2. Rendszerelemek matematikai leírása és vizsgálata
2.2. Vizsgáló jelek
A rendszerek tulajdonságainak, jellemző paramétereinek megfigyelésen alapuló vizsgálatát alapvetően két fő csoportba sorolhatjuk. Az első csoportban az ún. aktív kísérletek tartoznak, ahol különböző, előre meghatározott jellegű és nagyságú tesztjeleket alkal-mazunk és ezeknek a kimeneten megjelenő hatásaiból következtetünk a vizsgált jellem-zőre. A kísérletek ilyen módon történő elvégzése nyilvánvalóan megkönnyíti a vizsgálatot végző feladatát, hiszen az adott időpontban és bemeneten alkalmazott bemenő jel kimenetre gyakorolt hatásának vizsgálata a lineáris, időinvariáns modellek esetében általá-ban egyszerű. Ilyen vizsgálatokat általááltalá-ban tesztrendszereken vagy egyszerűbb techno-lógiai rendszereken lehet és szabad elvégezni. A valós fizikai rendszerek többségénél ezek a vizsgálatok komoly technológiai problémákat és veszélyhelyzeteket okozhatnak, ezért az ilyen rendszereken ún. passzív kísérleteket végeznek. A passzív kísérletek azt jelentik, hogy a rendszer normális üzemmenetű működése során felmerülő zajok, zavarások kimenetre gyakorolt hatását használjuk fel a rendszer megismerésére. Természetesen ez mind méréstechnikai, mind modellezési szempontból összetettebb feladatot jelent, hiszen a
2. Rendszerelemek matematikai leírása és vizsgálata 45
zajok, zavarások mind a jel formája és nagysága, mind az időbeli lefolyása szempontjából véletlenszerű. A továbbiakban az aktív kísérleteknél használt jeleket, és azok legfontosabb tulajdonságait ismertetjük.
2.2.1. Egységimpulzus függvény
Az egységimpulzus függvény, vagy Dirac-delta függvény definíciója a következő:
( ) = ∞, = 0 0, ≠ 0
A Dirac delta függvényt elsősorban a rendszert ért impulzus jellegű zavarások model-lezésére alkalmazzuk. Bár, mint a definícióból látszik, a jel fizikailag nem valósítható meg, azonban könnyen adhatunk meg olyan jelenségeket, amelyek jó közelítéssel így játszódnak le. Ilyen például két biliárdgolyó ütközése, teniszütő és labda találkozása, vagy egy kon-denzátor adott állandó áramerőséggel való feltöltése. Ezeknél a folyamatoknál az energia-átadás igen rövid idő alatt játszódik le, ezért alkalmasak az impulzusfüggvény megjele-nítésére.
Az egységimpulzus függvénynek számos fontos tulajdonsága van.
- Integráljának értéke:
( ) = 1 . - Laplace transzformáltja:
ℒ{ ( )} = ( ) = 1 .
- Bármely t = 0-ban folytonos f(t) függvény esetén:
( ) ( ) ≜ (0) ,
vagyis az egységimpulzus függvény segítségével meghatározhatjuk egy folytonos jelnek adott időponthoz tartozó értékét.
- Az egységimpulzus függvény deriváltját a következő módon értelmezhetjük:
( )( ) = ( ) = lim
→
( ) − ( − ) .
A Dirac függvény deriváltját tehát úgy képzelhetjük el, mint két egymástól e távolságban lévő, 1/e amplitúdójú, ellentétes irányú impulzus. Elfogadva ennek az általánosított deriváltnak a létezését, és feltételezve, hogy az f(t) függvénynek
létezik az első, …, n-dik deriváltja a t = 0 időpontban, ekkor az egységimpulzus függvény segítségével ezek a derivált-függvényértékek is meghatározhatók:
( ) ( )( ) ≜ − ( )(0) , ( ) ( )( ) ≜ (−1) ( )(0)
- Az egységimpulzus függvényre adott válasz a súlyfüggvény, h(t). A dinamikus tagok kísérleti vagy szimulációs vizsgálata során a súlyfüggvény viselkedése fontos információt ad a rendszer tulajdonságairól.
2.2.2. A négyszög-impulzus függvény
A négyszög-impulzus függvény elsősorban elektronikai rendszerekben alkalmazott vizs-gáló jel, de más technológiai rendszerek esetében is könnyen megvalósítható és használ-ható. Definíciója:
( ) =
0, < 0 1, 0 ≤ ≤
0, >
.
