7. Mintavételes rendszerek
7.2. Mintavételes rendszerek leírása
Mint a bevezetőben is szó volt róla, a továbbiakban mintavételes szabályozás alatt általában a számítógép által irányított rendszereket értjük. Ténylegesen azonban tágabb
fogalomról van szó: minden olyan rendszert mintavételes szabályozásnak tekintünk, ahol a folyamat időállandói és a mintavételezés gyakorisága összemérhetőek.
A mintavételező eljárásokat a következő szempontok alapján lehet csoportosítani:
- mintavételezési idő szerint
- lineáris, rögzített lefolyású mintavételezésről beszélünk, ha a mintavételezés azonos időközönként történik;
- nemlineáris, jeltől függő mintavételezés esetében a mintavételezési időköz a jel valamely tulajdonságától, pl. amplitúdójától vagy deriváltjától függ;
- véletlenszerű vagy statisztikai mintavételezésnél a következő mintavétel időpontja véletlenszerű;
- a mintavételezés időtartama alapján
- véges idejű, vagyis maga a mintavételezés egy meghatározható időtartamig történik;
- pillanatszerű, azaz elméletileg 0 idő alatt játszódik le a mintavételezés.
A következőkben lineáris, vagyis rögzített lefolyású, állandó mintavételezési periódusidővel rendelkező mintavételes rendszereket tárgyalunk, és feltételezzük, hogy a mintavételezés pillanatszerűen játszódik le. Ha kettő vagy több mintavételező van a vizsgált rendszerben, akkor azok ún. szinkron módban dolgoznak, vagyis a mintavételezés azonos időközönként és azonos időpontban egyszerre történik valamennyi mintavételező esetében.
A mintavételezés lefolyását a matematikai leírhatóság érdekében a következő módon értelmezhetjük:
- Legyen adott egy f(t) folytonos-folyamatos jel, melyet állandó, T0
periódusidővel mintavételezünk. Tételezzük fel, hogy maga a mintavételezés Q ideig tart. A mintavételező egységből kijövő jel az ún. fizikai mintavételezés eredménye, mely a mintavételezés Q időtartama alatt követi az eredeti folytonos-folyamatos f(t) jelet, majd a következő mintavételezés kezdetéig nulla lesz az értéke.
- Alakítsuk át a fizikai mintavételezés eredményeként kapott szabálytalan négyszög impulzusnak tekinthető jelsorozatot úgy, hogy vegyük állandónak a jel értékét a mintavételezés időtartama alatt. Ennek megfelelően tekintsünk el a jel Q időtartam alatti változásától, azaz legyen ez időtartam alatt a jelértéke egyenlő a mintavételezés kezdetekor felvett értékkel. Így egy szabályos, a mintavételezés időpontjában felvett jelértéktől függő amplitúdójú négyszögimpulzus függvényt kapunk.
- Noha az egyes négyszögimpulzusok amplitúdója arányos a mintavételezési időpontokhoz tartozó jelek értékével, de ez az arányosság megmarad akkor is, ha a négyszögimpulzusok területét vesszük figyelembe, hiszen a mintavételezés Q
7. Mintavételes rendszerek 145
időtartama minden egyes esetben azonos. Ha azonban a jelet a matematikai kezelhetőség érdekében impulzusszerű jellé alakítjuk át, tehát feltételezzük, hogy a mintavételezés időtartama minden határon túl csökkenthető, akkor a terület csak úgy maradhat állandó, ha ennek az impulzusszerű jelnek az amplitúdója viszont a végtelenbe tart. Ezt az eljárást matematikai mintavételezésnek nevezzük.
Összefoglalva: a mintavételező eljárást impulzussorozat amplitúdó modulációjának tekinthetjük. A mintavételező egység egyik bemenetére a mintavételezendő jel kerül, a másik bemenetre pedig az i*(t) egységimpulzus sorozat. A rendszer felépítése a 7.1. ábrán látható.
7.1. ábra. A mintavételezés elvi folyamatábrája
A kimeneten olyan impulzusok jelennek meg, melyek területe arányos a bemenő folytonos jel mintavételezési időpontokban felvett értékeivel. (Miután a területet nehéz ábrázolni, ezért rajzban inkább a nyíl magasságával utalunk a jelértékre.)
Az egyik bemenő jel tehát a folytonos-folyamatos f(t) függvény, melyről feltesszük, hogy a vizsgálat kezdete előtt zérus volt az értéke:
( ), ( ) = 0, ha < 0 , a másik bemenet a moduláló jel, vagyis az egységimpulzus sorozat:
∗( ) = ( − ) .
A mintavételező egység kimenetén pedig a modulált impulzussorozat jelenik meg:
∗( ) = ( ) ∙ ∗( ) .
A mintavételezett jelre kapott összefüggés a következő módon írhatjuk át:
∗( ) = ( ) ( − ) =
= ( ) ( − 0 ) + ( ) ( − 1 ) + ⋯ + ( ) ( − ) + ⋯ .
Miután az egységimpulzus a t - nT0 időpont kivételével mindenhol zérus, így a kifejezés a következő alakra írható át:
∗( ) = ( ) ( − ) . Következő lépésként Laplace transzformáljuk a kapott kifejezést:
∗( ) = ( ) .
