5. Dinamikus tagok leírása
5.8. Feladatok dinamikus tagok vizsgálatának témaköréből
1. Elsőrendű tag átmeneti függvénye
Határozza meg az alábbi bemenet – kimenet modellel jellemzett tag átmeneti függvényét!
6 ( )( ) + 2 ( ) = 4 ( ) . A megoldás menete:
Átviteli függvény: ( ) = =
Paraméterek: erősítés K = 2, időállandó t = 3s Bemenő jel: u(t) = 1(t) Þ ( ) =
Kimenet meghatározása az operátor tartományban:
( ) = ( ) ( ) = 2 3 + 1 ∙
1= 2
(3 + 1) Kimenet meghatározása az időtartományban:
( ) = 2
(3 + 1) = + 3 + 1
2 = (3 + 1) + ⟹ = 2 , = −6 ( ) =2
− 6
3 + 1 = 2
1− 1 + ( ) = 2 1( ) −
Az átmeneti függvény viselkedésének vizsgálata:
= 0 (0) = 1 − 1 = 0
→ ∞ (∞) = 2(1 − 0) = 2 (= ) ( )= 2 1
3 ⟹ ( )
= 2 ∙1 3 =
1
2. Elsőrendű tag átmeneti függvénye, ha bemenő jelnek a deriváltja is szerepel
Határozza meg az alábbi bemenet – kimenet modellel jellemzett tag átmeneti függvényét!
5. Dinamikus tagok leírása 97
6 ( )( ) + 2 ( ) = 2 ( )( ) + 4 ( ) A megoldás menete:
Átviteli függvény: ( ) = =
Paraméterek: erősítés K = 2, időállandó t = 3s, számlálóbeli időállandó: Tsz = 0,5s Bemenő jel: u(t) = 1(t) Þ ( ) =
Kimenet meghatározása az operátor tartományban:
( ) = ( ) ( ) = + 2 3 + 1 ∙
1= + 2 (3 + 1) Kimenet meghatározása az időtartományban:
( ) = + 2
(3 + 1) = + 3 + 1
+ 2 = (3 + 1) + ⟹ = 2 , = −5 ( ) =2
− 5
3 + 1 = 2
1−5 6
1 + ( ) = 2 1( ) −
Az átmeneti függvény viselkedésének vizsgálata:
= 0 (0) = 2 1 −5 6 =
1
3 ⟹
→ ∞ (∞) = 2(1 − 0) = 2 (= )
3. Visszacsatolt elsőrendű tag átmeneti függvénye
Legyen az elsőrendű tag átviteli függvénye: ( ) = . Csatolja vissza negatívan a tagot, és határozza meg a visszacsatolt rendszer átmeneti függvényét!
A megoldás menete:
A tag paraméterek: erősítés K = 1, időállandó t = 1s A visszacsatolt rendszer eredő átviteli függvénye:
( ) = ( )
1 + ( ) = 1 + = 1 + 2
A visszacsatolt rendszer paraméterei: ( ) = , , = 0,5 = 0,5
Átmeneti függvény:
( ) = ( ) ( ) = 0,5 0,5 + 1 ∙
1= 0,5 (0,5 + 1) ( ) = 0,5 1( ) − , = 0,5(1( ) − )
4. Párhuzamosan csatolt elsőrendű tagok átmeneti függvénye Legyen adott két elsőrendű tag az alábbi átviteli függvénnyel
( ) = 1
+ 1 , ( ) = 2 4 + 1 .
Csatolja párhuzamosan a két tagot és adja meg a kapott tagcsoport bemenet – kimenet modelljét és átmeneti függvényét!
A megoldás menete:
A párhuzamosan csatolt rendszer eredő átviteli függvénye:
( ) = ( )+ ( ) = 1 + 1 +
2 4 + 1 =
6 + 3 4 + 5 + 1 A tagcsoport eredő bemenet – kimenet modellje:
( ) = ( )
( ) = 6 + 3 4 + 5 + 1 ,
4 ( ) + 5 ( ) + ( ) = 6 ( ) + 3 ( ) , 4 ( )( ) + 5 ( )( ) + ( ) = 6 ( )( ) + 3 ( ) .
