Akva
zídia
ikaf zidiaga
jadkiéekezéazS dEövö dT d
yegyee
Fizikai
ézeE

doktori értekezés

Katz Sándor

Eötvös Loránd Tudományegyetem, Fizikai Intézet,

Elméleti Fizikai Tanszék

KöszönetteltartozomFodorZoltánnak,akivelegyüttkezdtünkeldolgozniaQCD

fázisdiagramjának vizsgálatán. Ez a közös munka, melynek során számos él-

ménnyel lettem gazdagabb, ma is tart. A munkán túlmen®en magánemberként

is mindigszámíthattam rá.

Hálás vagyok Csikor Ferennek, tanáromnak és kollégámnak, aki türelmes

és megért® tanszékvezet®ként sokat segítettbeilleszkedésemben. Beszélgetéseink

soránsokattanultam. KöszönömSzabóKálmánnak,hogyakárhajnaliórákbanis

kész volt érdekes problémákatmegvitatni. Köszönömtovábbá szerz®társaimnak,

Yasumihi Aokinak, Egri Gy®z®nek, Endr®di Gergelynek és Tóth Annának a

közös munka lehet®ségét, azélvezetes és inspirálóbeszélgetéseket.

Munkámat azELTE ElméletiFizikaiTanszékén, aDESY ElméletiOsztályán

és a Wuppertali Egyetem Elméleti Fizikai Tanszékén végeztem. Minden kollé-

gámnak hálás vagyok akellemes légkörért.

AkutatásokatazT22929,T28413,T29803,T34980,T37615. M37071,T032501,

TS44839,AT049652jel¶OTKApályázatok,azOMFB1548,OMMU-708pályáza-

tok,azFO502/1-1jel¶németDFGpályázatésazRII3-CT-20040506078jel¶EU

pályázat támogatta. Az összes számítástaz ELTE 330 személyi számítógépéb®l

és a wuppertali egyetem 1100 gépéb®lálló rendszerenvégeztük.

1. Bevezetés 7

1.1. A QCD két fázisdiagramja . . . 9

2. QCD termodinamika ráson 13 2.1. A rás hatás . . . 14

2.2. Korreláiósfüggvények . . . 19

2.3. A kontinuum limesz. . . 20

2.4. Algoritmusok . . . 21

3. Nulla kémiai poteniál 27 3.1. A hatás megválasztása . . . 27

3.2. T=0 szimuláiók . . . 29

3.2.1. Az LCP meghatározása. . . 29

3.2.2. A skála meghatározása . . . 33

3.3. A QCD átmenet rendje . . . 36

3.4. Az átmenetih®mérséklet . . . 41

3.4.1. Királis szuszeptibilitás . . . 43

3.4.2. Kvarkszám szuszeptibilitás . . . 44

3.4.3. Poljakov hurok . . . 46

3.5. Az állapotegyenlet . . . 50

4. Véges kémiai poteniál 59 4.1. A kémiai poteniála ráson . . . 59

4.2. Az el®jel probléma . . . 60

4.3. Többparaméteres átsúlyozás . . . 62

4.3.1. Az

N f = 4

fázisátmenet

µ > 0

^{esetén . . . . . . . . . . . . 65}

4.3.2. Az

N f = 4

^fázisgörbemeghatározása Lee-Yang zérusok segítségével . . . 66

4.3.3.

N f = 2 + 1

^{íz használata}

µ > 0

^{esetén. . . . . . . . . . . . 70}

4.4. A QCD kritikuspontja . . . 72

4.5. A

µ > 0

állapotegyenlet . . . 77

4.5.1. Az LCP meghatározása. . . 77

4.5.2. A legjobbátsúlyozás vonala . . . 80

4.5.3. A nyomás és azenergias¶r¶ség meghatározása . . . 83

5. Összefoglalás, kitekintés 89

Bevezetés

A kvantum-színdinamika (QCD) az er®s kölsönhatás ma ismert legpontosabb

elmélete. AQCDelemirészeskéiellentétbenaStandardModelláltalleírttöbbi

részeskével nem gyelhet®k meg közvetlenül. A QCD Lagrange-függvényében

szerepl®kvarkokkalésgluonokkalatermészetbensakkötöttállapotok,hadronok

formájában találkozunk.

A QCD talán legfontosabb tulajdonsága az aszimptotikus szabadság. Ala-

sony energiákon a satolási állandó értéke nagy, azonban ez nagy energiák felé

haladva sökken, nullához tart. Míg alasony energiákon a satolás nagy érté-

kemiatt arészeskezika egyiklegfontosabb eszköze, aperturbáiószámításnem

m¶ködik, azenergiaskála növekedésével és azaszimptotikus szabadság értelmé-

ben a satolás sökkenésével lehet®ség nyílik szórások hatáskeresztmetszetének

perturbatívszámolására. A jóslatokata kísérletek is meger®sítik.

Alasony energián(körülbelül1GeValatt)akötöttállapotokéskölsönhatá-

saik leírására nemperturbatív módszerekre van szükség. A maismert legsziszte-

matikusabb nemperturbatív módszer a rástérelmélet. A Lagrange-függvényben

szerepl® tereketegytérid® ráspontjainértelmezzük, majd arásállandósziszte-

matikussökkentésével ésakontinuum-extrapoláiósegítségévelkapunkkontinu-

um eredményeket. Bár a rástérelmélet már évtizedek óta létezik, a kontinuum

extrapoláió elvégése sak mostanra vált lehetségessé.

Azaszimptotikusszabadság további következménye, hogyasatolásnemsak

nagyenergiás ütközések esetén, hanem magas h®mérsékleten is sökken. Így azt

várjuk, hogy végtelen h®mérsékleten (a Stefan-Boltzmann limeszben) egy köl-

sönhatásmentes kvarkokból ésgluonokbólálló gázt kapunk a hadronikus anyag

helyett. Ezekalapjánazt gondoljuk,hogyakétlényegesenkülönböz®fázisközött

fázisátmenet történik valamilyen

T c

h®mérsékleten, melynek értékét nagyságren- dileg a QCD skála(

≈ 200

^{MeV) közelébe várjuk.}

Nagy s¶r¶ség esetén is, a magas h®mérséklethez hasonlóan azt várjuk, hogy

a satolássökken ésaszimptotikusannagys¶r¶ségeknél már nins kölsönhatás

a kvarkok és gluonok között. Mivel rás QCD-ben a termodinamikaimennyisé-

geket általában a nagykanonikus állapotösszegb®l származtatjuk, a s¶r¶séget a

kémiaipoteniál(

µ

⁾segítségévelszabályozhatjuk. Akémiaipoteniálnövelésével az átmeneti h®mérséklet folyamatosan sökken. A

T

µ

^{síkon egy} nemtriviális fázisdiagramrajzolódikki.

A QCD magas h®mérséklet¶ és s¶r¶ség¶ viselkedésének vizsgálata és a fá-

zisdiagram feltérképezése nem sak elméleti szempontból fontos. A korai világ-

egyetemben az ®srobbanást követ®en körülbelül

10 ⁻⁵

^{másodperel lezajlott az}

átmenetéskialakultamakörülöttünkmegtalálhatóhadronikusanyag. Azátme-

netrendjénekésh®mérsékleténekmeghatározásahozzájárulakoraivilágegyetem

megértéséhez és kozmológiai következményekkel is járhat. Mivel a korai univer-

zumban arészeskék ésantirészeskék számamajdnem egyenl®, az atermodina-

mikairendszer nagyonjó közelítéssel

µ = 0

^kémiai poteniálnak felel meg.

A kísérleti nehézion zika egyik fontos élja afázisdiagram feltérképezése. A

h®mérséklet és kémiai poteniál meghatározása az ütközések során nem könny¶

feladat. Minél nagyobb energiával ütköztetik a részeskéket, a

T − µ

^{síkon be-}

járt trajektória annál közelebb van a

µ = 0

tengelyhez. A korábbi alasonyabb energiás ütközések (például a CERN SPS gyorsítóban) a nagyobb

µ

(körülbelül 150-200 MeV) tartományt térképezték föl, míg a jelenleg is futó nagyenergiás

RHICgyorsítókísérleteiazalasonyabb(körülbelül40MeV)tartománytvizsgál-

ják. A jöv®beli LHC gyorsító nehézion zikai programja már a

µ = 0

^tengely

mentén fogja tanulmányozni a termodinamikát. A darmstadti GSI-ben épül®

FAIR gyorsító CBM kísérlete kifejezetten a nagy

µ

^{tartománytfogja vizsgálni.}

A fázisdiagram nagy s¶r¶ség¶, alasony h®mérséklet¶ tartománya például

neutronsillagok belsejének leírásához adhat segítséget. A fázisdiagram pontos

ismerete eldönthetné azt a kérdést, hogy van-e kvarkanyag a neutronsillagok

magjában.

