Korábban már említettük, hogy a normális eloszlás a legfontosabb valószínűségeloszlás. Ennek oka, hogy igen általános feltételek mellett független valószínűségi változók összegét normálva közel standard normális eloszlást kapunk.
7.4 Tétel (Centrális határeloszlástétel független, azonos eloszlású változókra)
Legyenek független, azonos eloszlásúak, és
. Ekkor minden -re
Látható, hogy az előző tételben a konvergencia eloszlásbeli.
7.9 Feladat
Egy párt szavazótáborát akarjuk megbecsülni, ehhez az egyszerűség kedvéért embert választunk visszatevéssel, közülük számú szavazna a pártra és legyen . Ekkor vajon hány embert kell megkérdeznünk, hogy legalább valószínűséggel legfeljebb
legyen a tévedés?
Megoldás. A egyenlőtlenséget szeretnénk biztosítani. A centrális határeloszlástétel szerint
1 azaz , tehát legyen . Ezzel
, ami teljesül2 , ha , tehát ha normális közelítéssel dolgozunk, kb. 10 000 embert kell megkérdezni, ami jóval kevesebb, mint amit korábban a Csebisev-egyenlőtlenség alkalmazásával kaptunk.
Többször előfordul, hogy nem valószínűségszámítási állításokat is lehet igazolni valószínűségszámítási ismeretek segítségével. Ezt mutatja a következő példa is.
1hiszen
2mivel a nem lehet nagyobb -nél, így a jobb oldal felülről becsülhető -cal
7.10 Feladat
Mihez tart
Megoldás. Ha végtelenig összegeznénk, nyilván lenne az összeg, de most -ig megyünk! Legyenek -Poisson függetlenek. Mivel ez esetben teljesülnek a centrális határeloszlástétel feltételei, ezért felírható:
.Tudjuk, hogy független Poisson eloszlású változók összege Poisson
eloszlású, ezért eloszlása -Poisson. Ebből következik, hogy . „ A
centrális határeloszlástételt alkalmazva -ra . Tehát a keresett
határérték pont .
Nemcsak azonos eloszlású változókra igaz a normális határeloszlás.
7.5 Tétel (A centrális határeloszlástétel általános alakja)
Legyenek független valószínűségi változók, várható értékeiket jelölje , azaz . Szórásnégyzeteik legyenek pozitívak és végesek, tehát
, legyen továbbá , és
. Valamint teljesüljön minden -ra az úgynevezett
Ljapunov-feltétel: valamely -ra. Ekkor
eloszlásban tart a standard normális eloszláshoz.
Természetesen felmerül az a kérdés, hogy rögzített -re mennyire pontos a normális közelítés. A ??? ábrán 40 független azonos eloszlású 1-exponenciális illetve 0,1-indikátor összege standartizáltjának eloszlásfüggvényét hasonlítjuk össze a standard normális eloszlás eloszlásfüggvényével. Látható, hogy mennyire közel vagyunk exponenciális esetben és relatíve milyen nagy a távolság az indikátorok esetében.
7.4. ábra
-7.4. ábra
Normális közelítés
A http://www.math.elte.hu/~arato/peldatar/normkoz.gif animációban láthatjuk, hogy kulonboző elemszámoknál milyen mértékű a közelítés hibája.A következő tételek felső becslést adnak a normális közelítés hibáira.
7.6 Tétel (Berry-Esséen)
Legyenek független, azonos eloszlású valószínűségi változók, továbbá
és . Ekkor
.
7.7 Tétel (Esséen)
Legyenek független valószínűségi változók, továbbá . Az
és
jelölésekkel kapjuk, hogy az eloszlásfüggvényre igaz,
hogy .
A tételekben szereplő konstansok Tyurin és Sevcova eredményei.
7.11 Feladat
Határozzuk meg a 7.4.1 példa megoldásában szereplő normális közelítés hibáját, ha a közvéleménykutatásban 10000 embert kérdeztek meg!
