Automatikus tételbizonyítás
előadások
Várterész Magda
Kádek Tamás
Automatikus tételbizonyítás: előadások
Várterész Magda Kádek Tamás
Table of Contents
1. Előszó ... 1
2. Bevezetés ... 2
1. Az elsőrendű nyelv szintaxisa ... 2
2. Az elsőrendű nyelv klasszikus szemantikája ... 13
3. Logikai kalkulusok ... 22
3. Helyettesítések ... 25
1. Változók helyettesítése termekkel ... 25
2. Illesztő helyettesítés ... 35
3. Feladatok ... 46
4. Normálformák ... 48
1. Konjunktív és diszjunktív normálformák ... 48
2. Prenex alakú formulák ... 50
3. Skolem-normálforma ... 53
4. Elsőrendű klózok ... 58
5. Feladatok ... 59
5. Frege stílusú kalkulus ... 61
1. A predikátumkalkulus ... 61
2. Feladatok ... 69
6. Gentzen kalkulusai ... 70
1. A természetes levezetés ... 70
2. A szekventkalkulus ... 81
3. Feladatok ... 94
7. A rezolúciós kalkulus ... 96
1. A Herbrand-univerzum és az elsőrendű klózhalmazok ... 96
2. Az alaprezolúció ... 111
3. Az elsőrendű rezolúció ... 119
4. Rezolúciós levezetési stratégiák ... 137
4.1. 1. A teljes szintek módszere ... 137
4.2. 2. A törlési stratégia ... 138
4.2.1. Befoglalási algoritmus ... 139
5. Feladatok ... 142
Hivatkozások ... 144
List of Tables
3.1. ... 33
4.1. asszociativitás ... 48
4.2. kommutativitás ... 48
4.3. disztributivitás ... 48
4.4. idempotencia ... 48
4.5. elimináció (elnyelés) ... 48
4.6. De Morgan törvényei ... 49
4.7. kiszámítási törvények ... 49
4.8. logikai jelek közötti összefüggések ... 49
4.9. kétszeres tagadás ... 49
4.10. negáció az implikációban ... 49
4.11. kvantoros De Morgan-törvények ... 51
4.12. kvantorok egyoldali kiemelése, ... 51
4.13. kvantorok kétoldali kiemelése ... 51
4.14. kvantorhatáskör-átjelölés, ... 51
7.1. ... 97
7.2. ... 98
7.3. ... 100
7.4. ... 104
7.5. ... 104
7.6. ... 104
7.7. ... 112
7.8. ... 116
7.9. ... 123
7.10. ... 123
7.11. ... 134
7.12. ... 135
7.13. ... 136
7.14. ... 137
Chapter 1. Előszó
Informatikus hallgatók számára megkerülhetetlen a matematikai logika tanulmányozása. A felsőoktatási intézmények tantervei tartalmazzák is a logika informatikában fontos fejezeteinek oktatását. A Debreceni Egyetem Informatikai Karán már az alapképzés során tanítjuk (a logika nyelvészeti tárgyalásmódja keretei között) a logikai nyelvek szintaxisát, klasszikus szemantikáját. Mesterképzésben pedig sort kerítünk a logikai kalkulusok és a logikai programozás alapjainak megtanítására.
Logika könyvek és tankönyvek sora segíti a tanulást, mégsincs könnyű dolga a hallgatónak. A tanulási folyamat során (tapasztalataink szerint) zavarja a hallgatót a különböző könyvek szóhasználatában és jelölésrendszerében való lényeges eltérés és a példák hiánya.
Jelen munkában a logikai kalkulusokról a mesterképzésben elsajátítandó ismereteket foglaltuk össze. A tananyag a DE IK programtervező informatikus hallgatóinak képzése során szerzett tapasztalatokat felhasználva alakult ki. A gyökerek Dragálin Albert professzor (1941-1998) matematikai logikából és mesterséges intelligenciából az 1990-es években tartott debreceni előadásaiból indulnak. Felhasználtuk Pásztorné Varga Katalin (ELTE, egyetemi docens) 1998 és 2010 között Debrecenben tartott előadásait és a 2003-ban a jelen tankönyvírók egyikével írt monográfiáját. A példák és feladatok egy része a szerzőknek Robu Judittal (Babes- Bolyai Egyetem, egyetemi docens) 2010-ben írt feladatgyűjteményéből való. Természetesen felhasználtunk más, az irodalomban felsorolt forrást is.
Az olvasótól elvárjuk az alapképzés során elsajátított logikai tananyag ismeretét, a logikai nyelvek szintaxisával és klasszikus szemantikájával kapcsolatos fontos fogalmak és tételek tudását. Témánkat tanulmányozhatja kizárólag ebből az anyagból, ugyanakkor erősen ajánljuk előadások látogatását, vagy az irodalomban felsorolt könyvek forgatását.
Észrevételeiket szívesen vesszük a varteresz.magda@inf.unideb.hu címen.
Debrecen, 2014. március 15.
A tananyag összeállítói
Chapter 2. Bevezetés
Jelen tananyag olvasójáról feltesszük, hogy az elsőrendű logikai nyelv szintaxisával és klasszikus szemantikájával kapcsolatos alapvető fogalmakat és fontos tételeket ismeri. A könyvben használt fogalom- megnevezések és jelölések tisztázására röviden mégis sort kerítünk. A bevezető fejezet elolvasása egyúttal segíti a korábban tanult és jelen tankönyvben szükséges logikai ismeretek felidézését is. Logikai alapozó kurzusokon gyakran a többfajtájú elsőrendű logikai nyelv kerül bevezetésre. A logikai kalkulusokat ugyanakkor most egyfajtájú nyelv segítségével tárgyaljuk, így a bevezetésben sem esik szó a többfajtájú nyelvekről.
1. Az elsőrendű nyelv szintaxisa
Egy (egyfajtájú) elsőrendű logikai nyelv ábécéje először is tartalmaz ún. logikán kívüli betűket: ezeket a
(2.1)
három halmazból álló rendszerrel adjuk meg.
•
a nyelv konstansszimbólumainak halmaza.
• Az
halmaz elemei függvényszimbólumok . Minden
-hez tartozik egy
természetes szám, az
függvényszimbólum aritása.
• A
halmaz elemei predikátumszimbólumok . Minden
-hez rendelünk egy
természetes számot, a
predikátumszimbólum aritását. A
aritású predikátumszimbólumot propozicionális szimbólumnak (állítás szimbólumnak) is szoktuk nevezni.
Egy elsőrendű logikai nyelvben megszámlálhatóan végtelen sok (individuum)változó áll rendelkezésünkre:
(ezekre gyakran az
betűkkel hivatkozunk). Az ábécé tartalmaz még logikai jeleket: a
negáció ,
konjunkció ,
diszjunkció ,
implikáció összekötő jeleket és az
univerzális és
egzisztenciális kvantorokat . (A továbbiakban jelölje
mindig a
és a
logikai összekötő jelek valamelyikét,
pedig valamelyik kvantort.) Használhatjuk még a
zárójeleket és a vesszőt.
A
ábécé feletti elsőrendű logikai nyelv termek és formulák ( logikai kifejezések ) halmaza. A nyelv termjeinek halmaza az a legszűkebb
halmaz, melynek
• minden konstansszimbólum (
elemei) és változó eleme, és
• ha
egy
aritású függvényszimbólum és
elemei
-nek (azaz termek), akkor az
szó is eleme
-nek (term).
A nyelv formuláinak halmaza az a legszűkebb
halmaz, melynek
• minden
alakú szó eleme (azaz formula, ún. atomi formula ), ha
egy
aritású predikátumszimbólum és
rendre termek (elemei
-nek), továbbá
• ha
és
elemei
-nek (formulák) és
változó, akkor az
alakú szavak szintén elemei
-nek (formulák).
