Zárt alakú Kramers-Kronig összefüggések

A Kramers-Kronig összefüggésben szereplő improprius integrál jobbról nyílt intervallumon definiált. Nagyon nagy frekvenciákon azonban az egyetlen bemenettel és egyetlen kimenettel rendelkező rendszer alapján megfogalmazott matematikai modell, lásd az (M.17) egyenletet, nem megfelelő az elektromágneses anyagok leírására. A legtöbb szigetelő anyag esetén, az ultraibolyánál nagyobb frekvenciákon, ahol még lehet méréseket végezni, a törésmutató valós része alulról tart az egyhez és a törésmutató képzetes része a frekvencia inverz harmadik hatványa szerint tart a nullához (Bohren & Huffman, 2004). A távoli ultraibolyánál nagyobb frekvenciákon, amikor a megvilágító elektromágneses gerjesztés hullámhossza összevethető az atomok közötti távolságokkal (például

anyagot nem lehet kontinuumnak tekinteni. A törésmutató szokásos definíciója már nem alkalmazható, mivel az anyag nem homogenizálható. Ezért az anyagparaméterek megfelelő értelmezéséhez a legnagyobb _h frekvenciától, amelyre az anyagparaméter még értelmezett (vagy amelyre még lehet mérést végezni) a végtelenig egy megfelelő folytatás szükséges. Ezt az extrapolációt úgy kell végrehajtani, hogy az impulzusválasz (ami például szigetelők esetén a (M.33) egyenlettel definiált szuszceptibilitás) belépő legyen, vagyis az időtartománybeli rendszer kauzális legyen. Általánosan használt közelítés, hogy a törésmutató képzetes része valamilyen analitikus függvény szerinti közelítéssel gyorsabban konvergál a nullához, mint a törésmutató valós része az egyhez. Metaanyagok esetén is hasonlóan kell eljárni, azzal a különbséggel, hogy a geometria méreteitől függően a homogenizálás határa akár a mikrohullámú tartományban is lehet, és nincs olyan feltétel, ami megkövetelné, hogy a törésmutató valós részének egyhez kell tartania. Ezért célszerű a (4.1) Kramers-Kronig összefüggést a következő alakba írni

       

ahol n_h a törésmutató valós része nagyon nagy frekvenciákon, amit frekvenciától független állandónak szokás tekinteni. Hasonlóképpen, feltételezve, hogy a törésmutató képzetes része nagyon nagy frekvenciákon nulla, a (4.2) összefüggés a következőképpen írható fel

   

A rendelkezésre álló mérési eredmények vagy szimulációs adatok általában véges és viszonylag szűk frekvenciatartományra vonatkoznak (pl. mikrohullámú vagy az optikai tartomány egy része) ezért a Kramers-Kronig összefüggések közelítő értékét szolgáltatják a törésmutatónak, amire a továbbiakban az ^nKK

 

^ jelölést használom. A törésmutató képzetes része általában egy



 a^, b



frekvencia tartomány L számú pontjában ismert és adatsorként adott. Az adatsor frekvencia pontjai gyakran egyforma  távolságra helyezkednek el egymástól. A Kramers-Kronig összefüggésekben szereplő integrálok szingulárisak. A szingularitás elkerülése érdekében két hálót vezetek be, az elsődleges és a másodlagos hálót. Az elsődleges háló ékezettel jelölt _l frekvenciapontjaiban a törésmutató képzetes része  

 

l l ismert. A másodlagos háló frekvenciapontjaiban határozom meg a törésmutató valós részét. Az elsődleges és a másodlagos háló frekvenciapontjai között az

1

összefüggés áll fenn. A törésmutató valós részét megadó Kramers-Kronig összefüggés az alábbi alakba írható frekvenciafüggetlen állandó, amelyikkel az integrál csonkolásának hibája korrigálható. Az adatsor

, 1

l l

  _ frekvenciapontjai között a törésmutató képzetes részének frekvenciafüggését közelítve zárt alakú kifejezéseket vezetek le a Kramers-Kronig összefüggésekre.

4.1.1 Nullafokú közelítés

A (4.7) összefüggésben szereplő integrálnak létezik primitív függvénye, amelyik a következő alakú

2 2 primitív függvényt behelyettesítve a (4.7) összefüggésbe, algebrai rendezések után a törésmutató valós részét megadó zárt alakú kifejezést [2] kapjuk

 

^{1 2}2¹ 2²

ami tetszőlegesen elosztott frekvenciapontokra is érvényes. Ekvidisztáns,  távolságú frekvenciapontok esetén, az összefüggésben szereplő tört a következőképpen írható

 

^{2 2}

amelynek segítségével a törésmutató valós része a következőképpen számítható ki

 

¹ 2 2 ² számlálója nem függ az  frekvenciától, ezért az előre kiszámítható és eltárolható⁹. A kifejlesztett algoritmus az



 _l, _l1



intervallumom állandónak tekinti a törésmutató n_l valós részét és azt az elsődleges háló _l frekvenciapontjához rendeli.

