.350) (0.547) (0.665) (0.562)
F próbo . . . . . . 0.067 0.181
f(ey,x22) . . ,. . . (0.129) (0.187) elhagytuk —
F próba . . . . . . 0.156 0.422 1.936 —
f(ey,ex23) . . . . . . (—O,194) (-0,279) (——0,949) elhagytuk F próba . . . . . . 0.004
rtey, ex3] . . . (-—0,032) elhagytuk
n . . . . . . . . 10 10 10 10
k . . . . . . . . 6 5 4 3
A számláló szabadság—
foka . . . . 1 1 1 1
A nevező szabadság-
foka . . . . . . 4 5 6 7
F0,05 . . . . . . . 7,61 6,61 5,99 5,59
616 DR. RÉDEY KATALIN — DR. SIPOS BÉLA
Hatványkitevős regresszió esetén (a 9. tábla alapján) becslőtüggvényünk a kö— ' vetkező:
? : 0.472-xi'016—x3'389 /10/
A korrelációs és parciális korrelációs együtthatók is szignifikánsak, bár értékük
kisebb, mint lineáris közelítés esetén.
A multikollinearitás és az autókorreláció mértéke sem zavaró.
Az időtényező bevonásával az alábbi függvényt kaptuk:
y : o,587.xg.997.x3i168_e0,0023 - t l11,
Elemzésre és előrejelzésre a továbbiakban ezeket a függvényeket is felhasz——
náljuk.
Az előrejelzéssel kapcsolatos főbb következtetéseinket az alábbiakban foglal-
hatjuk össze:— az időtényezőt is tartalmazó hatványkitevős regressziós függvény paramétere (2 : : 0.0023) pozitiv. tehát a technikai és szervezési haladás hatására a termelés évente 0,0023 százalékkal nőtt a vizsgált időszakban. és ez sem a ráfordítások növekedésének. sem a kü- lönböző ráfordítások közötti arányeltolódásoknak nem tulajdonítható;
— ha a közvetlen munkaóra-ráfordítást 1 százalékkal növeljük, a termelés átlagosan 1.016 százalékkal nő: ha (: holtmunka—ráfordítást 1 százalékkal növeljük, a termelés 0.189 százalékkal nő átlagosan:
— a volumen hozadéka mindkét termelési függvényben nagyobb az egységnél (1.205. il- letve 1,160). és ez a gazdasági fejlődés szempontjából előnyös, mivel, ha 1 százalékkal nő- veljük a ráfordításokat, a termelés 1.203. illetve 1.160 százalékkal emelkedik a kétfajta ter- melési függvény alapján.
Gazdasági elemzés átlag- és határmutaták alapján
A termelési függvény meghatározásával számos, a termelés nagysága és a rá-
fordítások közötti összefüggést leíró mennyiségi mutatóhoz juthatunk el. Ezek a mu—tatók —- a becslést követően -- a mintaidőszok közgazdasági elemzését teszik lehe- tővé, valamint a prognóziskészítés során a termelés várható fejlődéséről adnak szá-
mot. A hatványkitevős regressziós függvények (Cobb—Douglas—típusú függvények)
lehetővé teszik, hogy megvizsgáljuk és elemezzük a munka- és az állóeszköz-állo- mány átlag- és határmutatóit, a helyettesítési határarányokat és más kvantitatívmutatókat.
Átlagmutatók
A termelési függvény alapján meghatározható főbb átlagmutaták (6):
termelés
a munkatermelékenység : ——————,———;— [12/
munkatenyezo
, , _, , , , , termelés
az alloeszkoz-allomany hatekonysaga : —-————————————————— [13/
állóeszköz—tényező , . . .. . . , állóeszköz-tényező
(: termeles alloeszkoz—ngenyesSege : — ' W:— /l4/
termeles munkatényező
"" ll5/
a munka állóeszköz-ellátottsága : , , -——_——,————
olloeszkoz—tenyezo
Példánk alapadatait a 10. táblában tüntettük fel.