Jelen értekezés élja a QCD fázisátmenetének vizsgálata rástérelmélet se-

gítségével. Els® lépésben meghatározzuk az átmenet rendjét és az átmeneti

h®mérsékletet nulla barions¶r¶ség mellett. Az eredmények azt mutatják, hogy

nins valódi fázisátmenet, sak egy analitikus rossover a hadronikus és a kvar-

kok/gluonokáltaldomináltfázisokközött. Ennekmegfelel®en,különböz®mennyi-

ségekkeldeniálvakülönböz®,deegyértelm¶értékeketkapunk

T c

^{-re. Azátmeneti}

h®mérsékleten túl az er®sen kölsönható anyag állapotegyenletét is meghatároz-

zuk.

Második lépésként továbblépünk a

µ = 0

^{tengelyr®l a nemnulla} barions¶r¶- ségek irányába. Ez a lépés a kés®bbiekben részletezend® el®jel probléma miatt

nagyonnehéz. Míga

µ = 0

^átmenettelkapsolatbanmárhúszévevannak(ugyan

0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000

1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111

0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000

1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111

0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000

1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111

0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000

1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 0 0

0 1 1 1

00 00 00 11 11 11

00 00 11 11

F C

D A

G H

B m

m _s

ud

E

elsõrendû tartomány

cross−over tartomány

fizikai pont?

elsõrendû

1.1. ábra. A QCD hipotetikus fázisdiagramja az

m _s

m _ud

^{síkon. A középs® nagy}

tartománybanninsfázisátmenet,mígasarkokbanlev®(lila)tartományokbanels®rend¶

átmenetet várunk. Az els®rend¶ átmenetek határán, valamint az AE szakasz mentén

másodrend¶az átmenet.

nemkontinuumextrapolált)eredmények,addigafázisdiagramtöbbirészér®legé-

szenaközelmúltignemsikerült semmilyenkvantitatíveredménytelérnirástérel-

méletsegítségével. 2001-bensikerültegyolyaneljárástkidolgoznunk,melyel®ször

tette lehet®vé több fontos kérdés vizsgálatát. A módszer segítségével meghatá-

rozzuk a fázisgörbét

µ

^{kis értékeire, a görbementén} lokalizáljuka QCDkritikus pontját,majda

µ = 0

^{esethez hasonlóan megadjukaz} állapotegyenletetis.

1.1. A QCD két fázisdiagramja

Miel®tt azeredményekismertetésétmegkezdenénk, tekintsükát,hogymilyenké-

petvárunkaQCDfázisdiagramjáról. Az1.1ábránláthatjukaQCDegyhipoteti-

kusfázisdiagramjátaz

m ud

^{könny¶ésaz}

m s

^ritkakvarktömegekfüggvényében. A valóságbanakvarktömegekxértékek,ezeknekazábránmindösszeegypontfelel

meg. Az ábra az átmenet rendjére vonatkozó várakozásokat mutatja. A QCD

egy SU(3) mértékelmélet, melynek két olyan fontos határesete van, ahol extra

szimmetriák vannak. Az egyik fontos határeset a végtelen nehéz kvarkok esete

(az ábra D pontja). Eza tiszta SU(3) Yang-Mills elméletnek felelmeg, melynek

a mértékszimmetrián túl egy Z(3) entrum szimmetriája van. Ez a szimmetria

hurok. A szimmetria sérüléséhez kapsolódó fázisátmenet a felszabadító fázis-

átmenet, melynek során a kvarkok bezárása megsz¶nik. A fázisátmenetet rás

számolásokkale l®ször SU(2) mértékelméletben vizsgálták [1,2℄. Kés®bbi analí-

zisek igazolták, hogy az SU(3) Yang-Mills elméletben az átmenet els®rend¶ és

körülbelül270 MeV h®mérsékleten történik [37℄.

A másik fontos határeset a nulla tömeg¶ kvarkok esete (A és B pontok).

Ez esetben a QCD királis szimmetriával rendelkezik. A bal- és jobbkezes kvar-

kokegymástól függetlenültranszformálódnak,

N _f

^{darabnullatömeg¶kvarkese-}

tén (Az A pontban

N _f = 2

^{, a B pontban}

N _f = 3

^{) a teljes} szimmetriasoport

U (N f ) L × U(N f ) R

^{. Nulla} h®mérsékleten a királis szimmetria spontán sérül, a

megfelel®Goldstone-bozonokapszeudoskalármezonok(

N f = 2

^{esetben ahárom}

pion). Mivel a valóságban akvarktömegek nem nullák,a királisszimmetria sak

közelít®legteljesül. Így amezonok tömegenemnulla(de lényegesenalasonyabb

a többi hadron tömegénél). Magas h®mérsékleten a királis szimmetria helyreáll

a királis fázisátmenet során. A rendparaméter a királis kondenzátum. A nulla

kvartömeg¶ limesz vizsgálatára még ninsenek megbízható rás eredmények. A

QCD-vel megegyez® szimmetriákkal rendelkez® eektív modellek segítségével le-

het vizsgálni az átmenetet. Az eredmények azt mutatják, hogy

N f = 2

^esetben

másodrend¶ O(4) univerzalitásiosztályú, míg

N f = 3

^{esetben els®rend¶ fázisát-}

menetvárható[8℄. Közepeskvarktömegekeseténnem várunk fázisátmenetet,így

rajzolódik ki az 1.1ábrán látható összetett kép. Az egyik fontos kérdés, melyre

választ keresünk, hogya zikaipont melyik tartományban található.

A QCD valódi fázisdiagramjának egy lehetséges változatát láthatjuk az 1.2

ábrán a

T

µ

^{síkon. Nulla}h®mérsékleten és nagykémiai poteniálon modellszá- molások azt mutatják, hogyels®rend¶ fázisátmenet várható [9℄. Két nullatöme-

g¶ kvark esetén így a

µ = 0

^-náltapasztalhatómásodrend¶ átmenet és a nagy

µ

tartománybeli els®rend¶ átmenet között léteznie kell egy

P

trikritikus pontnak.

Látni fogjuk, hogya zikai pont arossover tartományban van, ígyez esetben a

rossover ésaz els®rend¶ tartományokközt várunk egy

E

^{kritikus végpontot.}

Nagy kémiai poteniálon különösen érdekes jelenségeket várunk. Az aszimp-

totikus szabadság miattnagys¶r¶ségek esetén egys¶r¶, majdnem kölsönhatás-

mentesfermionokbólállóközegjönlétre. Mivelakvarkokközöttvonzókölsönha-

tásvan, ezértaszupravezetéshezhasonlóanazSU(3)szimmetriaspontánsérülhet

és kialakulhatnak Cooper-párok. Ezt a jelenséget hívjuk szín-szupravezetésnek.

Ennekazérdekesjelenségkörnek avizsgálatamártúlmutatazértekezéshatárain.

A dolgozattovábbi szerkezete a következ®. A 2. fejezetben röviden összefog-

laljukazokatarástérelméletimódszereket, melyekreakés®bbifejezeteképülnek.

Ezután rátérünka nullakémiai poteniálvizsgálatára a3. fejezetben. Meghatá-

n =2 _f

T

µ E

SC

. .

n =2+1

P

f

fázis hadronikus fázis

kvark−gluon plazma

1.2.ábra. AQCDegylehetségesfázisdiagramja. Kétnullatömeg¶kvarkesetén(piros

görbe)amásodrend¶(szaggatott)ésazels®rend¶(folytonos)tartományokközötttalál-

hatóa

P

trikritikuspont. Avalódikvarktömegekethasználva(2könny¶ésegynehézíz;

kékgörbe)arossover(pontozottrész) ésazels®rend¶(folytonosvonal)tartományokat

az

E

^{kritikusvégpont választjaelegymástól.}

tet. A 4. fejezetben következik a nemnullakémiaipoteniálvizsgálata. Azel®jel

probléma szemléltetése után ismertetjük a többparaméteres átsúlyozás módsze-

rét. Ennek segítségével meghatározzukafázisgörbét, akritikusponthelyétésaz

állapotegyenletet. Az 5. fejezetben az összefoglaláson túl áttekintjük, hogy mi

QCD termodinamika ráson

A következ®kben röviden áttekintjük a rástérelmélet fontosabb elemeit. Tel-

jes bevezetés helyett azokra azelemekre szorítkozunk, melyek a termodinamikai

vizsgálatok szempontjábólfontosak. Részletes rástérelméletibevezetéshez java-

solható a [10℄ referenia.

