Hamilton-láncok hipergráfokban

(1)

Hamilton-láncok hipergráfokban

Katona Gyula Y.

BME SZIT

2008. március 4.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Hamilton-láncok hipergráfokban 2008. március 4. 1 / 29

(2)

Tartalom

1 Definíciók

2 Dirac-típusú tétel

3 k-él-Hamilton hipergráfok

4 Maximálisan nem-Hamilton hipergráfok

5 Hamilton-út telített hipergráfok

(3)

Tartalom

1 Definíciók

(4)

Mi egy hipergráf?

Definíció

Egy r -uniform hipergráf egy(V,E)pár, ahol V a pontok halmaza, ésE a V ponthalmaz r -elem ˝u részhalmazainak egy halmaza, amiket hiperéleknek hívunk.

Gráf

1

2

3 4

5 6

7 {1,2}

{4,5} {5,7} {1,3} {3,6} {4,6} {6,7}

3-uniform hipergráf

1

2

3 4

5 6

7 {1,2,3}

{1,4,6} {5,6,7} {2,3,6} {1,5,6}

(5)

Mi egy hipergráf?

Definíció

Gráf

1

2

3 4

5 6

7 {1,2}

{4,5} {5,7} {1,3} {3,6} {4,6} {6,7}

1

2

3 4

5 6

7 {1,2,3}

{1,4,6} {5,6,7} {2,3,6} {1,5,6}

(6)

Mi egy hipergráf?

Definíció

Gráf

1

2

3 4

5 6

7

{1,2} {4,5} {5,7} {1,3} {3,6} {4,6} {6,7}

1

2

3 4

5 6

7 {1,2,3}

{1,4,6} {5,6,7} {2,3,6} {1,5,6}

(7)

Mi egy hipergráf?

Definíció

Gráf

1

2

3 4

5 6

7 {1,2}

{4,5} {5,7} {1,3} {3,6} {4,6} {6,7}

1

2

3 4

5 6

7 {1,2,3}

{1,4,6} {5,6,7} {2,3,6} {1,5,6}

(8)

Mi egy hipergráf?

Definíció

Gráf

1

2

3 4

5 6

7 {1,2}

{4,5}

{5,7} {1,3} {3,6} {4,6} {6,7}

1

2

3 4

5 6

7 {1,2,3}

{1,4,6} {5,6,7} {2,3,6} {1,5,6}

(9)

Mi egy hipergráf?

Definíció

Gráf

1

2

3 4

5 6

7 {1,2}

{4,5}

{5,7}

{1,3} {3,6} {4,6} {6,7}

1

2

3 4

5 6

7 {1,2,3}

{1,4,6} {5,6,7} {2,3,6} {1,5,6}

(10)

Mi egy hipergráf?

Definíció

Gráf

1

2

3 4

5 6

7 {1,2}

{4,5}

{5,7}

{1,3}

{3,6} {4,6} {6,7}

1

2

3 4

5 6

7 {1,2,3}

{1,4,6} {5,6,7} {2,3,6} {1,5,6}

(11)

Mi egy hipergráf?

Definíció

Gráf

1

2

3 4

5 6

7 {1,2}

{4,5}

{5,7}

{1,3}

{3,6}

{4,6} {6,7}

1

2

3 4

5 6

7 {1,2,3}

{1,4,6} {5,6,7} {2,3,6} {1,5,6}

(12)

Mi egy hipergráf?

Definíció

Gráf

1

2

3 4

5 6

7 {1,2}

{4,5}

{5,7}

{1,3}

{3,6}

{4,6}

{6,7}

1

2

3 4

5 6

7 {1,2,3}

{1,4,6} {5,6,7} {2,3,6} {1,5,6}

(13)

Mi egy hipergráf?

Definíció

Gráf

1

2

3 4

5 6

7 {1,2}

{4,5}

{5,7}

{1,3}

{3,6}

{4,6}

{6,7}

1

2

3 4

5 6

7 {1,2,3}

{1,4,6} {5,6,7} {2,3,6} {1,5,6}

(14)

Mi egy hipergráf?

Definíció

Gráf

1

2

3 4

5 6

7 {1,2}

{4,5}

{5,7}

{1,3}

{3,6}

{4,6}

{6,7}

1

2

3 4

5 6

7 {1,2,3}

{1,4,6} {5,6,7} {2,3,6} {1,5,6}

(15)

Mi egy hipergráf?

