Ebben a szakaszban nem negatív egész értékű valószínűségi változókkal fogunk dolgozni. Ebben az esetben a változó eloszlását generátorfüggvény segítségével is megadhatjuk. Az változó generátor függvényét egy hatványsor definiálja, melyben együtthatója az eloszlás . tagja , azaz
Mivel az együtthatókra teljesül, ezért a a generátor függvény konvergens a
intervallumban. -ből a nulla körüli Taylor-sorának együtthatói, vagyis az eloszlásának tagjai
deriválással megkaphatóak: , ahol az . deriváltat jelöli.
Ha , de nem feltétlenül egész értékű, akkor az eloszlást megadhatjuk Laplace transzformáltjának -nek a segítségével is: , . Mi csak annyit fogunk kihasználni, hogy az Laplace transzformált egyértelműen meghatározza eloszlását.
A címben szereplő elágazó folyamat alatt a következő fogjuk érteni.
9.1 Definíció
elágazó folyamat, ha
ahol azonos eloszlású, független, nem negatív egész értékű valószínűségi változók. Az üres összeg értéke 0.
-re úgy gondolunk, hogy az az . generáció lélekszáma, míg az . generáció . egyedének utódszáma. Azt mondjuk, hogy a folyamat kihal, ha valamelyik -re .
Vegyük észre, hogy egy elágazó folyamat egyben Markov lánc is, ugyanis a fejlődése könnyen felírható ( 8.1) alakban. A 9.5 ábrán a folyamat néhány realizációját láthatjuk, különböző átlagos utódszám mellett.
9.5. ábra
-9.5. ábra
Elágazó folyamat néhány realizációja Poisson utódszám eloszlás mellett.
az átlagos utódszám.
9.4 Feladat
Legyen elágazó folyamat és tegyük fel, hogy .
(a) Írjuk fel az generátor függvényét az -ek közös
generátorfüggvényének a segítségével.
(b) Számítsuk ki a „kihalás” valószínűségét!
Megoldás.
(a) egy véletlen tagszámú összeg, amelyben a tagok száma és az összeadandók függetlenek, így
Iterálva
adódik, azaz generátorfüggvénye az utódszám generátorfüggvényének -szeres iteráltja.
(b) Annak az esélye, hogy az generáció lélekszáma nulla
Mivel ezért
Legyen . Az sorozat monoton és
korlátos, ezért konvergens. Mivel és folytonos, ezért a limesz biztosan eleget tesz az összefüggésnek.
Megmutatjuk, hogy a minket érdeklő megoldás a legkisebb nem negatív gyök. Legyen tehát
Ha , akkor Valóban egy generátor függvény
tetszőleges rendű deriváltja nem negatív, ezért esetén létezik amivel
Vagyis miatt következik.
Mivel ezért is fennáll minden -re, de akkor is igaz. Másfelől a limesz eleme annak a halmaznak aminek minimális eleme így csak lehetséges. Azt kaptuk tehát, hogy a kihalás valószínűsége az
ahol az utódszám generátor függvénye.
9.5 Feladat
Legyen olyan elágazó folyamat, melynél és az utódszám generátorfüggvénye
ahol és .
(a) Számítsuk ki a kihalás valószínűségét!
(b) Határozzuk meg a
feltételes határeloszlást. (útmut.: számítsuk ki a feltételes eloszlás generátor függvényét!)
(c) Az feltétel mellett számítsuk ki
értékét és -nak az
eseményre vonatkozó feltételes eloszlásának Laplace transzformáltját.
másodfokú polinom és valamely -re pontosan akkor
teljesül, ha Ezért elegendő -et kiszámolni,
amihez első és másodfokú tagjának együtthatóját kell ismerni.
amiből másik gyöke Azaz,
Ez pontosan akkor kisebb egynél, ha azaz Vegyük még észre, hogy az átlagos utódszám Azaz ha az átlagos utódszám nagyobb mint 1, akkor pozitív valószínűséggel nem hal ki a populáció. Ha az átlagos utódszám legfeljebb egy, akkor a populáció egy valószínűséggel kihal.
(b) Jelölje
a generátor függvény kompozíció hatványát. Ez az generátor függvénye. Ezért
Ezért célszerű -et kifejezni. Vegyük észre, hogy ha
akkor Ezt
szerinti indukcióval érdemes végiggondolni. Mivel
Ezért
azaz alakú, ahol
lineáris függvény és Ugyancsak indukcióval érdemes
végiggondolni, hogy Mivel lineáris a
kompozíció hatványok egyszerűen számolhatóak:
Állapodjunk meg abban, hogy jelentése ha Ezzel a megállapodással
és
Ez azt jelenti, hogy -nek az eseményre vonatkozó feltételes
eloszlása geometriai paraméterrel. esetén
három féle viselkedés lehetséges:
(i) Ha azaz az átlagos utódszám
egynél nagyobb, akkor a feltétel valószínűségének nem nulla limesze van
és és
Ez azt jelenti, hogy a feltételes eloszlás limesze nem eloszlás. Az ok az, hogy az valószínűségi változó a
(c) A részfeladatban megfogalmazott eset -et jelent. Így
mellett a feltételes generátor függvény:
Ebből a feltételes Laplace transzformált is kifejezhető:
Ha akkor
Azaz melletti feltételes eloszlásának van limesze és az várható értékű exponenciális eloszlás. Mivel itt ezért
feltételes eloszlásának is ugyanez a limesze.
(d) A kihalás valószínűsége akkor kisebb mint egy, azaz az átlagos utódszám
egynél nagyobb, vagyis Ekkor
A feltételes Laplace transzformált:
Kihasználjuk, hogy ha Így
Az adódott, hogy a feltételes eloszlás limesze exponenciális melynek várható értéke
2.1. 9.2.1 Gyakorló feladatok
1.
Legyen elágazó folyamat, Tetszőleges rögzített pozitív egész számra definiáljuk az sorozatot. Mutassuk meg, hogy szintén elágazó folyamat. Fejezzük ki az utódszámok generátorfüggvényeinek kapcsolatát a két folyamatban.
2.
Legyen ( ) generátor függvény. Számoljuk ki az iteráltakat.
3.
Mutassuk meg, hogy
generátor függvény és számítsuk ki az -ik iteráltját.
4.
A 0 pillanatban egy vértenyészetben legyen jelen egyetlen vörös vértest. Az első perc végén a vörös vértest elhal, és a következő kombinációk lehetségesek: 2 vörös vértest keletkezik 1/4 valószínűséggel, 1 vörös vértest és 1 fehér vérsejt keletkezik 2/3 valószínűséggel, 2 fehér vérsejt keletkezik 1/12 valószínűséggel.
Minden egyes vörös vértest egy percig él, és az ősvértesthez hasonlóan hoz létre utódokat. Mindegyik fehér vérsejt egy percig él, és azután elhal anélkül, hogy utódokat hozna létre. Az egyes sejtek egymástól függetlenül viselkednek.
(a) Mi a valószínűsége annak, hogy a tenyészet a kezdetétől számított perc múlva még egyetlen fehér vérsejt sem jelenik meg?
(b) Mekkora a tenyészet kihalásának a valószínűsége?
5.
Legyen az utódszám generátor függvénye Mutassuk meg, hogy a kihalás
valószínűsége .
6.
Jelölje egy elágazó folyamatban az generáció lélekszámát és legyen Igazoljuk, hogy
7.
Jelölje egy elágazó folyamatban az generáció lélekszámát és legyen Tegyük fel, hogy az utódszám várható értéke Számítsuk ki, az összes leszármazottak átlagos számát, azaz
-et.