A termodinamikaimennyiségeket anagykanonikus állapotösszegb®lszármaz-

tathatjuk. Azállapotösszegeuklideszitérelméletbenakövetkez® funkionálinteg-

rállaladható meg:

Z = Z

D U D ψ ¯ D ψe ^{−S E (U, ψ,ψ) ¯} ,

^(2.1)

ahol

U

^{a mértéktér (gluonok),}

ψ

^és

ψ ¯

^{pedig a fermion terek (kvarkok). A QCD}

SU(3) mértékelmélet, afundamentálisábrázolásbanlev®fermionokkal. Így az

U

mértéktér minden térid® pontban, minden irányra egy SU(3) mátrix. A fermio-

nokat aFermi statisztika miatt Grassmann változók reprezentálják.

ABoltzmann faktorbanszerepl®

S _E

^{euklideszihatás amérték-és fermionte-}

reknek a funkionálja. A (2.1) képletben expliit módon nins kiírva,de a hatás

további paraméterekt®l is függ. Ezek: a

β

^{satolási állandó(mely a kontinuum-}

ban szokásos satolással a

β = 6/g ²

kapsolatban áll), az

m i

kvarktömegek és a

µ i

^kémiai poteniálok. Amennyiben több kvark-ízt szeretnénk leírni, minden egyes kvarkhoz hozzá kell rendelnünk a megfelel®

ψ i

^{tereket, a (2.1) képlet az}

egyszer¶ség kedvéért sakegy kvarkotír le. A természetben hat kvark van, ezek

közül a három legnehezebb (

c, b, t

^{) jóval nagyobb tömeg¶,mint azáltalunk vizs-}

gált energia tartomány, így ezeket a rás számolásokban nem szokás gyelembe

venni. Alasony energián ezek a kvarkok nem szerepelnek a kezdeti- és végálla-

potokban és kelt®dni sem tudnak a folyamatok során. A maradék három kvark

közül (

u, d, s

^{) a két könny¶ kvark (}

u, d

^{) tömege közel azonos és sokkal kisebb}

az

s

^{kvark tömegénél. Ezért} rástérelméleti vizsgálatokban az

m _u = m _d < m _s

közelítéssel szoktak élni, vagyis egzakt SU(2) izospin szimmetriát feltételeznek.

A továbbiakban mi is ezt követjük, erre a közelítésre 2+1 kvark ízként fogunk

hivatkozni. Ezen közelítésjogosságáttámasztjaaláazis,hogyazizospinsértésa

hadronok szintjén (például a piontömegek felhasadása) sak körülbelül50%-ban

adódikakvarktömegekkülönböz®ségéb®l,amaradékazelektromágneseseektu-

soknak tulajdonítható,mivel az

u

^és

d

^{kvarkok különböz® elektromos töltés¶ek.}

Így a kvarktömegek különböz®ségének pontos gyelembevétele már az elektro-

dinamika beépítését is megkövetelné. A 2+1 íz közelítéssel százalék pontosságú

eredmények kaphatók,melya rástérelméletben nagyonjónak számít. A könny¶

kvarkok azonosnak vett tömegét atovábbiakban

m ud

^{-veljelöljük.}

Az integrálási mérték (

D U D ψ ¯ D ψ

^{) pontos} értelmezéséhez regularizáióravan szükség. Ezen regularizáióhoz térid® rásot használunk. A folytonos térid® he-

lyett egy hiperköbös

Λ

^{rásot veszünk. A terek értékét sak ezen rás pontjain,}

illetve a szomszédos pontokatösszeköt® éleken (linkek)értelmezzük. Megmutat-

ható, hogy a kontinuumbeli mértékinvariania fenntartásához a mértéktereket a

linkeken, míg a fermion tereket a ráspontokban kell értelmeznünk. Az

x ∈ Λ

ráspontokból kiinduló linkeket az

(x; µ)

^{párral lehet} jellemezni, ahol

µ

^{a link}

irányát jelzi (

µ = 1 . . . 4

^{). Ezáltal az} integrálásimérték a következ®képpen de- niálható:

D U D ψ ¯ D ψ = Y

x∈Λ,µ=1...4

dU x;µ

Y

x∈Λ

dψ x

Y

x∈Λ

d ψ ¯ x

^(2.2)

Szemléletesen a funkionálintegrál ezzel a regularizáióval azt jelenti, hogy

minden lehetséges

U, ψ, ψ ¯

konguráióra összegezni kell az

exp( − S E )

^kifeje-

zést. Ezteljesenanalógegynégydimenziósklasszikus statisztikuszikairendszer

állapotösszegével,aholaz

exp( − E/kT )

^{Boltzmannfaktorokatkellösszegeznimin-}

den lehetséges konguráióra. Az energia-funkionálszerepét(az

1/kT

^szorzótól

eltekintve) az euklideszi hatás játssza. Lényeges különbség azonban, hogymíg a

klasszikus statisztikus zikai rendszerben a h®mérséklet a Boltzmann faktorban

szerepel,esetünkben azikaih®mérsékletaráseuklidesziid®irányúkiterjedésé-

velfordítottanarányos. Belátható,hogya(2.1)állapotösszegéppenastatisztikus

zikaiállapotösszegetadja,amennyibenamértékterekreperiodikus,afermionok-

ra antiperiodikushatárfeltételtszabunk ki az euklidesziid® irányban.

2.1. A rás hatás

A regularizáió során természetesen az

S E

^{hatást is} diszkretizálnunk kell. Ez a lépés nem egyértelm¶,különböz® rás hatásoknak lehet ugyanaz akontinuum li-

mesze. Azegyeshatásokata kontinuum limeszhez közeli skálázásukkülönbözteti

meg. Ha egy

A

meggyelhet® mennyiség várható értékét egy véges

a

^rásállan-

hanem attól a

h A i a = h A i + O (a ^η )

^(2.3)

képlet szerint eltér. Az

η

^{kitev® a hatás} regularizáiójátólfügg. Minél nagyobb az értéke, annáljobb a hatás, ugyanis annál nagyobb rásállandók esetén kap-

hatunk a kontinuum értékhez közeli eredményt.

Alegegyszer¶bb diszkretizáióaz, haakontinuum hatásban szerepl® derivál-

takat dierenia-hányadosokkal helyettesítjük. Az ennél jobban skálázó (vagyis

nagyobb

η

^{-val,vagykisebb} el®faktorralrendelkez®) hatásokathívjuk javítottha- tásoknak. A továbbiakban összefoglaljuk a leggyakrabban használtrás hatáso-

kat.

Az

S E

^{hatásáltalában}felbontható

S E = S g +S f

^alakra,ahol

S g

^amértékhatás, melysakaz

U

mértékterekt®l függ,

S _f

^{pedig afermionhatás, melyamérték-és}

fermion terek függvénye.

A legegyszer¶bbmértékhatás aWilson-hatás, melyaz

U P (x; µν ) = U x;µ U x+aˆ µ;ν U _x+aˆ ^† _{ν ;µ} U _x;ν ^†

^(2.4)

plakettek összege, ahol

µ ˆ

^a

µ

^irányú egységvektort jelöli:

S g,Wilson = − β 1 3

X

x,µ<ν

ReTrU P (x; µν) − 1

!

(2.5)

Ez ahatás a legegyszer¶bbvalós, mértékinvariáns kifejezés, melysaka mérték-

terek segítségével felépíthet®. Megmutatható, hogy a kontinuum limeszben ez a

szokásos Yang-Mills hatásravezet.

Ahatásjavításatovábbimértékinvariánstagok hozzáadásávallehetséges, me-

lyek közül a legegyszer¶bb a plaketthez hasonlóan egy

2 × 1

^{-es téglalap mentén}

a linkek rendezett szorzata. Egy adott pontban és adott irányokraezt a hurkot

U 2×1 (x; µν )

^{-vel jelölve akövetkez® alakúhatást kapjuk:}

S _g = − β

3 c ₀ X

x,µ<ν

ReTrU _P (x; µν) + c ₁ X

x,µ6=ν

ReTrU _2×1 (x; µν)

!

(2.6)

Megmutatható,hogyez ahatásfagráfszinten javítjaaskálázást,haazegyüttha-

tók teljesítik a

c ₀ + 8c ₁ = 1

konzisztenia feltétlet és

c ₁ = − 1/12

^{. Az így kapott}

javítotthatást hívjuk fagráf szint¶Symanzik javítotthatásnak.