10. tábla
A termelés és a ráfordítások alakulása
(százalék)
, , , Élőmunka-ráforditós Holtmunka-ráfordítás
Termeles (Y) (xi) (munkaóra) (xm) (amortizáció)
É ..—
v bázis— l lánc- eltérési bázís— ! lánc- eltérési bázis- lánc— eltérési
viszonyszám viszonyszám viszonyszám
1968 . . . 100,00 —- — 100,00 — —- 100,00 -- ——
1969 . . . 108.88 108,88 102,97 121.87 121,87 115,97 100,88 100,88 96.15 1970 . . . 14ó,15 13425 130,74 14622 119,98 132,41 110.88 109.91 100.72 1971 . . . 147,42 100.86 124,72 14599 99,84 125,80 107.79 97.20 93.32 1972 . . . 150,72 10223 12059 152,95 104,76 125,43 107.88 100.08 89.02 1973 . . . 155,30 103.03 117,52 152,42 99.65 118,95 106,90 99.09 84.08 1974 . . . 155,51 10013 11129 153,65 100,80 114,11 115.04 107,61 86.24 1975 . . . 168.44 108.32 114,02 1óO,79 104,64 113,63 145.75 126,ó9 104,13 1976 . . . 168.53 100,05 107,89 16821 104,ó1 113.13 13265 91.01 90.33 _1977 . . . 165,1ó 97,99 100,00 156.24 92.88 100.00 154.07 116.14 100.00
! . . . . -— — 1.057 —- — 1.051 — — 1.049
po . . . . —- — 1.040 — — 1,034 — — 1.050
I
Az optimális termelési függvényben az állóeszközsort az amortizációval közelí- tettük, ezért két mutatót számítottunk: a munkatermelékenység és a termelés álló- eszközigényességének mutatóit. (Lásd a 3. ábrát.) Az amortizációval való közelítés esetén ugyanis a másik két mutatót (az amortizációra jutó termelést és az egy mun- kaórára jutó amortizációt) nem tudjuk értelmezni. Ez a probléma nem merült volna fel, ha szignifikáns lett volna a tényezőváltozók közül a gépek bruttó vagy nettó ér—
téke és a termelés (y) közötti kapcsolat.
3. ábra. A termelékenység és az eszközigényesség
(Index: 1968. év : 100)
%
170 1
100
x thmrk/rrrwéy ,
x .
90 vx , "
X A ,
) [, **- /
30 u! ,,/ 'I
___
70 _**__,74'
[sztár/pinyessíg 60
50 J
7954 ' 1969' 1970' 1977 ' 1972 ' 7973 ' 7974' 7975 ' 7975 ' 1977'
A 10. táblából látható, hogy a termelés és a kiválasztott ráfordítási mutatók (munkások teljesített munkaórái és amortizáció) közel azonos mértékben, mintegy másfélszeresére emelkedtek a vizsgált időszakban. A termelés növekedése valamivel
meghaladta a ráfordítások növekedését. Ezt a különbséget tükrözik az átlagos nö-
vekedési ütem (T) értékei is. Ismeretes. hogy az I érték — mivel számítása az első és az utolsó idősori adatok alapján történt — csak akkor használható fel elemzésre618 DR. RÉDEY KATALlN _- DR. SlPOS BÉLA
és előrejelzésre, ha az idősor egyenletes tendenciát mutat. és ez a tendencia vár-
hatóan a jövőben is érvényesülni fog.
Az egyes megfigyelési értékek alakulásának az átlagos növekedési ütemtől való eltérését eltérési viszonyszámokkal jellemezhetjük. Ennek meghatározásához az egyes megfigyelési értékeket rendre elosztjuk a kiszámított átlagos növekedés érté-
kével (28).
Általánosan:
. a.
gi : ...! [16]
ali—3
ahol a még nem ismert jelölések:
g,- — az eltérési viszonyszám az i-edik időszakra,
a,. — oz i-edik idöszak értéke,
a, —— az első (bázis-) időszaki érték.
A lánc- és eltérési viszonyszámok 100 százalék felettiek általában a termelésnél ' és a munkások munkaóráinál, az omortizációnál viszont több évnél találunk 100 százalék alatti értékeket. Az eltérési viszonyszámok alapján azt a következtetést vonhatjuk le. hogy az átlagos fejlődési ütem jól felhasználható az amortizációnál.
kevésbé a termelésnél és az élő munkánál. Osváth Lajos tanulmányában e prob- léma kiküszöbölésére a tartamidősoroknál a kiegyenlített növekedési ütem számí—
tását javasolja (19). Az általa javasolt módszernél kevésbé szigorú követelmények- nek tesz eleget a fejlődési ütem optimális előrebecslése.
Az Osváth által javasolt módszer alkalmazásakor az alábbi egyenlet megoldá—
sát keressük: '
L M :
ai: ao(p—l—pH—...—l—P") (f)/50) /l7/
!
A feladatot a Newton-féle iterációs módszerrel oldhatjuk meg.
