Példa Bizonyítsuk be a természetes levezetés segítségével, hogy a
(6.7)
formula logikai törvény.
2. A szekventkalkulus
Definíció Legyenek
elsőrendű formulák. Ekkor a
(6.8)
formulát szekventnek nevezzük. Jelölése
(6.9)
vagy rövidebben
, ahol
az
és
a
formulák multihalmazai.
A
szekvent tehát egy speciális alakú formula: implikáció, melyben az implikáció bal oldalán a
formuláinak konjunkciós, a jobb oldalán a
formuláinak diszjunkciós láncformulája áll. Ha a szekventben
üres, az implikáció bal oldalán a
törvényt, ha
üres, az implikáció jobb oldalán a
kielégíthetetlen formulát kell elképzelni. Ha
és
formulák, akkor az
jelölés az
szekventet hivatkozza.
Példa Határozzuk meg, hogy az alábbi szekventek mint formulák hogyan adhatók meg:
1.
(üres) szekvent a
formulát, azaz logikai ellentmondást ír le.
2.
szekvent a
, azaz a
formulát jelöli.
3. Az
szekvent jelentése az
, azaz a
formula.
4.
jelentése
.
5.
jelentése pedig
.
Világos, hogy ha egy
formulát szekventté szeretnénk alakítani, azaz elő akarjuk állítani azt a szekventet, ami épp az
formulát írja le, csak egy
jelet kell elé írni:
.
Definíció
,
,
,
,
és
szimbólumok.
• A szekventkalkulus alapsémája:
(6.10)
• A szekventkalkulus levezetési szabályai:
(6.11)
(6.12)
(6.13)
Ha az
és
szimbólumokat egy ítéletlogikai nyelv formuláival, a
és
szimbólumokat pedig formulák multihalmazaival helyettesítjük, az alapsémából alapszekventeket kapunk, a levezetési szabály segítségével pedig egy vagy két (vonal feletti) szekventből levezetünk egy (vonal alatti) harmadikat.
a nyelv változója és
term.
Tétel
• Minden alapszekvent által leírt formula logikai törvény.
• A szekventkalkulus egy levezetési szabályában a vonal alatti alakú szekvent pontosan akkor logikai törvény, ha a vonal feletti szekvent vagy szekventek is logikai törvények. (Tehát a szekventkalkulus levezetési szabályai megfordíthatóak.)
A tétel bizonyítása gyakorló feladat.
Definíció A szekventkalkulusbeli levezetésfa és a levezetésfa magassága a következő:
1. A kalkulus minden alapszekventje egy (egyetlen szekventből álló) levezetésfa, ez a szekvent lesz a levezetésfa gyökere. A levezetésfa magassága 1.
2. Ha
magasságú olyan levezetésfa, amelynek gyökere a szekventkalkulusbeli levezetési szabályban épp vonal feletti szekvent, akkor a levezetési szabállyal a vonal alatti
szekventet előállítva
(6.14)
is levezetésfa, ahol az
szekvent a kapott levezetésfa gyökere, és a levezetésfa magassága
. 3. Ha
és
rendre
és
magasságú olyan szekventkalkulusbeli levezetésfák, melyek gyökerei valamely levezetési szabályban épp vonal feletti szekventek, akkor előállítva a levezetési szabállyal a vonal alatti
szekventet,
(6.15)
is levezetésfa a kalkulusban, amelyben az
szekvent lesz a levezetésfa gyökere, és a levezetésfa magassága
.
4. Minden levezetésfa az 1–3. szabályok véges sokszori alkalmazásával áll elő.
Példa A szekventkalkulusban az alábbi fa 3 magasságú levezetésfa, melynek gyökere a
szekvent:
A szekventek mellett zárójelek között megadtuk azt a levezetési szabályt, melyet alkalmazva a szekvent előállt.
Definíció Azt mondjuk, hogy az
szekvent a szekventkalkulusban bizonyítható , ha van olyan szekventkalkulusbeli levezetésfa, melynek
a gyökere. Jelölése:
.
Az alábbi tétel bizonyítását az olvasóra bízzzuk.
Tétel [A szekventkalkulus helyessége.] Ha az
szekvent bizonyítható a szekventkalkulusban, akkor a
formula logikai törvény.
