2. Valószínűségi változók

Valószínűségszámítás B - 4. előadás

2. Valószínűségi változók

2.1. Diszkrét valószínűségi változók eloszlása és várható értéke

Definíció. Legyen Ωegy eseménytér, ekkor egy X : Ω→Rfüggvényt diszkrét valószínűségi változónak nevezünk, ha értékkészlete megszámlálható (azaz vagy véges, vagy megszámlál- hatóan végtelen, vagyis a természetes számokkal indexelve felsorolható). AzX valószínűségi változó egyszerű, ha ranX (azaz az X értékkészlete) véges.

A valószínűségi változókat (legalábbis ezen a kurzuson) néhány kivételtől eltekintve nagy latin betűkkel fogjuk jelölni.

Példák. Az alábbiak diszkrét valószínűségi változók:

• Feldobunk egy szabályos pénzérmét 2-szer egymás után, legyenX a fejek száma. Tehát itt Ω = {F F, F I, IF, II}, továbbá X(F F) = 2, X(F I) = X(IF) = 1, valamint X(II) = 0.

• Egy szabályos kockával dobunk, legyen Y maga az eredmény.

• Legyen Z = Y², ahol Y a fent definiált valószínűségi változó. Ekkor tehát Z egy kockadobás eredményének a négyzete.

• Egymástól függetlenül elvégzünk egy kísérletet n-szer egymás után. Legyen U egy fix esemény bekövetkezéseinek a száma. Pl. n-szer dobunk egy érmével, és megszámoljuk, hogy hányszor következett be az az esemény, hogy fejet kapunk. Vagy n-szer dobunk egy kockával, és megszámoljuk, hogy hányszor dubtunk páros számot. Ez tehát az első példa általánosítása.

• Addig végzünk egymás után többször függetlenül egy kísérletet, amíg egy esemény be nem következik. Legyen V a szükséges kísérletek száma.

• Legyen A⊂Ω egy esemény, legyen továbbá 1A(ω) =

1, ha ω∈A, 0, ha ω /∈A.

Az 1A valószínűségi változót az A esemény indikátorváltozójának nevezzük.

Megjegyezzük, hogy a fent definiált X,Y,Z, U és 1A valószínűségi változók egyszerűek (az értékkészletük véges), míg ranV =N⁺ a pozitív egészek halmaza.

A valós számokon értelmezett műveletek segítségével definiálhatjuk valószínűségi változók összegét, szorzatát és hányadosát:

Definíció. Legyenek X, Y : Ω → R ugyanazon eseménytéren (diszkrét) valószínűségi vál- tozók. Ekkor

• X+Y : Ω→Raz a valószínűségi változó, amely mindenω∈Ωesetén azX(ω) +Y(ω) értéket veszi fel,

• X ·Y : Ω→ R az a valószínűségi változó, amely minden ω ∈Ω esetén az X(ω)·Y(ω) értéket veszi fel,

• ha Y(ω)̸= 0 teljesül mindenω ∈Ω-ra, akkorX/Y : Ω→R az a valószínűségi változó, amely minden ω ∈Ωesetén az X(ω)/Y(ω)értéket veszi fel.

Példák.

• Dobjunk kétszer egy szabályos kockával. Legyen X az első, míg Y a második dobás eredménye, ekkor az X+Y valszínűségi változó értéke a dobások összege.

• LegyenU a már korábban definiált (ugynígy jelölt) valószínűségi változó, jelölje továbbá A_i azt, hogy az i-edik kísérletnél bekövetkezik a vizsgált esemény. Mivel U az bekö- vetkezések teljes száma, így U =1^A1 +· · ·+1^An, ahol 1^Ai az Ai-hez tartozó indikátor valószínűségi változó.

Definíció. Legyen X : Ω → R egy valószínűségi változó, t ∈ R, ekkor az {X = t} halmaz azΩeseménytér mindazon ω elemeiből álló részhalmaza (vagyis azonω-k alkotta esemény), melyekreX(ω) =t teljesül.

