Des Raj: Különböző mintavételi eljárások relatív pontossága

(1)

110

STATISZTIKAI IRODALMI FIGYELÖ

Strauss Petty közgazdasági nézeteinek fejlődését úgy értékeli, hogy élete vége felé —— egyre jobb és tisztább megfogal- mazásban —— szinte a tervgazdálkodás és a teljes foglalkoztatottság elméleti alap—

jainak felismeréséig jut el. Ezek alapján

a XX. századi ,,economic planning"

egyik igen korai előfutárának tartja.

A III. rész behatóan foglalkozik Petty gyakorlati statisztikai elgondolásaival.

Sok teret szentel népességstatisztikai né—

zeteinek (a korcsoportok szerinti megosz—

lás, a produktív népesség, a foglalkozá—

sok szerinti megoszlás, az újoncozás),va—

lamint a mezőgazdasági terület és az el—

tartandó népesség aránya közötti vizsgá—

lódásainak és külön is foglalkozik ame—

zőgazdasági termelőterület nyilvántartá—

sának, valamint a földjáradék kiszámí—

tásának két megközelítésére vonatkozó erőfeszítéseivel. Ide kapcsolódnak a me—

teorológiai statisztikára, valamint a nagy—

városok népességére és az ír, illetve a

világnépességre vonatkozó vizsgálódásai,

továbbá John Graunttal fennálló tudo—

mányos kapcsolatai. Strauss szerint az 1662. évi első politikai aritmetikai mű szerzője kétségkívül Graunt, bár abban Pettynek is nagy része volt. Foglalkozik végül a szerző Petty számos társadalom—

politikai elgondolásával a szegényügy, a

közegészségügy, a büntetőjog terén és

sok egyéb területen.

Strauss azzal zárja művét Pettyről,

hogy gondolatainak modernsége a társa-

dalomtudomány számos területén feltű-

nő, némelyík közülük prófétikus, bár egy

részük kifejezetten fantasztikus jellegű.

Végeredményben azonban —— úgy véli ——

Petty hatása azért nem volt nagyobb, mert a restaurációs politikai rendszer le—

fékezte alkotó erejét.

(Ism.: Horváth Róbert)

!

Des Raj :

Különböző mintavételi eljárások relativ

pontossága

_(On the relative accuracy of some sampling teob—

mtxues.) —— Journal of the American statistical Association, 1958. március 98—101. p.

A tanulmány valamely ismérv közép-

értéke becslésének problémájával foglal—

kozik, abban az esetben, ha az alapsoka—

ság véges számú elemből áll és valami—

lven kisegítő ismérvre vonatkozóan is van információ.

Kisegítő ismérvre vonatkozó adatok gyűjtése és felhasználása a becslések pontosságát nagymértékben fokozza. Az

információ természetesen többféleképpen is megszerezhető. Ezért fontos vizsgálat

tárgyává tenni a pontosság szempontjá- ból a különböző mintavételi terveket. A szerző ezt az összehasonlítást végzi el.

Összeveti az átlag-, az együtthatós mód—

szerrel, a regressziós módszerrel készült és rétegezett megfigyelésen alapuló becs-—

léseket az általa ,,pps"—nek nevezett becs-

léssel. Ez utóbbi becslés abból a feltéte—

lezésből indul ki, hogy a véges számú

elemből álló alapsokaság úgy tekinthető, mint egy nem véges számú elemből álló szuperalapsokaságnak véletlen mintája.

A nyert eredmények egy meghatározott

véges számú elemből álló alapsokaságra nem alkalmazhatók, de a véges számú

elemből álló alapsokaságok átlagára már igen.

A ,,pps" becslés előnyeit a különböző

mintavételi rendszereken felépülő becs—

lésekkel szemben az alábbi összefüggések szemléltetik.

1. Egyenlő valószinűségen alapuló becs—

lések és a ,,pps" becslések összehasonlí—

tása.

Legyenek az N véges

álló alapsokaság egységei

U,, U,, ..

Becsülni kell ebben a sokaságban azu

ismérv átlagát

? l 2

,) :,— — 31.

N '

számú elemből

., UN

Rendelkezésre állnak még a következő adatok

x,, X,, ..

az a: kisegítő ismérv N egysége.

A szórásnégyzet (a mintavétel vissza- helyezéssel történik)

1 [ it'/, ]

V , .— , ,__,, , X 21 ___,_ -— Ym ,

pm nN2 :):í

.,XN

V 1 v , Y2

% " azt " Ji N

ahol X és Y az az:—ek és az y—ok összege.