Egy elsőrendű logikai nyelvben egyetlen konstansnak és változónak sincs közvetlen résztermje , az
term közvetlen résztermjei pedig a
termek. Egy atomi formulának nincs közvetlen részformulája ,
egyetlen közvetlen részformulája
,
bal oldali közvetlen részformulája
, jobb oldali közvetlen részformulája
,
közvetlen részformulája
. (
-ban a
-re kvantoros előtagként hivatkozunk, és azt mondjuk, hogy ebben az előtagban a kvantor az
változót nevezi meg.) Egy
term résztermjeinek halmaza a legszűkebb olyan halmaz, melynek
eleme, és ha egy term eleme, akkor eleme a term összes közvetlen résztermje is. Egy
formula részformuláinak halmaza az a legszűkebb halmaz, melynek
eleme, és ha egy formula eleme, akkor eleme a formula összes közvetlen részformulája is.
Konstansszimbólum és változó szerkezeti fája egyetlen, a szimbólumot tartalmazó csúcsból áll. Ez a csúcs a fa gyökere.
szerkezeti fájának gyökere
, a gyökér
darab gyermeke rendre
szerkezeti fáinak gyökerei. Atomi formula szerkezeti fája egyetlen ezt a formulát tartalmazó csúcsból áll, ami a fa gyökere.
szerkezeti fájának gyökere
, a gyökér egyetlen gyermeke az
szerkezeti fájának gyökere.
szerkezeti fájának gyökere
, a gyökér bal oldali gyermeke az
, jobb oldali gyermeke a
szerkezeti fájának gyökere.
szerkezeti fájának gyökere
, a gyökér egyetlen gyermeke az
szerkezeti fájának gyökere.
Legyenek az
és az
függvények a következők:
(2.2)
(2.3)
funkcionális összetettsége ,
logikai összetettsége .
Egy formulában egy logikai jel hatásköre a formulának azon részformulái közül a legkisebb logikai összetettségű, amelyekben az adott logikai jel is előfordul. Egy formula fő logikai jele az a logikai jel, melynek hatásköre maga a formula.
A formulák leírásakor használhatunk rövidítéseket. Például ha néhány formulából újabbat ugyanolyan módon gyakran készítünk, a szerkesztés módjára új (összekötő) jelet vezethetünk be. A külső zárójeleket elhagyhatjuk.
A logikai összekötő jelekhez, a kvantorokhoz és a bevezetett jelekhez erősorrendet rendelhetünk. Ennek megfelelően, a jelek értelmezését a formulában az alábbi – az erősebbtől a gyengébb felé haladó – sorrendnek megfelelően végezzük el: 1. kvantorok (
,
), 2. negáció (
), 3. konjunkció (
) és diszjunkció (
), 4. implikáció (
), 5. bevezetett jelek.
Egy formulában egy változónak kétféle előfordulását különböztetjük meg. Az
változó egy adott előfordulása az
formulában kötött , ha egy, az
-et megnevező kvantor hatáskörében van. Az
változó előfordulása szabad , ha nem kötött. Egy kvantor a kvantoros előtagban megnevezett és a hatásköre közvetlen részformulájában ennek a változónak a még szabad előfordulásait tesz kötötté (köti). Egy változó- előfordulás kötöttségének meghatározása:
• Egy atomi formulában minden változó-előfordulás szabad.
• Az
formulában egy változó-előfordulás pontosan akkor kötött, ha ez az előfordulás vagy
-ban van és már
-ban kötött, vagy
-ben van és már
-ben kötött.
• A
formulában egy változó-előfordulás pontosan akkor kötött, ha ez az előfordulás már
-ban kötött.
• A
formulában
minden előfordulása kötött. Ha
egy előfordulása
-ban még szabad volt, akkor ezt az előfordulást a
formulában a
kvantor köti. Egy, az
-től különböző változó valamely előfordulása
-ban pontosan akkor kötött, ha már
-ban is kötött volt.
Egy változót a formula paraméterének nevezünk, ha van a formulában szabad előfordulása. Egy
formula paramétereinek a halmazára
-val hivatkozunk.
A
formulában a
kvantor által kötött
változó átnevezéséről beszélünk, amikor a
kvantoros előtagban
helyett egy másik, mondjuk
változót nevezünk meg, majd
-ban az
változó minden szabad előfordulását
-ra cseréljük ki (a kapott formulát jelöljük
-nal), és így a
formulát kapjuk. A
formulából szabályosan végrehajtott kötött változó átnevezéssel kapjuk a
formulát, ha
-ban az
nem paraméter, és az
változó egyetlen
által kötött előfordulása sem tartozik egyetlen
-t kötő kvantor hatáskörébe sem.
Az
formula az
formula variánsa (vagy
és
egymással kongruens formulák ) ha egymástól csak kötött változók szabályosan végrehajtott átnevezésében különböznek. Jelölése:
. Annak eldöntése, hogy két formula egymás variánsa-e:
• Egy atomi formula csak önmagával kongruens.
•
pontosan akkor, ha
és
.
•
pontosan akkor, ha
.
•
pontosan akkor, ha minden
-re, mely különbözik
és
összes (kötött és szabad) változójától,
.
2. Az elsőrendű nyelv klasszikus szemantikája
Egy
ábécé feletti elsőrendű logikai nyelv
interpretációját ( modelljét vagy algebrai struktúráját ) olyan
(2.4)
négyes határozza meg, melyben
• az
individuumok (objektumok) nem üres halmaza (univerzuma),
• a
függvény minden
konstansszimbólumhoz egy
individuumot rendel,
• az
függvény minden
aritású függvényszimbólumhoz olyan
függvényt rendel, melynek értelmezési tartománya
, és értékeit
-ból veszi fel, azaz
• a
függvény pedig olyan, hogy ha a
predikátumszimbólum aritása
és
, akkor
predikátum (
vagy
értéket felvevő, ún. logikai értékű függvény). Ha
propozicionális szimbólum, akkor
vagy
, vagy
.
Legyen az elsőrendű nyelv univerzuma
. Bővítsük ki a nyelvet az univerzum objektumait jelölő új konstansszimbólumokkal:
(2.5)
ahol
-t a
halmazból úgy kapjuk, hogy minden
objektumhoz rendelünk egy új – általunk
-val jelölt – konstansszimbólumot.
Egy olyan
(2.6)
függvényt, amely az elsőrendű nyelv véges sok változójához
-beli új szimbólumot rendel,
-értékelő helyettesítésnek nevezünk.
a
logikai kifejezés értékelése , ha
. Ha
a
logikai kifejezés értékelése, akkor a
kifejezést úgy nyerjük, hogy
-ban a paraméterek minden szabad előfordulását a
által hozzájuk rendelt új konstansszimbólumokkal helyettesítjük. A kibővített nyelv paramétermentes ( zárt ) logikai kifejezéseit értékelt kifejezéseknek nevezzük.
Legyen
a nyelv egy interpretációja. Egy értékelt term értéke
-ben az alábbi – rekurzív definícióval megadott –
-beli objektum. (Egy
term
-beli értékét
-mel fogjuk jelölni.)
• Ha
és
, akkor
.
• Ha
az
-hoz rendelt új
szimbólum, akkor
.
• Ha
egy értékelt term, ahol a
termek értékei
-ben rendre
, és
, akkor
(2.7)
Egy
értékelt formula értéke
-ben (jelölése:
) a következő, rekurzív definícióval megadott érték:
• Ha
egy értékelt atomi formula, ahol a
termek értékei
-ben rendre
, és
, akkor
(2.8)
• Ha
és
értékei rendre
és
, akkor
pontosan akkor, ha
és
;
pontosan akkor, ha
vagy
;
pontosan akkor, ha
vagy
. Egyébként
.
• Ha
értéke
, akkor
pontosan akkor, ha
, egyébként
.
•
• A
értékelt formula igaz az
interpretációban, ha
, egyébként a
formula hamis
-ben.