Példa. Kétszer dobunk egy szabályos érmével, legyen X a fejek száma. Ekkor {X = 1}={F I, IF}.

Definíció. Hasonlóképp definiálható egy X : Ω → R valószínűségi változó és t ∈ R valós szám esetén az {X < t} halmaz, ez mindazon ω ∈ Ω elemi eseményekből álló esemény, melyekre X(ω) < t teljesül. A fentiekkel analóg módon definiálhatjuk továbbá az {X ≤t}, {X > t} és {X ≥t} eseményeket is.

Példa. Kétszer dobunk egy szabályos érmével, legyen X a fejek száma. Ekkor {X <2}={F F, F I, IF}={X = 0} ∪ {X = 1}.

Mivel a fent definiált halmazok események, így beszélhetünk például a P(X = 1), P(X < 2) valószínűségekről. Megjegyezzük, hogy mivel X értéke egy adott ω ∈ Ω-ra egyértelműen definiált, így s, t ∈ R, s ̸= t esetén az {X = s} és {X = t} események egymást kizáróak, ezért tehát

P(X =s vagy X =t) = P(X =s) +P(X =t)

teljesül. Ebből már látszik, hogy azX értékeinek segítségével jellemezhető események valószí- nűségeinek meghatározásához elegendő a P(X =t) valószínűségeket ismerni, ahol t végigfut azX értékkészletén.

Példa. Legyen Y egy kockadobás eredménye. Ekkor

P(Y = 1) =P(Y = 2) =P(Y = 3) =P(Y = 4) =P(Y = 5) =P(Y = 6) = 1 6, továbbá pl.

P(párosat dobunk) =P(Y = 2 vagy Y = 4 vagyY = 6)

=P(Y = 2) +P(Y = 4) +P(Y = 6) = 3 6 = 1

2

Definíció. A P(X =t)valószínűségek összességét, aholtvégigfut azX értékkészletén, azX diszkrét valószínűségi változóeloszlásának nevezzük.

Példák.

• Legyen Y mint fent, továbbá Z =Y², azaz Z egy kockadobás eredményének négyzete.

Ekkor Z eloszlása:

P(Z = 1) =P(Z = 4) =P(Z = 9) =P(Z = 16) =P(Z = 25) =P(Z = 36) = 1 6.

• Legyen A egy esemény, melyre P(A) = p. Ekkor az A-hoz tartozó 1A indikátor valószínűségi változó eloszlása:

P(1^A= 1) =P(A) =p, P(1^A= 0) =P(A) = 1−P(A) = 1−p.

• Egymástól függetlenül elvégzünk egy kísérletet n-szer egymás után. Legyen azU egy p valószínűségű esemény bekövetkezéseinek a száma. EkkorU értékkészlete a{0,1, . . . , n}

halmaz. Az {U = k} esemény azon lehetséges kísérletsorozatokból (elemi események- ből) áll, melyeknél pontosan k-szor következik be az vizsgált esemény. Ez azt jelenti, hogy a többi n−k esetben nem következik be (vagyis az 1−p valószínűségű komple- mentere következik be). Mivel a kísérleteket egymástól függetlenül végezzük, így egy ilyen kimenetel valószínűsége az egyes kísérletekben nyert kimenetelek valószínűségeinek szorzata, azaz p^k(1−p)^n−k. Hány ilyen lehetséges kísérletsorozat van? A sikeres kísér- letek sorszámainak halmaza ⁿ_k

-féleképp választható (a maradék kísérletek pedig a sikertelenek). Tehát az {U =k}eseményt ⁿ_k

darab azonos p^k(1−p)^n−k valószínűségű kimenetel alkotja (ezek diszjunkt úniója), ezért

P(U =k) = n

k

p^k(1−p)^n−k. (1)

Definíció. Az X diszkrét valószínűségi változó binomiális eloszlású az n ∈ N⁺ és p∈ [0; 1]

paraméterekkel, ha értékkészlete a {0,1, . . . , n} halmaz, és P(X = k) az (1) jobb oldalán szereplő valószínűség minden0≤k≤n egész esetén. Jelölés: X ∼B(n;p).