(a) (b)

34. Ábra Az elsődleges és a másodlagos hálók szemléltetése. Az elsődleges hálón, amelynek frekvenciapontjait ékezet jelöli adott κl a törésmutató képzetes része. A törésmutató valós részét a másodlagos hálón határozom meg. Nullafokú közelítés esetén κl állandó az elsődleges rács  _l , _l1 intervallumain (a), elsőfokú közelítés esetén lineárisan változik (b).

4.1.2 Elsőfokú közelítés

Behelyettesítve a törésmutató képzetes részének (4.12) alakú lineáris függését a (4.6) összefüggésbe, a törésmutató valós része a következő alakba írható fel

 

^{1 1} ₂ ² ₂ ¹ _{2 2}

Ennek a kifejezésnek az első integrálja a következő módon számítható ki

2 implementáció érdekében előre kiszámítva és eltárolva azokat a tagokat, amelyek függetlenek az  körfrekvenciától

Ezt az összefüggést a _l1_l helyettesítéssel a (4.11) alakra lehet egyszerűsíteni. Abban az esetben, ha a törésmutató valós részének az értékeit az elsődleges háló frekvenciapontjaiban is meg kell adni, lineáris interpolációt lehet alkalmazni, kivéve az adatsor első és az utolsó frekvenciaértékénél, ahol extrapoláció szükséges. A megvalósított algoritmus¹⁰ a másodlagos hálón definiált törésmutató értékek közül az elsőt és az utolsót direkt rendeli ezekhez a frekvenciákhoz.

A következőkben az elsőrendű Kramers-Kronig összefüggés konvergenciáját vizsgálom az adatsor frekvenciatartományának és az n_h paraméternek a függvényében egy hipotetikus metaanyag esetén.

A működési frekvenciákon számos metaanyag relatív elektromos permittivitása Drude modellel adható meg, amelyet egy Lorentz típusú rezonancia követ

 

²

 

²0

ahol _h 2 a nagyfrekvenciás elektromos permittivitás, _p 2 35 10 rad/s⁹ a Drude plazmafrekvencia, _e 2 3 10 rad/s⁹ a csillapítási tényező, _s 3 a statikus elektromos permittivitás, _e0 220 10 rad/s ⁹ az elektromos rezonanciafrekvencia, _e 20.6 10 rad/s ⁹ az elektromos csillapítási együttható. A metaanyag relatív mágneses permeabilitása legyen Lorentz modell alakú

ahol _s 2.5 a statikus mágneses permeabilitás, _h 1.1 a nagyfrekvenciás mágneses permeabilitás,

9 0 2 10 10 rad/s

m    a mágneses rezonancia frekvencia és _m22.2 10 rad/s ⁹ a mágneses csillapítási együttható. A komplex törésmutatót az

 

r

   

r r

   

r ^{i r   2 r}

összefüggéssel számítom ki a passzivitás feltételének figyelembevételével, ahol  jelöli a fázist. A fenti paraméterek esetén a hipotetikus metaanyag törésmutatóját és az elsőfokú Kramers-Kronig összefüggéssel számított közelítéseket a 35. ábra szemlélteti, ahol a 0 35 GHz tartományon L100 frekvenciaértéket tartalmazó adatsort használok. A (4.20) képlettel adott törésmutató referenciának használt valós része a folytonos piros görbe, a képzetes rész pedig a kék görbe rombusz jelöléssel. A törésmutatónak a Kramers-Kronig összefüggéssel történő meghatározásához szükséges az n_h paraméter. A vizsgált metaanyag esetén n_h   _{h h} 1.48. Fekete pontok jelölik a (4.17) összefüggéssel számított törésmutató értékeket. Azonban az n_h értéke általában nem ismert. Ezért gyakran n_h 1 közelítést alkalmazzuk, aminek hatására a számított görbe függőlegesen eltolódik, lásd a fekete négyzetekkel jelölt görbét. A Kramers-Kronig összefüggés konvergenciáját nagymértékben befolyásolja a rendelkezésre álló adatok sávszélessége. Például a frekvenciatartományt a 8 16 GHz intervallumra csökkentve a (4.17) összefüggés a háromszögekkel jelölt barna görbét eredményezi, ami jelentősen eltér a piros színű referencia görbétől. Ezek a hibák csökkenthetők a következő részben levezetett zárt alakú Kivonó Kramers-Kronig összefüggések alkalmazásával.

35. Ábra A metaanyag törésmutatójának valós (piros görbe) és képzetes része (kék görbe rombusz jelöléssel), valamint a törésmutató valós részének közelítése elsőfokú Kramers-Kronig összefüggéssel. A fekete pontokkal jelölt görbe esetén

h h h

n    , a fekete négyzetekkel jelölt görbe esetén pedig n_h 1. A háromszögekkel jelölt barna görbe esetén a Kramers-Kronig összefüggés frekvenciatartományát a 8 − 16 GHz intervallumra csökkentettem.

A vizsgált metaanyag esetén, a nullafokú és az elsőfokú közelítések hasonló eredményt szolgáltatnak

összefüggések abban az esetben előnyösebbek, amikor a metaanyag nagy jóságú tényezőjű rezonanciákkal rendelkezik, aminek következtében a törésmutató képzetes része meredeken változik egy szűk frekvenciatartományban.

In document Mágneses anyagok és elektromágneses metaanyagok modellezése és mérnöki alkalmazásai (Pldal 57-62)