Feltételezve y ismérv esetén, hogy

olyan véges elemű sokaságról van szó,

(2)

STATISZTIKAI IRODALMI FIGYELÖ

111

mely egy nem véges elemű sokaság egy-

szerű véletlen mintája. A u modellje

Á'I'z' : Öxi %— 6,-

ahol

E(eí!xi) : 0, V (m;-c,.) : arg, gz ()

Levezethető, hogy

N ——— l a a"

P (a:, xUW'l) ) __ v,-.fnm, É. "fc—..

LV (! cgi—1

ahol 1) (x, (tű—1) az a: és xii—1 közötti

korrelációs összefüggés együtthatója.

2. Az együtthatós és a regressziós mód-

szeren alapuló becslések és a ,, ps" becs- lés összehasonlítása.

Itt feltételezzük, hogy a g : 0 és

91 : a '*— 5 mi **" ei

Levezethető, hogy

X X

N—2 l N—Z

) m——-——— — n— wwl

N—l N ( N—l

ahol ? az x értékének harmonikus át—

laga.

3. A rétegezett megfigyelésen alapuló becslés és a ,,pp8" becslés összehasonlí—

tása.

A teljes sokaság k rétegre van osztva.

Az í—edik rétegben x, jelöli az egységet.

Legyen

;th " '1 * P:": "P f'ij

ahol

112 (e,-j ! x,) :: O,

Levezethető, hogy

(Ez,-) (SzP—1) 2 (SzI/2?

(Ism.: Csepinszky Andor)

V (B,-j ] mi) :: amg

Henning, H. J. ——-— wartmann, R.:

Kisterjedelmű minták ábrázolása valószínűségi hálózattal

(Stichpmben kleinen Umfanges im Wahrschein—

láchkeiisneiz.) —— Mílleílungsblatt [űr Malhematische Stalístik. 1957. 3. sz. 168—181. p.

A gyakorlatban elterjedt a tapasztalati

eloszlások ábrázolása valószínűségi lép—

tékkel készített hálózat segítségével. Az eljárás előnye, hogy a kumulatív elosz—

lásgörbét lineáris formában állítja elő.

Nagy minta esetén — mint ismeretes

—— osztályközös gyakorisági sort szokás

képezni. Ennek kumulatív változata az ábrázolni kívánt eloszlásfüggvény. Az

egyes x értékekhez (osztályközepekhez tartozó p kumulált relatív gyakoriságok

a valószínűségi hálózaton diszkrét pon—

tok sorozataként jelennek meg. A minta

terjedelmét minden határon túl növelve,

a rögzített osztályozás folytán ezekapon—

tok nem olvadnak össze folytonos vo—

nallá, ellenben illeszkedni fognak az ún.

valószínűségi egyeneshez. Az a: értékek

tehát. meghatározott nagyságok, az ordi—

náta-értékek azonban a véletlentől füg—

gően ingadoznak. Belátható, hogy e pér—

tékek az alapsokaság megfelelő 7! érté—

keinek torzítatlan becslései.

Kis mintaterjedelem esetén a helyzet lényegesen változik. Ekkor ugyanis nem célszerű osztályközös gyakorisági sort

képezni, mivel az egyes osztályokba cse—

kély számú érték jutna. Ennélfogva köz—- vetlenül az adott értékeket mérjük fela;

:c tengelyre és így készítjük el a kumu—

latív eloszlásgörbének megfelelő pontsort a valószínűségi hálózaton. Szemben a nagy mintával, ezúttal az abszcissza nagysága függ a véletlentől, viszont a n' ordináta rögzitett érték. Fennáll továbbá

a követelmény, hogy az egyes :: abszcisz—

sza értékek várható értéke (Ex) az alap-

sokaság megfelelő értéke legyen. Normá—

lis eloszlás esetén biztosítható, hogy az így definiált pontsor a valószínűségi

egyenest torzításmentesen közelíti meg.

További feladat az eloszlás paraméte—

reinek vizsgálata. A várható érték (,a) és a szórás (a') becslései a mintából 5

illetve 8. Szerző a becslést a legkisebb

négyzetek módszerének egy speciális al—

kalmazása útján hajtja végre. Definiálja

8

Akxxk_mk

különbségeket, ahol mk a nk ordináta és a kiegyenlítő egyenes által meghatá—

rozott abszcissza érték. Felállít továbbá egy a,, súlyrendszert, amely két fő kö—

vetelményt elégít ki, egyébként tetsző- leges.

Ez esetben a

N

E a,: A; : Minimum kal

egyenlőségnek kell teljesülnie. Ebből le—

vezethetők ; és s formulái. Bizonyítható