Egy elsőrendű nyelv egy
formulája kielégíthető , ha van a nyelvnek olyan interpretációja és
-nak olyan
értékelése, amely mellett
igaz, egyébként
kielégíthetetlen (vagy logikai ellentmondás ). Egy elsőrendű nyelv egy
formulája logikai törvény , ha a nyelv bármely interpretációjában és
bármely
igaz. Jelölése:
. Az
és
elsőrendű formulák logikailag ekvivalensek , ha a nyelv minden
interpretációjában és a formulák minden közös
értékelése mellett
és
azonos igazságértékű. Jelölése:
. Legyen
elsőrendű formulák (premisszák) egy halmaza és
egy elsőrendű formula (konklúzió). Azt mondjuk, hogy
következménye a
-beli formuláknak, ha a nyelv minden olyan interpretációjában és a
-beli és a
formulák tetszőleges olyan közös
értékelése esetén, mely mellett a
-beli formulák mind igazak, ott
is igaz. Jelölése:
Elsőrendű formulák egy
halmaza kielégíthető , ha van olyan interpretáció és a
-beli formuláknak olyan közös értékelése, mely mellett minden
-beli formula épp igaz, egyébként a
formulahalmaz kielégíthetetlen .
3. Logikai kalkulusok
A logika fő feladata a következtetések helyességének vizsgálata és helyes következtetési szabályok megalkotása. Az előző szakaszban fel is idéztük a következményrelációnak a klasszikus elsőrendű logika szemantikai alapfogalmaira támaszkodó definícióját. Ugyanakkor ez a definíció nem ad gyakorlati útmutatást arra vonatkozóan, hogyan ellenőrizhetjük egy következtetés helyességét. Jelen tananyagban több olyan mechanikus, csak a logikai nyelv szintaxisát használó szabályrendszerrel ismerkedünk meg, melyek gépiesen alkalmazhatók a következményreláció vizsgálatára.
Leibniz már a XVIII. század elején remélte, hogy a tudósok hosszas viták helyett hamarosan ki fogják tudni számolni, kinek van igaza. Az elképzelés megvalósítása felé az első lépések mégis csak a XIX. század végén indultak. Frege ekkor dolgozott ki egy tisztán szintaktikai felépítésű logikai rendszert, egy logikai kalkulust . Egy logikai kalkulus a logikai nyelv megadása mellett a ,,szintaktikai következményreláció'', a levezethetőség definícióját tartalmazza. Ehhez első lépésben megadjuk a kalkulus alapformuláit és levezetési szabályait . A második lépés a levezethetőség fogalmának kialakítása. Egy
formulahalmazból levezethető a
formula (jelölése:
)
• ha
alapformula, vagy
,
• illetve ha van olyan levezetési szabály, mely
-t előállítja, és az(ok) a formula(ák), amely(ek)ből ez a levezetési szabály
-t előállítja, az(ok)
-ból levezethető(ek).
A levezethetőségi relációt tehát az alapformulák és a levezetési szabályok segítségével definiáljuk. Tehát ha változtatunk az alapformulákon vagy a levezetési szabályokon, más lesz a levezethetőségi reláció is. Sokféle logikai kalkulust felépíthetünk. Két kalkulust akkor tekintünk ekvivalensnek , ha azonos logikai nyelvhez kötődnek, és pontosan akkor lesz
az egyikben, amikor a másikban is.
Egy elsőrendű logikai nyelv klasszikus szemantikájában definiált következményreláció és a nyelvre épülő valamely logikai kalkulus levezethetőségi relációja között szoros kapcsolatot várunk el. Azt mondjuk, hogy a logikai kalkulus helyes , ha
esetén mindig
. A logikai kalkulus pedig teljes , ha
esetén mindig
. Egy kalkulus adekvát , ha helyes is, teljes is.
Egy logikai rendszer megalkotásakor gyakran először egy szemantikai rendszert definiálunk, majd megkísérlünk ehhez legalább helyes, de ha lehet, adekvát logikai kalkulust szerkeszteni.
Chapter 3. Helyettesítések
1. Változók helyettesítése termekkel
Definíció Egy olyan függvényt, amely az elsőrendű nyelv véges sok változóján van értelmezve, és minden változóhoz termet rendel, termhelyettesítésnek nevezünk. Üres a termhelyettesítés, ha az értelmezési tartománya üres (jele:
).
Ha a
termhelyettesítés értelmezési tartománya
és
minden
-ra
,
-t megadhatjuk a
(3.1)
táblázattal vagy a
felsorolással.
jelölje azt a termhelyettesítést, melyre
és minden
esetén
. Vezessük be továbbá a
jelölést a
kifejezés szerkezetétől és a
termhelyettesítéstől függő logikai kifejezésre:
1. ha
, akkor
, 2. ha
változó, akkor
,
3.
,
4.
,
5.
,
6.
,
7.
.
Vegyük észre, hogy az értékelő helyettesítések is termhelyettesítések, és ha
a
kifejezés értékelése, a
kifejezés éppen a
-beli paraméterek szabad előfordulásainak a
-val hozzájuk rendelt konstansszimbólumokkal való helyettesítésnek eredményeképpen kapott értékelt kifejezés.
Ugyanakkor nem minden
kifejezés és
termhelyettesítés esetén lesz alkalmas
a logika céljai számára. Hogy csak ezekkel a
kifejezésekkel foglalkozhassunk, vezessünk be néhány fogalmat. A
termhelyettesítés megengedett a
kifejezés számára, ha minden
esetén
minden
-beli szabad előfordulása kívül esik a
term valamennyi változóját megnevező kvantor hatáskörén.
Definíció
megengedettsége
számára
szerkezete szerint:
1. Termek és atomi formulák számára minden termhelyettesítés megengedett.
2.
számára egy termhelyettesítés megengedett, ha megengedett
számára.
3.
számára egy termhelyettesítés megengedett, ha megengedett
és
számára is.
4.
számára egy
termhelyettesítés megengedett, ha a. egyetlen
változó esetén sem fordul elő
a
termben,
b.
pedig megengedett
számára.
Példa A
formula számára az
(3.2)
termhelyettesítés megengedett, az
(3.3)
termhelyettesítés pedig nem megengedett, mert a helyettesítendő szabad előfordulású
az
-et kötő
hatáskörében van, és a helyére beírandó
termben is előfordul az
változó.
Legyen
egy kifejezés és
egy termhelyettesítés. Konstruáljunk meg egy
-val kongruens olyan
formulát, amely számára
megengedett. Ekkor a
kifejezés a
termhelyettesítés
-ban való szabályos végrehajtásának eredménye. Jelölése:
.
Definíció
meghatározása
szerkezete szerint:
1. Ha
term vagy atomi formula, akkor
.
3.
4.
a. Ha egyetlen
változó esetén sem fordul elő a
termben
, akkor
.
b. Ha van olyan
változó, hogy
paraméter
-ben, akkor válasszunk egy új változót – például
-t –, mely nem fordul elő sem
-ban, sem
termjeiben, és
(3.4)
Példa A
formulában az
(3.5)
termhelyettesítés szabályos végrehajtásának eredménye a
(3.6)
formula.
Definíció Legyenek
(3.7)
egy nyelv termhelyettesítései.
és
kompozícióján a
(3.8)
termhelyettesítést értjük, ahol
(3.9)
Példa Legyenek
(3.10)
termhelyettesítések. Ekkor
(3.11)
és
(3.12)
A példa mutatja, hogy a kompozíció művelete egy nyelv termhelyettesítéseinek halmazán nem kommutatív.
Tétel Egy elsőrendű logikai nyelv tetszőleges
,
és
termhelyettesítései esetén
Table 3.1.
(1) (a kompozíció asszociatív)
(2)
(
neutrális elem)
Azaz a kompozíció műveletével a termhelyettesítések halmaza neutrális elemmel rendelkező félcsoport.
Lemma Legyenek
és
egy nyelv termhelyettesítései. Ekkor tetszőleges
logikai kifejezés esetén
(3.13)
Definíció Legyenek
és
termhelyettesítések. Az
helyettesítés általánosabb a
-nál, ha van olyan
termhelyettesítés, hogy
.
