A H-atom kvantummechanikai tárgyalása Tanulságok

A H-atom kvantummechanikai tárgyalása

Tanulságok

A H-atom kvantummechanikai tárgyalása Tanulságok

1. Kiindulás: klasszikus mechanikai modell megalkotása

-

+

A H-atom kvantummechanikai tárgyalása Tanulságok

  ^{  }   ^



 ) E (

Hˆ

2. Schrödinger-egyenlet felírása:

Hamilton-operátor összeállítása

  ^{τ Tˆ}  ^x

^{, y}

^{, z}

 ^Tˆ  ^x

^{, y}

^{, z}

  ^{Vˆ x}

^{, y}

^{, z}

^{; x}

^{, y}

^{, z}



Hˆ   

E_kin(elektron) E_kin(proton) E_pot(pr.-el. vonzás)

A H-atom kvantummechanikai tárgyalása Tanulságok

3. A Schrödinger-egyenlet megoldása Sajátértékek: E

Sajátfüggvények:

n fő kvantumszám

mellék-kvantumszám

m mágneses kvantumszám



m

Ψ

A H-atom kvantummechanikai tárgyalása Tanulságok

4. sajátfüggvények:

más néven atompályák

Az elektronsűrűséget jellemzik az n, , m kvantumszámokkal

jellemzett állapotban

1s 2p_x 2py 2pz

3dX²- y² 3dz²

3dyz 3dxz 3dxy

z

y x

m

Ψ



A H-atom kvantummechanikai tárgyalása Tanulságok

5. Az

E_n energia, E_n = - konst. 1/n²

 _{n  m} atompálya (elektronsűrűség-eloszlás)

L imp. momentum absz. érték

L_z imp. momentum z-komp. L_z = m

M mág. momentum absz. érték

M_z mág. momentum z-komp. M_z = m_B





( 1)

L  

μB

1) (

L    

A H-atom kvantummechanikai tárgyalása Tanulságok

6. A mágneses momentum megnyilvánulása:

mágneses térben a H-atom energiája:

E

= E

+ V

ahol ^V

^{  m  μ}

^{ B }

Az azonos n, különböző m kvantumszámokhoz tartozó állapotok energiája

 mágneses tér távollétében megegyezik (degenerált állapotok)

 mágneses térben különbözik (spektrumban Zeeman-effektus)

A H-atom kvantummechanikai tárgyalása Tanulságok

7. Spin: Relativisztikus hatás következménye

ha = 0, m = 0.

S imp. momentum absz. érték

S_z imp. momentum z-komp. S_z = s

M^S mág. momentum absz. érték

 mág. momentum z-komp.





 ( 1) S  _{s s} 

B s

s e

S g ( 1) μ

M      

S

Mz M^S_z  g_esμ_B



4. A TÖBBELEKTRONOS

ATOMOK SZERKEZETE

4.1 A többelektronos atomok

Schrödinger-egyenlete

Klasszikus mechanikai modell

Pozitív töltésű részecske (atommag), amely körül

több negatív töltésű részecske (elektronok) mozog.

A Schrödinger-egyenlet általános formában

    ^{    E }   ^

Hˆ

  ^{  V}   ^

Tˆ

Többelektronos atomok Schrödinger-egyenlete:

a Hamilton-operátor

Tˆ

Tˆ

Vˆ

Vˆ

Z : az atom töltése

 

 ^{     }



i i ji o ij

2 i

o 2 2

n n

2 i

2 i e

2

EΨ r )Ψ

4π e r

4π Ze 2m

( 2m



 



Ezt a differenciál egyenletet nem lehet analitikusan

megoldani, csak közelítő módszerrel (numerikusan).

A többelektronos atomok energiaszintjei

Két közelítés:

 Független részecske modell Finomítás

 Független részecske modell

Vektormodell

4.3. A független részecske-modell

• az elektronokat egymástól különválasztja

• minden elektron

gömbszimmetrikus pályán mozog, amely a mag

vonzásából és az

elektronok taszításából tevődik össze (a többi elektron által leárnyékolt mag tere).

(visszavezetjük a H-atomra)

Tˆ

Tˆ

Vˆ

Vˆ

  _{  }

 

 



   _m    ^{Z r} _r ^{e E}

i i

i eff i i

i

e 0

2 2 2

4

2 ^ 

0

- az atommagot rögzítjük,

-az elektronok kin. E-ját változatás nélkül felírjuk

- a mag elektron vonzást és az elektron-elektron taszítást együtt a második tag képviseli,

A független részecske-modell

ˆ_n 0 T

  ^{r e}

Z

Mekkora

az i-ik elektronra ható effektív töltés ?

