Független valószínűségi változók összegére vonatkozó határeloszlástételek élesítése

(1)

FÜGGETLEN VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK ÖSSZEGÉRE VONATKOZÓ HATÁRELOSZLÁSTÉTELEK ÉLESÍTÉSE

Dr. PERGE IMRE

Ismeretes, hogy a valószínűségszámításban igen fontos szerepet játszik a független valószínűségi változók összegére vonatkozó h a t á r- eloszlások problémaköre. Az idevonatkozó tételeket a gyakorlatban lényegileg közelítő formulák felállítására használják, véges, de ele- gendő nagy n esetén. Ahhoz, hogy e határértéktételek ilyen alkal- mazása teljesen megalapozott legyen, ki kell egészíteni a maradók- tagokra vonatkozó becslésekkel. Az egyforma eloszlású valószínűségi változók esetében e becslésekkel az [1.] monográfia foglalkozik.

A nem e gyf orm a eloszlású valószínűségi változók összegére vonatkozó határértéktételek élesítése közül pedig [2.]-ben vanna k eredmények a normális eloszlásfüggvényhez való konvergencia irányában.

Jelen dolgozat célja — az egyforma eloszlású valószínűségi vál- tozókhoz hasonlóan — azon teljesebb er edmények bizonyítása, amelyek a független valószínűségi változók összege karakterisztikus-, illetve eloszlásfüggvényének a normális eloszlás karakterisztikus-, illetve eloszlásfüggvényéhez való konvergencia, valamint a rácsos eloszlású valószínűségi változók esetében a megfelelő lokális tétel élesítésére vonatkoznak.

Legyen adva a független valószínűségi változóknak egy sorozata:

Ii» I2, • • •» In , • • • . J e lö l jük a !k valószínűségi változók második, illetve harmadi k abszolút mo me nt umát

M (|£k2) = b\ és M (;ik|³) = cjj-nel ft = 1, 2 . . . a belőlük alkotott sor n-e di k részletösszegét pedig

B²n = b, + bl + • • • + b1 ' 2 ¹ ¹ n'²,

C'l = cj + c| + . . . + cjj-nel. Jelölje továbbá a |^k valószínűségi változó eloszlásfüggvényét F^ (x), illetve karakterisztikus függvényét f^ (t).

Feltételezzük, hogy a £1, Í2» • • • £n t • • • valószínűségi változók függetlenek és nulla várhat ó értékkel, továbbá véges h ar mad i k abszo-

(2)

lút momentu mmá] rendelkeznek, ami mi a t t a

£i + É2 + . . . + £n Cn =

Bn

valószínűségi változó karakterisztikus f üggvé nye t \

ut) = I T f\ k=i \Bni

alakba írható és v a la me nn yi valószínűségi változónak létezik a másod- és ha r ma dre n dű m o me n t u m a , illetve abszolút moment uma.

1. TÉTEL:

Ha a nulla vá r ha t ó érték ű £1, £•> » • • • • • • független való- színűségi változóknak létezik a harmadi k abszolút m o me n t u ma és

t\ £ A- = Tn , 5Cn

akikor

n , / _1²

™ /k l - e 2

k=l U n . f i ^ T W « - *. ahol l az n-től függ etl en állandó.

Bizonyítás.

Egy tetszőleges — £k valószínűségi változó karakterisztikus függ- őn

venye

M ß J ¹ 2 ß² ^l6 ß³ /2 h² /3

k i I é »^{1 x} a;³ d F_k (x); 0 < 0 < 1

alakba írható. Ezért

/k 1

, -j ^ ' |⁸ Ck 2 B- 6 B³ érvényes. Mivel Tn |í| így méginkább igaz, hogy

t

M _B_r ¹ ₂^Tibi ^Tlcl_{6 £}³ ^{^} ¹^_l_lc_{2 1}^k^Tⁿ^Y_ß_n ^{1 í c}_{6 \ i5„}^k^Tⁿ ²⁴₂₅