Példa Az
(3.14)
helyettesítések esetén
általánosabb a
helyettesítésnél, mert
, ahol
(3.15)
2. Illesztő helyettesítés
Definíció Legyen
és
két azonos predikátumszimbólummal kezdődő atomi formula. Az olyan
termhelyettesítést, amelyre
(3.16)
-t és
-t egymáshoz illesztő helyettesítésnek nevezzük.
az
és
atomok legáltalánosabb illesztő helyettesítése , ha
és
minden illesztő helyettesítésénél általánosabb.
Példa A
és a
atomoknak egy illesztő helyettesítése:
(3.17)
legáltalánosabb illesztő helyettesítése:
(3.18)
Az illesztő helyettesítés fogalmát kiterjeszthetjük:
legyen az azonos predikátumszimbólummal kezdődő
(
) atomi formulák halmaza.
illesztő helyettesítése
minden atompárját illeszti egymáshoz.
Definíció Vizsgáljuk
elemeit párhuzamosan, szimbólumonként balról jobbra haladva. Álljunk meg annál az első szimbólumnál, amelyik nem minden atomban egyezik meg. Az ezen a pozíción kezdődő résztermek
halmazát
különbségi halmazának nevezzük.
Példa Legyen
(3.19)
különbségi halmaza
(3.20)
Robinson algoritmusa véges sok lépésben meghatározza
legáltalánosabb illesztő helyettesítését, ha van ilyen, illetve jelzi, ha nem illeszthetők egymáshoz
atomjai.
1.
,
,
. 2. Ha
egyetlen atomot tartalmaz, akkor sikeresen vége:
a
legáltalánosabb illesztő helyettesítése. Egyébként határozzuk meg
különbségi halmazát:
-t.
3. Ha van
-ban olyan
változó és
term, hogy
nem fordul elő
-ban, akkor a 4. lépéssel folytatjuk. Egyébként
atomjai nem illeszthetők egymáshoz. Vége.
4.
,
. (Megjegyezzük, hogy
.)
5.
, és a 2. lépéssel folytatjuk.
Példa Döntsük el az illesztő algoritmussal, hogy illeszthetők-e a
(3.21)
halmaz atomi formulái egymáshoz.
1.
,
.
2.
.
3.
egy változó,
egy, a
-t nem tartalmazó term.
4.
.
(3.22)
5.
6.
egy változó,
egy, az
-et nem tartalmazó term.
7.
.
(3.23)
8.
. 9.
egy változó,
egy, az
-t nem tartalmazó term.
10.
.
(3.24)
11.
-ban egyetlen atom van, így
a legáltalánosabb illesztő helyettesítés
-re.
Példa Vizsgáljuk meg, hogy illeszthetők-e egymáshoz a
(3.25)
halmaz atomi formulái.
1.
,
.
2.
.
egy változó,
egy, az
-t nem tartalmazó term.
4.
.
(3.26)
5.
. 6. A
-ben nincs változó, ezért az algoritmus azzal az eredménnyel fejeződik be, hogy
atomjai nem illeszthetők.
Az illesztő helyettesítés fogalmát másképp is általánosíthatjuk:
legyen az
(3.27)
páronként azonos predikátumszimbólummal kezdődő atomi formulák halmaza. Keressük a minden pár atomjait egymáshoz illesztő helyettesítést. Képezzük a
-beli párok atomjaiból a
(3.28)
formális egyenlőséghalmazt. A formális egyenlőséghalmazba bizonyos szabályok alapján bekerülhetnek termek formális egyenlőségei, illetve ki is kerülhetnek a halmazból formális egyenlőségek. Egy csupa változó - term párokból álló
(3.29)
formális egyenlőséghalmaz kiszámított alakú , ha
, amikor
, és
(
). Az előbbi kiszámított alakú formális egyenlőséghalmaz által meghatározott termhelyettesítés
(3.30)
Herbrand algoritmusa véges sok lépésben meghatározza
legáltalánosabb illesztő helyettesítését, ha van ilyen, illetve jelzi, ha nem illeszthetők egymáshoz
párjainak atomjai.
1.
,
. 2. Ha
kiszámított alakú, akkor sikeresen vége: az általa meghatározott helyettesítés
legáltalánosabb illesztő helyettesítése. Egyébként válasszunk ki egy
formális egyenlőséget
-ból.
3.
. 4. Ha
alakja
• , ahol
változó, vagy
, ahol
konstansszimbólum, akkor tovább az 5. lépésre.
• , ahol
változó,
összetett term,
.
• , ahol
konstansszimbólumok, akkor
atomjai nem illesztők egymáshoz. Vége.
• , ahol
függvényszimbólumok, akkor
atomjai nem illesztők egymáshoz. Vége.
• , ahol
függvényszimbólum, vagy
, ahol
predikátumszimbólum, akkor
.
• , ahol
, akkor
atomjai nem illesztők egymáshoz. Vége.
• , ahol
, akkor
formális egyenlőségeiben elvégezzük az
helyettesítést, majd
.
5.
, és a 2. lépéssel folytatjuk.
Példa Döntsük el Herbrand algoritmusával, hogy illeszthetők-e a
(3.31)
halmaz atomi formulái egymáshoz.
(3.32)
Kiszámított alakú formális egyenlőséghalmazt kaptunk, így a legáltalánosabb illesztő helyettesítés
-re:
.
Példa Döntsük el Herbrand algoritmusával, hogy illeszthetők-e a
(3.33)
halmaz atomi formulái egymáshoz.
(3.34)
3. Feladatok
1. Határozzuk meg, hogy mely helyettesítések megengedettek a következő formula számára, majd végezzük el a szabályos helyettesítést.
(3.35)
(3.36)
2. Bizonyítsuk be, hogy
• ha a
kifejezésben nincs
-beli változókat megnevező kvantor, akkor
megengedett
számára.
• ha a
helyettesítő termekben nincs változó, akkor
megengedett minden kifejezés számára.
3. Határozzuk meg az alábbi termhelyettesítések kompozícióját.
a.
és
b.
és
4. Döntsük el Robinson és Herbrand algoritmusaival, hogy illeszthetők-e a következő halmazok atomi formulái egymáshoz.
•
•
•
•
•
•
5. Határozzuk meg, hogy amikor a Robinson-algoritmus véget ér, milyen összetettségűek lesznek a
(3.37)
halmaz egymáshoz illesztett atomjaiban a termek.
6. Írjunk programot, amely Herbrand vagy Robinson algoritmusát alkalmazva megkeresi egy atomhalmaz legáltalánosabb illesztő helyettesítését.
Chapter 4. Normálformák
1. Konjunktív és diszjunktív normálformák
Definíció Az atomi formulákat és a negáltjaikat literáloknak nevezzük. Elemi konjunkciónak tekintünk minden literált, továbbá egy elemi konjunkció és egy literál konjunkcióját. Elemi diszjunkciók szintén a literálok, továbbá egy elemi diszjunkció és egy literál diszjunkciója. A konjunktív normálformájú formula egy elemi diszjunkció, vagy egy konjunktív normálforma és egy elemi diszjunkció konjunkciója, a diszjunktív normálformájú formula egy elemi konjunkció, vagy egy diszjunktív normálforma és egy elemi konjunkció diszjunkciója.
Tétel Az elsőrendű logikai nyelv minden kvantormentes formulájához konstruálható vele logikailag ekvivalens konjunktív és diszjunktív normálformájú formula.
Definíció Egy formulával ekvivalens konjunktív normálformájú formulát a formula konjunktív normálformájának , a vele ekvivalens diszjunktív normálformájú formulát a formula diszjunktív normálformájának nevezzzük.
A normálformára hozás lépései:
1. A logikai jelek közötti összefüggések alapján a formulába minden implikációs részformula helyett vele ekvivalens diszjunkciót írunk.
2. De Morgan törvényeivel elérjük, hogy negáció csak atomi formulákra vonatkozzon.
3. A disztributivitást felhasználva addig alakítjuk a formulát, hogy a konjunkciók és diszjunkciók megfelelő sorrendben kövessék egymást.
