• Nem Talált Eredményt

1 3 – 2008. 09. 16. 2. gyakorlat – Gráfelméleti alapfogalmak, fák alaptulajdonságai, Prüfer-kód, Kruskal tétele Számítástudomány alapjai

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Ossza meg "1 3 – 2008. 09. 16. 2. gyakorlat – Gráfelméleti alapfogalmak, fák alaptulajdonságai, Prüfer-kód, Kruskal tétele Számítástudomány alapjai"

Copied!
2
0
0

Teljes szövegt

(1)

Számítástudomány alapjai

2. gyakorlat – Gráfelméleti alapfogalmak, fák alaptulajdonságai, Prüfer-kód, Kruskal tétele – 2008. 09. 16.

http://www.cs.bme.hu/~peresz/sza/

1. Jelölje j

( )

n az n számnál kisebb, n-hez relatív prím számok számát! Adjunk formulát

( )

n

j értékének kiszámítására!

2. Hányféleképp választható ki 3 különböző szám az 1,2,K,100 számok közül úgy, hogy összegük 3-mal osztható legyen?

3. Izomorfizmus

a. (1/1) Izomorfak-e az alábbi ábra gráfjai?

b. (1/2) Izomorfak-e az alábbi ábra gráfjai?

c. (1/6) Rajzolja fel az összes olyan nemizomorf 7 pontú fát, amelyben van negyedfokú pont!

d. (1/7) Legyen k³7. Hány darab olyan, páronként nemizomorf, k pontú fa van, amely tartalmaz

(

k-3

)

-adfokú pontot?

4. (1/17) Hány olyan egyszerű gráf van, melynek fokszámai rendre: 2, 3, 3, 4, 6, 6, 6?

5. (1/24) Bizonyítsuk be, hogy egy n pontú fában a másodfokú pontok száma nem lehet pontosan n-3!

6. (1/29) Jelöljünk ki a fában 4 elsőfokú pontot. Mutassuk meg, hogy ezek összepárosíthatók úgy, hogy a párok éldiszjunkt utakkal legyenek összekötve!

7. Cayley-tétel, Prüfer-kód

a. (1/34) Egy n csúcsú fa Prüfer-kódja n-1 azonos számjegyből áll. Mi a fa, amit kódol és mi ez a szám? (Egy n csúcsú fa Prüfer-kódjába beleértjük annak

(

n-1

)

- edik elemét is.)

b. (1/35) Egy F fa Prüfer-kódja csupa különböző számból áll. Hogyan jellemezhetjük F-et?

A

B

C D E

F

G 1

2

3

4 5 6

7

B

A C D E F

1 2

3

4

5 6

(2)

c. (1/36) Válasszuk meg x értékét úgy, hogy az alábbi sorozat egy olyan fa Prüfer- kódja legyen, amelyben minden pont fokszáma páratlan szám! Adjuk is meg ezt a fát! A sorozat: 1, 1, 5, x, 6, 6, 8.

8. (1/38) Hány olyan fa adható meg n címkézett ponton, amelynek legalább három elsőfokú csúcsa van?

9. (1/47) Hány minimális súlyú feszítőfája van annak az 1000 csúcsú teljes gráfnak, amelyben egy háromszög éleinek súlya 1, minden más él súlya 2? (A pontokat címkézettnek tekintjük.)

10. (1/48) Igaz-e a következő állítás? Ha egy 2n pontú egyszerű G gráfban minden pont foka legalább n, akkor G összefüggő.

11. (1/57) Mutassuk meg, hogy egy hurokmentes irányított gráf élhalmaza felbontható két diszjunkt részhalmazra úgy, hogy egyik sem tartalmaz irányított kört!

12. * (1/22) Bizonyítsuk be, hogy minden pozitív egész n-re van olyan egyszerű, összefüggő, 2n csúcsú gráf, melynek minden 1£k £n esetén pontosan két k fokszámú csúcsa van!

13. * (1/33) Hány olyan fa adható meg n címkézett ponton, melyben a pontpárok távolságai közül a legnagyobb hárommal egyenlő?

Hivatkozások

KAPCSOLÓDÓ DOKUMENTUMOK

Bizony´ıtsuk be, hogy G ´eleinek egy tetsz˝ oleges ir´ any´ıtott k¨or mentes ir´ any´ıt´ as´ aban az emeletek sz´ ama legal´ abb χ(G).. A G ir´ any´ıtott gr´ afb´ol

(ZH, 2006) Bizonyítsuk be, hogy n házaspár tagjai leültethetők egy 2n személyes kerek asztal köré úgy, hogy mindenki mellett vagy a házastársa, vagy azonos nemű

Két pont akkor legyen összekötve egy éllel, ha a nekik megfelelő részhalmazok diszjunktak (metszetük üres).. Síkbarajzolható-e ez

Az információkban pontosan akkor nincs ellentmondás, ha a gráf DAG (egyik irány: ha lenne ellentmondás, akkor az irányított kört jelentene a gráfban; másik irány: ha kör van

Biz: Irányítsuk G éleit az egyik színosztályba, és a kapott G ~ irányított gráf (TU tulajdonságú) inci- denciamátrixában szorozzuk meg (−1)-gyel a másik színosztályhoz

Ezek az eredeti 2-3-fától abban különböznek csak, hogy minden csúcsban fel van jegyezve az onnan induló részfa magassága.. Javasoljunk hatékony algoritmust a két

3. Egy 23 csúcsú egyszerű gráfban minden csúcs foka legalább 7. Mutassuk meg, hogy bárhogy választunk ki a gráf csúcsai közül hármat, lesz köztük két olyan, melyek között

38. § (1) A helyettes államtitkár az  általa irányított önálló szervezeti egységek feladatkörébe tartozó, valamint a  helyettes államtitkár