Nyquist-, illetve Bode-féle stabilitási kritérium

… 00

0 0

⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮

0 0 … …

.

A rendszer stabilitásának másik feltétele, hogy az így kapott determináns főátlójára támaszkodó aldeterminánsok mindegyikére pozitív értéket kell kapni. A vizsgálandó aldeterminánsok a következők lesznek:

∆ = | | > 0 ,

∆ = > 0 ,

∆ = 0 > 0 ,

⋮

∆ =

… 00

0 0

⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮

0 0 … …

> 0 .

Ha az aldeterminánsok valamelyike negatív, akkor a vizsgálatot nem kell tovább végezni, mert a rendszer instabil lesz. Elvégezhető a vizsgálat paraméteresen is. Ekkor valamennyi lépésre meghatározzuk, hogy a kérdéses paraméter milyen értékei mellett lesz a vizsgált rendszer stabil, majd ezeket a tartományokat összevetve döntünk arról a legszűkebb tartományról, melyről véve a paraméter értékeit a rendszer biztosan aszimptotikusan stabil lesz.

6.2.2. Nyquist-, illetve Bode-féle stabilitási kritérium

A rendszerek stabilitásának vizsgálata elvégezhető frekvenciatartományban is. A vizsgálatot ekkor a visszacsatolt rendszerek stabilitására nézve vizsgáljuk. Mindkét módszer esetében az alapelv, hogy a visszacsatolt rendszer stabilitásáról döntünk az alkalmas helyen felvágott kör frekvenciatartománybeli vizsgálata alapján. A két eljárás a tagok frekvenciatartománybeli ábrázolási módjaiból adódóan tér el.

Induljunk ki a 6.1. ábrán látható zárt körből:

6.1. ábra. Zárt kör

6. Stabilitásvizsgálat 117

A visszacsatolt rendszer eredő átviteli függvénye a következő lesz:

( ) = ( )

1 + ( ) ( ) =

( )

1 + ( ) , ( ) = ( ) ( ) . A karakterisztikus egyenlet, melyből a pólusokat meghatározhatjuk:

1 + ( ) = 0 . Áttérve frekvenciatartományba

1 + ( ) = 0 .

Ezt a kifejezést a következő módon értelmezhetjük: megvizsgálandó, hogy létezik-e a zárt rendszernek csillapítatlan szinuszos rezgésű állapota, vagyis:

∃ : ( ) = −1 .

Amennyiben létezik ilyen frekvencia, akkor ilyen w0 frekvenciájú w(t) jellel gerjesztve a rendszert a y(t) kimeneten csillapítatlan lengéseket kapunk.

Ennek alapján a Nyquist-kritérium a következő lesz:

- Ha a felnyitott kör amplitúdó-fázis görbéje – miközben a frekvencia 0 £ w < ¥ tartományban változik – éppen áthalad a komplex számsík valós tengelyének a -1 pontján, azaz létezik olyan w0 frekvencia, melyre G(jw0) = -1, akkor a visszacsatolt kör a stabilitás határán van.

- Ha a felnyitott kör amplitúdó-fázis görbéje nem metszi a valós tengelyt, vagy ez a metszéspont a -1 és 0 között van, akkor a visszacsatolt kör aszimptotikusan stabil.

- Ha a felnyitott kör amplitúdó-fázis görbéje a valós tengelyt a -1 ponttól balra metszi, akkor a visszacsatolt kör instabil.

A Nyquist-kritérium szemléltetése a 6.2. ábrán látható:

6.2. ábra. A stabilitás vizsgálat Nyquist-digarmon

A frekvenciatartománybeli stabilitás kritériumok vázlatos magyarázata a következő:

Induljunk ki a visszacsatolt körből, melyet a B-K pontok között felvágunk (6.3. ábra), és tételezzük fel, hogy az így kapott felnyitott kör Nyquist-diagramja éppen a -1 ponton megy át.

6.3. ábra. A Nyquist-féle stabilitás értelmezése

Legyen a w(t) = 0, és gerjesszük a rendszer a B pontban w0 frekvenciájú szinuszos yb

jellel. Ekkor a különbségképző után az e = -yb jelet kapjuk, majd a K ponton ismét az yb jel jelenik meg, hiszen G0(jw)Gm(jw) = -1. A jelekkel kiegészített hatásvázlat a 6.4. ábrán látszik.

6.4. ábra. A Nyquist-féle stabilitás értelmezése (folyt.)

Ha ismét összekötjük a rendszert, akkor ez a rezgés (elvileg) is fennmarad. Ha a vizsgált jel nem periodikus, mint például az egységugrás jel, akkor is felbontható a Fourier sorbafejtéssel olyan szinuszos és koszinuszos összetevőre, melyek között ott van a kritikus w0 frekvenciájú jel.

Vezessük be a fázistartalék fogalmát a következő módon. Vizsgáljuk meg, hogy az amplitúdó-fázis jelleggörbe hol metszi az egység sugarú kört, illetve, hogy az ebbe a pontba mutató irányvektornak mekkora lesz a valós tengellyel bezárt szöge (6.5. ábra).

