Összes, átlagos és határmennyiségek

(1)

MIKROÖKONÓMIA I.

(2)

(3)

(4)

ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék

Mikroökonómia I.

4. hét

ELEMZÉSI ESZKÖZÖK 2. RÉSZ Készítette:

K®hegyi Gergely, Horn Dániel Szakmai felel®s:

K®hegyi Gergely

2010. június

(5)

4. hét K®hegyi - Horn

Optimalizálás Összes, átlagos és határmennyiségek Mennyiségek közti összefüggések

A tananyagot készítette: K®hegyi Gergely

Jack Hirshleifer, Amihai Glazer és David Hirshleifer (2009) Mikroökonómia. Budapest, Osiris Kiadó, ELTECON-könyvek (a továbbiakban: HGH), illetve Kertesi Gábor (szerk.) (2004) Mikroökonómia el®adásvázlatok.

http://econ.core.hu/∼kertesi/kertesimikro/ (a továbbiakban: KG) felhasználásával.

(6)

Vázlat

1 Optimalizálás

Összes, átlagos és határmennyiségek Mennyiségek közti összefüggések

(7)

Összes, átlagos és határmennyiségek

Eladott mennyiség: Q Ár: P

Bevétel: R =PQ

Átlagbevétel: AR = ^R_Q =^PQ_Q =P Határbevétel: MR = ^∆_∆^R_Q

Megjegyzés

A∆ szimbólum kis, illetve egységnyi változásokat jelöl.

(8)

Összes, átlagos és határmennyiségek (folyt.)

(9)

Összes, átlagos és határmennyiségek (folyt.)

A fels® grakon az R

összbevételfüggvényt ábrázolja, az alsó grakon a hozzá tartozó AR átlagbevétel- és MR

határbevétel-függvényt. A Q=4 esetén például a teljes bevétel, R=24. Az alsó grakon AR görbéjének magassága a fels®

grakonon kivastagított ON szakasz meredekségével egyenl®, azaz AR =R/Q=24/4=6, ha Q=4. Az MR görbe magassága Q=4 esetén egyenl® a teljes bevétel görbéjének

meredekségével. Ezt az LN és NM meredekségek átlagával közelítjük.

(10)

Összes, átlagos és határmennyiségek (folyt.)

Megjegyzés

FIGYELEM! Összmennyiséget (mint amilyen a bevétel az ábra fels® grakonján) SOHASE ábrázoljunk azonos grakonon az átlag- és határmennyiségekkel (mint amilyenek az átlagbevétel és a határbevétel az ábra alsó grakonján)! A mértékegységeik ugyanis nem azonosak. Az ábra fels® részében a függ®leges tengely mértékegysége dollár, miközben az alsó részében termékegységre jutó dollár (dollár/termékegység).

(11)

Összes, átlagos és határmennyiségek (folyt.)

A C összköltségfüggvényéb®l levezethetjük az AC átlagköltséget és MC határköltséget. Annál a kibocsátási mennyiségnél, ahol az összköltségfüggvény meredeksége a legkisebb (a fels® grakon K pontja), MC minimális. Ahol az origóból a görbéig húzott egyenes meredeksége a legkisebb (a fels®

grakon L pontja), AC a

minimumpontjában van. Ahol AC csökken®, ott MC alatta van AC-nek; ahol AC növekv®, ott MC felette van AC-nek.

(12)

Pl.: Vándorló életmód

Az y(s)hozamú gy¶jtögetési helyeken akkor érik el az optimális s∗ tartózkodási id®t, amikor az illet® hely határhozama egyenl® a teljes t id®szakot gyelembe véve számolt y/t átlaghozammal, t =d+s. Az egyes helyekhez tartozó átlagos id® tehát nemcsak az s tartózkodási id®t, hanem az egyik helyr®l a másikra vándorlás d holtidejét is tartalmazza.

(13)

Diszkrét mennyiségek

Megjegyzés

Ha csak diszkrét választások lehetségesek, akkor a kibocsátási szint optimuma annál az értéknél található, ahol a lehet®

legsz¶kebb következ® szakaszon a határbevétel kisebb a határköltségnél, és a lehet® legsz¶kebb el®z® szakaszon a határbevétel nagyobb a határköltségnél.