Az általunk javasolt optimális fejlődési ütem meghatározásával az alábbi fel-
tételből indulunk ki (13):
F(p) :: 221 (ai—pa'._1)2—— min! [18/
ahol:
a; —az idősor i—edik eleme (i ::0, 1, 2. ..., n).
p —a keresett fejlődési ütem.
Célunk tehát az, hogy a számított értékek jól közelítsék (: valódi értékeket, va—
gyis az eltérések rendre minimálisak legyenek.
Az F(p) függvénynek
§
p., : —3———— /19/
2
:1
helyen van minimuma. A pg-t a t próbával tesztelhetjük (22). A po tetszőleges értéket
felvehet. A po értékek a termelésnél és az élő munkánál kisebbek (1—2 százalékkal), mint az l; a holt munkánál nincs jelentős eltérés, a két mutató lényegében meg- egyezik.
Az elemzés és prognóziskészítés szempontjából az utolsó évek változásainak van nagy jelentősége.
Az amortizáció 1977-ben, a vizsgálat utolsó évében a beruházási program meg—
valósítása miatt jelentősen emelkedett (116.14 százalékra). Ugyanakkor a létszám munkaórában kifejezve 7 százalékkal csökkent az előző évihez képest. A termelési szerkezet -— az előzőkben részletesen elemzett okok miatt — viszont úgy változott meg. hogy nőtt a munkaigényes termékek aránya. A csökkenő létszám növekvő gép- park mellett ezért nem tudta a termelést jelentősen növelni. Az eszközigényesség 1973-ig csökkent, azóta emelkedik. A termelékenység 1969—ben 11.0 százalékkal csök—
kent, az ezt követő években stagnált. Az egy foglalkoztatottra jutó termelési érték ugyanakkor 1968 és 1977 között megkétszereződött. E mutató hibája, hogy a terme- lést folyó áron vették figyelembe. A mutatók elemzésén kivül a termelési szerkezet és a technika fejlesztése azok a kérdések, amelyekkel célszerű részletesebben fog—
lalkozni. (Lásd (26) és (27).)
A gazdasági növekedés jelentős struktúramódosulással párosul, nagyon fontos a termék-, illetve technológiacsere. A cipőipari termelési szerkezet fejlesztését kü—
lönösen indokolttá teszi:
—- a cipőipar erőteljesen exportorientált (a termelés kb. 50 százaléka export),
— a termelés importigényes (az alap- és segédanyagok kétharmad része, a technika jelentős része tőkés importból származik);
—az energiahordozók és a nyersanyagok árában bekövetkezett .,robbanáshoz" a nyers- bőr világpiaci árának minden eddigi mértéket felülmúló növekedése járult: marhanyersbőr—
fajták ára 1975. l. negyede és 1977. !. negyede között két—háromszorosára emelkedett, és 1977 őszén újabb, az eddigi legnagyobb mértékű drágulásí hullám kezdődött. amely 1979 _végéig tartott, majd 1980 első félévében estek, azóta újra emelkednek a marhanyersbőr- árak (valószínűsíthető, hogy a nyersbőrök ára a következő években nem túl nagy ütemben esetleges)átmenetí stagnálásokkal, kisebb visszaesésekkel, de továbbra is emelkedő tenden- ciájú lesz :
-—a divat igazodott ugyan az árváltozásokhoz, kevesebb valódi bőrt igénylő termékek jelentek meg, de a természetes bőrök iránti igények tartósnak igérkeznek, mivel a műbőrők sem árukat. sem minőségüket tekintve egyelőre nem konkurrálnak a nyersbőrökkel; a nyers- bőr helyettesítése egészségügyi szempontból sem oldódott meg mind ez ideig (más a helyzet a talpbőröknél. ahol a gumi és a különböző műanyagok —- egyes típusoknál -—- teljes értékű
pótlást nyújtanak. és felhasználásuk is elterjedt);
-— a fogyasztói igények valamennyi piacon a bőrcipők felé tolódtak el;
—— a belföldi piacon nőnek a minőségi és a választéki igények (ez fokozottan érvényes a külföldi piacokon);
—— a munkaerőhelyzet a cipőiparban sem kedvező, ami ösztönzi a gépesítést, automatizá- lást, az automaták tömegtermelése azonban nem segíti a magyar cipőipar tervezett (és egyet—
len lehetséges) fejlődési irányát. a minőségi termékek előállítását, és a divatigények növeke- dését, a gyártmány- és gyártástechnológiák felgyorsult változása is a sorozatok növekedése ellen hatnak.