4. Végül esetleg egyszerűsítünk.
Felhasználható ekvivalenciák:
Table 4.1. asszociativitás
Table 4.2. kommutativitás
Table 4.3. disztributivitás
Table 4.4. idempotencia
Table 4.5. elimináció (elnyelés)
Table 4.6. De Morgan törvényei
Table 4.7. kiszámítási törvények
(
)
Table 4.8. logikai jelek közötti összefüggések
Table 4.9. kétszeres tagadás
Table 4.10. negáció az implikációban
Példa Hozzuk a
(4.1)
formulát normálformára.
1. Eltávolítjuk az implikációkat:
(4.2)
2. Elérjük, hogy negáció csak atomokra vonatkozzon:
(4.3)
3. Felhasználjuk a disztributivitást; az eredmény konjunktív normálforma:
(4.4)
4. Egyszerűsítünk:
(4.5)
5. Tovább egyszerűsítünk; az eredmény egyszerre konjunktív és diszjunktív normálforma:
(4.6)
2. Prenex alakú formulák
Definíció Egy
alakú formulát, ahol a
kvantormentes formula, prenex alakú formulának nevezünk.
a prenex alakú formula magja . Példa A
, a
és a
formulák prenexformulák, viszont a
formula nem prenexformula.
Tétel Egy elsőrendű logikai nyelv tetszőleges formulájához konstruálható vele logikailag ekvivalens prenex alakú formula.
Definíció Egy formulával ekvivalens prenex alakú formula a formula prenex alakja.
A prenex alakra hozás lépései:
1. A formulában a kötött változók szabályos átnevezésével elérjük, hogy a kötött változók nevei különbözzenek a formula paramétereitől, és bármely két különböző kvantor más-más változót nevezzen meg a kvantoros előtagban. Az így nyert, az eredeteivel kongruens, így az eredetivel ekvivalens formulát az eredeti változóiban tiszta alakjának nevezzük.
2. Alkalmazzuk De Morgan kvantoros törvényeit és a kvantorkiemelésre vonatkozó logikai törvényeket, amíg a formulánk prenex alakú nem lesz.
Felhasználható ekvivalenciák:
Table 4.11. kvantoros De Morgan-törvények
Table 4.12. kvantorok egyoldali kiemelése,
Table 4.13. kvantorok kétoldali kiemelése
Table 4.14. kvantorhatáskör-átjelölés,
Példa Hozzuk a
(4.7)
formulát prenexalakra.
1. Változóiban tiszta alakra hozás:
(4.8)
2. De Morgan törvényeinek alkalmazása:
(4.9)
3. Kvantorkiemelés:
(4.10)
4. Kvantorkiemelés:
(4.11)
Ha a magot normálformára akarjuk hozni, akkor célszerű előbb eltüntetni az implikációkat, és a negációkat az atomi formulák elé vinni. Ekkor (újabb) lehetőségek adódhatnak a kvantorok kétoldali kiemelésére vonatkozóan.
1. Az implikációk átírása:
(4.12)
2. A kétszeres tagadás és De Morgan törvényeinek alkalmazása:
(4.13)
3. Az egzisztenciális kvantor kétoldali kiemelésére vonatkozó ekvivalencia alkalmazása:
(4.14)
4. Változóiban tiszta alakra hozás:
(4.15)
5. Most már mindegyik kvantor kiemelhető:
(4.16)
6. A formula magja diszjunktív normálforma, de átírható konjunktív normálformába, ha az a további feldolgozás szempontjából úgy célszerű:
(4.17)
3. Skolem-normálforma
A
prenexformulában csak univerzális kvantorok vannak. Az ilyen
alakú formulák fontosak lesznek később.
Definíció Univerzális Skolem-formulának nevezzük az olyan prenexformulát, amelynek a prefixumában csak univerzális kvantor szerepel. Ha a Skolem-formula magja konjunktív normálforma, akkor a formulát Skolem- normálformának nevezzük.
Tétel Tetszőleges
formulához konstruálható olyan univerzális Skolem-formula, mely pontosan akkor kielégíthetetlen, ha
kielégíthetetlen.
Prenexformula ,,átírása'' univerzális Skolem-formába:
1. Új Skolem-szimbólumok bevezetése: A
(4.18)
prenexformula prefixumában legyen az első egzisztenciális kvantor a
-edik kvantor.
• Ha
, akkor minden olyan interpretációban és
értékelés esetén (
), amely mellett
igaz, az interpretáció
univerzumában van legalább egy
( Skolem-konstans ), hogy a
formula igaz lesz. Ez azt jelenti, hogy ha kibővítjük az elsőrendű nyelvünket egy új
konstansszimbólummal, akkor az előbbi interpretációt kiegészítve azzal, hogy
-t egy Skolem-konstanssal interpretáljuk, az új, bővebb nyelv olyan interpretációját kapjuk, melyben
is igaz.
• Legyen most
. Egy
interpretációban valamely
értékelés mellett (
) a
(4.19)
formula pontosan akkor igaz, ha az
változókat bármilyen – az interpretáció univerzumából vett – elemekkel értékelve mindig van legalább egy elem
-ban, amellyel pedig az
változót értékelve a
formula igaz. Azaz minden
elem
-eshez tartozik legalább egy
, hogy
(4.20)
igaz. Legyen
(4.21)
egy függvény, amely minden
-hez egy ilyen
értéket rendel. Ezt a függvényt Skolem-függvénynek nevezzük. Bővítsük ki az elsőrendű nyelvünket egy új
aritású
függvényszimbólummal. Ha most az
interpretációt úgy egészítjük ki, hogy
-et egy ilyen Skolem-függvénnyel interpretáljuk, az új, bővebb nyelv olyan interpretációját kapjuk, melyben a
(4.22)
formula igaz.
2. Az egzisztenciális kvantor elhagyása:
prefixumából elhagyjuk a
kvantoros előtagot, és a formula magjában elvégezzük az
, illetve az
termhelyettesítést. A kapott
(4.23)
illetve
(4.24)
formula az eredeti formulában szereplő első egzisztenciális kvantort már nem tartalmazza. Ezzel a lépéssel az eredeti formulával a kielégíthetőség szempontjából egyenértékű formulát kaptunk a kibővített nyelvben.
a. Egyrészt minden olyan interpretációban, amelyben az eredeti formula valamely értékelés mellett igaz volt, az új függvényszimbólumot (konstansszimbólumot) interpretálhatjuk egy Skolem-függvénnyel (Skolem- konstanssal) úgy, hogy az értékelés mellett igaz lesz az átalakított formula is.
b. Ha pedig az eredeti formula minden interpretációban, minden értékelés mellett hamis volt, azaz kielégíthetetlen, akkor az átalakított formula is az lesz, mivel ekkor nincs Skolem-függvény (konstans) egyetlen interpretáló struktúrában sem.
3. Az új Skolem-szimbólumok bevezetésének és a kvantoreliminálásnak a lépéseit végrehajtjuk a soron következő egzisztenciális kvantorra, amíg minden egzisztenciális kvantort el nem hagytunk.
Példa Írjuk át Skolem-normálformába a
(4.25)
prenex-konjunktív formulát. A két egzisztenciális kvantor a prefixum első két kvantora, ezért két Skolem- konstansszimbólumot kell bevezetnünk. Jelöljük az
-tól különböző két új konstansszimbólumot
és
-vel.
(4.26)
4. Elsőrendű klózok
Definíció Az elsőrendű klóz pedig egy olyan zárt univerzális Skolem-formula, amelynek a magja elemi diszjunkció.
Egy Skolem-normálforma magja konjunktív normálforma. Ha egy zárt
Skolem-normálformára ,,visszafelé'' alkalmazzuk a konjunkcióra vonatkozó kétoldali kvantorkiemelési szabályt, akkor elsőrendű klózok konjunkcióját kapjuk.
legyen ezen klózok halmaza. Világos, hogy
pontosan akkor kielégíthetetlen, ha
kielégíthetetlen.
