Példák állapotegyenletekre

[^oC Q

0 Egyensúlyi üzemmód

Átmeneti

üzemmód Periódikus üzemmód

1.9. ábra. A dinamikus rendszer üzemmódjai

A rendszer üzemmódjainak meghatározásával és megalkotásával kapcsolatosan igen sok kérdés merül fel, amelyekre felelet csak a rendszer alapos vizsgálata után, a kapott adatok részletes minőségi és mennyiségi elemzésével adhatunk.

Összefoglalásul elmondható, hogy az irányítási rendszerek matematikai modelljeinek állapottéri megfogalmazása igen előnyösen felhasználható a korszerű irányítástechnika legfontosabb feladatainak megoldásában (például az optimális rendszerek elmélete, stabilitásvizsgálatok, adaptív irányító rendszerek elmélete stb.).

Az állapotvektoros számítási mód nagy előnye, hogy általánosan felhasználható, és a rendszeregyenleteket a digitális számítógépen való számításokhoz a legalkalmasabb alakban adja meg.

1.5. Példák állapotegyenletekre

1. Példa

Határozzuk meg az 1.10. ábrán látható rendszer állapotegyenletét:

R

uL uR uC

L

i u

C

1.10. ábra. Illusztráció a példához

1. Rendszerek áttekintése 23

Az ábrán látható jelölések mellett jelölje q a kondenzátor töltését. A rendszernek legyen egy bemenete: ^u=u

( )

^t és öt kimenete, melyek rendre:^y1

( ) ( )

^{t =qt} , y₂

( ) ( )

t =it ,

A soros rezgőkör viselkedését a következő differenciálegyenlet írja le:

( ) ( )

q

( ) ( )

t u t

Az állapotváltozók bevezetése után a következő két elsőrendű differenciálegyenletet kapjuk:

ugyanez vektor differenciálegyenlet alakban:

( ) ( ) ( )

A kimenő jelet megadó kiegészítő vektoregyenlethez a következő módon jutunk el:

( ) ( ) ( )

t qt x t

( ) ( )

Az egyszerűség kedvéért a továbbiakban jelöljük a következő időfüggő vektorokat a következőképpen:

Egy villanyárammal fűtött kemence (1.11. ábra) matematikai modelljét kívánjuk meg-határozni. A termikus rendszer lényegében két hőkapacitásból áll. Legyen a külső környezeti hőmérséklet qk, a falazat hőmérséklete qf, a kemence belső hőmérséklete qb. Jelölje w a villamos fűtés által előidézett hőteljesítményt. Az egyszerűség kedvéért fel-tételezzük, hogy a hőmérsékletek egyenletesen és pillanatszerűen oszlanak meg az egyes közegekben. Legyen Ab és Ak a fal belső és külső felülete. Jelölje cb és cf a kemence belsejének és falának hőkapacitását. Legyen a falazat hőleadási állandója befelé, illetve kifelé hb, illetve hk.

1.11. ábra. Illusztráció a példához

1. Rendszerek áttekintése 25

Megoldás:

A falazat hőegyensúlyának differenciálegyenlete közvetlen fizikai megfontolások alapján:

( )

Ah

( ( )

t

( )

t

)

Ah

( ( )

t

( )

t

) ( )

t

hiszen a falban felhalmozott hőmennyiség időbeni változása egyenlő a fűtőtest által szol-gáltatott hőteljesítménnyel, az utóbbiból levonva a falazat által a külső, ill. a belső környe-zetnek leadott hőteljesítményt. Hasonlóképpen írható fel a kemence belsejének differen-ciálegyenlete:

( )

^Ah

( ( )

^t

( )

^t

)

dt t

C_b dQ^b _{= b b}Q_{f -}Q_b .

Vezessünk be állapotváltozókat. Legyenek a hőmérséklet különbségek az állapot-változók: Feltételezzük, hogy a külső hőmérséklet állandó. Így:

( ) ( ) ( )

Bevezetve az állapotozókra vonatkozó jelöléseket, rendezés után a következő differenciálegyenlet-rendszert kapjuk:

Kis átalakítás után az állapotegyenletek vektoregyenlet alakjában is megadhatók:

C u

Az 1.12. ábrán egy személyautó leegyszerűsített dinamikai modellje látható. A modellbe m1 a váz és tartozékainak tömege, c1 és f a váz és a kerekek között elhelyezett rugó torziós állandója és súrlódási együtthatója, m2 a kerekek tömege, c2 pedig a kerekek torziós állandója. Az út egyenetlensége u(t) egy z1(t) és z2(t) elmozdulást okoz az egyensúlyi állapothoz viszonyítva a személyautó haladása közben. Írjuk fel a rendszer állapotegyenleteit, ha z1(t) a kimenet. Az állapotváltozók szabadon választhatók.