Ha r  0, Z^eff Z a mag közelében a többi elektron árnyékoló hatása kicsi

Ha r  ∞, Z^eff 1 a magtól nagyon távol a többi elektron árnyékoló hatása teljes Z^eff

A többelektronos atom energiája az egyes atompályák elektronjai energiáinak

összegeként adódik.

Eredmény:

Atompálya

m , ,

n 

Az energia csak n és függvénye.

Atompályák energiájának sorrendje:

E

<E

<E

<E

<E

<E

<E

(kivétel pl. Cu-atom, E <E !)



20

A többelektronos atomok

hullámfüggvénye

Legegyszerűbb:

„szorzat-hullámfüggvény”

A többelektronos atom hullámfüggvényét egy-

elektron hullámfüggvényeknek szorzataként írjuk fel.

Ellentmond a 6. axiómának!!!

(3)  χ

(2) χ

(1) χ

Ψ 





θ)σ(s) ,

( (r)Y

R

χ





ahol egyelektron-hullámfüggvény (mint a H-atomnál):

χ

6. axióma

Felcserélés

6. axióma

Egy kvantummechanikai rendszer hullámfüggvénye

• előjelet vált ha két nem egész spinű részecskét felcserélünk;

• nem vált előjelet, ha két egész spinű részecskét cserélünk fel.

Slater javaslata: determináns hullámfüggvény

Egy sor: egy elektron (annak a koordinátái a változók) Egy oszlop: egyféle hullámfüggvény





 (N)

χ (N)

χ (N)

χ

(1) χ

(1) χ

(1) χ

2,0,0, 1,0,0,

1,0,0,

2,0,0, 1,0,0,

1,0,0,

















Determináns kifejtése

c b d

d a c

b

a    

a d b

b c a

d

c    

Két sort felcserélve megváltozik az előjel.

Felépítési elv

(„Aufbau”-principle)

Az atomokat „felépítjük”, az atompályákra elektronokat helyezve.

Alapállapotban a legkisebb energiájú

atompályán 2 elektron, a következő atompályán

2 elektron stb. helyezkedik el.

Elektronkonfiguráció

Az elektronok elhelyezkedése az atompályákon.

Példa: alapállapotú foszfor:

1s

2s

2p

3s

3p

Elektronhéj

Elektronok maximális száma:

Magyarázat:

) 1 2

(

2  



 





 0 , 1 , 2 m

Azonos n és kvantumszámú atompályák.



Zárt és nyílt konfiguráció

Zárt: csak teljesen betöltött és üres héjak vannak az atomban.

Példa: alapállapotú Ca

1s

2s

2p

3s

3p

4s

Nyílt: van részlegesen betöltött héj.

Példa: alapállapotú P

1s

2s

2p

3s

3p

Egy elektron kisebb energiájú pályáról nagyobb energiájú pályára lép.

Kiválasztási szabály:

Ionizáció:

Egy elektron eltávolítása az egyik atompályáról.

 1



 

Elektrongerjesztés:

Független részecske modell Előnye: szemléletes, elektronszerkezetet, ionizációt, gerjesztést könnyű elképzelni

Hátránya: számítva az atomok energiáját az egyes

állapotokban a kísérleti értékektől messze eltérő

eredményt ad

4.4. A vektormodell

Figyelembe veszi a mozgó elektronok kölcsönhatását.

A zárt héjakon a töltés eloszlása gömbszimmetrikus

A nyílt héjakon, ha több elektron van, többnyire nem gömbszimmetrikus, függ a nyílt héj elektronjainak mellék-kvantumszámától.

Az s atompályákon az elektroneloszlás gömbszimmetrikus

A p, d….. atompályákon nem

A zárt héjakon az együttes elektroneloszlás gömbszimmetrikus , pl.

A nyílt héjakon nem (kivétel csak s pálya)

^2p_x²

 

1s 2px 2py 2p_z

3dX²- y² 3dz²

3dyz 3dxz 3dxy

z

y x

 0

  1   2

 az atompályák töltéseloszlása (alakja)

 az imp. momentum vektor hossza

 mellékkvatumszámtól függ





( 1)

L  

A nyílt héjakon az elektroneloszlás, annak eltérése a

gömbszimmetrikustól összefügg az eredő imp. momentummal,

ami az elektronok egyedi imp. momentumainak vektori eredője.