Afermionterek diszkretizáiójalényegesennehezebb,mintamértéktereké. A

mértékterek esetéhez hasonló naiv diszkretizáió dimenziótlanításután a követ-

kez® hatásra vezet:

S _f,

naiv

= X

x

"

am ψψ ¯ + 1 2

X

µ=1...4

ψ ¯ x U x;µ γ µ ψ x+aˆ µ − ψ ¯ x U _x−aˆ ^† _µ;µ γ µ ψ x−aˆ µ

#

.

^(2.7)

Kiszámolvaazonban a szabad esetben (

U = 1

^{) a}propagátort, azt találjuk,hogy azazels® Brillouinzónában nem egy,hanem 16pólussalrendelkezik,vagyis ez a

naivhatás akontinuum hatássalellentétben 16darabazonos tömeg¶fermiontír

le.

A probléma kiküszöbölésére több módszer is létezik. A két legelterjedtebb

a Wilson és a Kogut-Susskind féle regularizáió. Mivel a probléma abból ered,

hogy a hatás sak els® deriváltakat tartalmaz, a Wilson-féle megoldás lényege,

hogy egy második deriváltat tartalmazó

a ψ∂ ¯ µ ∂ µ ψ

^{tagot hozzáadunk ahatáshoz.}

Ezakontinuumlimeszbenelt¶nik,ámvégesrásállandóeseténanemkívánatos15

fermiontömegétmegnöveli,mégpedig

1/a

^{-valarányosan. Ígyakontinuumlimesz}

feléközeledvemindösszeegyfermionunkmarad,atöbbilesatolódik. Azújtagot

tetsz®leges

r

együtthatóvalbeírhatjuk,általában

r = 1

^{-etszokáshasználni. Ekkor}

a hatás a

S f,Wilson = X

x

"

ψψ ¯ + κ X

µ=1...4

ψ ¯ x U x;µ (1 + γ µ )ψ x+aˆ µ + ¯ ψ x U _x−aˆ ^† _µ;µ (1 − γ µ )ψ x−aˆ µ

#

(2.8)

alakra hozható a terek megfelel® átskálázásával. Ezen hatás hátránya, hogy a

nullakvarktömeglimeszben issértia királisszimmetriát,melysak akontinuum

limeszben áll helyre. Ebb®l az következik, hogy a kvarktömeg additív módon is

renormálódikés a (2.3)képlet szerintiskálázás supán lineáris

a

^-ban.

A Kogut-Susskind féle, staggered formalizmus lényege, hogy a fermion tér

spinorkomponenseitszétosztjukegyhiperkokasúsaira,majdegyspin-diagona-

lizáióutánsakegykomponensthagyunkmeg. Ezáltalaszabadságifokokszáma

negyedére sökken, vagyis az így kapott hatás várhatóan négy azonos tömeg¶

fermiontír le. A hatás alakja:

S f,staggered = X

x

"

am¯ χχ + 1 2

X

µ=1...4

α x;µ

χ ¯ x U x;µ χ x+aˆ µ − χ ¯ x U _x−aˆ ^† _µ;µ χ x−aˆ µ

# ,

(2.9)

ahol

α x;µ = ( − 1) ^{x 1 +···+x µ− 1}

^{. Itt,} ellentétben anaiv,illetveWilsonfermionokkal,a

χ

^{fermiontérnek sakegy spin komponensevan. A} továbbiakbanazegyszer¶ség

kedvéért astaggered fermionokat is

ψ

^{-vel fogjuk jelölni. Ezen} formalizmusnagy el®nye, hogy a királisszimmetriábólegy

U (1) L × U (1) R

^{rész megmarad, aminek}

következményeként ninsen additív tömegrenormálás és

O (a ² )

^{-es eltérések van-}

nak a kontinuum eredményekhez képest. További el®ny, hogy a Dira-indexek

hiánya miatta numerikusszámításoklényegesen egyszer¶bbek és gyorsabbak. A

staggered fermionok f® hátránya a már említett maradék négyes degeneráió. A

kés®bbiekben részletesebben foglalkozunk azzal,hogyan lehetazikailagérdekes

További regularizáiók is lehetségesek, azonban a Nielsen-Ninomiya tétel ko-

molygátatszabezeknekalehet®ségeknek[11,12℄. Eszerinthaegyregularizáiótól

megköveteljük a lokalitást, a helyes kontinuum limeszt és azt, hogy egy fermion

ízt írjon le, akkor a királis szimmetria nem tartható. A közelmúltban sikerült

megalkotni a királis szimmetriának egy olyan rás-változatát, amely nem sérül

az el®bbi feltételek mellett sem [13,14℄. Az ilyen regularizáiókat királis fermio-

noknak hívjuk. Ez lenne alegtermészetesebb választás,azonban bonyolultságuk

miatteregularizáióknumerikusvizsgálatalegalábbkétnagyságrenddelnagyobb

számítógép id®tigényel,mintaWilson vagystaggered fermionokhasználata. Az

els® lépések (algoritmuskifejlesztése, kezdetivizsgálatok kis rásokon) már meg-

történtek[1520℄. Aközeljöv®ben várható,hogykirálisfermionokalkalmazásával

komolyabb eredmények születnek.

A (2.8) és (2.9) fermion hatások alakjából látható,hogy mindkétesetben (és

ez általánosanis igaz) bilineárisa hatás a

ψ ¯

^,

ψ

^terekben:

S f = X

x,y

ψ ¯ x M xy (U )ψ y ,

^(2.10)

ahol az

M

^{mátrix a (2.8) és (2.9) alakokból} leolvasható. Mivel a fermionokat ahogy korábban említettük Grassmann változókkal reprezentáljuk, a funki-

onálintegrál supán egy-egy formális Grassmann integrál minden ráspontban.

A numerikus számítások során ezen integrálok kezelése nehéz, a bozonikus te-

rekre alkalmazottmódszerek nem használhatóak. Nemismeretes olyanhatékony

eljárásazállapotösszegszámolására,melyafermionterekszintjénm¶ködne. Sze-

rensére a fermionikus integrálok egzaktul elvégezhet®k. A Grassmann változók

integrálásiszabályaiból következik, hogy:

Z

D ψ ¯ D ψe ^{−S f} = det M (U),

^(2.11)

Vagyisa (2.1) állapotösszeg az alábbialakba írható:

Z = Z

D U det M(U )e ^{−S g (U)} = Z

D Ue ^{−{S g (U)−ln det M }} .

^(2.12)

Vagyisafermionoselméletetvisszavezettükegysupánmértékterekettartalmazó

eektív modellre, melyben a hatás:

S eff. = S g − ln det M

^{. Sajnos ez a hatás, az}

eredeti

S E = S g + S f

^hatással ellentétben, nem lokális, a

det M

^{fermion deter-}

mináns tetsz®legesen távoli linkek közötti kölsönhatásokat is tartalmaz. Ez az

oka annak, hogyateljesQCDnumerikus vizsgálatalényegesennehezebb, minta

tiszta SU(3) mértékelméleté.

Amennyiben több különböz® (vagy azonos) tömeg¶ fermiont szeretnénk le-

írni, a hozzájuk tartozó

ψ i

^terek kiintegrálása egy-egy független determinánst

eredményez. Kiírvaa kvarktömegekt®l valófüggést is:

Z(m ₁ , m ₂ , . . . m _{N f} ) = Z

D U det M(m ₁ ; U) det M(m ₂ ; U) . . . det M (m _{N f} ; U )e ^{−S g (U)} .

(2.13)

Wilson-fermionokesetén ez a formulaközvetlenül alkalmazható 2+1 ízleírására.

Staggered fermionok esetén azonban egyextra trükkötkell alkalmaznunk. Mivel

egy

ψ

^tér alkalmazásaesetén is négy fermiont ír le a staggered hatás, a fermion szám növelésének analógiájáraa négynélkevesebb számúfermion a determináns

tört hatványával írhatóle. A

Z(N _f ) = Z

D U [det M (U)] ^{N f /4} e ^{−S g (U)}

^(2.14)

állapotösszegt®lazt várjuk,hogy

N f

^{ízt írlea staggered} formalizmusban. Azon- ban egy ilyen modell lokalitása kérdéses. Míg a (2.12) állapotösszegr®l láttuk,

hogy egy eredetileg lokáliselméletb®l származtatható, a (2.14) esetben ez egyál-

talán nem nyilvánvaló. A kérdést elméleti oldalról jelenleg is vizsgálják [21℄.