Példa Az előző példában kapott Skolem-normálformában alkalmazzuk a kvantorkiemelésre vonatkozó ekvivalenciát ,,visszafelé'':
(4.27)
Hozzuk a formulát változóiban tiszta alakra:
(4.28)
Mivel egy elsőrendű klóz minden változója univerzálisan kvantált, az elsőrendű klózhalmazokban a klózok prefixumait nem tüntetjük fel. Tehát a fenti elsőrendű klózhalmazt így adjuk meg:
(4.29)
Példa Írjuk át Skolem-normálformába a
(4.30)
prenexformulát. Először írjuk át a formula magját konjunktív normálformába:
(4.31)
A Skolem-függvények egyváltozósak, vezessünk be az elsőrendű nyelvbe jelölésükre két új függvényszimbólumot:
-et és
-t. A Skolem-normálforma:
(4.32)
Elsőrendű klózok konjunkciójaként felírva a formulát:
(4.33)
A változóiban tiszta elsőrendű klózhalmaz pedig:
(4.34)
5. Feladatok
1. Hozzuk konjunktív és diszjunktív normálformára a következő formulákat.
a.
b.
c.
d.
2. Határozzuk meg az alábbi formulák prenex alakját.
a.
b.
c.
d.
3. Írjunk olyan programot, amelyik előállítja egy elsőrendű formula prenex alakját.
4. Határozzuk meg az alábbi formulák univerzális Skolem-normálformáját.
a.
b.
c.
d.
Chapter 5. Frege stílusú kalkulus
A modern logika egyik első nagy eredménye Gottlob Frege (1848-1925) német matematikus logikai rendszere.
Bár Frege a rendszere felépítése során minden lépést szemantikai okokkal indokolt, nem hozott létre olyan szemantikai felépítést logikájához, mint amit a Bevezetésben megadtunk. Frege logikai rendszere szintaktikai felépítésű rendszer, kalkulus volt. A fejezetben egy a Frege rendszeréhez stílusában hasonló predikátumkalkulust mutatunk be.
1. A predikátumkalkulus
Definíció Az
,
és
szimbólumok.
• A predikátumkalkulusalapsémái : 1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
• A predikátumkalkuluslevezetési szabályai :
(5.1)
Ha az
és
szimbólumokat egy elsőrendű logikai nyelv formuláival helyettesítjük,
a nyelv változója,
pedig term, akkor az alapsémákból alapformulákat kapunk, a levezetési szabályok segítségével pedig egy vagy két (vonal feletti) formulából levezetünk egy (vonal alatti) harmadikat.
Tétel
• A predikátumkalkulus alapformulái logikai törvények.
•
.
• Ha
és
akkor
Definíció A fomulafa és magasságának induktív definíciója:
1. Minden
magasságú formulafa, melyben
alsó formula, és nincs nála feljebb levő formula.
2. Ha
és
magasságú olyan formulafák, melyben az alsó formulák
és
alakúak, akkor az
(5.2)
alakzat is formulafa. A nyert formulafában
az alsó formula, melynél
és
minden formulája feljebb van. A formulafa magassága pedig
. 3. Ha
magasságú olyan formulafa, amelyben az alsó formula
, akkor az
(5.3)
alakzat is formulafa.
alsó formula, melynél
minden formulája feljebb van, és a formulafa magassága
.
4. Minden formulafa az 1–3. szabályok véges sokszori alkalmazásával áll elő.
A formulafában azok a formulák, melyeknél nincs feljebb levő, vagy alapformulák, vagy ún. hipotézisek . Definíció A levezetésfa egy formulafa, melyben ha
-ból az általánosítás szabályával akarjuk a
-t nyerni, akkor
nem paraméter egyetlen, a
-nál feljebb levő hipotézisben sem.
Példa Jellemezzük az alábbi formulafát:
magasságú formulafa alsó formula:
alapformula:
hipotézis:
Definíció A
véges formulahalmazból az
formula levezethető , ha van olyan levezetésfa, melyben
alsó formula, és a hipotésisek mind elemei
-nak. (Jelölése
, az alakzat neve szekvencia .) Ha
üres, akkor
hipotézismentesen vezethető le a kalkulusban (jelölése
).
Példa Bizonyítsuk be, hogy
.
Tétel [A predikátumkalkulus helyessége.] Ha
, akkor
.
Bizonyítás A
szekvenciát megalapozó levezetésfa magassága szerinti indukcióval bizonyítunk. Legyen a levezetésfa magassága
.
1.
esetén
• vagy alapformula
, ekkor
, így nyilván
is.
• vagy
, azaz hipotézis, ekkor minden olyan interpretációban és értékelés mellett, amikor minden hipotézis igaz, nyilván
is igaz, tehát
.
2. Az indukciós feltevésünk szerint legyen igaz az állítás minden
-nél nem magasabb levezetésfa esetén.
3. Legyen most
. Ha a
szekvenciát megalapozó levezetésfát
• a modus ponens levezetési szabállyal nyertük: a
és
szekvenciákat megalapozó, legfeljebb
magasságú levezetésfákból. Az indukciós feltevés miatt ekkor igaz az állítás, tehát
és
. De minden olyan interpretációban és értékelés mellett, amikor a
-beli hipotézisek mind igazak, ezek szerint igazak ezen interpretációkban és értékelések mellett az
és az
formula is, így a
formula is. Tehát
is.
• az általánosítás szabályával nyertük,
tehát
alakú: az
magasságú levezetésfa, amiből nyertük, a
szekvenciát alapozza meg, ahol
. Az indukciós feltevés miatt ekkor igaz az állítás, tehát
. De minden olyan interpretációban és értékelés mellett, amikor a
-beli hipotézisek mind igazak, ezek szerint igaz ezen interpretációkban és értékelések mellett az
is. Mivel
, a
-beli formulákat igazzá tevő értékelésekben
-et bárhogy lehet értékelni, így az
is
bármilyen értékelése esetén igaz, tehát a
is. Ezért
.
Ezzel a tételt bebizonyítottuk.
Tétel [A predikátumkalkulus teljessége.] Ha
, akkor
. A tétel legismertebb bizonyítását Leon Henkin (1921-2006) amerikai matematikus adta meg (ez például [Smullyan]-ben is megtalálható).
2. Feladatok
1. Bizonyítsuk be, hogy
.
2. Bizonyítsuk be, hogy
.
Chapter 6. Gentzen kalkulusai
A predikátumkalkulusban egy levezetés megkonstruálása gyakran nagyon kényelmetlen. Egyszerű formulák levezetése is lehet hosszadalmas, ráadásul a levezetések nem nagyon hasonlítanak a szokásos érvelésekre. 1934- ben Gerhart Gentzen (1909-1945) német logikus olyan levezetési rendszert dolgozott ki, mely szabályai a Frege stílusú kalkulusokénál jóval közelebb állnak a gyakorlatban használt érvelés lépéseihez. Gentzen saját rendszerét a Frege stílusú rendszerekkel szembeállítva a természetes levezetés kalkulusának nevezte.
Tágabb értelemben természetes levezetési rendszereknek szokták nevezni a Gentzen eredeti kalkulusához közel álló, de azzal nem tökéletesen megegyező levezetési rendszereket is. Ezek közös jellemzője, hogy bár használhatnak alapformulákat is, alapvetően mégis levezetési szabályokra épülnek.
Most megadjuk a klasszikus elsőrendű logika egy olyan természetes levezetési rendszerét, mely nagyon közel áll Gentzen eredeti kalkulusához. A predikátumkalkulushoz hasonlóan ez a rendszer is helyes és teljes, tehát bizonyos értelemben sem nem több, sem nem kevesebb annál. Az alapvető különbség a hipotézisektől a levezetendő formuláig való eljutás módjában áll.