A párhuzamosan csatolt elsőrendű rendszerek eredőjeként tehát olyan másodrendű rendszer alakul ki, melynek a számlálójában elsőfokú polinom szerepel. A visszacsatolt rendszer paraméterei: ( ) = ( ) = 3, = 2, = 1,25 , = 2
(A másodrendű rendszerek paramétereinek értelmezése az azokat bemutató fejezetben található.)
Átmeneti függvény:
( ) = ( ) ( ) = 6 + 3 4 + 5 + 1 ∙
1= 6 + 3
(4 + 5 + 1)
( ) = 6 + 3
(4 + 1)( + 1) = + + 1 + 4 + 1
5. Dinamikus tagok leírása 99 Az átmenti függvény diagramja:
5. Sorosan csatolt elsőrendű tagok átmeneti függvénye
Legyen adott két elsőrendű tag az alábbi átviteli függvénnyel:
( ) = 1
+ 1 , ( ) = 2 4 + 1 .
Csatolja sorosan a két tagot és adja meg a kapott tagcsoport bemenet – kimenet modelljét és átmeneti függvényét!
A megoldás menete:
A sorosan csatolt rendszer eredő átviteli függvénye:
( ) = ( ) ∙ ( ) = 1
A sorosan csatolt elsőrendű rendszerek eredőjeként tehát olyan másodrendű rendszer alakul ki, melynek a számlálójában nulladfokú polinom, azaz konstans szerepel.
A tagcsoport eredő bemenet – kimenet modellje:
( ) = ( )
(A másodrendű rendszerek paramétereinek értelmezése az azokat bemutató fejezetben található.)
Átmeneti függvény:
( ) = ( ) ( ) = 2
4 + 5 + 1 ∙
1= 2
(4 + 5 + 1)
( ) = 0,5
( + 0,25)( + 1) = + + 1 + + 0,25
= 0,5
( + 0,25)( + 1) = 2 = 0,5
( + 0,25) =2 3 =
0,5
( + 1) , = −22 3
( ) =2
+ + 1 + −2
+ 0,25 = 2
1+1 3
1 + 1 −
4 3
1 + 0,25 ( ) = 2 1( ) + − , = 2 +2
3 −8
3 , ≥ 0 Az átmenti függvény diagramja:
6. Elsőrendű tag súlyfüggvénye
Határozza meg az alábbi bemenet – kimenet modellel jellemzett tag átmeneti függvényét!
6 ( )( ) + 2 ( ) = 4 ( ) A megoldás menete:
Átviteli függvény: ( ) = =
Paraméterek: erősítés K = 2, időállandó t = 3s Bemenő jel: u(t) = d(t) Þ ( ) = 1
Kimenet meghatározása operátor tartományban:
0 1 2
0 5 10 15 20
bemenő jel exp(-t) exp(-0,25t) átmeneti függvény
5. Dinamikus tagok leírása 101
( ) = ( ) ( ) = 2
3 + 1 ∙ 1 = 2 3
1 + Kimenet meghatározása időtartományban:
( ) =2 3
A súlyfüggvény viselkedésének vizsgálata:
= 0 ∶ (0) =2
3 = 2
3 ⟹ =
→ ∞ (∞) =2
3 = 0
7. Elsőrendű tag súlyfüggvénye, ha a bemenő jelnek a deriváltja is szerepel
Határozza meg az alábbi bemenet – kimenet modellel jellemzett tag átmeneti függvényét!
6 ( )( ) + 2 ( ) = 2 ( )( ) + 4 ( ) A megoldás menete:
Átviteli függvény: ( ) = =
Paraméterek: erősítés K = 2, időállandó t = 3s, számlálóbeli időállandó: Tsz = 1s Bemenő jel: u(t) = d(t) Þ ( ) = 1
Kimenet meghatározása operátor tartományban:
( ) = ( ) ( ) = + 2 3 + 1 ∙ 1 =
+ 2 3 + 1 Kimenet meghatározása időtartományban:
( ) = + 2 3 + 1 =
(3 + 1)
3 + 1 + 3 + 1 = 1 3 +
5 6 ∙
1 + ( ) =1
3 ( ) +5 6
Az átmeneti függvény viselkedésének vizsgálata:
= 0 (0) ⟹ ∞
→ ∞ (∞) = 0
8. Visszacsatolt elsőrendű tag súlyfüggvénye
Legyen első rendű tag átviteli függvénye: ( ) = . Csatolja vissza negatívan a tagot, és határozza meg a visszacsatolt rendszer súlyfüggvényét!