Valamennyieddiginumerikuseredmény arra utal,hogyez azúgynevezett negye-

dik gyök trükk (mivelegy ízheznegyedik gyökötkellvonnunk) valóban alkalmas

egy fermion ízleírására.

Atovábbiakbankizárólagstaggeredfermionokkalfoglalkozunk,ugyanisaziro-

dalomban fellelhet® eredmények dönt®többsége, beleértve a saját eredményeket

is,ezzel aregularizáióvalszületett. Ennek kétoka van. Egyrészt amár említett

gyorsaság, másrészt a részlegesen megmaradó királis szimmetria, mely a királis

fázisátmenet vizsgálatánálfontos lehet.

Konkrétnumerikus számolásokbanvéges rásokathasználunk. A rás mérete

általában

N _s ³ N t

^{,vagyisaháromtérbeli}kiterjedéstazonosnak (

N s

⁾választjuk,de függetlennek azeuklideszi id®beli kiterjedést®l (

N t

^{). A} rendszerünk térfogata és h®mérsékleteahogy máremlítettükazalábbikapsolatbanállaráskiterjedé-

seivel:

V = (N s a) ³ , T = 1

N _t a .

^(2.15)

Ennek megfelel®en azokat a rásokat, ahol

N t ≥ N s

^nulla h®mérséklet¶, míg az

N t ≪ N s

feltételnekmegfelel®eketvéges h®mérséklet¶ rásoknak hívjuk. Termo- dinamikábanáltalábanegysz¶kh®mérséklettartománytvizsgálunk(azátmeneti

h®mérséklet környékét, kivétel ez alólazállapotegyenletmeghatározása mely jó-

val nagyobb h®mérsékletekig is történet). Így a második képlet alapján látható,

hogyállandó h®mérsékletmellett, növekv®

N _t

^{egyre kisebb} rásállandóknak felel meg. Ezért a rás nomságára általában az

N t

^{értékével szoktunk} hivatkozni.

A ma tipikus

N t

^{értékek 4, 6, 8 és 10, ezek az átmeneti} h®mérséklet környékén körülbelül

a =

^{0.3, 0.2, 0.15 illetve 0.12 fm} rásállandóknakfelelnek meg.

A rásállandó egy természetes

Λ ∼ 1/a

^{levágást deniál. A} rástérelmélet egyik nehézsége abból a követelményb®l adódik, hogy az összes leírni kívánt ré-

szeske tömegelényegesenkisebb legyen a levágásnál,ugyanakkoratömeginver-

zével arányos Compton-hullámhosszuk beférjen avéges méret¶rásba (ellenkez®

esetben számottev® véges méret eektusokkal kell számolnunk). Ha nagyon kü-

lönböz®tömeg¶ részeskék vannak egy modellben,akkorez komolyalsókorlátot

jelent

N s

^{értékére. A QCD-ben a nukleon és a pion tömegének viszonylag nagy}

arányaemiatt nagyonmegnehezíti a számolásokat. Ezaz egyik okaannak, hogy

a legtöbb eddigi munkában a zikainál nagyobb kvarktömegeket használtak, ez

ugyanis jelent®sen növeli a pion tömegét, míg anukleon tömegealig változik. A

másikok, melymegnehezítiazikai kvarktömegekhasználatát,azalgoritmusok-

kalkapsolatos.

2.2. Korreláiós függvények

Egy,az

U

^és

ψ i , ψ ¯ i

^terek funkionáljakéntel®álló

O

^{mennyiségvárhatóértékétaz}

alábbi funkionálintegráladja meg:

h O i = 1 Z

Z

D U D ψ ¯ D ψO

U, ψ, ψ ¯

e ^{−S E (U, ψ,ψ) ¯} .

^(2.16)

A térelmélet operátoros felépítésében a téroperátorokból felépített

O ˆ

^operátor

függvények alakjaformailagmegegyezikazittenialakkalésakapotteredmények

a kétformalizmusbanazonosak:

h O ˆ i = h O i

^.

Nullah®mérsékletena tipikusanhasznált mennyiségeka terek valamilyenin-

terpoláló operátorainak

n

^-pont függvényei, ezen belül is f®leg a kétpont függvé- nyek. Legyen

O ˆ

^{egy ilyen} interpoláló operátor. Például a pion operátor

O ˆ = ψ ˆ¯ u γ 5 ψ ˆ d

^{, ahol a fermion terek indexe az}

u

^és

d

^{kvarkokat jelöli. Az}

O ˆ

^operátor

(euklideszi) id®fejl®dését a

H ˆ

^{Hamilton operátor adja:}

O(t) = ˆ e ^{t H ˆ} O(0)e ˆ ^{−t H ˆ}

^{. Így}

akétpontfüggvényegy

| n i

^{teljesrendszer}beszúrásávalakövetkez®alakbaírható:

h 0 | O(t) ˆ¯ ˆ O(0) | 0 i = X

n

h 0 | O ˆ | n i

2 e ^{−(E n −E 0 )t} .

^(2.17)

Nagy

t

^{esetén a legkisebb olyan}

E n

^{-hez tartozó tag fog dominálni, melyre az}

el®faktorban szerepl® mátrixelemnem nulla. Tehát egy adott kvantumszám sa-

tornában egy megfelel®kvantumszámmal rendelkez®

O ˆ

^{operátor kétpont függvé-}

energiáját (tömegét). A

ξ

^{korreláióshossz} fordítottanarányos a tömeggel. Rá- son, a rásállandót is kiírva

ξ = 1/(ma)

^{adódik, ahol}

ξ

^{a ráspontok számában}

mért dimenziótlan korreláiós hossz. Megfelel® operátorokat használva tetsz®le-

ges hadron tömegétmeghatározhatjuk aráson.

2.3. A kontinuum limesz

Arástérelméletéljatermészetesenaz, hogyakontinuumzikáraadhassunk jós-

latokat,nem pedig egy véges

a

^{rásállandó mellett. Mivel a} regularizáió éppen a véges rásállandó bevezetésével történt, így nem tudunk közvetlenül

a = 0

^-val

számolni. A kontinuumot supán határesetként tudjuk értelmezni. Természete-

sen az

a → 0

^{limeszta(2.3)}összefüggéssel összhangbanakarjukelvégezni,vagyis alimeszsoránameggyelhet®mennyiségeknekvégesértékekhezkellkonvergálni-

uk. Ehhez a hatás supasz paramétereitmegfelel®en hangolni kell a rásállandó

függvényében. A paraméterek rásállandó függését a renormálási soport egyen-

letekadják meg.

Láttuk, hogytetsz®legeshadroninterpolálóoperátorának

ξ

^{korreláióshossza}

ahadrontömegévelfordítottanarányos. Ha afentiekszerintakontinuum limesz

során a hadron tömegét véges értéken akarjuk tartani, miközben a rásállandó

nullához tart,

ξ

^{divergálni fog. Tehát a kontinuum limesz az analóg statiszti-}

kus zikai rendszerben egy kritikus pontnak felel meg. A statisztikus zikában

használatosKadano-Wilsonféle renormálásisoportalkalmazható akontinuum

limesz leírására. A renormálási soport transzformáió megadja, hogyan kell a

hatást változtatni a rásállandó növelése esetén ahhoz, hogy nagy távolságokon

ne változzon a zika. Sajnos a hatás alakja oly mértékben bonyolulttá válik,

hogy ez a módszer a gyakorlatban nem alkalmazható 1

. Általában a kontinu-

um limesz során (s®t általában, amikor a rásállandó változik) a hatás alakját

nem változtatjuk és mindössze néhány (a hatásban lev® paraméterek számával

megegyez®számú)mennyiségr®lköveteljükmeg, hogyállandólegyen azértékük.

Kijelölve ezeket a mennyiségeket, a rásállandó változtatása egy görbét deni-

ál a supasz paraméterek terében. Más mennyiségeket használva más görbét

kapunk. Egy-egy ilyen görbét az állandó zika vonalának (line of onstant phy-

sis: LCP) hívunk. Nagyonfontos, ahogy azel®bbemlítettük,hogy akülönböz®

mennyiségekkel deniált LCP-k különböz®ek, supán a kontinuum limesz köze-

lében tartanak egymáshoz. Az LCP meghatározása általában nemperturbatív

módon történik. A supasz paraméterek különböz® értékeinélmegmérjük axen

1

Jóskálázásitulajdonságokkalrendelkez®hatásmegalkotásáraalkalmasarenormálásiso-

tartanikívántmennyiségeket, majdnéhány iteráióutántudjukmeghatározniaz

LCP-t.