Hatórmutatók
Az átlagmutatókon kívül a határmutatók is lényeges szerepet játszanak a ter- melési függvények elemzésében.
Valamely termelési tényező határtermelékenysége (marginális produktivitása) megmutatja, hogy mennyi többletkibocsátást hoz létre a felhasznált egységnyi több- lettermelési tényező. miközben a másik termelési tényező mennyisége változatlan marad. A határtermelékenység kiszámítása a kibocsátásnak a megfelelő termelési tényező szerinti elsőrendű parciális deriváltja segítségével történik. Bizonyitható.
620 DR. RÉDEY KATALIN - DR. SIPOS— BELA
hogy hatványkitevős regresszió esetén valamely termelési tényező határtermelékeny- sége a megfelelő parciális rugalmassági együttható és az átlagmutató szorzatával meghatározható. A kiválasztott cipőgyárban például az élő munka határtermelé—
kenysége a /10/ függvény alapján:
dA *
"dá—: 0.479-x2'016-xg'1189 /2o/
!
és az idősor átlagában
bl-y _1.016-1480.1gíg x; " 2605.8865
:: 0.577 , [21/
Ha évente átlagosan ezer órával növelik a cipőgyárban a munkások munka—
óráinak számát. akkor a termelés 1968-hoz képest 57,7 százalékkal emelkedik, át—
lagos gépi állóeszköz-felhasználás mellett.
Az egyik termelési tényező pótlólagos befektetésének hozamnövelő hatása. a
másik ráfordítás rögzített szintje mellett, közgazdaságilag reális feltevés. Azt jelen—
ti. hogy az állóeszközök volumenének rögzítése mellett mindig van olyan munkába
állítási lehetőség, amellyel a munkaerő egységnyi többlete még hozzájárul a ter—
melés növeléséhez. Ez a megállapítás fordítva is igaz, vagyis a munkaerő-állomány adott szintjén mindig van olyan beruházási lehetőség, amelynél az állóeszközök vo—
lumenének bővítése elősegíti a termelés volumenének növelését. Ezt például a mun- káslétszám átcsoportosításával lehet adott körülmények között megoldani.
A hatványkitevős (Cobb—Douglas) függvény jellegzetessége. hogy adott ráfor-
dításkombinációból kiindulva. folyamatosan növelve az egyik termelési tényezőt (a másik tényezőt változatlanul hagyva), annak határtermelékenysége fokozatosan csökken, de a nullát sosem éri el. Ez nem a csökkenő hozadék elve. hanem a ter-melési ráfordítások relatív szűkösségének sajátossága.
4. ábra. A beruházások munkaerő—helyettesítési határarányai
III/%i far/M' a, 1/ 5
3135 3,25 3, 75
S,05 235 2 85 275 ZS!
2,55 21115 Z,35 2,25
In? . "3, 4782' 10767 tnx. *47896'1nx,
?, 75 Z,05
7.968 7969 1.770 7.971 7972 7973 7.974 7975 7.975 7977 ' Ezer munkaórára jutó beruházás.
A munkások munkaóráinak növelése például egyre kisebb termelési többletet
eredményez. mivel a megnövekedett munkaerő-állomány mind több gépi állóeszközt
lenne képes mozgásba hozni. Ennek az a következménye, hogy a munkaórák határ- termelékenysége egyre csökken, így a gépi állóeszköz a termelés pótolhatatlan té—
nyezője lesz. Hasonlóképpen, ha a munkaerő—állománytrögzítik és a gépi állóesz- közök volumenét folyamatosan növelik, a gépi állóeszközök határtermelékenysége egyre csökken. Ennek az az oka. hogy a munkaerő szűk keresztmetszetté válik, egyre kevésbé elég a gépek és berendezések működtetéséhez. így mindinkább a termelés lényeges tényezője lesz.
A helyettesítési határarány azt mutatja, hogy a termelési ráfordítások mennyire képesek helyettesíteni egymást. A helyettesítési határarányt meghatározhatjuk a ha- tártermelékenységek hányadosával. (Lásd a 4. ábrát.)
A változások 1972-ig kedvező alakulása, az erőteljes hullámzások szükségessé teszik a vállalati beruházások műszaki—gazdasági összetételének részletesebb elem-
zését (26).
ELÖREJELZÉSEK TERMELÉSI FUGGVÉNYEK FELHASZNÁLÁSÁVAL
A cipőipari vállalatra vonatkozóan a következő függvényekkel végeztünk előre—
jelzést:
- .,optimálís" lineáris becslőfüggvény /5/.
