Definíció Az
,
és
szimbólumok.
• Az azonosság törvénye
(6.1)
• Strukturális szabályok
(6.2)
• Logikai szabályok
(6.3)
(6.4)
Ha az
és a
szimbólumokat elsőrendű formulákkal, a
és
szimbólumokat formulák multihalmazaival helyettesítjük,
a nyelv változója és
term, akkor predikátumkalkulusbeli levezethetőségre vonatkozó állításokat nyerünk.
Az azonosság törvénye – egyedül itt nincs vonal – például azt állítja, hogy bármely
formulahalmazból és az
formulából mint hipotézisekből levezethető a predikátumkalkulusban
. Az állítás bizonyítása egyszerű: egyetlen formulából, az
-ból álló levezetésfa bizonyítja. A strukturális szabályok igazolása is nagyon egyszerű. A bővítés és a szűkítés szabálya esetén a vonal feletti szekvenciát megalapozó levezetés egyúttal a vonal alatti szekvenciát megalapozó levezetés is. A vágás szabályát a dedukció-tétel részletes bizonyítása után vizsgáljuk meg.
Tétel [Dedukció-tétel.] Ha
akkor
Bizonyítás A
szekvenciát megalapozó levezetésfa magassága szerinti indukcióval bizonyítunk. Legyen a levezetésfa magassága
.
1.
esetén
• vagy alapformula
, vagy
, ekkor
így
• vagy
. De ekkor
2. Az indukciós feltevésünk szerint legyen igaz az állítás minden
-nél nem magasabb levezetésfa esetén.
3. Legyen most
. Ha a
szekvenciát megalapozó levezetésfát
• a modus ponenssel nyertük
és
szekvenciákat megalapozó, legfeljebb
magasságú levezetésfákból. Az indukciós feltevés miatt ekkor igaz az állítás, tehát
és
.
Tehát
• az általánosítás szabályával nyertük,
tehát
alakú. Az
magasságú levezetésfa, amiből nyertük, a
szekvenciát alapozza meg, ahol
. Az indukciós feltevés miatt ekkor igaz az állítás, tehát
.
Tehát
Ezzel a tételt bebizonyítottuk.
A vágás szabályára visszatérve: a dedukciós tétel szerint ha
, akkor
. Ekkor viszont a
-t és a
-t igazoló levezetések konkatenációja megalapozza
-t.
A logikai szabályok igazolása sem nehéz. Néhány szabály bizonyításának ötletét vázoljuk.
1. Az implikáció bevezetésének szabálya épp a dedukciós tétel.
2. Az implikáció eltávolításának a szabálya: Ha adottak a
és a
állításokat megalapozó levezetések, a kettő konkatenációja után alkalmazható a modus ponens, és így épp
-nek egy, a
-ból való levezetését állítottuk elő.
3. A diszjunkció bevezetése: Ha adott
-ból
-nak a levezetése, akkor az
alapformulát beírva a levezetésbe alkalmazhatjuk a modus ponenst, és máris megkaptuk a
-ból az
egy levezetését.
4. A diszjunkció eltávolítása: Ha adottak a
és a
állításokat megalapozó levezetések, akkor a dedukciós tétel miatt elkészíthető a
és a
állításokat megalapozó levezetések is. Ezt a két levezetést konkatenáljuk, és írjuk le az
(6.5)
alapformulát. Kétszer alkalmazva a modus ponenst megalapoztuk, hogy
. Írjuk be a levezetésbe a vonal alatti szekvenciából az
hipotézist, és ha most újból alkalmazzuk a modus ponenst, megkapjuk a
-t megalapozó levezetést.
6. Az univerzális kvantor eltávolításának szabálya: Ha adott a
szekvenciát megalapozó levezetés, akkor a
alapformulát beírva a levezetésbe alkalmazhatjuk a modus ponenst, és máris megkaptuk
egy levezetését
-ból.
