1. 6.1 Valószínűségi változók függetlensége
A fejezetben először azzal esettel foglalkozunk, amikor a változók semmilyen formában nem befolyásolják egymást. A kísérletek függetlenségéről szóló részben már volt szó valószínűségi változók függetlenségéről, amit most általánosabban is megnézünk.
6.3 Definíció
A valószínűségi változók függetlenek, ha bármely intervallumra .
A definícióból rögtön látszik (hiszen a teljes számegyenest is intervallumnak tekintjük), hogy amennyiben függetlenek, akkor közülük -et kiválasztva szintén független változókat kapunk. A definíciót továbbá kiterjeszthetjük végtelen sok változó esetére is.
6.4 Definíció
A valószínűségi változók függetlenek, ha minden -re függetlenek.
Független valószínűségi változók függvényei is függetlenek lesznek. Például, ha függetlenek, akkor is függetlenek, vagy is.
A függetlenséget az eloszlásfüggvény, sűrűségfüggvény segítségével is meghatározhatjuk.
6.1 Tétel
(i) A valószínűségi változók pontosan akkor függetlenek, ha együttes eloszlásfüggvényük megegyezik eloszlásfüggvényeik szorzatával
minden -re. (ii) Legyenek diszkrétek. Ekkor pontosan akkor függetlenek, ha minden -re. (iii) Legyenek abszolút folytonos valószínűségi változók. Itt a függetlenség ekvivalens azzal, hogy együttes sűrűségfüggvényük megegyezik sűrűséfüggvényeik szorzatával
.
2. 6.2 Konvolúció
Gyakran szükségünk van független változók összegének eloszlására. Ez különösen diszkrét esetben számolható ki könnyen.
Meg kell jegyezni, hogy ugyanezt sokkal egyszerűbben is kiszámíthattuk volna. Tudjuk, hogy úgy kaphatunk egy és paraméterű binomiális eloszlású változót, ha megszámoljuk független kísérletből a sikeres kísérletek számát (mindegyik kísérlet valószínűséggel sikeres). Ez azt jelenti, hogy független -paraméterű indikátor változó összege eloszlású. Legyenek ekkor független, azonos
eloszlású -indikátorok, ekkor , , és
.
6.2 Feladat
Legyenek -Poisson és -Poisson függetlenek. Ekkor
-Poisson.
Megoldás.
, azaz valóban paraméterű Poisson-eloszlást kapunk.
Független kísérleteket végzünk. Egy kísérlet valószínűséggel sikeres. Jelöljük -vel az -edik sikeres
paraméterű (vagy másképpen -edrendű -paraméterű) negatív binomiális eloszlásnak nevezzük. Az speciális esetet -paraméterű Pascal vagy geometriai eloszlásnak nevezzük (ld. 3.5 fejezet).
6.3 Feladat
Legyenek -Pascal és -Pascal függetlenek. Mi összegük eloszlása?
Megoldás. Végezzünk valószínűséggel sikeres kísérleteket. Legyen az első sikeres kísérlet sorszáma.
Utána addig kísérletezünk, amíg megint sikeresek nem leszünk. Ezen újabb kísérletek számát jelöljük -al.
Ekkor és független -Pascal eloszlásúak, így egyrészt összegük eloszlása megegyezik eloszlásával, másrészt összegük pont a 2. sikeres kísérlet sorszáma, melynek eloszlása másodrendű paraméterű negatív binomiális.
Abszolút folytonos esetben is nagyon hasonló a konvolúciós formula, csak itt összegzés helyett integrálni kell.
6.3 Tétel (Konvolúciós formula)
Legyenek és független, abszolút folytonos valószínűségi változók. Ekkor is
abszolút folytonos eloszlású, és sűrűségfüggvénye
.
Ezzel a formulával a legkülönbözőbb eloszlású független valószínűségi változók összegének eloszlását lehet meghatározni, amit a következő példákban be is mutatunk.
6.4 Feladat
és független, egyenletes eloszlású valószínűségi változók a intervallumon. Mi lesz összegük eloszlása?
Megoldás. Az valószínűségi változó sűrűségfüggvénye a
függvény, ahol a intervallumban egyenletes eloszlás sűrűségfüggvénye. Ezért
, ha , és , azaz , és nulla egyébként. Ez
azt jelenti, hogy az összeg sűrűségfüggvénye az pontban megegyezik a
intervallum hosszával. Ha vagy , akkor a fenti metszet üres, ezért ebben az esetben . Ha , akkor ez a metszet a intervallum, és ennek hossza , azaz ebben az esetben . Ha , akkor ez a metszet a intervallum amelynek hossza , azaz
ebben az esetben.