A fenti példában definiált U változó tehát biomiális eloszlású n és p paraméterekkel, azaz U ∼B(n;p).

Példa.

• Addig végzünk egymás után többször függetlenül egy p valószínűségű kísérletet, amíg egypvalószínűségű esemény be nem következik. LegyenV a szükséges kísérletek száma.

Ha k egy pozitív egész, akkor a P(V = k) valószínűség tehát annak a valószínűsége, hogy az első k − 1 kísérlet során az esemény nem következik be (tehát az 1 − p valószínűségű komplementere következik be), majd a k-adik kísérlet során a vizsgált esemény bekövetkezik. Azaz

P(V =k) = (1−p)^k−1p.

(2)

Definíció. Az X diszkrét valószínűségi változó geometriai eloszlású p ∈ (0; 1) paraméter- rel, ha értékkészlete a pozitív egészek halmaz, és P(X = k) a (2) jobb oldalán szereplő valószínűség minden k∈N⁺ pozitív egész esetén. Jelölés: X ∼Geo(p).

A fenti példában a V változó tehát geometriai eloszlású pparaméterrel, azaz V ∼Geo(p).

Tekintsünk egy X : Ω → R diszkrét valószínűségi változót. Vegyük észre, hogy ha t végigfut az X értékkészletén, akkor az {X = t} páronként diszjunkt események lefedik az teljes Ω eseményteret, azaz teljes eseményrendszert alkotnak. Ebből az is következik, hogy a megfelelő P(X = t) valószínűségek összege szükségképpen 1. Ez könnyen ellenőrizhető a fenti példáknál azY, Z, 1A valószínűségi változókra, de természetesen igaz az U ∼ B(n;p) és a V ∼Geo(p) változókra is. Előbbire tehát

1 =

n

X

k=0

P(U =k) =

n

X

k=0

n k

p^k(1−p)^n−k.

A jobb oldal a binomiális tétel miatt nem más, mint (p+ 1−p)ⁿ = 1ⁿ = 1, tehát a fenti egyenlőség valóban teljesül. A geometriai valószínűségi változó esetén a fenti egyenlőség egy geometriai sor összegzésével adódik (innen az eloszlás neve), ezt a számolást nem részletezzük.

Fontos megjegyezni, hogy az eloszlás (amely valószínűségek összessége) a legkevésbé sem határozza meg a valószínűségi változót magát (amely egy Ω → R függvény), és bár bi- zonyos esetekben elegendő az előbbit ismerni, számos alkalommal létfontosságú, hogy pon- tosan milyen függvényről beszélünk. Példaként legyenΩ egy kockadobás kimeneteleiből álló eseménytér. Tekintsük az A ={1,2,3} eseményt és annak 1^A indikátorát, valamint legyen Y = 1, ha a dobás páros, és 0 különben. Ekkor könnyen látható, hogy1A ésY értékkészlete is a0és1számokból áll, mindegyiket 1/2valószínűséggel veszik fel. Azonban haB ={1,2}, és1^B azB indikátora, akkor

P(1^A= 1 és1^B = 1) =P(1^B = 1) = 1

3 ̸=P(Y = 1 és 1^B = 1) =P({2}) = 1 6.

Egy valószínűségi változó értéke persze egy véletlen kimenetel függvénye, de a viselkedését jellemezhetjük pl. az "átlagos értékével". Ezt az átlagos értéket precízen a várható érték fogalma adja meg:

Definíció. Legyen X egyegyszerű valószínűségi változó. Ekkor az E(X) = X

t∈ranX

t·P(X =t)

kifejezést az X várható értékének nevezzük.