A megoldás menete:
A tag átviteli függvénye: ( ) =
Paraméterek: erősítés K = 1, időállandó t = 1s A visszacsatolt rendszer eredő átviteli függvénye:
( ) = ( )
1 + ( ) = 1 + = 1 + 2
A visszacsatolt rendszer paraméterei: ( ) = , , = 0,5 = 0,5 Átmeneti függvény:
( ) = ( ) ( ) = 0,5
0,5 + 1 ∙ 1 = 1 + 0,5 ( ) = ,
9. Párhuzamosan csatolt elsőrendű tagok súlyfüggvénye
Legyen G1(s) és G2(s) két elsőrendű tag az alábbi átviteli függvénnyel ( ) = 1
+ 1 , ( ) = 2 4 + 1
Csatolja párhuzamosan a két tagot és adja meg a kapott tagcsoport súlyfüggvényét!
A megoldás menete:
Az első tag átviteli függvénye: ( ) = = 1, = 1 A második tag átviteli függvénye: ( ) = = 2, = 4 A párhuzamosan csatolt rendszer eredő átviteli függvénye:
( ) = ( )+ ( ) = 1 + 1 +
2 4 + 1 =
6 + 3 4 + 5 + 1 = 3, = 2, = 1,25 , = 6 Súlyfüggvény:
( ) = ( ) ( ) = 6 + 3 4 + 5 + 1 ∙ 1
5. Dinamikus tagok leírása 103 ( ) = 6 + 3
(4 + 1)( + 1) = + 1 + 4 + 1
=6 + 3
4 + 1 = 1 =6 + 3
+ 1 , = 2
( ) = 1
+ 1 + 0,5 1 + 0,25 ( ) = − 0,5 , ≥ 0 A súlyfüggvény diagramja:
10. Sorosan csatolt elsőrendű tagok súlyfüggvénye
Legyen G1(s) és G2(s) két elsőrendű tag az alábbi átviteli függvénnyel ( ) = 1
+ 1 , ( ) = 2 4 + 1
Csatolja sorosan a két tagot és adja meg a kapott tagcsoport súlyfüggvényét!
A megoldás menete:
Az első tag átviteli függvénye: ( ) = = 1, = 1 A második tag átviteli függvénye: ( ) = = 2, = 4 A sorosan csatolt rendszer eredő átviteli függvénye:
( ) = ( ) ∙ ( ) = 1 + 1 ∙
2 4 + 1 =
2 4 + 5 + 1 = 2, = 2, = 1,25 Súlyfüggvény:
( ) = ( ) ( ) = 2
4 + 5 + 1 ∙ 1
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6
0 2 4 6 8 10
Jelérték
Idő (s)
exp(-t) exp(-0,5*t) súlyfüggvény
( ) = 0,5
( + 0,25)( + 1) = + 1 + + 0,25
= 0,5
+ 0,25 = −2 3 =
0,5
( + 0,25) =2 3
( ) = + 1 + + 0,25
( ) = , − , ≥ 0 . A súlyfüggvény diagramja:
11. Elsőrendű tag sebességugrás válaszfüggvénye
Határozza meg az alábbi bemenet – kimenet modellel jellemzett tag sebességugrás válaszfüggvényét!
I/O modell: 6 ( )( ) + 2 ( ) = 4 ( ) A megoldás menete:
Átviteli függvény: ( ) = = K = 2, t = 3s Bemenő jel: u(t) = v(t) Þ ( ) =
Kimenet meghatározása operátor tartományban:
( ) = ( ) ( ) = 2 3 + 1 ∙
1 = 2
3 + Kimenet meghatározása időtartományban:
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
0 2 4 6 8 10
Jelérték
Idő (s)
exp(-t) exp(-0,25*t) súlyfüggvény
5. Dinamikus tagok leírása 105 ( ) = 2
(3 + 1) = + + 3 + 1
= 2
3 + 1 = 2 = 2
= 18
2 = 2(3 + 1) + (3 + 1) + 18 ⟹ = −6
( ) = 2
−6
+ 18 1
3 + 1 = 2
1 −3
+ 3 1 +
( ) = 2 ( ) − 3 ∙ 1( ) + 3 = 2 − 6 + 6 ≥ 0 A sebességugrás válaszfüggvény viselkedésének vizsgálata:
= 0 (0) = 0 − 6 ∙ 1 + 6 ∙ 1 = 0
→ ∞ (∞) = 2(∞ − 3 + 0) ⟹ ∞ ( )= 2 1 − 0 − ⟹ ( )
= 0
⟹ ( )
( ≫ )
= 2 (= )
12. Elsőrendű tag sebességugrás válaszfüggvénye, ha a bemenő jelnek a deriváltja is szerepel
Határozza meg az alábbi bemenet – kimenet modellel jellemzett tag sebességugrás válaszfüggvényét!