Cikkek Átlagzetés- Határzetés-többlet száma többlet (dollár) (dollár)

1 543 543

5 295 191

10 227 153

15 194 120

20 174 109

25 160 100

30 149 93

35 150 49

(14)

Matematikailag kicsit precízebben

Egy változó esetén Endogén változó: x

Az endogén változótól függ® összmennyiség:

G =f(x),f :R→R Átlagmennyiség: AG =^f⁽_x^x⁾

Határmennyiség: MG =lim∆x→0∆f(x)

∆x = ^df(x)_dx =f⁰ Két változó esetén

Endogén változók: x1,x2

Az endogén változóktól függ® összmennyiség:

G =f(x1,x2),f :R²→R Átlagmennyiségek: AG1=_x^G

1 = ^f^(x_x¹^,x²⁾

1 ,AG2= _x^G

2 =

f(x1,x2)

x2 ,AGi :R²→R;i =1,2 Határmennyiségek:

MG1= ^∂^f⁽_∂^x_x¹^,^x²⁾

1 ,MG2=^∂^f⁽_∂^x_x¹^,^x²⁾

2 ;MGi :R²→R;i=1,2 n változó esetén

Endogén változók: x1,x2, . . . ,xi, . . . ,xn

Az endogén változóktól függ® összmennyiség:

G =f(x1,x2, . . . ,xi, . . . ,xn),f :Rⁿ→R

(15)

Matematikailag kicsit precízebben (folyt.)

Átlagmennyiségek:

AG1=_x^G

1,AG2=_x^G

2, . . . ,AGi =_x^G

i, . . . ,AGn=_x^G Határmennyiségek: n

MG1= _∂^∂_x^f

1,MG2= _∂^∂_x^f

2, . . . ,MGi =_∂^∂_x^f

i, . . . ,MGn= _∂^∂_x^f

n

Vektorokkal kifejezve

Endogén változók: x=





 x₁ x₂ x...i

x...n







Az endogén változótól függ® összmennyiség:

G =f(x),f :Rⁿ→R

(16)

Matematikailag kicsit precízebben (folyt.)

Átlagmennyiségek:

AG=





 AG₁ AG2

AG... _i AG...n







=







xG1

xG2

G...

xi

G...

xn







;AG:Rⁿ→Rⁿ

Határmennyiségek:

MG=





 MG₁ MG₂ MG... i

MG... _n







=







∂G

∂x1

∂G

∂x2

...

∂G

∂xi

...

∂G

∂xn







;MG:Rⁿ→Rⁿ

(17)

Matematikai ismétlés

Tegyük fel, hogy az x és y endogén változók közti öszefüggést az y =x³−6x+x² függvény írja le. Milyen x érték mellett

maximális, illetve minimális y értéke és mekkorák ezek az értékek?

(18)

Átlag és határmennyiségek közti összefüggések

A határnagyság az összmennyiség függvényének a meredeksége.

Az átlagnagyság az origóból az összmennyiség függvényéhez húzott sugár meredeksége.

Állítás

Ha az összmennyiség növekv®, a megfelel® határmennyiség pozitív.

(Gyakori hiba!)

Ha az összmennyiség csökken®, a megfelel® határmennyiség negatív.

Ahol az összmennyiségnek maximuma (vagy minimuma) van, a megfelel® határmennyiség nulla.

(19)

Átlag és határmennyiségek közti összefüggések (folyt.)

Állítás

Ahol az átlagmennyiség csökken®, a határmennyisegnek az átlagmennyiség alatt kell lennie.

Ahol az átlagmennyiség növekv®, a határmennyiség az átlagmennyiség felett lesz.

Ahol az átlagmennyiség nem csökken® es nem is növekv®

(minimumában vagy maximumában van), a határmennyiség egyenl® az átlagmennyiséggel.

(20)

Matematikai ismétlés

Tegyük fel, hogy az x és y endogén változók közti öszefüggést az y =x³−6x+x² függvény írja le. Milyen x érték mellett

maximális, illetve minimális y értéke és mekkorák ezek az értékek, ha a függvényt csak a[0;2]zárt intervallumon vizsgáljuk?