Vegyük észre, hogy mivel a fenti mennyiséget egyszerű valószínűségi változóra definiáltuk, így annak értékkészlete és ezzel együtt a fenti összeg is véges. A várható érték nem más, mint azX lehetséges értékeinek a valószínűségekkel súlyozott átlaga.

Azt is fontos észrevenni, hogy a várható érték pusztán azX valószínűségi változó eloszlá- sától függ, nem konkrétan azX változótól. Ha két valószínűségi változó ugyanazon értékeket veheti fel, és az egyes értékekhez tartozó valószínűségek is megegyeznek, akkor ugyanaz lesz a várható értékük.

Példák.

• Legyen Y egy kockadobás eredménye. Ekkor Y várható értéke:

E(Y) = 1·P(Y = 1) + 2·P(Y = 2) + 3·P(Y = 3)+

+ 4·P(Y = 4) + 5·P(Y = 5) + 6·P(Y = 6) = 21 6 = 7

2 = 3,5.

• LegyenZ =Y², azaz egy kockadobás eredményének négyzete. EkkorZ várható értéke:

E(Z) = 1·P(Z = 1) + 4·P(Z = 4) + 9·P(Z = 9)+

16·P(Z = 16) + 25·P(Z = 25) + 36·P(Z = 36) = 91 6 .

• Legyen A egy esemény, melyre P(A) = p. Ekkor az A-hoz tartozó 1A indikátor valószínűségi változó várható értéke:

E(1A) = 0·P(1A= 0) + 1·P(1A= 1) =P(A) = p.

Tétel (A várható érték linearitása). Legyenek X, Y : Ω → R ugyanazon eseménytéren értelmezett egyszerű valószínűségi változók, c∈R pedig egy tetszőleges valós szám. Ekkor

E(X+Y) = E(X) +E(Y), E(cX) =c·E(X).

Példák.

• Dobjunk kétszer egy kockával, legyen X az első, Y pedig a második dobás eredménye.

Ekkor a dobott számok összege X+Y, ennek várható értéke fenti tétel szerint E(X+Y) = E(X) +E(Y) = 2·3,5 = 7.

• Legyenek A₁, . . . , A_n⊂Ω együttesen független események, melyekreP(A_i) = pteljesül minden1≤i≤n esetén. Legyenek továbbá 1A1, . . . ,1An a fenti eseményekhez tartozó indikátor valószínűségi változók. Ekkor az

1A1 +· · ·+1An

összeg azt adja meg, hogy ezen eseményekből hány következik be, és így könnyen láthatóan binomiális eloszlású valószínűségi változó n és p paraméterekkel. Tehát egy n,p paraméterű binomiális eloszlású valószínűségi változó várható értéke megegyezik a fenti összeg várható értékével:

E(1^A1 +· · ·+1^An) = E(1^A1) +· · ·+E(1^An) =np.

Egy geometriai eloszlású valószínűségi változó várható értékét még nem értelmeztük, hiszen annak értékkészlete végtelen. Egy ilyen diszkrét valószínűségi változó várható értéke for- málisan ugyanúgy definiálható a

X

t∈ranX

t·P(X =t)

összeg segítségével, amennyiben ez az összeg abszolút konvergens (azaz a tagok abszolút értékét véve és azokat összeadva is konvergens sort kapunk). HaX ∼Geo(p)egypparaméterű geometriai eloszlású valószínűségi változó, akkor a fenti feltétel teljesül, továbbá igaz, hogy

E(X) =

∞

X

k=1

k·(1−p)^k−1p= 1 p.

Ezt az állítást nem bizonyítjuk. Megjegyezzük még, hogy a linearitás (azaz a fenti tétel állítása) abban az esetben is igaz, ha a diszkrét valószínűségi változók értékkészlete végte- len (feltéve, hogy a változók várható értékei léteznek, azaz az őket definiáló végtelen sorok abszolút konvergensek).