A nagy számok törvényében szereplő konvergencia csak az egyik a valószínűségi változók konvergenciái közül.
Az alábbiakban bevezetjük a legfontosabb konvergenciafajtákat.
7.1 Definíció
eloszlásban, ha az utóbbi minden folytonossági pontjában.
sztochasztikusan, ha minden -ra.
majdnem mindenütt, ha . [1 valószínűségű
konvergencia].
-ben, ha .
Az 1 valószínűségű, illetve konvergenciából következik a sztochasztikus konvergencia, míg ez utóbbiból az eloszlásbeli konvergencia. Az 1 valószínűségű és konvergencia esetében nem beszélhetünk arról, hogy valamelyik konvergencia erősebb a másiknál.
7.2 Feladat
Adjunk meg olyan valószínűségi változó sorozatot, amely majdnem mindenütt konvergál, de -ben nem.
Megoldás. Legyen geometriai valószínűségi mező és . Ekkor
majdnem mindenütt, viszont .
Ahhoz, hogy példát adjunk arra, hogy az konvergenciából sem következik az egy valószínűségű szükségünk lesz a következő lemmákra.
7.2 Definíció
Legyen az eseménysorozatra
illetve
Ekkor pontosan akkor teljesül, ha az -ek közül csak véges soknak eleme, illetve pontosan akkor teljesül, ha végtelen sok -nek eleme.
7.2 Tétel (Borel-Cantelli-lemmák)
(1) Ha , akkor az -ek közül valószínűséggel csak véges sok következik be.
(2) Ha és az -ek függetlenek, akkor az -ek közül
valószínűséggel végtelen sok bekövetkezik.
7.3 Feladat
Adjunk meg olyan valószínűségi változó sorozatot, amely -ben konvergál, de majdnem mindenütt nem!
Megoldás. Legyenek -ek függetlenek, , . Ekkor .
A sorozat pontosan akkor tart -ben -hoz, ha . Továbbá pontosan akkor tart -hoz majdnem mindenütt, ha valószínűséggel véges sok nem , ami pedig a Borel-Cantelli-lemma szerint ekvivalens azzal, hogy véges. Így például a választás esetén majdnem mindenütt, viszont -ben igen.
3. 7.3 Erős törvény
Független, azonos eloszlású valószínűségi változókra teljesül a nagy számok erős törvénye.
7.3 Tétel (Nagy számok Kolmogorov-féle erős törvénye)
Legyenek független, azonos eloszlású véges várható értékű valószínűségi változók. Ekkor majdnem mindenütt és -ben.
A http://www.math.elte.hu/~arato/peldatar/nszt.gif animációban láthatjuk, hogy 0,25-paraméterű indikátor illetve N(0,25,1) változók átlaga hogyan tart a 0,25-ös várható értékhez. Egy screenshot a 7.1 ábra.
7.1. ábra
-7.1. ábra
A nagy számok törvényének illusztrálása indikátorokra és normális eloszlású változókra
A http://www.math.elte.hu/~arato/peldatar/pareto.gif animációban már egészen más képet láthatunk, hiszen ott Pareto(5,1) változókat szimulálunk és azok átlagát nézzük és ezekről tudjuk, hogy várható értékük végtelen.
7.4 Feladat (Borel)
Legyen és azon a geometriai valószínűségi mező. Az elemi eseményeket írjuk fel -es diadikus tört alakban. Milyen arányban fordulnak elő a 0-ák és 1-esek a számokban?
Megoldás. Tekintsük a valószínűségi változókat, azaz az -edik számjegyet.
Ekkor
Mivel , ezért , ahol vagy és függetlenek.
Ekkor a nagy számok erős törvénye szerint majdnem mindenütt. Ezek szerint a [0,1]
intervallum majdnem minden számának diadikus tört felírásában átlagosan ugyanannyi 0 van mint 1.
7.5 Feladat (Monte-Carlo módszer)
Legyen folytonos. Kérdés: hogyan becsülhető véletlen
számgenerálás segítségével?
Megoldás. Legyenek független -eloszlásúak és
.Belátható, hogy , így a tétel szerint
majdnem mindenütt.
7.6 Feladat
Mihez tart szabályos kockadobás mértani közepe?
Megoldás. Jelöljük -el az -edik dobás eredményét. Ekkor a mértani közép felírható a következő alakban.
A nagy számok erős törvénye szerint
1 valószínűséggel. Mivel , ezért a mértani közép 1
valószínűséggel -hoz tart.
7.7 Feladat (Györfi László példájának alapján)
A HUNCUT részvény éves árfolyamváltozásai független, azonos eloszlásúak. A részvény árfolyama egy év alatt valószínűséggel 90%-al nő és ugyanilyen valószínűséggel 50%-al csökken. 1 részvény most 1 Ft-ot ér, év múlva az értékét jelöljük -el. Mihez tart várható értéke és tart-e 1 valószínűséggel valahová ?
Megoldás. A feladat feltételei szerint a részvény várható éves hozama 20%. Jelöljük -el, hogy hányszorosára
változik a részvény árfolyama az -edik évben. Ekkor és
, azaz a várható érték -hez tart. A
http://www.math.elte.hu/~arato/peldatar/reszveny. gif címen azonban láthatunk egy tipikus HUNCUT részvényárváltozást, amely azt mutatja, hogy egy idő után a részvény nagyon keveset ér. Hogy ez nem véletlen mutatja a 7.2 ábra is, ahol a részvény árfolyamának eloszlását láthatjuk 10 év után. Eszerint a részvény nagyon kis valószínűséggel nagyon sokat fog érni és nagy valószínűséggel keveset.
7.2. ábra
-7.2. ábra
A HUNCUT részvény eloszlása
Hasonlóan az előző példához -et felírhatjuk logaritmusok segítségével, . Ekkor a nagy számok erős törvénye szerint
1 valószínűséggel. Ebből következik, hogy tart 0-hoz 1 valószínűséggel.
7.8 Feladat (Előző példa folytatása)
Az előző példából okulva tőkénket másképp fektetjük be. Minden év végén tőként felét a HUNCUT részvénybe fektetjük, a másik felét azonban párnánk alatt készpénzben tartjuk.
Tőkénk év múlvabeli értékét most jelöljük -el. Mihez tart várható értéke és tart-e 1 valószínűséggel valahová ?
Megoldás. A feladat feltételei szerint tőkénk várható éves hozama .Jelöljük -el, hogy hányszorosára változik a részvény árfolyama az -edik évben. Ekkor és , azaz a várható érték most is -hez tart, bár jóval kisebb ütemben. A http://www.math. elte.hu/~arato/peldatar/toke.gif címen látható animációból sejthetjük, hogy új stratégiánkkal nagyobb valószínűséggel lesz több pénzünk. Ezt támasztja alá a 7.3 ábra is, ahol a 10 év utáni tőkénk eloszlását láthatjuk.
7.3. ábra
-7.3. ábra
Tőkénk eloszlása, ha mindig csak a felét fektetjük be a HUNCUT részvénybe
Most is logaritmusok segítségével írjuk fel -et . Ekkor a nagy számok
erős törvénye szerint 1 valószínűséggel. Ebből
következik, hogy 1 valószínűséggel szintén -hez tart.