L L1

L2

L1 L₁

L2

L2

L

L





 ( 1) L₁  _{1 1} 

! , ₂

1 L és L hossza is kvantált L  





 ( 1)

L₂  _{2 2} 

L  L (L  1)  

L



2 

1,L L 

Mire utal a vektormodell név?

Mire utal a vektormodell név?

A H-atom elektronjának imp. momentuma





  

 ( 1) L

A több elektronos atomban az el.-ok imp.

momentumainak vektori összege adható meg:

 



 L (L 1) L

L

Eredmény:

Egyes konfigurációkhoz egy állapot tartozik Más konfigurációkhoz

több állapot, eltérő energiával

Az állapotokat jellemző kvantumszámok

n fő kvantumszám

és az ún. csoport-kvantumszámok

L csoport mellékkvantumszám S csoport spinkvantumszám J csoport belső kvantumszám

M , M , M csoport mágneses kvantumszámok

Az atomok energiája

n-től nagyon,

L-től, S-től közepesen, J-től kicsit függ.

Mágneses térben M

, M

, M

– től is függ.

Az állapotok szimbólumai

J

n

L

Példa:

3

S

Az atomi színképekre vonatkozó kiválasztási szabályok

 n

 1



L

0 S 



1 ,

0

J  



tetszés szerint

Csoportkvantumszámok lehetséges értékei:

a konfigurációt jellemző kvantumszámokból leszármaztatható

- Zárt konfiguráció, L = 0, S = 0, J = 0

- Nyílt konfiguráció: a nyílt héjon lévő elektronok kvantumszámaiból vezethető le

- nyílt héjon egy elektron:

L = ℓ₁, S = ℓ_S1, J = L + S, L –S

Példa: Na atom D vonalai (sárga lángszín eredete)

2S_1/2

n = 3 n = 4

2P_3/2 ²P_1/2

n = 3 n = 3

589.6 nm D1

589.0 nm D2

Na alapállapotú konfigurációja: 1s²2s²2p⁶3s¹ Állapot: 3²S_1/2

Gerjesztett konfiguráció: 1s²2s²2p⁶3p¹ Állapotok: 3²P_3/2, 3²P_1/2

Nyílt konfiguráció, két elektron két különböző nyílt héjon

2 1

2 1

2

1

, 1

L            

2 s 1

s 2

s 1

s

,

S        

J = L+S, L+S-1 …, |L-S|

Példa: He atom energiaszintjei



triplett triplett szingulett szingulett

szingulett

Példa: He-atom elektronállapotai

A héliumatom energiaszint-diagramja

4.6 Az atomi színképek mérése

Atomspektroszkópia

Cél: az elemi összetétel meghatározása.

Mintakészítés: magas hőmérsékletre hevítés.

Az atomi színképek vonalasak

Katódüreglámpa: emissziós

Töltőgáz: Ne, vagy Ar Kis nyomás: 2-8 Torr Sávszélesség: ~ 0,001 nm

Katódüreglámpa abszorpciós

méréshez

Neonnal töltött katódüreglámpa

elnyelési színképe

Indukciósan csatolt

plazma égő

(ICP-égő)

LIBS - laser induced breakdown spectroscopy

Lézer-indukált letörési spektroszkópia:

időfelbontásos atomspektroszkópia

LIBS - laser induced breakdown spectroscopy

Csempe hátlapjának kisfelbontású spektruma

Nagy Balázs diplomamunkája (témav. Nemes 58

László)

Csempe hátlapjának nagyfelbontású

spektruma

Időben felbontott spektrum

Alapkérdések

1.Mi a független részecske modell alapgondolata?

2.Mit nevezünk elektronhéjnak?

3.Írja fel az alapállapotú fluoratom (a fluor a 9. elem) elektron- konfigurációját!

4.Milyen vektormennyiségre utal a többelektronos atomokra használt

„vektormodell” elnevezés?

5.Milyen értékeket vehet fel egy többelektronos atom eredő (pálya) impulzusmomentuma?

6.Milyen csoportkvantumszámok jellemzik az atomok elektronállapotait?

7.Milyen formában adjuk meg az atomoknak a vektormodell alapján adódó elektronállapotait?

8.Milyen állapotok tartoznak a He atom 1s¹2p¹ gerjesztett konfigurációjához?

9.Hogyan keletkeznek a gerjesztett atomok a katódüreglámpában?