A kapott képlet az f(t) függvény ún. diszkrét Laplace transzformáltját meghatározó kifejezés.
Vezessük be a komplex s változó helyett az ugyancsak komplex z változót, és így megkapjuk a mintavételezett függvény z-transzformálját:
= ⟹ ( ) = ( ) . A transzformálhatóság feltétele:
| ( )| ≤ ≥ , , > 0 .
A levezetés eredményeként kapott képlet egyszerű alakú, de végtelen sort tartalmaz, és az összegképlet felírása nem mindig könnyű. Léteznek más transzformációs képletek is, mint például a komplex függvénytani levezetés eredményeként kapott általános képlet, vagy az alábbi, csak egyszeres pólusokat tartalmazó rendszerek esetében alkalmazható összefüggés:
( ) = ( )
( ) ∙ − , ahol
( ) = ( )( ) a jel Laplace transzformáltja racionális tört alakban, P a pólusok száma,
pi az i-dik pólus (i = 0, 1, 2,…, P),
( ) = ( )| a számláló polinomjának értéke az s = pi helyen,
( ) = ( ) a nevező polinomja deriváltjának értéke az s = pi helyen.
Fontos megjegyezni, hogy a z-transzformáció elvégzéséhez felhasznált definiáló képlettől függetlenül, a kapott összefüggés csak a mintavételezési időpontokban van kapcsolatban az eredeti függvénnyel. Ennek következményeként előfordulhat, hogy a mintavételezési időpontokban azonos értéket felvevő függvényeknek azonos lesz a
z-7. Mintavételes rendszerek 147
transzformáltja, másrészt az inverz z-transzformáció csak a mintavételezési időpontokhoz tartozó értékeket adja vissza.
Az inverz z-transzformáció képlete:
( ) = 1
2 ( ) .
A gyakorlatban az invertálást a következő módokon hajthatjuk végre:
Az egyik lehetőség, hogy az átalakítandó átviteli függvényt olyan egyszerű alakokra, részlettörtekre bontjuk fel, amelyeknek az inverzét már megtaláljuk táblázatban. A módszer előnye, hogy zárt alakú képletet szolgáltat, így tetszőleges mintavételezési időponthoz tartozó érték azonnal meghatározható. Hátránya, hogy a racionális törtfüggvény alakra hozás nem mindig egyszerű.
Egy másik lehetőséget kínál a negatív kitevős hatványsorba fejtés. Ennek értelmezéséhez használjuk fel a következőket:
∗( ) = ( ) ( − ) =
= (0 ) ( − 0 ) + (1 ) ( − 1 ) + ⋯ ( ) ( − ) + ⋯ ,
( ) = ( ) = (0 ) + (1 ) + ⋯ ( ) + ⋯
Az impulzussorozatnak és z-transzformáltjának kifejtett alakjaiból látható, hogy a két kifejezésben szereplő, az impulzusok nagyságára utaló együtthatók megegyeznek, míg a z negatív kitevős hatványai pedig az egységimpulzusok megfelelő mintavételi időpontokhoz tartozó z-transzformáltjainak felelnek meg. Az eljárás előnye, hogy amennyiben a vizsgált jel z-transzformáltja racionális törtfüggvény formájában adott, akkor a negatív kitevős hatványsor – tetszőleges fokszámú polinomok esetében – polinomosztással, akár algoritmizálhatóan is előállítható. Hátránya, hogy ha egy adott mintavételezési időponthoz tartozó jelértéket akarjuk meghatározni, akkor valamennyi, az adott időpont előtti értéket ki kell számítani. Kimenőjelek esetében a racionális törtfüggvény forma előállítását lehetővé teszi, hogy a folytonos időtartományhoz hasonlóan, a diszkrét időtartományban is értelmezhető a tag vagy tagcsoport operátor tartománybeli modellje, és ennek, valamint a bemenő jel z-transzformáltjának segítségével a kimenő jel z-transzformáltja meghatározható.
A z-transzformáció elvégzése során, a Laplace-transzformációhoz hasonlóan, különböző tételeket kell figyelembe venni. Ezeket a szabályokat a 7.1. táblázatban foglaltuk össze.
7.1. táblázat. A z-transzformációra vonatkozó főbb összefüggések
Összefüggés Időfüggvény /
Laplace transzformált z-transzformált Laplace transzformáció
definíció szerint lnz
s T
visszafelé vett differenciák
0
-Tustin módszer 1
1
7. Mintavételes rendszerek 149
A Laplace transzformációhoz hasonlóan a z-transzformációnál is megadjuk a fontosabb függvények transzformáltját. A 7.2. táblázat tartalmazza a folytonos és diszkrét időfüggvény alakot, a Laplace- és a z-transzformáltakat, így egyaránt alkalmas a folytonos időtartományhoz tartozó függvényalakból a diszkrét operátortartományban alkalmazható alak előállítására, vagy a z-transzformált alakból kiindulva a diszkrét időtartományi alak előállítására.
7.2. táblázat. Nevezetes függvények z-transzformáltjai
f(t) F(s) f(nT0) = f*(t) F(z)
coswt 2 2