Példa A
szekvent a szekventkalkulusban a következő – 6 magasságú – levezetésfával bizonyítható:
Példa A
(6.16)
szekvent (ahol
) a szekventkalkulusban a következő levezetésfával bizonyítható:
A gyakorlatban a szekventkalkulus levezetési szabályait is ,,alulról felfelé'' szoktuk alkalmazni: amikor bizonyítani szeretnénk egy
szekventet, megpróbáljuk a bizonyító levezetésfát a gyökeréből (
-ből) kiindulva ,,alulról felfelé'' haladva felépíteni. Ehhez keresni kell az épülő levezetésfa minden nem alapszekvent leveléhez olyan levezetési szabályt a kalkulusban, mely segítségével a levél előállhat, és a levezetési szabálynak megfelelő vonal feletti szekvent(ek)et be kell írni a készülő levezetésfába ezen levél szülőjeként (szüleiként). A szekventkalkulus levezetési szabályainak megfordíthatósága miatt lényegtelen, hogy az alkalmazható levezetési szabályok közül melyiket választjuk.
Most foglalkozzunk azzal a kérdéssel, hogy vajon a szekventkalkulus ekvivalens-e a predikátumkalkulussal, azaz igaz-e, hogy egy
szekvent pontosan akkor bizonyítható a szekventkalkulusban, amikor
hipotézismentesen levezethető a predikátumkalkulusban. Ha ugyanis a két kalkulus ekvivalens, akkor a szekventkalkulus teljes kalkulus is.
Lemma Ha
a predikátumkalkulus alapformulája, akkor
bizonyítható a szekventkalkulusban.
Bizonyítás A bizonyítást konstruktív módon végezzük el, a predikátumkalkulus alapsémáiból előállított formulák esetén rendre megkonstruáljuk a megfelelő szekvent levezetését.
• Az 1. sémából előállított alapformula esetén a levezetés
• A 2. sémából előállított alapformula esetén a levezetés:
• A 11. sémából előállított alapformula esetén a levezetés:
• A 12. sémából előállított alapformula esetén a levezetés:
A többi alapformula esetén a levezetés megadását az olvasóra hagyjuk, a lemmát így bizonyítottnak tekinthetjük.
Lemma A predikátumkalkulus levezetési szabályai elérhetők a szekventkalkulusból.
Bizonyítás Azaz ha
és
bizonyíthatóak a szekventkalkulusban, akkor
is az, továbbá ha
bizonyítható, akkor
is,
• Az olvasóra bízzuk annak bizonyítását, ha
, akkor
is. Ha
, a
levezetési szabály megfordíthatósága miatt
is. Ekkor alkalmazva a szekventkalkulus vágás szabályát kapjuk, hogy
.
• Ha
bizonyítható, így alkalmazva a
szabályt
is bizonyítható.
Ezzel az állítást beláttuk.
Tétel Ha
hipotézismentesen levezethető a predikátumkalkulusban, akkor
bizonyítható a szekventkalkulusban, azaz ha
, akkor
szekvenciát megalapozó levezetésfa magassága szerinti indukcióval bizonyítunk. Legyen a levezetésfa magassága
.
1.
esetén
a predikátumkalkulus alapformulája, ekkor
.
2. Az indukciós feltevésünk szerint legyen igaz az állítás minden
-nél nem magasabb levezetésfa esetén.
3. Legyen most
. Ha a
szekvenciát megalapozó levezetésfát
• a modus ponens levezetési szabállyal nyertük
és
szekvenciákat megalapozó, legfeljebb
magasságú levezetésfákból, az indukciós feltevés miatt
és
bizonyíthatók a szekventkalkulusban. De a modus ponens elérhető a szekventkalkulusból.
• az általánosítás szabályával nyertük a
szekvenciát megalapozó
magasságú levezetésfából, az indukciós feltevés miatt
bizonyítható. De az általánosítás szabálya elérhető a szekventkalkulusból.
Ezzel a tételt bebizonyítottuk.
3. Feladatok
1. Bizonyítsuk be természetes technikával, hogy az alábbi szekvenciák megalapozhatók.
•
•
•
•
2. Bizonyítsuk be természetes technikával, hogy az alábbi következményrelációk fennállnak.
a.
b.
c.
d.
3. Készítsük el a természetes technika ekvivalenciajelre vonatkozó levezetési szabályait. (
)
4. Készítsük el a szekventkalkulus ekvivalenciajelre vonatkozó levezetési szabályait.
5. Bizonyítsuk be, hogy az alábbi szekventek bizonyíthatók a szekventkalkulusban. Mit bizonyítottunk ezzel a szekvent által meghatározott formulákról?
•
•
•
•
•
6. Bizonyítsuk be, hogy
pontosan akkor kielégíthetetlen, ha az
szekvent bizonyítható.
7. Bizonyítsuk be, hogy
pontosan akkor, ha az
(6.17)
szekvent bizonyítható.
8. Bizonyítsuk be a szekventkalkulus segítségével a következményreláció fennállását.
a.
b.
c.