Példa Legyen két elsőrendű klóz a
(7.22)
és
pontosan egy komplemens literálpárt tartalmaz. Ha a magjaikat az alapklózokhoz hasonlóan rezolválnánk, a
(7.23)
klózhoz jutnánk. Lássuk be, hogy
(7.24)
Ha
kielégíti a
és
klózokat, a
és
formulák
-ben minden értékelés mellett igazak. Tehát ha egy értékelés mellett
-ben
hamis, akkor ott
igaz, és ha
hamis, akkor
igaz. Mivel minden értékelés mellett
igazsága esetén
hamis és fordítva, így minden értékelés mellett vagy a
, vagy az
igaz, és így
.
Ha ilyen módon képezve elsőrendű klózok rezolvensét szeretnénk ezt rezolúciós levezetési szabályként alkalmazni, akkor igazolni kell általánosan is a példabeli állítást.
Tétel Legyenek most
és
olyan elsőrendű klózok, melyek pontosan egy komplemens literálpárt tartalmaznak, azaz
és
magjai
(7.25)
alakúak, ahol
és
a komplemens literálpár. Legyen a
klóz magja
. Ekkor
.
Bizonyítás Tegyük fel, hogy az
interpretáció kielégíti a
elsőrendű klózhalmazt. Kövessük az előző gondolatmenetet. Az
interpretációban tetszőleges értékelés mellett vagy
és
, vagy
és
igaz. Azaz
-ben
igaz.
Észrevehetjük, hogy komplemens párt ugyan nem tartalmazó két elsőrendű klóz Herbrand-univerzum feletti alappéldányaiban mégis lehet komplemens pár.
Példa
(7.26)
Egyik klózpárban sincs komplemens literálpár. Alaprezolúcióval vizsgáljuk meg, hogy a klózhalmaz kielégíthetetlen-e. A Herbrand-univerzum:
(7.27)
Egy alaprezolúciós levezetés:
Table 7.9.
[
] [
,
]
[
,
]
Tegyünk egy új változót a kiválasztott alapklózokban az
helyébe.
Table 7.10.
[
] [
]
[
]
Ez a levezetés a
(7.28)
klózhalmazból való egy elsőrendű rezolúciós levezetés. Ezt a klózhalmazt úgy kaptuk az eredetiből, hogy az elsőrendű klózok magjaiban az atomi formulákban a változók helyébe olyan termeket helyettesítettünk, amelyek azonos alapú literálokat eredményeztek. Ezzel a – logikában egyébként nem megengedett – helyettesítéssel (illesztő helyettesítés)
• kapott elsőrendű klózhalmaz alappéldányai között az eredeti klózhalmaz egymással komplemens litárokat tartalmazó alappéldányai megjelennek, de ilyen literálokat nem tartalmazó alappéldányok közül sok kiszűrődik,
• miközben a klózhalmaz kielégíthetősége megőrződik.
Tétel Legyen
a
elsőrendű klóz magja. Tegyük fel, hogy
(7.29)
Legyen
tetszőleges termhelyettesítés
leíró nyelvében, és
(7.30)
Ekkor tetszőleges olyan
Herbrand-interpretációban, amelyben
igaz, a
klóz is igaz.
Bizonyítás Tegyük fel, hogy a
Herbrand-interpretációban a
klóz, azaz
igaz. Ekkor
a Herbrand-interpretációbeli minden értékelés mellett igaz, azaz
Herbrand-univerzum feletti alapklózai
-ban igazak. Nyilván
-nak a
feletti alappéldányai mind
feletti alappéldányai is, hisz a
termek jelennek meg az
változók helyett
-ben. Ezek a termek viszont, ha a változóik helyére Herbrand-univerzumbeli elemeket helyettesítünk, szintén Herbrand-univerzumbeli elemek lesznek, és így
alappéldányaiban is előfordulnak.
Definíció Legyen
egy
elsőrendű klózban előforduló legalább két azonos alapú egyformán negált literál alapjainak halmaza. Ha
atomjai illeszthetők egymáshoz és
a
legáltalánosabb illesztő helyettesítése, akkor a
magú klózt a
klóz faktorának nevezzük. Ha a faktor egységklóz, akkor
egységfaktorának hívjuk.
Példa Legyen
. A két
-vel kezdődő atom legáltalánosabb illesztő helyettesítése a
(7.31)
Ennek megfelelően a
(7.32)
klóz a
klóz faktora.
Definíció Legyenek
és
változóikban tiszta klózok. Legyenek
és
magjai rendre
és
alakúak, ahol
és
ellentétesen negált literálok. Ha az
és az
literálok alapjai illeszthetők egymáshoz, legyen
a legáltalánosabb illesztő helyettesítésük. Ekkor a
és
klózok bináris rezolvense a
magú klóz.
