3. 9.3 Martingálok
3.2.1. Nevezetes egyenlőtlenségek
A továbbiakban a maximumok sorozat.
9.13 Definíció
Legyen valószínűségi változó sorozat és
az sorozat átmetszési száma.
9.14 Tétel
Legyen szubmartingál, ekkor
(i) tetszőleges esetén
speciálisan, ha , akkor
.
(ii) Ha nem-negatív és , akkor
(iii) Ha az intervallum átmetszési száma az
első lépés során, akkor
9.15 Következmény
Ha szubmartingál és , akkor egy valószínűséggel
konvergens.
9.16 Következmény
Ha nem-negatív szupermartingál (vagy speciálisan martingál), akkor egy valószínűséggel konvergens.
9.17 Következmény
Ha martingál, és , akkor egy
valószínűséggel konvergens.
Meg lehet azonban adni olyan martingált is, amely sztochasztikusan konvergál, de egy valószínűséggel divergens. valószínűséggel véges, akkor , mert elég nagy ( -tól függő) -re már egyenlőség van és így
feltéve, hogy a várható érték képzés és a limeszelés felcserélhető. Ezt biztosíthatja a dominált konvergencia tétel, vagy a Beppo Lévi tétel. Azt, hogy ezen integálhatósági feltételek ellenőrzése nem felesleges, a következő egyszerű példa mutatja.
Legyen a szimmetrikus bolyongás és . Tudjuk, hogy a szimmetrikus bolyongás minden rácspontot egy valószínűséggel meglátogat, ezért egy valószínűséggel véges. Mivel martingál, ezért
Itt az integrálást és a várható érték képzést azért nem lehetett felcserélni, mert
miatt
9.7 Feladat
A 9.6 feladat segítségével, számítsuk ki újra a a 8.4 tönkremenési feladatban a játék várható lépésszámát.
Megoldás. Az játékos kezdőtőkéje legyen a játékosé . A 8.4 feladat az és esetnek felel meg. Jelölje az tőkéjét az játék után. Ekkor és , ahol szimmetrikus bolyongás. Azaz a kérdés az, hogy átlagosan hány lépés alatt éri el a szimmetrikusan bolyongó részecske a vagy szintek valamelyikét. Legyen az ehhez szükséges idő, azaz
Tudjuk, hogy egy valószínűséggel véges megállási idő és martingál. A megállított martingál
is martingál, tehát várható értéke nulla. Ha akkor a
dominált konvergencia tétel miatt és a Beppo Levi tétel miatt. Tehát .
definíciója miatt vagy . eloszlását az megállított martingál vizsgálatából
számíthatjuk ki. Ugyanis . Azaz
Amiből
Tehát
A 8.4 feladat megoldását az , választással kapjuk vissza.
9.8 Feladat
szimmetrikus bolyongás és jelöli az első
olyan időpont, amikor a bolyongás a -1 vagy +3 érték valamelyikét eléri. Számítsuk ki az feltételes várható értéket.
Megoldás. A kérdéses feltételes várható értéket több módszerrel is kiszámítjuk.
1. megoldás. Tudjuk, hogy , martingál. Az is ellenőrizhető, hogy is az. Mindhárom martingált megállíthatjuk -val, így ismét martingálokhoz jutunk. Ezért
Ebből
következik. egy valószínűséggel véges megállási idő ezért, ha most , akkor miatt (dominált konvergencia tétel). A ( 9.1) azonosság baloldalán a dominált konvergencia tétel, jobb oldalán a Beppo Lévi tétel miatt cserélhető fel a várható érték képzés és a határátmenet, vagyis . Mivel korlátos ebből is adódik. Ezek után a ( 9.2) azonosság mindkét oldalán a dominált konvergencia tételre hivatkozhatunk, vagyis .
ill. a összefüggésből
Ebből következik. Ekkor viszont
Valamint Ugyanezeket a
mennyiségeket a teljes várható érték tétel segítségével felírva:
és
Ennek az egyenletrendszernek a megoldása és .
2. megoldás. Végül az várható értéket még egy módszerrel is kiszámítjuk. A teljes várható érték tétel szerint
Itt az első feltételes várható érték nulla, mert ha akkor és azaz az eseményen nulla. Az feltétel mellett, szimmetria miatt
és pozitív egész számokra
Azaz
amiből és
és
valamint
9.9 Feladat
Válasszunk véletlenszerűen számokat a intervallumból. A kiválasztott számokat jelölje
és legyen valamint .
Számítsuk ki az valószínűségi változó várható értékét.
Megoldás. Legyen .
Ezért
Mivel martingál, a megállási idővel kapott sorozat is martingál. miatt vagyis a Beppo-Lévy tételt használva
és .
3.3. 9.3.3 Gyakorló feladatok
1.
Jelölje szimmetrikusan bolyongó pont helyzetét az lépés után. Keressünk minél több olyan kétváltozós polinomot, amire martingál.
2.
Oldjuk meg a 9.8 feladatot a 9.3 feladat módszerével is.
3.
Legyen Markov lánc, véges állapottérrel és átmenetvalószínűség–mátrixszal.
függvény esetén legyen a következő , továbbá
Mutassuk meg, hogy martingál sorozat.
6.
Legyen elágazó folyamat, lásd a 9.2 szakaszt, és tegyük fel, hogy a . generáció egyetlen egyedből áll, azaz . Jelölje az utód eloszlás várható értékét, pedig a szórásnégyzetét, és tegyük fel, hogy (szuperkritikus eset).
(a) Mutassuk meg, hogy martingál, amely
valószínűséggel konvergens, és ha , akkor -ben is. Jelölje a határértékét .
(b) Jelölje a kihalás valószínűségét. Igazoljuk, hogy martingál.
(c) Mutassuk meg, hogy . Ez azt jelenti, hogy azon az eseményen, ahol a folyamat nem hal ki, és ( 1-520151) alapján ezen az eseményen az sorozat exponenciális gyorsasággal nő.
7.
Szabályos pénzérmét dobálunk. Ha az eredmény fej a tét kétszerését kapjuk vissza, ha írás elveszítjük a tétet.
Kezdetben két forintunk van és addig játszunk, amíg el nem veszítjük a pénzünket, vagy amíg össze nem gyűjtünk 5 Ft-ot. Mohó stratégiát követünk, azaz mindig akkora tétet teszünk fel, amivel szerencsés esetben a lehető legjobban meg tudjuk közelíteni az 5 Ft-ot. Jelölje a játék hosszát és az játék
után a pénzünket, továbbá legyen , , ,
, , .
Mutassuk meg, hogy illetve martingál és számítsuk a játék átlagos hosszát, azaz -t.
8.
Egy urnában fehér és fekete golyó van. Visszatevés nélkül sorra kihúzzuk őket. Fekete golyó húzásakor forintot fizetünk, fehér golyó esetén -et kapunk. Jelölje a pénzünket golyó kihúzása
után ( ). Legyen
és mutassuk meg, hogy martingál.
9.
Egy szabálytalan pénzérmét dobálunk, a fej dobás valószínűsége . Jelölje a fej és írások számának a különbségét az első dobás között. Milyen -re lesz martingál?