(21)

Matematikai ismétlés

Deníció

Legyen f(x)S →Rderiválható függvény, ahol S⊆Rⁿ! Legyen továbbá c∈S bels® pontja az S részhalmaznak! Ekkor c stacionárius pontja az f(x)függvénynek, ha

f_i⁰(c) =0 i=1,2, . . . ,n m

f⁰(c) =0.

Tétel

Legyen f(x)S →Rderiválható függvény, ahol S⊆Rⁿ! Legyen továbbá c∈S bels® pontja az S halmaznak! Ha c széls®érték helye az f(x)függvénynek az S halmazon, akkor c stacionárius pontja az f(x)függvénynek.

(22)

Matematikai ismétlés (folyt.)

Tétel

Legyen f(x,y)egy S ⊆R²halmazon értelmezett függvény, amely folytonos els®- és másodrend¶ parciális deriváltakkal rendelkezik!

Legyen továbbá(x₀,y₀)az S halmaz egy bels® pontja, amely stacionárius pontja az f(x,y)függvénynek! Ekkor

f₁₁⁰⁰(x₀,y₀)<0 és

f₁₁⁰⁰(x₀,y₀)f₂₂⁰⁰(x₀,y₀)−f₁₂⁰⁰²(x₀,y₀)>0⇒(x₀,y₀)lokális maximum hely;

f₁₁⁰⁰(x0,y0)>0 és

f₁₁⁰⁰(x0,y0)f₂₂⁰⁰(x0,y0)−f₁₂⁰⁰²(x0,y0)>0⇒(x0,y0)lokális minimum hely;

f₁₁⁰⁰(x₀,y₀)f₂₂⁰⁰(x₀,y₀)−f₁₂⁰⁰²(x₀,y₀)<0⇒(x₀,y₀)nyeregpont;

f₁₁⁰⁰(x₀,y₀)f₂₂⁰⁰(x₀,y₀)−f₁₂⁰⁰²(x₀,y₀) =0⇒(x₀,y₀)lehet lokális minimum vagy maximum vagy nyeregpont is.

(23)

Matematikai ismétlés

Pl.: Legyenek y,x1 és x2 endogén változók és a köztük lév®

kapcsolatot a írja le az y =x₁²−6x₁+x₂²−4x₂+113 függvény.

Milyen x₁ és x₂értékek esetén vesz fel y minimum, illetve maximum értéket és mi ez az érték?

(24)

Matematikai ismétlés

Tétel

Tegyük fel, hogy f(x,y)-nak és g(x,y)-nak léteznek folytonos parciális deriváltjai az xy-sík egy A tartományában, valamint azt, hogy(x0,y0)az A egy bels® pontja, másrészt, hogy f(x,y)-nak a g(x,y) =0 feltétel melletti lokális széls®értékhelye. Tegyük fel továbbá, hogy g₁⁰(x₀,y₀), g₂⁰(x₀,y₀)közül legalább az egyik nem 0.

Ekkor létezik pontosan egy darab olyanλszám, hogy az(x₀,y₀) számpár a

L(x,y) =f(x,y)−λg(x,y) Lagrange-függvény stacionárius pontja.

(25)

Matematikai ismétlés

Tétel

Legyen f(x,y)és g(x,y)R²→Rfolytonosan deriválható függvény, és tegyük fel, hogy a

max(min)f(x,y) g(x,y) =0

)

feladat optimális megoldásait keressük. Tegyük fel továbbá, hogy (x₀,y₀)a feladathoz tartozó Lagrange-függvény

L(x,y) =f(x,y)−λg(x,y) stacionárius pontja, valamint hogy g(x0,y0) =0. Ekkor

L(x,y)konkáv ⇒(x0,y0)a maximalizálási feldat megoldása; L(x,y)konvex ⇒(x₀,y₀)a minimalizálási feldat megoldása.

(26)

Matematikai ismétlés

Pl.: Legyenek y,x₁ és x₂ endogén változók és a köztük lév®

kapcsolatot a írja le az y =x₁²−6x₁+x₂²−4x₂+113 függvény.

Milyen x₁ és x₂értékek esetén vesz fel y minimum, illetve maximum értéket és mi ez az érték az x₁+x₂=100 feltétel mellett?