Bevezetés a számításelméletbe II. Ureczky Bálint
2009. szeptember 22. ubalint@cs.bme.hu
2. gyakorlat Kromatikus szám
1. Határozd meg az alábbi gráfok kromatikus számát!
a) b) c)
2. Egy gráf csúcsai legyenek az 1 és 2009 közé es˝o egészek. Két csúcsot akkor kötünk össze, ha a különbségük legfeljebb 9. Mennyi a gráf kromatikus száma?
3. Határozzuk meg az összes olyanncsúcsú, egyszer˝uGgráfot, melyreχ(G) = 3, de bárhogy hagyunk el bel˝ole egy csúcsot, a kapottG0gráfraχ(G0) = 2.
4. Határozzuk meg az összes olyan 10 csúcsú, egyszer˝uGgráfot, melyreχ(G) = 2, de bárhogy húzunk beG-be egy új élet (két nemszomszédos csúcs közé), a kapottG0gráfraχ(G0)>2.
5. Bizonyítsd be, hogy tetsz˝olegesnpontú éseél˝u egyszer˝uGgráfra igazak a következ˝ok:
a) e≥ χ(G)2 .
b) χ(G) +α(G)≤n+ 1.
c) χ(G)·α(G)≥n. (el˝oadáson volt) d) χ(G)·χ(G)≥n.
6. Bizonyítsd be, hogy tetsz˝olegeseél˝u egyszer˝u gráf élei közül elhagyható legfeljebb e2 úgy, hogy a maradék gráf páros gráf legyen.
7. AGgráf csúcsai legyenek egy sakktábla mez˝oi. Két csúcs akkor szomszédos G-ben, hogyha a megfelel˝o mez˝ok egy lépésben elérhet˝ok egymásból egy lóval(huszárral). Igaz-e, hogyGpáros gráf?
8. AGgráf csúcsai legyenek egy sakktábla mez˝oi. Két csúcs akkor szomszédos G-ben, hogyha a megfelel˝o mez˝ok egy lépésben elérhet˝ok egymásból egy bástyával. Mutassuk meg, hogyχ(G) =ω(G).
9. EgyGegyszer˝u gráfban 2009 kivételes ponttól eltekintve minden pont foka legfeljebb 2008. Bizonyítsd be, hogyχ(G)≤2009.
10. Legyenk≥2egész szám ésGegy2k+ 1pontú kör komplementere. Határozd megχ(G)ésω(G)értékét!
11. Adott a síkon néhány egyenes úgy, hogy semelyik három nem megy át egy ponton. LegyenGaz ezek által meghatározott gráf:Gcsúcsai az egyenesek metszéspontjai, két csúcs pedig akkor szomszédos, ha az egyik egyenesen szomszédos metszéspontok. Mutassuk meg, hogyχ(G)≤3.
12. AGgráf csúcsai legyenek azu1, u2, . . . , u2006, v1, v2, . . . , v2007pontok.Gfeszített részgráfja azuipontokon egy 2006, avipontokon egy 2007 hosszú kör. Ezen kívüluiésvjössze vannak kötve minden lehetségesiés jesetén. Mennyi aGgráf kromatikus száma?
13. LegyenGésH két különböz˝o gráf diszjunkt ponthalmazokkal. Készítsünk bel˝olük egyF gráfot úgy, hogy Gminden pontját összekötjükHminden pontjával. Bizonyítsuk be, hogyχ(F) =χ(G) +χ(H)!
14. EgyGgráf csúcshalmaza legyenV(G) ={1,2, . . . ,100}. Azxésycsúcsok akkor szomszédosak, hax6=y és100≤x·y≤400. Határozzuk megχ(G)értékét!
15. A Ggráf csúcsai legyenek azok a10100-nál nem nagyobb pozitív egészek, melyeknek van 20-nál kisebb prímosztója. Két csúcs pontosan akkor szomszédosG-ben, ha a megfelel˝o egészek relatív prímek (vagyis legnagyobb közös osztójuk 1). Állapítsuk megχ(G)-t!