Definíció

Gráf

1

2

3 4

5 6

7 {1,2}

{4,5}

{5,7}

{1,3}

{3,6}

{4,6}

{6,7}

1

2

3 4

5 6

7

{1,2,3} {1,4,6} {5,6,7} {2,3,6} {1,5,6}

(16)

Mi egy hipergráf?

Definíció

Gráf

1

2

3 4

5 6

7 {1,2}

{4,5}

{5,7}

{1,3}

{3,6}

{4,6}

{6,7}

1

2

3 4

5 6

7 {1,2,3}

{1,4,6} {5,6,7} {2,3,6} {1,5,6}

(17)

Mi egy hipergráf?

Definíció

Gráf

1

2

3 4

5 6

7 {1,2}

{4,5}

{5,7}

{1,3}

{3,6}

{4,6}

{6,7}

1

2

3 4

5 6

7 {1,2,3}

{1,4,6}

{5,6,7} {2,3,6} {1,5,6}

(18)

Mi egy hipergráf?

Definíció

Gráf

1

2

3 4

5 6

7 {1,2}

{4,5}

{5,7}

{1,3}

{3,6}

{4,6}

{6,7}

1

2

3 4

5 6

7 {1,2,3}

{1,4,6}

{5,6,7}

{2,3,6} {1,5,6}

(19)

Mi egy hipergráf?

Definíció

Gráf

1

2

3 4

5 6

7 {1,2}

{4,5}

{5,7}

{1,3}

{3,6}

{4,6}

{6,7}

1

2

3 4

5 6

7 {1,2,3}

{1,4,6}

{5,6,7}

{2,3,6}

{1,5,6}

(20)

Mi egy hipergráf?

Definíció

Gráf

1

2

3 4

5 6

7 {1,2}

{4,5}

{5,7}

{1,3}

{3,6}

{4,6}

{6,7}

1

2

3 4

5 6

7 {1,2,3}

{1,4,6}

{5,6,7}

{2,3,6}

{1,5,6}

(21)

Hamiltonian-lánc

A Hamilton kör egy gráfban a pontok egy ciklikus permutációja, hogy minden szomszédos pár egy élet alkot.

(22)

Hamiltonian-lánc

(23)

Hamiltonian-lánc

(24)

Hamilton-lánc

Definíció

LegyenHegy r -uniform hipergráf. AHamilton-lánca pontok egy ciklikus permutációja, hogy minden szomszédos r -es egy élet alkot.

Definíció

Egy r -uniform hipergráfban a különböz ˝o{v₁,v₂, . . . ,v_m}, pontokból állórögzített m-es fokszámaazoknak az éleknek a száma, amelyek tartalamazzák a{v₁,v₂, . . . ,v_m}pontok mindegyikét.

Jelölése:

d_r(v₁,v₂, . . . ,v_m).δ^(m)_r (H)jelöli a minimimális d_r(v₁,v₂, . . . ,v_m)értéket az összes m-es közöttH-ban. Egy m-esszomszédsága:

NH(v₁,v₂, . . . ,v_m) :={E− {v₁,v₂, . . . ,v_m} |v_i ∈E,E ∈ E(H)}.

r= 5 m= 3

(35)

Fokszám

Definíció

Egy r -uniform hipergráfban a különböz ˝o{v₁,v₂, . . . ,v_m}, pontokból állórögzített m-es fokszámaazoknak az éleknek a száma, amelyek tartalamazzák a{v₁,v₂, . . . ,v_m}pontok mindegyikét. Jelölése:

d_r(v₁,v₂, . . . ,v_m).δ^(m)_r (H)jelöli a minimimális d_r(v₁,v₂, . . . ,v_m)értéket az összes m-es közöttH-ban.

(42)

Hipergráfos eredmény

Tétel (Katona, Kierstead; 2000)

HaH= (V,E)egy r -uniform hipergráf n ponton és

δr−1(H)>(1−_2r¹)n+4−r− _2r⁵, akkorHtartalmaz Hamilton-láncot.

A bizonyítás vázlata.