Megoldás. A
eltérés abszolút értékét kell megbecsülni, ha -k független -indikátorok. A Berry-Esséen tétel jelöléseit
alkalmazva ,
és . Ekkor a
tétel alapján az eltérésre a felső becslés.
. Látható, hogy ez a becslés kis és nagy -kre nem ad hasznos eredményt, de például -re a felső becslés 1,02%. Az ???
ábrán mutatjuk be, hogy valójában a normális közelítés hibája ebben az esetben nem is olyan nagy 10000 megkérdezett esetén.
7.5. ábra
-7.5. ábra
Pontos valószínűség és a normális közelítés eredménye esetén
7.12 Feladat
A CTF csapat kemény magja 500 ETU szurkolót bántalmazott. A korábbi évek tapasztalata alapján a CTF csapat vezetősége tudja, hogy a vendégcsapat szurkolói a (0,5) intervallumon egyenletes eloszlású (millió forintban) kártérítési igényeket fognak nekik benyújtani egymástól függetlenül. Becsüljük meg annak a valószínűségét, hogy a CTF csapat legalább 500 millió forintot fog kifizetni, ha a NYUGI Biztosító a károk 2 millió Ft alatti részét fizeti ki, a GIC Biztosító pedig a károk 4 millió forint feletti részét!
Megoldás. Jelöljük az -edik kártérítési igényt -vel. Ekkor az -edik kártérítési igénynél a csapat kifizetése
, ahol A momentumokat ennek segítségével tudjuk
meghatározni.
Tehát a csapat várhatóan 400 millió forintot fog kifizetni. Csebisev-egyenlőtlenséggel a
becslés jön ki. A normális közelítés a
minimális értéket adja. Azonban a közelítés hibáját csak ennél nagyobb értékkel tudjuk becsülni, hiszen a Berry-Esséen tétel szerint
. Így a valószínűségről csak azt állíthatjuk bizonyossággal, hogy kisebb 0,03120754-nél.
7.13 Feladat
Az Üveghegyen túli Királyság döntő ütközetre készül a sárkányok által tüzelt SMF-el. A király a fegyverek költségét békekölcsönnel kívánja fedezni. Az 100 nemes mindegyike 100 fityingért jegyez békekölcsönt, a polgárok mindegyike (400-an vannak) 1000 fityinget fizet, az 500 paraszt 200 fityinget kell fizessen. A király népszerűségének fenntartásáért minden
Megoldás. Számoljunk 500 fityinges egységekben és vezessük be a következő jelöléseket!
a békekölcsönök nagysága, a királyi kincstárban lévő pénz.
a nemesek, polgárok illetve parasztok száma. A sorsolás megkezdése előtt
a kincstárban egységnyi pénz van. Jelöljük -val a
nemesek, polgárok illetve parasztok nyereményét. Ezek eloszlása a következő.
, ,
. Ebből könnyen
meghatározhatók a megfelelő momentumok.
A
nyeremények várható értéke tehát . A becsülendő valószínűség
. Csebisev-egyenlőtlenséggel a
becslés jön ki. A normális közelítés a
minimális értéket adja. Azonban a közelítés hibáját itt is csak ennél nagyobb értékkel tudjuk becsülni, hiszen az
Esséen tétel szerint
. Ez a hiba lényegesen meghaladja a Csebisev egyenlőtlenségből adódó becslést, így ebben az esetben ezzel célszerű becsülni.
A http://hpz400.cs.elte.hu:3838/ZA_kolcson/ oldalon kiszámolhatók a csőd valószínűségeinek becslései és a normális közelítés hibája úgy is, hogy más paramétereket adunk meg a feladatnak. Egy screenshot a ??? ábra.
7.6. ábra
-7.6. ábra
A csőd valószínűségének becslése a békekölcsönnél, ??? feladat