I/O modell: 6 ( )( ) + 2 ( ) = 2 ( )( ) + 4 ( )
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
Jelérték
Idő (s) t 1(t) exp(-t/3) seb.válaszfv.
A megoldás menete:
Átviteli függvény: ( ) = = K = 2, t = 3s, Tsz = 1s Bemenő jel: u(t) = v(t) Þ ( ) =
Kimenet meghatározása operátor tartományban:
( ) = ( ) ( ) = + 2 3 + 1 ∙
1 = + 2 3 + Kimenet meghatározása időtartományban:
( ) = + 2
(3 + 1) = + + 3 + 1
= + 2
3 + 1 = 2 = + 2
= 15
+ 2 = 2(3 + 1) + (3 + 1) + 15 ⟹ = −5
( ) = 2
−5
+ 15 3 + 1 = 2
1 − 51
+ 5 1 +
( ) = 2 ( ) − 5 ∙ 1( ) + 5 = 2 − 5 + 5 , ≥ 0 . A sebességugrás válaszfüggvény viselkedésének vizsgálata:
= 0 (0) = 0 − 5 ∙ 1 + 5 ∙ 1 = 0 ,
→ ∞ (∞) = 2(∞ − 2,5 + 0) ⟹ ∞ .
13. Visszacsatolt elsőrendű tag sebességugrás válaszfüggvénye
Legyen első rendű tag átviteli függvénye: ( ) = . Csatolja vissza negatívan a tagot, és határozza meg a visszacsatolt rendszer átmeneti függvényét!
0 1 2 3 4 5 6
0 1 2 3 4 5
Jelérték
Idő (s) t 1(t) exp(-t/3) seb.válaszfv.
5. Dinamikus tagok leírása 107
A megoldás menete:
A tag átviteli függvénye: ( ) = K = 1, t = 1s A visszacsatolt rendszer eredő átviteli függvénye:
( ) = 1
+ 2 = 0,5 = 0,5 Sebességugrás válaszfüggvény:
( ) = ( ) ( ) = 1 + 2 ∙
1 = 1
+ 2 ( ) =0,5
−0,25
+ 0,25 + 2 =
1 2 ∙
1 −1 4 ∙
1+1 4 ∙
1 + 2
( ) = 0,5 ( ) − 0,25 ∙ 1( ) + 0,25 = 0,5 − 0,25 + 0,25 ≥ 0
14. Párhuzamosan csatolt elsőrendű tagok sebességugrás válaszfüggvénye Legyen adott két elsőrendű tag az alábbi átviteli függvénnyel
( ) = 1
+ 1 , ( ) = 2 4 + 1 .
Csatolja párhuzamosan a két tagot, és adja meg a kapott tagcsoport sebességugrás válaszfüggvényét!
A megoldás menete:
Az első tag átviteli függvénye: ( ) = = 1, = 1 A második tag átviteli függvénye: ( ) = = 2, = 4 A párhuzamosan csatolt rendszer eredő átviteli függvénye:
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
Jelérték
Idő (s) t 1(t) exp(-2t) seb.válaszfv.
( ) = ( )+ ( ) = 1
A sebességugrás válaszfüggvény diagramja:
15. Sorosan csatolt elsőrendű tagok sebességugrás válaszfüggvénye Legyen adott két elsőrendű tag az alábbi átviteli függvénnyel
( ) = 1
+ 1 , ( ) = 2 4 + 1 .
Csatolja sorosan a két tagot, és adja meg a kapott tagcsoport sebességugrás válaszfüggvényét!
5. Dinamikus tagok leírása 109
A megoldás menete:
Az első tag átviteli függvénye: ( ) = = 1, = 1 A második tag átviteli függvénye: ( ) = = 2, = 4 A sorosan csatolt rendszer eredő átviteli függvénye:
( ) = ( ) ∙ ( ) = 1 A sebességugrás válaszfüggvény diagramja:
0