2.4. Algoritmusok

Arástérelméletegyikf®feladataameggyelhet®mennyiségekvárhatóértékének

numerikus meghatározása. Ehhez sokdimenziós integrálokat kell kiszámítanunk.

Amaitipikusrásméretekmellettazintegrálokakár

10 ⁹

dimenziósakislehetnek.

Nyilvánvaló, hogy az ilyen sokdimenziós konguráiós tér szisztematikus feltér-

képezése lehetetlen. Az integrálokat sak Monte-Carlo módszerek segítségével

tudjuk kiszámítani. E módszerek lényege, hogy véletlenszer¶en választunk tér-

konguráiókatés sakezeken a konguráiókonértékeljük ki ameghatározandó

mennyiségeinket. A legegyszer¶bb módszernek az t¶nhet, hogy (az integrálási

mérték szerint) egyenletes eloszlással generálunk konguráiókat. Ez azonban

rendkívül ineektív,ugyanis aBoltzmann-faktorbanszerepl® exponeniálisfügg-

vény miatt sak a lehetséges konguráiók nagyon kis százaléka ad számottev®

járulékot az integrálhoz. Egyenletes mintavétellel nagyon kisi a valószín¶sége,

hogy ezeket a konguráiókat kiválasztjuk. A ma ismeretes egyetlen hatékony

módszer afontosságimintavételezésenalapul. Akonguráiókatnem egyenletes,

hanem

p ∝ e ^{−S E}

eloszlással generáljuk. Ezáltal éppen azokat a konguráiókat állítjuk el®, melyek nagy járulékot adnak a várható értékek kiszámításakor. A

QCD esetében a teljes

S E

^{euklideszi hatás a} fermionokat leíró Grassmann te- reket is tartalmazza. A fontossági mintavételezés a Grassmann változókra nem

értelmezhet®, ezért kell a fermionokat kiintegrálnunk. A fermionikus integrálok

elvégzéseutánazállapotösszega(2.12)alakotveszifel,vagyisafontosságiminta-

vételezés során

p(U) ∝ det M (U )e ^{−S g (U)}

eloszlássalkell konguráiókat generál- nunk. Tegyük fel, hogyvan egy végtelen

{ U i }

^{konguráió halmazunk, melyezt}

azeloszlást követi. Ekkor könnyen látható, hogyegy

O

meggyelhet® mennyiség értéke a következ®képpen számítható ki:

h O i = lim

N→∞

1 N

N

X

i=1

O(U i ).

^(2.18)

Konkrét numerikus számítások során természetesen nem tudjuk elvégezni a li-

meszt az

N

^{-ben, hanem egy véges konguráió sokaságon határozzuk meg a}

mennyiségeink értékét. Az ebb®l adódó hibák beslésére a jakknife módszert

használjuk [10℄.

Afontosságimintavételezésalkalmazhatóságánaknagyonfontosfeltétele,hogy

det M(U )

^{pozitívvalósszám legyen} tetsz®leges

U

konguráióra. Ellenkez® eset-

ben a

det M (U )e ^{−S g (U)}

^kifejezés (megfelel®en normálva) nem értelmezhet® való- szín¶ségként. Hogy e feltétel fontosságát érzékeltessük, röviden áttekintjük az

egyik legegyszer¶bb algoritmust, a Metropolis algoritmust. Valamennyi ma is-

mertalgoritmussoránaz

U

konguráiókategymásbólszármaztatjuk,melyekígy egy Markov lánot alkotnak. A Metropolis algoritmus két lépésb®l áll. Az els®

lépésbenazaktuális

U

^konguráiótvéletlenszer¶enmegváltoztatjuk,ígykapunk egy

U ^′

konguráiót. Ehhezazúj konguráióhoztermészetesen más Boltzmann súly tartozik,mint azeredetihez. A másodiklépésben az

U ^′

^konguráiót

P (U ^′ ← U ) = min

1, e ^{−∆S g} det M (U ^′ ) det M (U )

(2.19)

valószín¶séggelelfogadjuk,ahol

∆S _g = S _g (U ^′ ) − S _g (U)

^{. Amennyiben nemfogad-}

tuk el azúj konguráiót (ennek valószín¶sége

1 − P (U ^′ ← U )

^{, akkor az}

U

^kon-

guráiót tartjukmeg a következ® lépésre is. Látható, hogy

0 ≤ P (U ^′ ← U ) ≤ 1

pontosan akkorteljesül, ha

det M

^{pozitívvalós.}

Szerensére ez anemtriviálisfeltételaz

M

^{fermionmátrix(Diraoperátor)}

γ 5

hermitiitásábólkövetkezik. E szerint:

M ^† = γ ₅ Mγ ₅ .

^(2.20)

Ezazegyenl®ségkönnyen ellen®rizhet®akárakontinuumban,akára(2.8) illetve

(2.9) rás hatások esetén.

Legyen

v M ^†

^{-nek egy} sajátvektora

λ

sajátértékkel. Ekkor

λv = M ^† v = γ 5 Mγ 5 v

^{, ahonnan}

λγ 5 v = Mγ 5 v

^{adódik, vagyis}

λ M

^{-nek is} sajátértéke. Ugyan-

ez fordítva is igaz, vagyis

M

^{-nek és}

M ^†

^{-nek ugyanazok a} sajátértékei. Ebb®l következik, hogy

M

sajátértékei vagy valósak, vagy komplex konjugált párok- ba rendezhet®ek. Ebb®l látható, hogy

det M

^{mindig valós. A} kontinuumban és staggered fermionok esetén a tömegtelen Dira-operátor sajátértékei tisztán

képzetesek, vagyis a tömeges operátor valós sajátértékei mindig pozitívak (meg-

egyeznek a kvarktömeggel). Ezekben az esetekben tehát

det M ≥ 0

^{is teljesül}

ésegyenl®ségsaknullakvarktömegesetén állhatfenn. Wilson fermionok esetén

el®fordulhatnaknegatívvalóssajátértékek. Azonbanezek akontinuumlimeszhez

közeledve elt¶nnek. Ebben azesetben vagy két azonos tömeg¶fermiont szoktak

használni és ekkor

(det M ) ²

^{jelenik meg, ami pozitív, vagy}

| det M |

^{-t írhatunk a}

determináns helyett egy kvark íz esetén. Mivel a kontinuum limeszben

det M

sak pozitív értékeket vehet fel, azabszolút érték használata nem befolyásolja a

kontinuum limeszt.

Már most érdemes megemlíteni, hogy nemnullakémiai poteniál esetén a

γ ₅

hermitiitás nem teljesül, így semmi nem garantálja adetermináns pozitív valós

integrandusvalósrészét. Adeterminánsvalósrészénekel®jeleazonbanpozitívés

negatív is lehet. Ez az el®jel probléma, mely rendkívüli mértékben megnehezíti

a nemnullakémiai poteniál mellettinumerikus vizsgálatokat.

Akorábban említettMetropolisalgoritmus, bár pontosana kívánt eloszlással

generálja a konguráiókat,nagyonnem hatékony. Ennek kétokavan. Egyrészt

mindenlépésmegkívánjaadeterminánsokegzaktkiszámítását,melyaráspontok

N _s ³ N t

^{számának köbével arányos számú m¶veletet igényel. A másik ok, hogy az}

egymást követ® konguráiók nem lesznek egymástól függetlenek (sok esetben,

amikornem fogadjukel

U ^′

^-t,akkoridentikusak): azautokorreláiónagyonnagy. Több lényegesen hatékonyabb algoritmus is létezik, ezek közül most nagyon

röviden a Hibrid Monte-Carlo (HMC) algoritmust ismertetjük [2426℄. Tetsz®-

leges pozitív denit, hermitikus

H

^mátrix determinánsát felírhatjuk bozonikus segédterekkel az alábbimódon:

det H =

R D Φ ^† D Φe ^{−Φ † H − 1 Φ}

R D Φ ^† D Φe ^{−Φ † Φ} .

^(2.21)

Mivel az

M

^{fermion mátrix nem} hermitikus,ígyáltalábana

H = M ^† M

^mát-

rixotszokásafentikifejezésbenhasználni. Ezközvetlenülalkalmaskét(staggered

fermionok esetében nyol) fermion íz leírására.

N f

^{íz leírására formálisan hasz-}

nálhatjuka

H = (M ^† M) ^{N f /2}

^(illetve

H = (M ^† M ) ^{N f /8}

⁾kifejezéseket. Ezazonban további problémákatvet fel, melyekrekés®bb visszatérünk.