Tétel (Ruci ´nski, Rödl, Szemerédi; 2006)

HaH= (V,E)egy r -uniform hipergráf, aholn elég nagyés δr−1(H)≥ ¹₂n, akkorHtartalmaz a Hamilton-láncot.

Igaz-e ez „normális méret ˝u” hipergráfokra? Ore típusú tétel?

Definíció

Egy hipergráfk -él-Hamiltonha akármelyik k élének elhagyásával marad a hipergáfban Hamilton-lánc.

Kérdés

Mennyi az élek minimális száma egy n pontú, k -él-Hamilton, r -uniform hipergráfban?

r=2 esetén =⇒

Tétel (Paoli, Wong, Wong; 1984)

Egy n≥k +3pontú, k -él-Hamilton gráfban az élek minimális száma dn(k +2)/2e.

(49)

Definíció

Kérdés

r=2 esetén =⇒

(50)

Definíció

Kérdés

r=2 esetén =⇒

(51)

Triviális alsó becslés

Megfigyelés

HaHegy k -él-Hamilton, r -uniform hipergráf, akkorδ^(r)₁ ≥k+r .

Bizonyítás.

Egyr-uniform Hamilton-lánc minden pontja pontosanr élben van benne. Így kell legalábbr él azután is, hogy kitöröltünkk élet. Ez élesr =2 esetén, de nem éles, har >2.

(52)

Triviális alsó becslés

Megfigyelés

Bizonyítás.

Egyr-uniform Hamilton-lánc minden pontja pontosanr élben van benne. Így kell legalábbr él azután is, hogy kitöröltünkk élet.

Ez élesr =2 esetén, de nem éles, har >2.

(53)

Triviális alsó becslés

Megfigyelés

Bizonyítás.

Egyr-uniform Hamilton-lánc minden pontja pontosanr élben van benne. Így kell legalábbr él azután is, hogy kitöröltünkk élet.

Ez élesr =2 esetén, de nem éles, har >2.

(54)

Új eredmény r = 3, k = 1 esetén

Tétel (Frankl, Katona; 2008)

Van olyan n pontú1-él-Hamilton3-uniformHhipergráf amire

|E(H)|= 11

6 n+o(n)≈1.83n.

Triviális becslés: 2 éldiszjunkt Hamilton-lánc =⇒2nél

(55)

Új eredmény r = 3, k = 1 esetén

Van olyan n pontú1-él-Hamilton3-uniformHhipergráf amire

|E(H)|= 11

6 n+o(n)≈1.83n.

Triviális becslés: 2 éldiszjunkt Hamilton-lánc =⇒2nél

(56)

A mi konstrukciónk

Miért 1-él-Hamilton ez?

|E(H)| ≥ 4

3n≈1.33n Bizonyítás.

Minden pontnak benne kell lennie legalább 4 élben .

|E(H)| ≥ 14

9 n≈1.55n.

(78)

Lower bound

Megfigyelés (Triviális becslés)

|E(H)| ≥ 4

3n≈1.33n Bizonyítás.

Minden pontnak benne kell lennie legalább 4 élben .

|E(H)| ≥ 14

9 n≈1.55n.

(79)

A bizonyítás f ˝o ötlete

Ha egyv pont benne van a Hamilton-láncban, akkorN(v)tartalmaz egyP₄-et.

v

N(v)

P4

Jelölje S(k)egy k -stabil gráf éleinek minimális számát. Ha k ≥2akkor

S(k) =

& k +

r 2k+9

4 +3 2 '

.

(85)

Minimális méret ˝u k -stabil gráfok

Kérdés

k =1 esetén 4 és az extremális gráf aC₄.

De ez csak a triviális becslést adja.

S(k) =

& k +

r 2k+9

4 +3 2 '

.

(86)

Minimális méret ˝u k -stabil gráfok

Kérdés

S(k) =

& k +

r 2k+9

4 +3 2 '

.

(87)

Minimális méret ˝u k -stabil gráfok

Kérdés

S(k) =

& k +

r 2k+9

4 +3 2 '

.

(88)

Minimális méret ˝u k -stabil gráfok

Kérdés

S(k) =

&

k + r

2k+9 4 +3

2 '

.

(89)

Általános alsó becslés

Következmény (Frankl, Horváth, Katona)

Minden n pontú, k -él-Hamilton,3-uniform hipergráfra teljesül, hogy

|E(H)| ≥

k + q

2k+⁹₄+ ³₂

3 n>

(k +2)n

3

.