— Kendall-féle módszerrel meghatározott függvény /9/,
— ,,optimális" hatványkitevős regressziós függvény /10/,
—— időtényezőt is tartalmazó ,,optimális" hatványkitevős regressziós függvény /11/.
A termelési függvényekkel végzett előrejelzések ex post ellenőrzésnek vethetők alá, mivel az 1978—1980. évekre tényadatokkal rendelkezünk.
11. tábla
Ex post előrejelzés
T l 0 ! Optimális" ldőtényezőt is
' ,. ti á l " , " , t t '
Év tén'íiÉSeÉZn ífne'ligis * ngggjggí'e h,;gggg- 123335?
, (ezer par) fuggveny reg resszíó regtílslgzsió
1978 1682 1609 1656 1602 1732
(434) (1 .54) (4.75) (-—2.97)
1979 1600 1668 1579 1606 1726
(—4.25) (1 .31) (—0.37) (—7,87)
1980 1590 1661 1542 1578 1697
(41.46) (3.01) (075) (—6,72)
1981 — 1634 1501 1536 1656
1982 — 1622 1463 1512 1633
Megjegyzés. A zárójelben az elkövetett hiba értéke szerepel (százalékban).
A 11. táblában az 1978—1980-as évekre vonatkozó előrejelzéseknél a tényleges ráfordítási értékeket helyettesítettük be az egyes termelési függvényekbe. Az 1981.
és 1982. évekre a tényezőváltozókra vonatkozó előrejelzett értékekkel számoltunk.
A három évre elvégzett ex post ellenőrzés alapján azt állapíthatjuk meg. hogy a legjobb előrejelzést az ,,optimális" hatványkitevős regressziós függvénnyel értük el.
A tényezőváltozókra vonatkozó tényleges (1978—1980. évi) és extrapolált (1981 és
1982. évi) értékeket, amelyek számításaink alapjául szolgáltak, a 12. tábla tartal-mazza.
622 DR. RÉDEY KATALIN — DR. SIPOS BELA
A munkások által teljesített munkaórák száma csökkenő tendenciát mutat. és mivel az élő munka parciális rugalmassági együtthatója több mint ötszöröse a holt munkáénak (hatványkitevős regresszió esetén). a termelés is csökkenő lesz. Ebben szerepet játszik a fajlagos munkaigényesség emelkedése is, amit az előzőkben rész- letesen indokoltunk. Az ötödik és a hatodik ötéves tervben megvalósuló jelentős be—
ruházások miatt az állóeszközök értéke 1977 és 1982 között mintegy 1.6-szeresére fog emelkedni. Az anyagfelhasználás lassú ütemben nő.
_ 12. tábla
A tényezőváltozók tényleges és expirapolált értéke az ex ante időszakban
(Index: 1977. év : 100)
A gépek ,
Teljesített . . ., M'"?— Anyagfel—
s - , A t b ttó u . .
Év az; 573 ; "a; magas
értéke
1978 . . . 11. 96.02 102,87 143,62 136,36 10122
1979 . . . 12. 89.57 151,72 151.42 151.51 10352
1980 . . . 13. 86.88 162,ó4 15428 154.54 105.10
1981 . . . 14. 84.12 16724 157,14 160.60 11021
1982 . . . 15. 82.40 172.41 160,00 160.60 112.23
Az 1978. és 1979. évi tényadatokkal kiegészítettük az adatbázist, és ennek alap- ján meghatároztuk az ..optimális" hatványkitevős regressziós függvényt /10/, tehát alkalmaztuk a Kádas Kálmán által javasolt szekvenciális prognóziskészités módsze-
rét (9). Ennek alapján a becslőfüggvény:
?: o,4os-xi'036x-x3'1189 /22/
A parciális rugalmassági együtthatók (: /10/ függvényhez képest lényegesen nem változtak.
A termelési függvény számítási eredményeinek pontossága
A termelési függvény számítási eredményeinek pontosságát a következő muta- tókkal mérhetjük:
- reziduális szórás.
-— standard hibák.
— konfidencia intervallumok.
A pontosság mérésére kidolgozott mutatókat többváltozós lineáris regresszros modellekre dolgozták ki, ezért most az általunk specifikált ,,optimális regressziós egyenes" /5/ példáján mutatjuk be a számítások eredményeit.
A reziduális szórás: % : 38.69 (38 690 pár).
A standard hibák meghatározásához az inverzmatrix diagonális elemeit hasz- náltuk fel.