(3)

mányiban érvényes, íhogy

Tehát é r v é n y es az

es az

/ „ ( /) = exp - - + -

| 2 6 B * |

egyenlőség. Felihasználva az abszolút m o m e n t u m o k r a vonatkozó e g y e n - lőtlenségeket |^k|-ra az alábbi egyenlőtlenséget n y e r j ü k:

Ezért é r v é n y es az

összefüggés. Azonban

m i at t m é g i n k á bb igaz, h og y

vagyis

Ezzel a t é t e lt b ebi zon yí to tt uk. Ha a lk valószínűségi változók egy-

3 b ⁶ -

f or m a eloszlásúak, akkor B_n = bVn, C_n — cVn és T_n = — Vn 5 c és így

(4)

2. TÉTEL:

Ha a nulla vár hat ó é rté k ű . i2 > • • • £n, • • • független valószínű- ségi változóknak létezik a harmadi k abszolút momentuma, akkor

ahol m az n-től füg ge tl en állandó és X

p n )

— 00 Bizonyítás.

Ismeretes, hogy amennyibe n A, T és £ pozitív állandók, F (x) és G (x) n e m csökkenő függvények, továbbá

1. F (± oo) = G ( + oo), 2. I' | F (x) — G (x) | dx < oo,

3. G' ( x ) mi n d e n x-re létezik és | G ' ( x ) | ^ A ,

T m - m d (,

ahol f (t) és g (t) az F (x) és G (x) karakterisztikus függvényét jelöli, akkor minde n k > 1 számnak megfelel egy véges pozitív c (k) szám, amelyre

\F(x)-G(x)\ < k — + c (Ar)—

2⁷ⁱ ^T ([1.] 202. oldal 1. tétel.)

Legyen most F (x) = Fn(x)

x ta

1 C ~ "2

(5)

Említésre méltó, hogy a m e n n y i b e n t e lj e s ül a

lim — =0

n > uo Ba

ú n. L j a p u n o v - f é le feltétel, a k ko r a f e n t i tételb ől köve tkez ik a globális határeloszlástétel L j ap u n o v - f é le alakja.

Természetesen m e r ül f e l ezek u t án a megfe le lő lokális h a t á r é r t é k- tét el ekh ez szükséges felt ét el ék megá lla pí tás án ak p r o b l é m á ja is. Nyil- vánvaló, hogy a konv er ge nci a biztosítására itt e rőse bb megkötések szükségesek, m i n t az eloszlásfüggvények k o nv e r g e n c i á j á n á l. Ugyanis egy F_n (x) f ü g g vé ny s o r oz at ko nv e rg e nciá j áb ól n e m köve tke zik az F_n (x) , de r iv áltak k on ve r g e nciáj a.

Vizsgála tunk ezen a t é r en a rácsos I i , l₂, . . . , l_n > • • • f ü gg e tlen valószínűségi változók összegére vonatkoz ik:

Cn = Él + £2 + • • • + In

/_n ( 0- ve l je lölve ezen összeg ka r a kt e ri sz tik u s f ü g g v é n y é t, a I i, i

— 1,2, . . ., valószínűségi változók f üg ge tl e ns ége m i a t t n y e r j ü k, hogy ( f í = n h{t).

i= l

H a a Ii valószínűségi változók, csak egész é r t é k e k et ve sznek fel, a k ko r a l_n összeg is csak egész é r t é k e k et v é h et fel. Bevezetve a

P {In = k) = P_n (k) és a P = *nj} - Pnj

jelölést, tetszőleges n - r e igaz, hogy

00 03

] ? P _n ( k ) = l és

— ao j

A In valószínűségi változó ka r akt e r is z t ik u s f ü g g v é n ye

(6)

-TT En

3. TÉTEL:

Ha a nulla v á r h a t ó értékű, rácsos £1, £2, ••• független való- színűségi változók csupán egész értékeket vesznek fel, maximális lépésük egy és létezik a h a r m a dr e ndű abszolút mo men tu mu k , tovább á bármely e > O-ra

Bl ' I /n ( 0 I < K

hacsak e Bn <; | /1 n Bn ,

akkor Bn Pn (k) — e 2 <, l • max

[/ 2tz

I 1

BnJ ' Bn I

(7)

Végül figyelembe véve e tételben szereplő feltételt | J₂1 - r e n y e r j ük hogy

JD„ Вn

ahol Уn - e t úgy válasszuk meg, mint az 1. tételben. Ezenkívül f e l- tételezzük, hogy T_n <C л fí_n, mivel egyébként csak egyszerűsödnének a becslések,

Felhasználva az 1. tételt |Л, | -re nyerj ük, hogy

(8)

A becslések alapján t e h át

ahol l az n-től f üg g et l en állandó.