(90)

Általános alsó becslés

Következmény (Frankl, Horváth, Katona)

Minden n pontú, k -él-Hamilton,3-uniform hipergráfra teljesül, hogy

|E(H)| ≥

k + q

2k+⁹₄+ ³₂

3 n>

(k +2)n

3

.

(91)

További eredmények

Tétel

Van olyan n pontú,2-él-Hamilton,3-uniformHhipergráf, melyre

|E(H)|= 13

4 n+o(n).

w_i−2 wi+2

w_i−1 w_i+1

v_4(i−1)+10 v_4(i−1)+5

wi

v_4(i−1)+1

(92)

További eredmények

Tétel

Van olyan n pontú,2-él-Hamilton,3-uniformHhipergráf, melyre

|E(H)|= 13

4 n+o(n).

w_i−2 wi+2

w_i−1 w_i+1

v_4(i−1)+10 v_4(i−1)+5

wi

v_4(i−1)+1

(93)

További eredmények

Tétel

Van olyan n pontú,1-él-Hamilton, r -uniformHhipergráf

|E(H)|= 4r−1

2r n+o(n).

Tétel

|E(H)| ≥ 3 2n. Kérdés

Legalább hány éle van egy k -stabil, r -uniform hipergráfnak?

(94)

További eredmények

Tétel

|E(H)|= 4r−1

2r n+o(n).

Tétel

|E(H)| ≥ 3 2n.

Kérdés

(95)

További eredmények

Tétel

|E(H)|= 4r−1

2r n+o(n).

Tétel

|E(H)| ≥ 3 2n.

Kérdés

(96)

Tartalom

1 Definíciók

(97)

Kérdés

Legfeljebb hány éle van egy n pontú, r -uniform hipergráfnak, amiben nincs Hamilton-lánc?

Gráfokra: ⁿ⁻¹₂ +1

(98)

Kérdés

Legfeljebb hány éle van egy n pontú, r -uniform hipergráfnak, amiben nincs Hamilton-lánc?

Gráfokra: ⁿ⁻¹₂ +1

(99)

Új eredmény

Ha egy n pontú, r -uniformHhipergráfban nincs Hamilton-lánc, akkor

|E(H)| ≤

1− 4r (4r −1)n

n r

= 1 r!

n^r −

r

2

+12 11

n^r⁻¹+o(n^r⁻¹)

.

Tétel (Tuza; 2007)

Minden n>r esetén van olyan r -uniform hipergráf n ponton, hogy az élek száma legalább

n−1 r

+

n−1 r −2

+o(n)= 1 r!

n^r −2

r 2

n^r−1+o(n^r−1)

.

(100)

Új eredmény

Ha egy n pontú, r -uniformHhipergráfban nincs Hamilton-lánc, akkor

|E(H)| ≤

1− 4r (4r −1)n

n r

= 1 r!

n^r −

r

2

+12 11

n^r⁻¹+o(n^r⁻¹)

.

Tétel (Tuza; 2007)

Minden n>r esetén van olyan r -uniform hipergráf n ponton, hogy az élek száma legalább

n−1 r

+

n−1 r −2

+o(n)= 1 r!

n^r −2

r 2

n^r−1+o(n^r−1)

.

(101)

Tartalom

1 Definíciók

(102)

Definíció

EgyHhipergráfHamilton-út telített, haH-ban nincs nyílt Hamilton-lánc (Hamilton-út), de akárhogy veszünk hozzá új élet már lesz benne.

Hamilton-lánc telített hipergráfok hasonlóan definiálhatók.

Kérdés

Legalább hány éle van egy n pontú, Hamilton-út (lánc) telített hipergráfnak?

Gráfokra Bollobás kérdezte ezt.

Körre megoldották: Bondy (1972); Clark, Entringer, Shapiro (1992); Ling, Jiang, Yang, Zhang (1992). =⇒_3n

2

Útra: Dudek, Katona, Wojda (2005). =⇒_3n−5

2

és_3n−1

2

között

(103)

Definíció

Kérdés

2

és_3n−1

2

között

(104)

Definíció

Kérdés

2

és_3n−1

2

között

(105)

Definíció

Kérdés

2

és_3n−1

2

között