A két azonos tömeg¶íztleíró állapotösszeg ekkor:

Z = C Z

D U D Φ ^† D Φe ^{−S g (U)−Φ †} ( ^{M † M} ) ^{− 1 Φ} ,

^(2.22)

ahol a (2.21)kifejezés nevez®jét, mely sakegy irreleváns konstansszorzófaktort

ad

Z

^-hez

1/C

^{-vel jelöltük. Vezessünk bea rás mindenéléhezegy}

Π xµ

^spurtalan

anti-hermitikusmátrixotéslegyen

Π ² /2 = P

x;µ | Π xµ | ² /2

^{. Szorozzuk meg}

Z

^-taz

1/C ^′ = R

D Π exp ( − Π ² /2)

konstanssal:

Z = C ^′ C Z

D Π D U D Φ ^† D Φe ^{−Π 2 /2−S g (U)−Φ †} ( ^{M † M} ) ^{−1 Φ} .

^(2.23)

Tekintsük az alábbi függvényt, mint az

U

^és

Π

^{terek függvényét rögzített}

Φ ^† , Φ

mellett:

H (U, Π) = Π ² /2 + S g (U ) + Φ ^† M (U ) ^† M (U) −1

Φ.

^(2.24)

E függvény változói minden

(x; µ)

^{linkre az}

U xµ

^és

Π xµ

^mátrixok. Tekinthetünk ezekre úgy,mint egyklasszikus mehanikaisokrészeske rendszer általánoskoor-

dinátáira (

U _xµ

^{) és}impulzusaira (

Π _xµ

^{), miközben}

H

^aHamilton-függvény. Ekkor egy ktív

t

^id® függvényében a kanonikus egyenleteket megoldva olyan

U (t)

^és

Π(t)

trajektóriákat kapunk, melyek mentén

H

^{állandó. Így az}

U

^és

Π

^terekre

megvalósíthatóegy speiális Metropolis lépés(egy olyan

U ^′ , Π ^′

választás), mely- nek során (2.23) integrandusa nem változik és ennek megfelel®en az elfogadási

valószín¶ség 1. A

Φ ^† , Φ

^{terek frissítése} közvetlenül, úgynevezett globális h®für- d®vel lehetséges. A kanonikus egyenletek megoldása természetesen numerikusan

történik,így

H

megmaradásanemteljesülegzaktul. Megmutatható,hogyazálta- lánosanhasznált leapfrog integrálásesetén véges

ε

^{lépésközt használva}

∆ H ∝ ε ²

^.

Ezért minden

U (t)

^,

Π(t)

trajektória végén el kell végeznünk a Metropolis tesz- tet, mert az elfogadási valószín¶ség egynél kisebb lesz. A HMC algoritmus ezek

alapján azalábbi lépésekb®láll:

1. Rögzített

U

^{mértéktérmellettgenerálunk}

Π

^,

Φ ^†

^és

Φ

konguráiókata(2.23) integrandusa szerinti eloszlással. Ez közvetlenül lehetséges.

2. Rögzített

Φ ^† , Φ

^{mellett valamilyen véges}

ε

lépésközzel numerikusan integ- ráljuk a kanonikus mozgásegyenleteket

t = 0

^-tól

T

^{-ig. Tipikusan}

T = 1

^-et

szokáshasználni.

3. Az új

U ^′

^konguráiót

P (U ^′ ← U ) = min

1, e ^−∆H

(2.25)

valószín¶séggelelfogadjuk,

Π ^′

^{-t pedig eldobjuk, hiszena következ® frissítés}

során újrageneráljuk.

Belátható,hogyezenlépésekismétléseakívánteloszlássalgenerálmértékkongu-

ráiókat. Anumerikusan legtöbbszámítástigényl®feladat a 2. pontban számolt

trajektória minden lépésében, valamint a 3. pontban az

M ^† M −1

Φ

^kifejezés

kiszámítása,vagy az ezzel identikus

Φ = M ^† M

χ

^(2.26)

lineáris egyenletrendszer megoldása. Ez konjugált gradiens módszerrel a rás-

pontok számával arányos id® alatt megoldható, mivel az

M

^{ritka mátrix. A}

megoldáshoz szükséges iteráiók száma (és így az id®) az

M

^{mátrix kondíiós}

számával arányos.

M

^{legkisebb abszolút érték¶} sajátértéke a kvarktömeg (Wil- son fermionoknál ennél valamivelkisebb sajátértékek is el®fordulhatnak), míg a

legnagyobb sajátérték nagyjából konstans. Így a megoldáshoz szükséges iterái-

ók száma fordítottanarányos a kvarktömeggel. Ez a másik oka annak, hogy kis

kvarktömegek használata rás QCD-ben nagyon nehéz.

Korábban említettük, hogy egy íz leírásához formálisan az

M ^† M

kifejezés

eljárás nem m¶ködik

M ^† M −N f /2

Φ

^{(staggered esetben}

− N f /8

^{a kitev®) kiszá-}

mítására. Megmutatható, hogy az algoritmus 2. lépésében megoldható, hogy

továbbra is sak egész kitev®s inverziót kelljen végezni. A 3. Metropolis lépés-

ben azonban a tört kitev® nem kerülhet® el. Sokáig nem ismertünk hatékony

eljárást atört kitev®kezelésére, ígya legelterjedtebbalgoritmusaz

R

^algoritmus

volt[27℄,melyegyszer¶en elhagytaa3. lépést. Eztermészetesennemegzakt,ám

mivel láttuk, hogy

∆ H ∝ ε ²

^{, így elegend®en kis lépésközt használva a 2. lépés}

soránnem követünk elnagyhibáta3. lépésmell®zésével. Természetesen minden

R

algoritmust használó analízisnek tartalmaznia kellene egy

ε → 0

^{limeszt, ezt}

azonban tipikusan nem szokták elvégezni.

AközelmúltbansikerültkifejleszteniaraionálisHibridMonte-Carlo(RHMC)

módszert, melyben a tört kitev®j¶ hatványokat raionális törtfüggvényekkel kö-

zelítik [28℄. A raionálistörtfüggvények jó tulajdonságainak köszönhet®en 10-15

rend használatávalgépi pontosságigmegközelíthet® atörtkitev®s inverzió egzakt

eredménye. Ezzel amódszerrela HMC algoritmusmindhárom lépése végrehajt-

ható tetsz®leges

N f

^{esetén. Meglep® módon azt} tapasztaljuk, hogy az egzakt RHMC algoritmuslényegesen gyorsabb a nem egzakt

R

algoritmusnál.

Nulla kémiai poteniál

Az eredmények ismertetését a

µ = 0

^{esettel kezdjük. Numerikus rás számí-}

tások segítségével meghatározzuk a fázisátmenet rendjét, az átmenet abszolút

h®mérsékletét ésazállapotegyenletetazátmenetkörnyékén és magasabbh®mér-

sékleteken.

Atermodinamikaivizsgálatokmindigkétf®lépésb®lállnak. Azátmenetvizs-

gálata szempontjából fontosmennyiségeket természetesen magas h®mérsékleten,

N s ≫ N t

^{rásokon határozzuk meg. Az egyik lépés tehát} nyilvánvalóan a

T > 0

szimuláiók.

Ahhoz azonban, hogy tudjuk, hogyhogyan kell a hatás paramétereit megvá-

lasztanunk, illetve zikai értéket (MeV-ben) tudjunk adni a h®mérsékleteknek,

néhány meghatározott (a paraméterekkel megegyez® számú) mennyiség értékét

össze kellvetnünkakísérletilegismertértékkel. Úgy kellaparamétereketbehan-

golnunk, hogyez az összevetés egyezést mutasson. Mivel jelenleg kizárólagnulla

h®mérséklet¶ kísérleti eredmények ismeretesek megfelel® pontossággal ilyenek

például a hadronok tömegeiígy ezt a lépést sak

T = 0

szimuláiókkal tudjuk megtenni. Mivelezenlépéssoránhatározzukmegahatásparamétereit,melyeket

aztán a

T > 0

futtatásoknál használunk, élszer¶ az analízista

T = 0

^szimulái-

ókkalkezdeni, majd ezutántérni át a

T > 0

^lépésre.

3.1. A hatás megválasztása

A 2. fejezetben láttuk, hogy a kontinuum extrapoláió szempontjából nagyon

fontos a rás hatás helyes megválasztása. Javított hatást használva lehetséges,

hogy elég nagyobb rásállandókat használnunk, mint javítatlan hatás esetében.

Másrészt viszont a javítotthatásoknak sokszor nagyon nagy a számításigényük.