Hogy megkönnyítsük a levezethetőségi reláció fennállásának igazolását, levezetési sémákra vonatkozó segédszabályok egy egész rendszerére támaszkodunk. A segédszabályok állításokat jelölnek: ha adva van(nak) a vonal feletti szekvenciá(ka)t megalapozó predikátumkalkulusbeli levezetésfa(ák), akkor megkonstruálható a vonal alatti szekvenciát megalapozó levezetésfa is. Segítségükkel a predikátumkalkulusbeli levezethetőség igazolható a levezetés tényleges megkonstruálása nélkül. Továbbá a természetes levezetés technikájának szabályai szoros analógiát mutatnak a matematikai érvelés gyakorlatával, ami megkönnyíti a szekvenciák igazolását.
A természetes levezetés technikája mellett Gentzen kidolgozott egy másik - ún. szekventekkel dolgozó kalkulust is. A szekventkalkulus is igen kényelmesen használható, mivel a levezetési szabályok egyszerűen és a levezetendő szekventben szereplő formulák szerkezete által meghatározott sorrendben alkalmazhatók.
1. A természetes levezetés
Definíció Az
,
és
szimbólumok.
• Az azonosság törvénye
(6.1)
• Strukturális szabályok
(6.2)
• Logikai szabályok
(6.3)
(6.4)
Ha az
és a
szimbólumokat elsőrendű formulákkal, a
és
szimbólumokat formulák multihalmazaival helyettesítjük,
a nyelv változója és
term, akkor predikátumkalkulusbeli levezethetőségre vonatkozó állításokat nyerünk.
Az azonosság törvénye – egyedül itt nincs vonal – például azt állítja, hogy bármely
formulahalmazból és az
formulából mint hipotézisekből levezethető a predikátumkalkulusban
. Az állítás bizonyítása egyszerű: egyetlen formulából, az
-ból álló levezetésfa bizonyítja. A strukturális szabályok igazolása is nagyon egyszerű. A bővítés és a szűkítés szabálya esetén a vonal feletti szekvenciát megalapozó levezetés egyúttal a vonal alatti szekvenciát megalapozó levezetés is. A vágás szabályát a dedukció-tétel részletes bizonyítása után vizsgáljuk meg.
Tétel [Dedukció-tétel.] Ha
akkor
Bizonyítás A
szekvenciát megalapozó levezetésfa magassága szerinti indukcióval bizonyítunk. Legyen a levezetésfa magassága
.
1.
esetén
• vagy alapformula
, vagy
, ekkor
így
• vagy
. De ekkor
2. Az indukciós feltevésünk szerint legyen igaz az állítás minden
-nél nem magasabb levezetésfa esetén.
3. Legyen most
. Ha a
szekvenciát megalapozó levezetésfát
• a modus ponenssel nyertük
és
szekvenciákat megalapozó, legfeljebb
magasságú levezetésfákból. Az indukciós feltevés miatt ekkor igaz az állítás, tehát
és
.
Tehát
• az általánosítás szabályával nyertük,
tehát
alakú. Az
magasságú levezetésfa, amiből nyertük, a
szekvenciát alapozza meg, ahol
. Az indukciós feltevés miatt ekkor igaz az állítás, tehát
.
Tehát
Ezzel a tételt bebizonyítottuk.
A vágás szabályára visszatérve: a dedukciós tétel szerint ha
, akkor
. Ekkor viszont a
-t és a
-t igazoló levezetések konkatenációja megalapozza
-t.
A logikai szabályok igazolása sem nehéz. Néhány szabály bizonyításának ötletét vázoljuk.
1. Az implikáció bevezetésének szabálya épp a dedukciós tétel.
2. Az implikáció eltávolításának a szabálya: Ha adottak a
és a
állításokat megalapozó levezetések, a kettő konkatenációja után alkalmazható a modus ponens, és így épp
-nek egy, a
-ból való levezetését állítottuk elő.
3. A diszjunkció bevezetése: Ha adott
-ból
-nak a levezetése, akkor az
alapformulát beírva a levezetésbe alkalmazhatjuk a modus ponenst, és máris megkaptuk a
-ból az
egy levezetését.
4. A diszjunkció eltávolítása: Ha adottak a
és a
állításokat megalapozó levezetések, akkor a dedukciós tétel miatt elkészíthető a
és a
állításokat megalapozó levezetések is. Ezt a két levezetést konkatenáljuk, és írjuk le az
(6.5)
alapformulát. Kétszer alkalmazva a modus ponenst megalapoztuk, hogy
. Írjuk be a levezetésbe a vonal alatti szekvenciából az
hipotézist, és ha most újból alkalmazzuk a modus ponenst, megkapjuk a
-t megalapozó levezetést.
6. Az univerzális kvantor eltávolításának szabálya: Ha adott a
szekvenciát megalapozó levezetés, akkor a
alapformulát beírva a levezetésbe alkalmazhatjuk a modus ponenst, és máris megkaptuk
egy levezetését
-ból.
7. Az egzisztenciális kvantort bevezető szabály: Ha adott a
szekvenciát megalapozó levezetés, akkor írjuk be az
alapformulát a levezetésbe, és alkalmazzuk a modus ponenst. Így
-ból levezettük
-t.
8. Az egzisztenciális kvantor eltávolításásának szabálya: A
szekvenciát megalapozó levezetésből a dedukciós tétel miatt elkészíthető a
szekvenciát megalapozó levezetés is. Ebből az általánosítás szabálya miatt – mivel
–
adódik. Ha most a levezetésbe beírjuk a
alapformulát (lényeges, hogy
), alkalmazhatjuk a modus ponenst. Ezzel megkapjuk a
egy levezetését
-ból. A dedukciós tétel újbóli alkalmazásával pedig igazoltuk, hogy
.
A gyakorlatban a természetes technikai szabályokat inkább ,,alulról felfelé'' szoktuk alkalmazni: amikor igazolni kell egy vonal alatti állítást, elegendő bebizonyítani, hogy a vonal feletti állítások igazak. Ekkor világosan látható, hogy a felsorolt szabályok elég jól tükrözik a matematikusok által széles körben használt bizonyítási módszereket.
• Például a diszjunkció eltávolítása megfelel az esetelemzés módszerének . Ha le kell vezetni
-ből
-t, akkor az esetelemzés a következőképpen történik: ha
igaz, akkor vagy
, vagy
igaz, ezért elegendő két esetet megvizsgálni. Külön-külön le kell vezetni
-ból
-t és
-ből
-t.
• A negáció bevezetése a matematikai gyakorlatban az indirekt bizonyítás , azaz az ellentmondáshoz való visszavezetés módszere . Hogy bebizonyítsuk
-t, elegendő – feltéve, hogy
teljesül – ellentmondáshoz jutni, vagyis egy
-t kiválasztva
-ból levezetni
-t és
-t is.
Példa Bizonyítsuk be természetes technikával, hogy
(6.6)
Felvetődhet az a kérdés is, hogy ha egy formulahalmazból a predikátumkalkulusban levezethető egy formula, akkor ezt be tudjuk-e mindig bizonyítani csupán a természetes levezetés technikájával.
Tétel Ha
, akkor ez belátható a természetes technikával. Bizonyítás A
szekvenciát megalapozó levezetésfa magassága szerinti indukcióval bizonyítunk. Legyen a levezetésfa magassága
.
1.
esetén
• vagy alapformula, ekkor
belátható a természetes technikával (ezeket a bizonyításokat az olvasóra bízzuk), így – a bővítés szabálya alapján –
is bizonyítható természetes technikával.
• vagy hipotézis, azaz eleme a
formulahalmaznak, akkor a
az azonosság törvénye.
2. Az indukciós feltevésünk szerint legyen igaz az állítás minden
-nél nem magasabb levezetésfa esetén.
3. Legyen most
. Ha a
szekvenciát megalapozó levezetésfát
• a modus ponens levezetési szabállyal nyertük
és
szekvenciákat megalapozó, legfeljebb
magasságú levezetésfákból. Az indukciós feltevés miatt ekkor ezek a szekvenciák megalapozhatók természetes technikával. Az implikáció eltávolításának a szabályával pedig a
-t is bizonyítottuk.