Vegyük a 180^o és a kapott szög közötti különbséget. Az így kapott értéket fázistartaléknak nevezzük. Ha a fázistartalék pozitív, akkor a rendszer aszimptotikusan stabil, ha nulla, akkor a stabilitás határán van, ha negatív a fázistartalék, akkor instabil a zárt kör.

Gyakorlati szabályként a fázistartalékot célszerű 30^o-nak választani.

6. Stabilitásvizsgálat 119

6.5. ábra. A fázistartalék értelmezése

A rendszer működésének egy másik jellemzője az erősítési tartalék. A k erősítési tartalék alatt a jelleggörbe és a valós tengely metszéspontja, valamint az origó közötti távolságot értjük a 6.6. ábrának megfelelően:

6.6. ábra. Az erősítési tartalék értelmezése

Ha ez távolság 1-nél kisebb, akkor a rendszer aszimptotikusan stabil, ha egyenlő 1-gyel, akkor a stabilitás határán van, ha nagyobb 1-nél, akkor instabil.

A rendszerek frekvenciatartományban történő vizsgálatát a Nyquist diagramban történő ábrázolás mellett előnyei miatt gyakran Bode diagramban végezzük el. A Nyquist-féle ábrázolással szemben a Bode diagramban az amplitúdót és a fázisszöget külön ábrázoljuk a frekvencia függvényében. A Nyquist diagramhoz kötődő stabilitási kritérium könnyen értelmezhető a Bode diagramban is, megkapva így a stabilitás Bode-féle kritériumát. Az értelmezéshez induljunk ki abból, hogy a Nyquist kritériumot esetében azt vizsgáljuk, hogy a jelleggörbe és az egységsugarú kör metszéspontjához húzott vektornak mekkora az irányszöge. Ha ez pontosan 180°, akkor a vizsgált visszacsatolt rendszer a stabilitás határán van, ha annál kisebb, akkor stabil, ha nagyobb, akkor instabil. Az ehhez a

metszésponthoz húzott irányvektor hossza 1, így az ehhez a ponthoz tartozó amplitúdó-viszony is egységnyi. A Bode-féle ábrázolásnál alkalmazott logaritmizálás miatt, az egységnyi amplitúdóviszonynak a 0 dB-es érték felel meg, vagyis a stabilitásvizsgálat első lépéseként meghatározzuk, hogy milyen frekvenciaértéknél metszi a jelleggörbe a frekvenciatengelyt. Amennyiben a tagcsoport erősítése 1, és ezért a görbe simul a 0 dB értékhez, akkor a metszéspontot az aszimptóták metszéspontja alapján határozzuk meg, ez lesz a sarokfrekvencia. Második lépésként megnézzük, hogy ehhez a frekvenciaértékhez milyen fázisszög érték tartozik. Ennek alapján a stabilitást a Bode-diagram segítségével a következő kritérium alapján állapíthatjuk meg.

Bode-kritérium

Határozzuk meg, hogy az amplitúdóviszony lefutása milyen frekvenciaértéknél lesz pontosan 0 dB. Állapítsuk meg, hogy ehhez a frekvenciaértékhez milyen fázisszög tartozik.

A kapott fázisszög értéke alapján a visszacsatolt rendszer stabilitásáról a következő megállapításokat tehetjük:

- ha a fázisszög értéke nagyobb, mint -180°, akkor a visszacsatolt rendszer stabil;

- ha pontosan egyenlő -180°-kal, akkor a stabilitáshatárán van;

- ha kisebb, mint -180°, akkor instabil lesz a rendszer viselkedése.

6.7. ábra. A Bode-féle stabilitási kritérium

A 6.7. ábra egyrészt bemutatja a stabilitás meghatározásának menetét, másrészt példát láthatunk stabil, stabilitás határán és instabil rendszerek jelleggörbéire. Abban az esetben,

6. Stabilitásvizsgálat 121

ha a visszacsatolt kör eredő erősítése 1, és az amplitúdó jelleggörbéje nem metszi a frekvencia tengelyt, akkor a már említett sarokfrekvencia meghatározásával kapjuk meg a frekvencia kritikus értékét.

6.8. ábra. A fázis- és erősítési tartalék értelmezése Bode diagramon

A Bode diagramban történő stabilitás meghatározásnál is értelmezhetjük az erősítési, illetve a fázistartalék fogalmát. Az ábrának megfelelően a k erősítési tartalék megadja azt maximális értékét dB-ben kifejezve, amivel növelve a visszacsatolt kör erősítését, a rendszer éppen a stabilitás határára jut. Meghatározásához először nézzük meg, hogy a fázisgörbe milyen frekvencia értéknél lesz pontosan -180°-kal egyenlő, majd nézzük meg, hogy ehhez a frekvenciaértékhez milyen amplitúdóviszony tartozik. Az erősítési tartalék a kapott amplitúdóviszony és a 0 dB-es érték közti távolság lesz. A fázistartalékot a stabilitásvizsgálatnál kapott fázisszög érték és a -180° közti távolság meghatározásával kapjuk meg.