Következmény.

Amennyibe n az eml ít ett tételben szereplő valószínűségi változók egyforma eloszlásúak, úgy a

Bl • I Ja (0| < К

feltétel teljesül az e Bn < | /1 <[ л fín inter vallumba n bármely

£ > O-ra, m e r t

\ü (01 ^ és így

Bl I Tn (01 < Bl e - ^ <: ^ = A = K.

л л Л

Megjegyzés.

Az említett tételeknek természetesen, akkor van különös jelen- tőségük, h a

/ г т — = О .

Ekkor ugyanis

feltétel egyforma eloszlású valószínűségi változók, illetve az abszolút

(9)

b) Ha a lk valószínűségi változók nem egyforma eloszlásúak, akkor pl. a következő kiegészítő feltételeket szabihatjuk meg:

1. a lk valószínűségi változók egyenletesen korlátosak,

||k| k = 1, 2, . . .

E kiegészítő feltételek figyelembevételével ugyanis

Ck

DAS SCHÄRFEN DER GRENZVERTE1LUNGSSÄTZE AU F DIE UNABHÄNGIGEN Z UF A LL S VERÄNDERLICHEN

I. PERGE

Z U S A M M E N F A S S U N G

Es sei I), |2, . . . , |n, . . . eine Folge der Zufallsveränderlichen gegeben. Bezeichne

M { | ! k l und M { J l k |³} — ^ck > ( * = 1 , 2, . . . )

die absoluten Momente zweiten beziehungsweise dritten Grades der Zu- fallsveränderlichen !k u nd

Bl = ^bi ^hl

• • •

K'

Cn = ^C + ^C2 + • ' • + ^Cn

die S u mm e dieser Momenten und endlich Fj;(x) und fk(t) die Verteilungs- funktion , beziehungsweise die charakteristische Funktio n der Zufalls-

(10)

veränderlichen £k • Es seien ferner die Zufallsveränderlichen |k unabhän- gig und

M {l_k} = 0 , M {|£k|³} < o o für k = 1,2, ...

Unte r solchen Bezeichungen u nd Voraussetzungen nachstehende Sätze haben m i t der Gültigkeit:

'g

Wenn |f| < — ,

5C„

so gilt n _k

K = 1

t — e 2 l m * e - l

Br

wo unabhängige K ons t an t e l von n. (Satz 1.) An die Folge der Verteilungsfunktio n

| F n ( x ) - 0 ( x ) \ £ m • max

I \BnJ ßn

gilt, wo unabhängige Konstant e m von n und 0 (x)

]/2tt J

t² e 2 dt.

(Satz 2.) Aus diesem Satz folgt der Liapounoffsche — Satz, wenn O

.

7 • Cn

n—y- oo Bn

Wenn die We rte den gitterartigen Zufallsveränderlichen i2> • • •'

£n> • • • n u r ganze Zahlen, der maximal Tritt 1 sein können, f e r n e r zu jedem e > o,

Bl ' \Jn(t) \ < K, sobald

so

< | t | < 7lBn, 1 z²nk

<C l • max wo unabhängige Kons tant e l von n und

Pn (k) = P {FI + 5A + . . .

k

j (CA*

n

In = k }

und 2nk =

Bn (Satz 3.)

Im Falle der gleichförmigen Verteilung der Zufallsveränderlichen ik — wegen Sätze 1—3. — in [1] vorkommend e Sätze sind.

I R O D A L O M

[1] B. V. Gnyegyenko—A. N. Kolmogorov: Független valószínűségi változók össze- gének határeloszlásai. Budapest, 1951.

[2] Cramér, H.: R a n do m Variables a n d Probab ilit y Distributions. Cambridge, 1937.