Fémcsíkokból és SRR rezonátorokból felépített metaanyag homogenizálása

A 41.a ábrán a három réteg vastag vágott gyűrűkből (Split Ring Resonator – SRR) és fémcsíkokból (wires) felépített metaanyag (Smith, Vier, Koschny, & Soukoulis, 2005) elektromágneses térszámításban alkalmazott modellje látható [1]. A numerikus szimulációkat a CST Microwave Studio időtartománybeli megoldója segítségével végeztem téglatestekből álló háló segítségével. A metaanyag az x és y irányokban periodikus, a gerjesztő elektromágneses síkhullám elektromos komponense párhuzamos a fémcsíkokkal és merőlegesen érkezik a metaanyag felületére. A diffrakciós határ alatti frekvenciatartományban, amikor csak spekuláris visszaverődés és transzmisszió van, a szimulációt úgy is el lehet végezni, hogy hipotetikus párhuzamos lemez hullámvezetőbe (parallel plate waveguide) helyezzük a 41.a ábrán látható háromréteg vastag metaanyag szupercellát. Az x irányba tökéletes elektromos vezető peremfeltételt (PEC - perfect electric conductor) írok elő, amelyen az elektromos tér tangenciális komponense nullaE_t 0. Az y irányba tökéletes mágneses vezető peremfeltételt (PMC - perfect magnetic conductor) írok elő, amelyen a mágneses tér tangenciális komponense nulla

t 0

H  . A z irányba a számolási tartományt úgynevezett hullámvezető kapukkal (waveguide ports) lezárva, amelynek az alapmodusa van beállítva (állandó elektromos tér a kapu felületén), előírható a z irányba terjedő és y irányba polarizált síkhullámmal történő gerjesztés. A hullámvezető kapuk egyben gondoskodnak a számolási tartomány végének megfelelő reflexiómentes lezárásáról is. A következő részben más CST szimulációs beállításokat is bemutatok, amelyek lehetőséget biztosítanak az eredmények egymással való összehasonlítására és ellenőrzésére.

A CST szimulációk célja a terjedési irányban egy, három, öt és hét elemi cellával rendelkező metaanyag S-paramétereinek a meghatározása, amelyből kiszámítható a törésmutató frekvenciafüggése az 5−20 GHz tartományon. A Kramers-Kronig integrál pontosságának növelése érdekében az elektromágneses szimulációk frekvenciatartományát kiterjesztettem a 0−30 GHz frekvenciáig. Tovább növelve ennek a frekvenciatartománynak a felső határát azt tapasztaltam, hogy az 5−20 GHz tartományon a Kramers-Kronig integrál pontossága számottevően nem változik. A 41.b ábrán az abszorpciós görbék frekvenciafüggése látható a változó rétegszám függvényében.

Megfigyelhető, hogy a rétegszám növelésével a görbék változnak, újabb és újabb abszorpciós csúcsok jelennek meg. Makroszkopikus anyagok esetén az anyagparaméterek függetlenek a vastagságtól,

azonban ez a feltétel metaanyagok esetén általában nem teljesül, így a 42. ábrán látható effektív anyagparaméterek csak egy adott vastagságú metaanyagra vonatkoznak.

41. Ábra A háromréteg vastag fémcsíkokból és vágott gyűrűkből felépített metaanyag elektromágneses modellje (a), az abszorpció a frekvencia az elemi cellák számának függvényében (b).

A törésmutató valós részének folytonosságát vizsgálva az eljárás képes becslést adni a homogenizálás határára. A 42.a ábrán látható, hogy az egy elemi cella vastag metaanyag törésmutatója az m0 indexű ágat követi, tehát a vizsgált frekvenciatartományon ez a metaanyag vékonynak tekinthető a vezetett hullámhosszhoz képest. A tartomány végén megjelenő szakadás a Kramers-Kronig integrál véges frekvenciatartományon való kiértékelésének a következménye. Növelve a szimuláció frekvenciatartományát ez a diszkontinuitás megszüntethető, a törésmutató folytonos lesz és nagyobb frekvenciákon is meghatározható. A három réteg vastag metaanyag törésmutatója a 42.b ábrán látható. A negatív tartományban a törésmutató az m0,1 indexű ágakat követi, tehát ez a metaanyag már nem tekinthető vékonynak a vezetett hullámhosszhoz képest. A törésmutató első diszkontinuitása az f 22.83 GHz frekvenciánál található. Növelve a szimuláció frekvenciatartományát azt tapasztaljuk, hogy ezt a diszkontinuitást nem lehet kiküszöbölni.