1.12. ábra. Illusztráció a példához

Megoldás:

Az egyszerűsített rendszer differenciálegyenletei:

( ) ( )

[

^- 2

]

⁼ 2 2^{( )+} 1

[

2

( )

^- 1

( ) ]

⁺ _êë^é 2^{( )-} 1^{( )}_úû^ù

2 u t z t m z t c z t z t f z t z t

c && & & ,

1. Rendszerek áttekintése 27

( ) ( )

[

2 1

] [

2^{( )} 1^{( )}

]

1 1^{( )}

1 z t z t f z t z t mz t

c - + & - & = && .

Bevezetve az állapotváltozókat:

( ) ( )

^{t z t}

a rendezés után a következő differenciálegyenleteket kapjuk:

( )

^t

Az állapotegyenletek vektoregyenlet alakjában a következők:

u

4. Példa

A 1.13 ábrán vázolt hidraulikus rendszer két A1 és A2 keresztmetszetű tartályból áll. A tartályokban a folyadék szintmagassága h1(t) és h2(t). A csővezetékek hidraulikus ellenállását elhanyagoljuk, a két tolózár hidraulikus ellenállása lineáris közelítéssel legyen R1 és R2. Legyen a bemeneti jellemző a q(t) hozzáfolyás, a kimeneti jellemző a q1(t) áramlás.

1.13. ábra. Egy két tárolós hidraulikus rendszer vázlata

A tartályokban tárolt tömeg változásait a következő egyenletek határozzák meg:

)

A hozzáfolyást és a kimeneti áramlást a következő egyenletek határozzák meg:

1

Behelyettesítéssel a következő állapotegyenleteket kapjuk :

(

^{h t h t}

) ( )

^qt

-Ha bevezetjük a alábbi állapot-, bemenő- és kimenő-vektort:

q(t)

1. Rendszerek áttekintése 29

akkor az egyenletek az általánosított jelölési formával a következő alakúak:

A u

A rendszer állapotegyenlete ezekkel az elemekkel a már adott általános állapotegyenleti alakot veszi fel:

u

Az 1.14. ábrán egy forgórész-feszültség változtatásával irányított egyenáramú motor pozíciószabályozási rendszerének vázlata látható.

( )t

1.14. ábra. Illusztráció a példához

Az egyenáramú motor nyomatéka arányos a forgórész ⁱr

( )

^t áramával, legyen k_m a motor nyomaték-áram állandója. R_r a forgórész ellenállása, L_r pedig az induktivitása, k_w a motor feszültség-szögsebesség állandója. A mechanikai elemeket J tehetetlenségi nyomaték és f csillapítási állandó jellemzi, K a szabályozó erősítő erősítése. Az ideálisnak tekinthető állító feszültség osztó, a tachogenerátor és az amperméter átviteli tényezői rendre k₁, k₂ és k₃.

Állapotváltozóként válasszuk a motor tengelyének szögelfordulását

( )

^q

( )

^t , a szög-elfordulás sebességét

( )

q&

( )

t és a forgórész áramát

( )

i_r

( )

t . Aa kimeneti jellemző a forgórész szögelfordulása

( )

q

( )

t , a bemeneti jellemző pedig az alapjelül megadott, előírt szögelfor-dulás

(

q_d

( )

t

)

. Írjuk fel a rendszer állapotegyenletét.

Megoldás:

A motor működését a következő egyenlettel írhatjuk le.

A szabályozó kimenete: u

( )

t =K

[

q_d

( )

t -k₁q

( )

t -k₂q&

( )

t -k₃i_r

( )

t

]

,

Jelöljük meg az állapotváltozókat, a bemenetet és kimenetet:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

t qt ,x t q t , x t i t , u t q

( ) ( ) ( )

t , y t qt

x₁ = ₂ = & ₃ = _r = _d = .

Az egyenletekbe helyettesítve kapjuk:

1. Rendszerek áttekintése 31

Rendezés után felírható az állapotegyenlet:

u

Egy irányítás rendszer átviteli függvénye:

( ) ( )

Határozzuk meg az egybemenetű és egykimenetű lineáris, időinvariáns rendszer állapot-egyenletét.

Megoldás:

Az átviteli függvény alapján felírhatjuk a következő egyenleteket:

(

s³+6s²+11s+6

)

Y

( )

s =2U

( )

s ,

( )

s s Y

( )

s sY

( )

s Y

( )

s U

( )

s Y

s³ +6 ² +11 +6 =2 .

Inverz Laplace-transzformáció után:

akkor az utóbbi egyenletbe történő helyettesítés után a következő egyenletet kapjuk:

u x x x

x&₃+6 ₃+11 ₂ +6 ₁ =2 .

