Feladatok: Elméletiösszefoglaló: Szimmetrikuscsoport(2),Gráfokmátrixai 11.gyakorlat

Bevezetés a számításelméletbe II. Ureczky Bálint

2009. november 24.

11.gyakorlat

Szimmetrikus csoport(2),Gráfok mátrixai

Elméleti összefoglaló:

• Szomszédossági (adjacencia) mátrix:A(G) [A(G)^k]i,j: k hosszú i->j élsorozatok száma

• Illeszkedési (incidencia) mátrix:B(G)

G: hurokélmentes:⇒r(B(G)) =|V(G)| −c(G)

Feladatok:

1. AGcsoporta,béscelemei különböznek azeegységt˝ol ésa³ =b⁵ =c⁷ =e. Lássuk be, hogyG-nek legalább 100 eleme van.

2. Igazold, hogy a következ˝o halmazokSn-nek generátorrendszerei:

a) {(1 2),(1 3), . . . ,(1n)}

b) {(1 2),(2 3), . . . ,(n−1n)}

c) {(1 2),(1 2 3 . . . n)}

3. Tartalmaz-e azS5szimmetrikus csoport a 7 elem˝u ciklikus csoporttal izomorf részcsoportot?

4. Melyik az a legkisebb pozitív egész szám, melyreSn-nek vanD4-el izomorf részcsoportja?

5. LegyenAegy egyszer˝u irányítatlan gráf szomszédossági mátrixa. Mutassuk meg, hogy ha azA²mátrix f˝oátlóbeli elemeit összeadjuk, akkor páros számot kapunk.

6. Bizonyítsuk be, hogy ha aznpontú irányítottGgráfban nincs irányított kör, akkor szomszédossági mátrixánakn-edik hatványa a csupa nulla mátrix!

7. Mennyi az irányított 3 hosszú kör illeszkedési mátrixának rangja?

8. Döntsd el, hogy a megadott csoportokban baloldali mellékosztályt alkotnak-e (valamilyen részcsoport szerint) a megadott részhalmazok.

a) az egész számok csoportja az összeadással; a8k+ 5(k∈Z)alakú egészek b) az egész számok csoportja az összeadással; a prímszámok.

c) Sn; azok a permutációk, amik 1-hez 2-t rendelnek.