A négyszög-impulzus ilyen módon történő megadása egységnyi függvény alatti területet jelent, és ha az impulzus időtartamának e értékét minden határon túl csökkentjük, akkor az egységimpulzus függvényt kapjuk meg.
Laplace transzformáltja:
ℒ{ ( )} =1
∙1 − . 2.2.3. Egységugrás függvény
Az egységugrás függvény szintén a leggyakrabban alkalmazott vizsgáló jelek közé tartozik. Definíciója:
1( ) = 1, ≥ 0 0, < 0 .
Az egységugrás függvényt elsősorban a szabályozási körben megvalósított ugrásszerű alapjel-váltások, illetve hasonlóan ugrásszerű módon fellépő zavarások modellezésére használhatjuk. Szigorúan matematikai szempontból vizsgálva a jelet szakadásos függvény-ről van szó, melynek a t = 0 időpontban nem egyezik meg a jobb és bal oldali határértéke.
A fizikai értelmezés során olyan folytonos jelnek tekintjük az egységugrás jelet, melynél a két jelérték közötti felfutás a rendszer működése szempontjából elhanyagolhatóan rövid idő alatt játszódik le.
Az egységugrás függvény tulajdonságai a következők:
2. Rendszerelemek matematikai leírása és vizsgálata 47
- Az egységugrás függvény deriváltja a Dirac delta, illetve a négyszög impulzus függvények segítségével értelmezhető. A négyszög impulzus függvényt felbont-hatjuk, mint egy t = 0 időpontban felfutó, 1/e amplitúdójú, majd t = e időpont-ban lefutó, -1/e amplitúdójú egységugrás függvények együttese, így:
( ) = lim
→ ( ) = lim
→
1( ) − 1( − )
= 1( ) . - Laplace transzformáltja:
ℒ{1( )} =1 .
- Az egységugrás függvényre adott válasz az átmeneti függvény. Szerepe a súly-függvényhez hasonlóan fontos a jelformáló tagok dinamikus vizsgálata során.
2.2.4. Egységsebesség-ugrás függvény
Az egységsebesség-ugrás függvényt a következő módon definiálhatjuk:
( ) = , ≥ 0 0, < 0 .
A gyakorlatban általában programozott, azaz előírt ideig tartó alapjel-váltások, illetve növekvő jellegű zavarások modellezésére használjuk. Mint az a definícióból is látható, az egység jelzőt a felfutás meredeksége miatt kapta. Miután az alapjel-váltás egy előírt értékig történik, ezért az előbbi definíciót – megtartva egységnyi meredekséget – a következő-képpen módosíthatjuk:
( ) = 0, < 0 , 0 ≤ ≤
, > , ahol T a felfutás előírt időtartama. Laplace transzformáltja:
ℒ{ ( )} = 1 . 2.2.5. Egységgyorsulás-ugrás függvény
Ez a vizsgáló jel a hagyományos technológia rendszerekben ritkán használatos, de például mechanikai mozgást leíró rendszerekben (pl. robotkarok mozgása) nagy jelentőségű.
Definíciója:
( ) = /2, ≥ 0 0, < 0 . Laplace transzformáltja:
ℒ{ ( )} = 1 .
Belátható, hogy az egységimpulzus, az egységugrás, az egységsebesség-ugrás és az egységgyorsulás függvények között időtartományban az alábbi kapcsolat van:
( ) = 1( ) , 1( ) = ( ) , ( ) = ( ) ,
( ) = 1( ) , 1( ) = ( ) , ( ) = ( ) , ≥ 0 .
Az egységsebesség-ugrás és az egységgyorsulás függvény esetén is értelmezhető a megfelelő válasz függvény, de azokra nem alkalmaznak külön elnevezést.
2.2.6. Szinuszos bemenő jel
A szinusz függvényt, mint vizsgáló jelet a következő módon adhatjuk meg:
= , ≥ 0, = 1
0, < 0 .
Ezt a vizsgáló jelet elsősorban periodikus bemenetű hálózatok esetében használjuk a gyakorlatban, illetve frekvenciatartománybeli rendszervizsgálatok során alkalmazzuk tipikus bemenetként. Laplace transzformáltja:
ℒ{ } = + .
A szinuszos bemenő jellel és az arra adott válasszal a frekvenciatartományban elvégzett rendszervizsgálatok során foglalkozunk részletesen.