Definíció A
és a
klózok elsőrendű rezolvense a következő bináris rezolvensek valamelyike:
1. a
és a
klózok bináris rezolvense, 2. a
klóz és a
klóz egy faktorának a bináris rezolvense,
3. a
klóz egy faktorának és a
klóznak a bináris rezolvense, 4. a
klóz egy faktorának és a
klóz egy faktorának a bináris rezolvense.
Példa Legyen
(7.33)
Mivel
mind
-ben, mind
-ben előfordul, a
-ben átnevezzük. Ezután
. A rezolváláshoz válasszuk az
(7.34)
literálokat. Alapjaik legáltalánosabb illesztő helyettesítése:
. Így tehát a
és a
klózok bináris rezolvense
(7.35)
ahol a
és a
literálok szerint rezolváltunk.
Példa Legyen
(7.36)
A
faktorának magja
.
faktorának és
-nek bináris rezolvense a
klóz. Ennélfogva a
és a
klózok egyik elsőrendű rezolvense
. Tétel Legyen
a
és
elsőrendű klózok elsőrendű rezolvense. Ekkor
.
Bizonyítás
és
változóikban tiszta klózok. Jelöljük
és
elsőrendű rezolvensét – utalva a rezolvensképzés módjára – a következőképpen:
(7.37)
Egy korábban bizonyított tétel miatt, ha az
Herbrand-interpretáció kielégíti
-t, akkor
kielégíti a
klózhalmazt is. Az a két literál, amely szerint rezolváltunk, a
és
klózokban komplemens literálpár, így
(7.38)
Ez viszont azt jelenti, hogy
.
Definíció Egy
klózhalmazból való elsőrendű rezolúciós levezetés elsőrendű klózok egy olyan véges
sorozata, ahol minden
-re 1. vagy
,
2. vagy van olyan
, hogy
a
és
klózok elsőrendű rezolvense.
Tétel [Elsőrendű rezolúciós kalkulus helyessége.] Ha egy
klózhalmazból van az üres klóznak elsőrendű rezolúciós levezetése, akkor
kielégíthetetlen.
Bizonyítás Tegyük fel, hogy van az üres klóznak elsőrendű rezolúciós levezetése
-ból:
. Tegyük fel ugyanakkor, hogy van olyan
interpretáció, mely kielégíti a
klózhalmazt. Ezért ha a rezolúciós levezetésben
,
kielégíti
-t. Ha pedig a rezolúciós levezetésben
a
és
klózok elsőrendű rezolvense
és
kielégíti a
és
klózokat, akkor
kielégíti a
rezolvensüket is. Ezért indukcióval könnyen látható, hogy
-nek ki kellene elégítenie a
klózhalmazt is. De
, az üres klóz pedig kielégíthetetlen, tehát
-nak is kielégíthetetlennek kell lennie.
Példa A
(7.39)
klózhalmazból szerkesszünk meg egy elsőrendű rezolúciós levezetést:
Table 7.11.
[
]
[
faktorizáció,
]
A faktorizáció az elsőrendű rezolúciós elv lényeges eleme, alkalmazása nélkül az elsőrendű rezolúciós eljárás nem lenne teljes.
Példa Adott a következő formulahalmaz:
(7.40)
A formulák alapján kapott klózhalmaz:
(7.41)
1. A Herbrand-univerzum:
. A Herbrand-bázis:
. A
feletti alapklózhalmaz:
. Alaprezolúciós levezetés:
Table 7.12.
[ 1, 2 rezolvense ]
[ 1, 4 rezolvense ]
[ 3, 5 rezolvense ]
2. Elsőrendű rezolúciós levezetés
-ból, faktorizáció nélkül:
Table 7.13.
[ 1, 2 rezolvense ]
[ 1, 4 rezolvense ]
A levezetés nem folytatható, mivel nincs olyan klózpár, amely egyetlen komplemens literálpárt tartalmazna.
Így az üres klózt nem kapjuk meg.
3. Rezolúciós levezetés
-ból, faktorizációval:
a. Alkalmazzuk
klózaira a
legáltalánosabb illesztő helyettesítést.
(7.42)
b. A levezetés
-ból:
Table 7.14.
[ 1, 2 rezolvense ]
[ 1, 4 rezolvense ]
[ 3, 5 rezolvense ]
Tétel [Elsőrendű rezolúciós kalkulus teljessége.] Ha egy
elsőrendű klózhalmaz kielégíthetetlen, akkor
-ból van az üres klóznak rezolúciós levezetése.