7. Az egzisztenciális kvantort bevezető szabály: Ha adott a
szekvenciát megalapozó levezetés, akkor írjuk be az
alapformulát a levezetésbe, és alkalmazzuk a modus ponenst. Így
-ból levezettük
-t.
8. Az egzisztenciális kvantor eltávolításásának szabálya: A
szekvenciát megalapozó levezetésből a dedukciós tétel miatt elkészíthető a
szekvenciát megalapozó levezetés is. Ebből az általánosítás szabálya miatt – mivel
–
adódik. Ha most a levezetésbe beírjuk a
alapformulát (lényeges, hogy
), alkalmazhatjuk a modus ponenst. Ezzel megkapjuk a
egy levezetését
-ból. A dedukciós tétel újbóli alkalmazásával pedig igazoltuk, hogy
.
A gyakorlatban a természetes technikai szabályokat inkább ,,alulról felfelé'' szoktuk alkalmazni: amikor igazolni kell egy vonal alatti állítást, elegendő bebizonyítani, hogy a vonal feletti állítások igazak. Ekkor világosan látható, hogy a felsorolt szabályok elég jól tükrözik a matematikusok által széles körben használt bizonyítási módszereket.
• Például a diszjunkció eltávolítása megfelel az esetelemzés módszerének . Ha le kell vezetni
-ből
-t, akkor az esetelemzés a következőképpen történik: ha
igaz, akkor vagy
, vagy
igaz, ezért elegendő két esetet megvizsgálni. Külön-külön le kell vezetni
-ból
-t és
-ből
-t.
• A negáció bevezetése a matematikai gyakorlatban az indirekt bizonyítás , azaz az ellentmondáshoz való visszavezetés módszere . Hogy bebizonyítsuk
-t, elegendő – feltéve, hogy
teljesül – ellentmondáshoz jutni, vagyis egy
-t kiválasztva
-ból levezetni
-t és
-t is.
Példa Bizonyítsuk be természetes technikával, hogy
(6.6)
Felvetődhet az a kérdés is, hogy ha egy formulahalmazból a predikátumkalkulusban levezethető egy formula, akkor ezt be tudjuk-e mindig bizonyítani csupán a természetes levezetés technikájával.
Tétel Ha
, akkor ez belátható a természetes technikával. Bizonyítás A
szekvenciát megalapozó levezetésfa magassága szerinti indukcióval bizonyítunk. Legyen a levezetésfa magassága
.
1.
esetén
• vagy alapformula, ekkor
belátható a természetes technikával (ezeket a bizonyításokat az olvasóra bízzuk), így – a bővítés szabálya alapján –
is bizonyítható természetes technikával.
• vagy hipotézis, azaz eleme a
formulahalmaznak, akkor a
az azonosság törvénye.
2. Az indukciós feltevésünk szerint legyen igaz az állítás minden
-nél nem magasabb levezetésfa esetén.
3. Legyen most
. Ha a
szekvenciát megalapozó levezetésfát
• a modus ponens levezetési szabállyal nyertük
és
szekvenciákat megalapozó, legfeljebb
magasságú levezetésfákból. Az indukciós feltevés miatt ekkor ezek a szekvenciák megalapozhatók természetes technikával. Az implikáció eltávolításának a szabályával pedig a
-t is bizonyítottuk.
• az általánosítás szabályával nyertük a
szekvenciát megalapozó
magasságú levezetésfából. Az indukciós feltevés miatt ez a szekvencia megalapozható természetes technikával. Ekkor az univerzális kvantor bevezetésének szabályával a
-t is bizonyítottuk.
Ezzel a tételt bebizonyítottuk. Ezzel beláttuk azt is, hogy a természetes levezetés kalkulusa ekvivalens a predikátumkalkulussal, így bebizonyítottuk adekvátságát a klasszikus elsőrendű szemantikával.
Tétel [A természetes levezetés helyes és teljes.]
pontosan akkor látható be természetes levezetéssel, ha
.
Példa Bizonyítsuk be a természetes levezetés segítségével, hogy a
(6.7)
formula logikai törvény.