A 42.b ábrán megfigyelhető, hogy a törésmutató folytonosságát az m1 ág követésével lehetne biztosítani, azonban ez nem vezet helyes megoldásra, mivel ezt az ágat követve az elektromos permittivitás vagy a mágneses permeabilitás felváltva, minden fizikai magyarázat nélkül, negatívvá válik. Közvetlenül a diszkontinuitás előtt a törésmutató n1.85, a vezetett hullámhossz

 

0 7.1 10

opt c nf

    ^ m. A három réteg vastag metaanyag effektív vastagsága d_eff 7.5 10 ^3 m, összevethető a vezetett hullámhosszal, d_eff _opt 1.05. Ezért ezt a diszkontinuitást a homogenizálás és az effektív metaanyag meghatározó eljárás alkalmazhatósági határának tekintem.

A 42.c ábra az öt réteg vastagságú metaanyag effektív törésmutatóját ábrázolja. A törésmutató folytonosságát vizsgálva megfigyelhető, hogy a diszkontinuitás az alacsonyabb f 16.71 GHz frekvencia felé tolódott. Ebben az esetben a diszkontinuitás előtt a törésmutató n1.1, a metaanyag effektív vastagsága d_eff 12.5 10 ^3 m és d_eff _opt 0.76. Hasonlóan az előző esethez, ezt a diszkontinuitást sem lehet kiküszöbölni a Kramers-Kronig integrál pontosságának növelésével, ezért ezt a homogenizálás határának tekintjük. Kis frekvenciákon az öt rétegből álló metaanyag S₂₁ transzmissziója kicsi, fázisa pedig numerikus hibákat tartalmaz az időbeli megoldó számábrázolása, diszperziója és véges futási ideje következtében. A fázishibát sűrűbb ráccsal, kisebb időlépéssel és hosszabb szimulációs idővel elméletileg csökkenteni lehet, azonban ez praktikusan a ma rendelkezésre álló memória nagyság és processzor teljesítmények esetén sem valósítható meg. Az S₂₁ fázishibáit az effektív paramétereket számító eljárás felerősíti, aminek a következménye a számított effektív törésmutató oszcillációja kis frekvenciákon.

A 42.d ábra a hét réteg vastagságú metaanyag effektív törésmutatóját ábrázolja. Ebben az esetben az időtartománybeli szimulációkból kapott transzmissziós reflexiós adatokon alapuló homogenizálási

eljárás nem tudja megfelelőn meghatározni az elektromágneses metaanyag paramétereket. A hét réteg vastagságú metaanyag esetén az S₂₁ transzmissziós együttható nagysága kicsi a rezonáns frekvencia tartományon kívül. A numerikus hibák miatt az S₂₁ fázisa oszcillál, és ezek az oszcillációk megjelennek az effektív anyagparaméterekben is, megnehezítve a törésmutató pontos meghatározását a rezonáns frekvenciatartomány előtt, lásd a 41.b ábra fekete színnel jelölt abszorpciós görbéjét. A negatív törésmutatójú frekvenciatartomány fölött vizsgálva a törésmutató folytonosságát, látható, hogy az első diszkontinuitás az f 15 GHz frekvencián jelenik meg. Azonban a 10 GHz alatti frekvenciákon a törésmutatóban megjelenő nagyon erős oszcillációk miatt csak transzmissziós reflexiós mérések, vagy időtartománybeli szimulációk alapján nem lehet eldönteni a metaanyag homogenizálhatóságát. A rezonáns frekvenciákon megfigyelt elektromágneses téreloszlások segíthetnek ennek eldöntésében. Megjegyzendő, hogy a törésmutató képzetes részét az oszcillációk kevésbé befolyásolják, mint a valós részt, ezért a Kramers-Kronig integrállal kapott törésmutató meglehetősen sima és jól illeszkedik a törésmutató ágaira a 10−15 GHz frekvencia tartományon. A Kramers-Kronig integrállal kapott közelítés az oszcilláló tartományon is használható a törésmutató becslésére.

42. Ábra A törésmutató valós és képzetes része, valamint az ágindex változása különböző számú, a terjedési irányban egy (a), három (b), öt (c) és hét (d) elemi cella réteget tartalmazó SRR metaanyag esetén. A törésmutató Kramers–Kronig

integrállal való közelítését, valamint a törésmutató néhány lehetséges ágát is ábrázoltam. A törésmutatónak