Az állapotegyenletes felíráshoz fejezzük ki az állapotok első deriváltjait:

2

Rendezés után az állapotegyenlet vektoriális alakja:

u

A feladat megoldása a Matlab programcsomag alkalmazásával:

1. Rendszerek áttekintése 33

» n=[2];

» d=[1 6 11 6];

» [a,b,c,d]=tf2ss(n,d) a =

-6 -11 -6 1 0 0 0 1 0 b =

1 0 0 c =

0 0 2 d =

0

Az állapotváltozók sorszámának felcserélése ne zavarjon meg senkit. A Matlabbal kiszámított megoldás teljes mértékben megegyezik az előző számítás alapján kapottakkal.

7. Példa

Egy irányítási rendszer állapotegyenlete a következő:

2

1 x

x& = _,

u x

x&₂ =-2 ₂+2 _.

Határozzuk meg a rendszer alapmátrixát Laplace-transzformációval.

Megoldás:

Az alapmátrix a következő kifejezés alkalmazásával határozható meg:

Bu Ax

x& = + ,

(

x&=Ax+Bu

)

^Laplace® sIX

( )

s = AX

( )

s +BU

( )

s , ^sIX

( )

^{s -AX}

( )

^{s =BU}

( )

^{s ,}

( )

s

[

sI A

]

BU

( )

s

X = - ^-1 ,

( )

^{s =}

[

^{sI -A}

]

^-1

F .

A rendszer és az egységmátrix behelyettesítése után:

Rendezés után az alapmátrix Laplace-transzformáltja:

( ) ( ) ( )

Az alapmátrix meghatározható inverz Laplace-transzformáció alkalmazásával:

( )

s ^(Laplace) f

( )

t

Egy többváltozós rendszer viselkedését a következő egyenletrendszer írja le:

( )

t z

( )

t z

( ) ( )

t u t

z&₁ +4&₁ -3 ₂ = ₁

& ,

( ) ( ) ( )

^{t z t z t z}

( )

^{t u}

( )

^t

z&₂ + &₁ + ₁ +2 ₂ = ₂ .

1. Rendszerek áttekintése 35

Válasszuk az állapotváltozókat a következők szerint: ^z1

( ) ( ) ( )

^{t ,z}&1^{t ,z}2 ^t , a kimenetek adottak a következők szerint: ^z1

( ) ( )

^{t ,z}2 ^t . Feladat meghatározni:

a) a rendszer állapotegyenletét.

b) a rendszer átviteli függvény mátrixát.

Megoldás:

Az állapotegyenletek mátrixos felírásban:

úû

A rendszer átviteli függvény mátrixa a következőképpen határozható meg:

Bu

végül az átviteli függvény mátrix:

[

^-

]

^{+ =}

ú=

A rendszer átviteli függvény mátrixa a következő:

( ) ( )

_ú^úú

Egy irányítási rendszer állapotteres leírása:

u

Határozzuk meg az állapotváltozók időfüggvényét zérus kezdeti feltételekre és egységugrás bemenetre.

1. Rendszerek áttekintése 37

Megoldás:

A bemenet Laplace-transzformáltja:

( ) { }

) s

Az állapotvektor Laplace-transzformáltja:

( ) ( )

^{s s B U}

( ) ( ) ( )

^{s s x 0}

Az állapotvektor időfüggvénye tehát:

( ) ( )

A kimenetre érvényes, hogy:

( )

^{s C X}

( )

^{s D U}

( )

^s

Y = × + × .

Mivelhogy D=[0], így a kimenet Laplace-transzformáltja:

( )

s C X

( )

s

A kimenet időfüggvényét inverz Laplace-transzformáció alkalmazásával határozzuk meg:

( ) { } ( )

A megoldás a Matlab program csomag alkalmazásával a következő:

» a=[0 1; 0 -2];

Adott egy irányítási rendszer matematikai modellje:

c u

Határozzuk meg az a, b ,c paramétert úgy, hogy a rendszer teljes mértékben irányítható, majd teljes mértékben megfigyelhető legyen.

1. Rendszerek áttekintése 39

Megoldás:

Az irányíthatóság mátrixa:

[ ]

_ú

Ha az alábbi feltételek teljesülnek, a rendszer teljes mértékben irányítható:

2 ¹0 A megfigyelhetőség mátrixa:

úû

Amennyiben az alábbi feltételek beteljesülnek, a rendszer teljes mértékben meg-figyelhető:

Adott egy irányítási rendszer matematikai modellje:

u

Vizsgáljuk ki az adott rendszer irányíthatóságát és megfigyelhetőségét.

Megoldás:

A rendszer teljes mértékben irányítható.

A rendszer teljes mértékben megfigyelhető.

In document Irányítástechnika (Pldal 22-40)