Célszer¶ olyanjavítotthatástválasztani,melynemnövelilényegesenaszükséges

gépid®t,dejavítjaakontinuumextrapoláióviselkedését. Amértékhatásokközül

a (2.6) fagráf szint¶ Symanzik hatás megfelel ezen feltételeknek, ezért a

µ = 0

vizsgálatok során végig ezt használtuk.

A fermion szektorban a staggered fermionok mellett döntöttünk. A döntés

legfontosabb okai a gyorsaság, illetve a királis szimmetria részleges megmaradá-

sa. Említettük,hogyastaggeredfermionoknégyazonostömeg¶fermioníztírnak

le szabad esetben. Kölsönható esetben a négy fermion tömege sak kontinuum

limeszben azonos, véges rásállandó mellett sérül az SU(4) íz szimmetria: a 15

megfelel® pszeudoskalár mezon tömege különböz®. Ez az íz szimmetria sértés

olyan nagyságrend¶,hogy atermodinamikábanhasználatos rásállandók mellett

a második legkönnyebb pszeudoskalár is háromszor-négyszer nehezebb, mint a

legkönnyebb. Ez a tulajdonság természetesen a 2+1 íz leírásához szükséges ne-

gyedik gyök trükk alkalmazása után is megmarad. A bevezet®ben láttuk, hogy

a QCD átmenet rendje er®sen függ az ízek számától és a kvarkok tömegeit®l,

így fontoslenne, hogy azelérhet® rásállandók mellett minél kisebb legyen az íz

szimmetria sértése.

Az irodalomban ismeretes leghatékonyabb megoldás a mértékterek simítása

(smearing). Ennek során bevezetjük az alábbisimított linkeket:

V x;µ = P SU (3)

"

U x;µ + ρ X

ν6=µ

U x;ν U x+aˆ ν ;µ U _x+aˆ ^† _µ;ν

#

,

^(3.1)

ahol

P SU(3)

^{valamilyen projekiót jelöl az SU(3) soportra,}

ρ

^{pedig konstans, a}

simításparamétere. Általánosesetbenmegengedhetjük,hogy

ρ

^a

µ

^és

ν

^függvénye

legyen, most azonbanezzel nem foglalkozunk. Azeljárásháromdimenziós ráson

azalábbi módon szemléltethet®:

.

^(3.2)

Az eredeti linkhez hozzáadjuk az úgynevezett kapsokat (a t¶z®gép kapsához

való hasonlatosságmiatt nevezzük így ®ket).

Amennyiben afermionhatásban(és sakott!) azeredetilinkekhelyett azígy

deniált

V

^linkeket használjuk, bizonyíthatóan sökken az íz szimmetria sértés.

Komolyproblémaazonban,hogya

P

^{projekiónemanalitikuséseztaszimuláió}

során használt algoritmusok nem tudják kezelni 1

. Az eljárás kis módosításával

analitikussá tehet® asimítás [29℄. Ezt a módszert nevezzük stout simításnak. A

részleteket itt nem ismertetjük, azok a refereniában megtalálhatók. A simítás

1

Léteznekolyanalgoritmusok,melyektudjákkezelnianemanalitikusprojekiót,ezekazon-

0 5 10 15 m _π ² /T _c ²

0 5 10 15

(m π ’

2 -m π

2 )/T c

2

MILC, javítatlan

Bielefeld, p4

stout N _f =2, N _t =6

N _f =3, N _t =4

MILC, Asqtad N _f =2+1, N _t =6

N _f =2+1, N _t =6

3.1. ábra. Az íz szimmetriasértése a piontömeg négyzeténekfüggvényében az alábbi

rás hatások esetén: MILC kollaboráió javítatlan hatás [30,31℄, MILC kollaboráió

ASQTAD javított hatás [32℄, Bielefeld soport p4 javított hatás [33℄ és az általunk

használt stout javított hatás. A szimmetriasértés mértékét a két legkönnyebb pion

tömegnégyzetének különbségeként deniáltuk. Minden mennyiséget

T c = 173

^MeV

négyzetével normáltunk [34℄. Afügg®leges kékvonal azikaipiontömegnek felel meg.

hatékonyságatovábbnövelhet®,haaztegymásutántöbbszöralkalmazzuk,vagyis

a már simított

V

^tereket helyettesítjük újra ésújra a (3.1) képlet jobb oldalába.

Az általunk választott fermion hatás a (2.9) staggered hatás kétszer simított

stout linkekkel és

ρ = 0.15

választással. Valamennyi

µ = 0

vizsgálatunkhoz ezt használtuk. A 3.1 ábra mutatja az íz szimmetria sértését a fenti választás,

valamint néhány más, az irodalomban használt hatás esetén. Látható, hogy a

stout hatás lényegesen kevésbé sérti azíz szimmetriát,mint más hatások.

3.2. T=0 szimuláiók

3.2.1. Az LCP meghatározása

A termodinamikai vizsgálatok során általábantöbb különböz® h®mérséklet mel-

lett számoljuk ki a mérhet® mennyiségek várható értékét. A h®mérséklet, mint

láttuk, a rás id®irányú kiterjedésével fordítottan arányos:

T = 1/(N _t a)

^{. A}

h®mérséklet változtatására így két lehet®ség adódik, vagy a ráspontok számát,

vel sakdiszkrét lépésekben tudjuk

N t

^-t változtatni, így általában a rásállandó változtatásávalszabályozzuk ah®mérsékletet. Ezazt isjelenti, hogya 2. fejezet-

ben leírtakszerintarásállandóváltoztatásakorahatásparamétereitmegfelel®en

hangolnunk kell, hogyaz állandózikavonalán (LCP) maradjunk.

Az LCPmeghatározásátkétlépésben végeztük. Azels®lépésben egyközelít®

LCP-t határoztunk meg, melynek mentén a kiválasztott zikai mennyiségek 5-

10% pontossággal megfelelnek a zikai értékeknek [35℄. Ezután ezt az LCP-t

nomítottuk [36℄.

Mivel a hatásban három paraméter van (a

β

^{satolás és a két} kvarktömeg), hárommennyiségetkellválasztanunk. Ezekdimenziósmennyiségek,mígminden,

amit a ráson számolunk, dimenziótlan. Ezért azáltalánosság megszorítása nél-

kül feltehetjük, hogy a három mennyiségb®l egy a rásállandó meghatározására

szolgál, mígkét függetlendimenziótlan hányados az LCP-t deniálja. Természe-

tesen olyan mennyiségeket érdemes választani, melyeknek pontosan ismerjük a

kísérleti értékét és melyeket a ráson is egyszer¶ meghatározni. Mivel a királis

perturbáiószámítás szerint a pszeudoskalármezonok tömegei(

m P S

^{)egyértelm¶}

kapsolatban állnak az ®ket felépít® kvarkok tömegeivel (

m ² _{P S} ∝ m q

^{), a kvark-}

tömegek hangolására érdemes e mezontömegeket használni. 2+1 íz esetében ez

a pionok

m π

^{és a kaonok}

m K

^{tömegét jelenti. Harmadik} mennyiségnek, a skála beállításához pedig érdemes olyatválasztani,melynek kisi atömegfüggése.

Korábbimunkákbana skálabeállításáhozastatikus kvark-antikvark poteni-

ált használták. Ennek egyik oka, hogy tiszta mértékelméletben is alkalmazható.

A statikus kvark poteniál a ráson az úgynevezett Wilson-hurkok segítségével

határozható meg. Egy

R × T

^méret¶

W x;µ (R, T )

Wilson-huroka plaketthez ha- sonló mennyiség, sak egy

µ = 1 . . . 3

^{térbeli iránnyal megadott}

R × T

^méret¶

téglalapmenténszorozzuk összealinkeket(amásodikiránymindigazid®irány).

Ezekb®l deniálhatjuk aWilson-hurkok átlagát:

W (R, T ) = ReTr X

x;µ=1...3

W x;µ (R, T )

^(3.3)

Megmutatható, hogykét végtelentömeg¶,egymástól

R

^{távolságralev®kvarkból}

álló rendszer szabadenergiája (nulla h®mérsékleten ez egyszer¶en egy

V (R)

^po-

teniál):

V (R) = − lim

T →∞

1

T ln W (R, T ).

^(3.4)

A poteniálnak általábankét karakterisztikus mennyiségét szokás használni. Az

egyik a

σ

húrfeszültség, melynek deníiója

σ = lim _R→∞ dV (R)/dR

^{. Míg}

σ

^a

tiszta mértékelméletben, ahol a poteniál lineáris nagy

R

^{-re jól} használható