• az általánosítás szabályával nyertük a
szekvenciát megalapozó
magasságú levezetésfából. Az indukciós feltevés miatt ez a szekvencia megalapozható természetes technikával. Ekkor az univerzális kvantor bevezetésének szabályával a
-t is bizonyítottuk.
Ezzel a tételt bebizonyítottuk. Ezzel beláttuk azt is, hogy a természetes levezetés kalkulusa ekvivalens a predikátumkalkulussal, így bebizonyítottuk adekvátságát a klasszikus elsőrendű szemantikával.
Tétel [A természetes levezetés helyes és teljes.]
pontosan akkor látható be természetes levezetéssel, ha
.
Példa Bizonyítsuk be a természetes levezetés segítségével, hogy a
(6.7)
formula logikai törvény.
2. A szekventkalkulus
Definíció Legyenek
elsőrendű formulák. Ekkor a
(6.8)
formulát szekventnek nevezzük. Jelölése
(6.9)
vagy rövidebben
, ahol
az
és
a
formulák multihalmazai.
A
szekvent tehát egy speciális alakú formula: implikáció, melyben az implikáció bal oldalán a
formuláinak konjunkciós, a jobb oldalán a
formuláinak diszjunkciós láncformulája áll. Ha a szekventben
üres, az implikáció bal oldalán a
törvényt, ha
üres, az implikáció jobb oldalán a
kielégíthetetlen formulát kell elképzelni. Ha
és
formulák, akkor az
jelölés az
szekventet hivatkozza.
Példa Határozzuk meg, hogy az alábbi szekventek mint formulák hogyan adhatók meg:
1.
(üres) szekvent a
formulát, azaz logikai ellentmondást ír le.
2.
szekvent a
, azaz a
formulát jelöli.
3. Az
szekvent jelentése az
, azaz a
formula.
4.
jelentése
.
5.
jelentése pedig
.
Világos, hogy ha egy
formulát szekventté szeretnénk alakítani, azaz elő akarjuk állítani azt a szekventet, ami épp az
formulát írja le, csak egy
jelet kell elé írni:
.
Definíció
,
,
,
,
és
szimbólumok.
• A szekventkalkulus alapsémája:
(6.10)
• A szekventkalkulus levezetési szabályai:
(6.11)
(6.12)
(6.13)
Ha az
és
szimbólumokat egy ítéletlogikai nyelv formuláival, a
és
szimbólumokat pedig formulák multihalmazaival helyettesítjük, az alapsémából alapszekventeket kapunk, a levezetési szabály segítségével pedig egy vagy két (vonal feletti) szekventből levezetünk egy (vonal alatti) harmadikat.
a nyelv változója és
term.
Tétel
• Minden alapszekvent által leírt formula logikai törvény.
• A szekventkalkulus egy levezetési szabályában a vonal alatti alakú szekvent pontosan akkor logikai törvény, ha a vonal feletti szekvent vagy szekventek is logikai törvények. (Tehát a szekventkalkulus levezetési szabályai megfordíthatóak.)
A tétel bizonyítása gyakorló feladat.
Definíció A szekventkalkulusbeli levezetésfa és a levezetésfa magassága a következő:
1. A kalkulus minden alapszekventje egy (egyetlen szekventből álló) levezetésfa, ez a szekvent lesz a levezetésfa gyökere. A levezetésfa magassága 1.
2. Ha
magasságú olyan levezetésfa, amelynek gyökere a szekventkalkulusbeli levezetési szabályban épp vonal feletti szekvent, akkor a levezetési szabállyal a vonal alatti
szekventet előállítva
(6.14)
is levezetésfa, ahol az
szekvent a kapott levezetésfa gyökere, és a levezetésfa magassága
. 3. Ha
és
rendre
és
magasságú olyan szekventkalkulusbeli levezetésfák, melyek gyökerei valamely levezetési szabályban épp vonal feletti szekventek, akkor előállítva a levezetési szabállyal a vonal alatti
szekventet,
(6.15)
is levezetésfa a kalkulusban, amelyben az
szekvent lesz a levezetésfa gyökere, és a levezetésfa magassága
.
4. Minden levezetésfa az 1–3. szabályok véges sokszori alkalmazásával áll elő.
Példa A szekventkalkulusban az alábbi fa 3 magasságú levezetésfa, melynek gyökere a
szekvent:
A szekventek mellett zárójelek között megadtuk azt a levezetési szabályt, melyet alkalmazva a szekvent előállt.
Definíció Azt mondjuk, hogy az
szekvent a szekventkalkulusban bizonyítható , ha van olyan szekventkalkulusbeli levezetésfa, melynek
a gyökere. Jelölése:
.
Az alábbi tétel bizonyítását az olvasóra bízzzuk.
Tétel [A szekventkalkulus helyessége.] Ha az
szekvent bizonyítható a szekventkalkulusban, akkor a
formula logikai törvény.
Példa A
szekvent a szekventkalkulusban a következő – 6 magasságú – levezetésfával bizonyítható:
Példa A
(6.16)
szekvent (ahol
) a szekventkalkulusban a következő levezetésfával bizonyítható:
A gyakorlatban a szekventkalkulus levezetési szabályait is ,,alulról felfelé'' szoktuk alkalmazni: amikor bizonyítani szeretnénk egy
szekventet, megpróbáljuk a bizonyító levezetésfát a gyökeréből (
-ből) kiindulva ,,alulról felfelé'' haladva felépíteni. Ehhez keresni kell az épülő levezetésfa minden nem alapszekvent leveléhez olyan levezetési szabályt a kalkulusban, mely segítségével a levél előállhat, és a levezetési szabálynak megfelelő vonal feletti szekvent(ek)et be kell írni a készülő levezetésfába ezen levél szülőjeként (szüleiként). A szekventkalkulus levezetési szabályainak megfordíthatósága miatt lényegtelen, hogy az alkalmazható levezetési szabályok közül melyiket választjuk.
Most foglalkozzunk azzal a kérdéssel, hogy vajon a szekventkalkulus ekvivalens-e a predikátumkalkulussal, azaz igaz-e, hogy egy
szekvent pontosan akkor bizonyítható a szekventkalkulusban, amikor
hipotézismentesen levezethető a predikátumkalkulusban. Ha ugyanis a két kalkulus ekvivalens, akkor a szekventkalkulus teljes kalkulus is.
Lemma Ha
a predikátumkalkulus alapformulája, akkor
bizonyítható a szekventkalkulusban.
Bizonyítás A bizonyítást konstruktív módon végezzük el, a predikátumkalkulus alapsémáiból előállított formulák esetén rendre megkonstruáljuk a megfelelő szekvent levezetését.
• Az 1. sémából előállított alapformula esetén a levezetés
• A 2. sémából előállított alapformula esetén a levezetés:
• A 11. sémából előállított alapformula esetén a levezetés:
• A 12. sémából előállított alapformula esetén a levezetés:
A többi alapformula esetén a levezetés megadását az olvasóra hagyjuk, a lemmát így bizonyítottnak tekinthetjük.
Lemma A predikátumkalkulus levezetési szabályai elérhetők a szekventkalkulusból.
Bizonyítás Azaz ha
és
bizonyíthatóak a szekventkalkulusban, akkor
is az, továbbá ha
bizonyítható, akkor
is,
• Az olvasóra bízzuk annak bizonyítását, ha
, akkor
is. Ha
, a
levezetési szabály megfordíthatósága miatt
is. Ekkor alkalmazva a szekventkalkulus vágás szabályát kapjuk, hogy
.
• Ha
bizonyítható, így alkalmazva a
szabályt
is bizonyítható.
Ezzel az állítást beláttuk.
Tétel Ha
hipotézismentesen levezethető a predikátumkalkulusban, akkor
bizonyítható a szekventkalkulusban, azaz ha
, akkor