6.1. ábra
-6.1. ábra
A [0,1] intervallumon egyenletes eloszlású változók sűrűségfüggvénye
6.2. ábra
-6.2. ábra
A [0,1] intervallumon egyenletes eloszlású változók konvolúciójának sűrűségfüggvénye
A 6.1és 6.2ábrán látható, hogy ennél a konvolúciónál az eredeti sűrűségfüggvényre egyáltalán nem hasonlító sűrűségfüggvényt kaptunk. Meg kell jegyezni azt is, hogy ez a példa valójában megegyezik azzal a korábban megoldott példával, amikor az egységnégyzetben véletlenszerűen választott pont 2 koordinátája összegének eloszlását határoztuk meg.
6.5 Feladat
Vegyünk egy olyan autóbuszjáratot, ahol a buszok követési ideje egymástól független, azonos -exponenciális eloszlású. Jelölje az első busz beérkezési idejét, az első és a második busz érkezése közötti időt, a második és harmadik busz érkezése közöztti időt, stb. Ekkor mi a időintervallumban beérkező buszok számának eloszlása?
Megoldás. A http://www.math.elte.hu/~arato/peldatar/busz.gif animációban láthatjuk a buszok érkezési idejét és a beérkező buszok számát abban a speciális esetben, amikor az első busz 6-kor indul és a buszok átlagosan óránként követik egymást. Legyenek független -exponenciális valószínűségi változók és
. Azt állítjuk, hogy ekkor sűrűségfüggvénye .
Ezt -re vonatkozó teljes indukcióval látjuk be a következőképpen. Az esetben pont a -exponenciális eloszlás sűrűségfüggvénye. Tegyük fel, hogy -ig igaz az állítás, és belátjuk -re:
, amivel a kívánt eredményt kaptuk. Jelölje a beérkezett buszok számát. Erről az -ről mutatjunk meg, hogy -Poisson eloszlású, ugyanis:
azaz ilyen valószínűséggel érkezik pontosan busz a megállóba idő alatt. Mellékesen megkaptuk azt az eredményt is, hogy amennyiben a buszok követési idejének várható értéke , akkor idő alatt várhatóan busz érkezik be a megállóba.
A megoldás során valójában azt mutattuk meg, hogy db. független -exponenciális eloszlású változó (ezek eloszlása egyben ) összege eloszlású. Nézzük ezt meg általánosabban!
6.6 Feladat
és független paraméterű, illetve rendű gamma eloszlásúak.
Mutassuk meg, hogy paraméterű és rendű gamma eloszlású!
Megoldás. Jelöljük -el , -vel sűrűségfüggvényét. Mivel is és is csak a pozitív félegyenesen nem 0, ezért a konvolúciós formulában csak egy véges intervallumon kell integrálni:
. Ez az azonosság természetesen nemcsak gamma eloszlású valószínűségi változókra, hanem tetszóleges pozitív abszolút folytonos eloszlásúakra is igaz.
A gamma eloszlásúakra kapjuk, hogy
A -val jelölt integrál nem függ -től, tehát a sűrűségfüggvény az rendű, paraméterű eloszlás sűrűségfüggvényével arányos, és akkor az arányossági tényező csak 1 lehet. Azt is megkaptuk tehát, hogy
Tehát
6.7 Feladat
Legyenek és független, standard normális eloszlású valószínűségi változók. Mutassuk meg, hogy exponenciális eloszlású valószínűségi változó paraméterrel.
Megoldás. , ha . Ebből a valószínűségi
változó sűrűségfüggvénye , ha , és , ha . Írjuk fel a
konvolució segítségével a kívánt sűrűségfüggvényt.
és , ha . Észrevehetjük azonban, hogy valójában ezt a példát már megoldottuk, hiszen eloszlása nem más, mint , így eloszlása az előző példa szerint , ami pont paraméterű exponenciális eloszlás. eloszlását eloszlásnak, darab független eloszlású változó összegének eloszlását pedig szabadságfokú eloszlásnak nevezzük.
Ez utóbbi jelölése .
6.3. ábra
-6.3. ábra
Különböző paraméterű eloszlások sűrűségfüggvénye
6.4. ábra
-6.4. ábra
Különböző paraméterű eloszlások eloszlásfüggvénye
A 6.3 és 6.4 ábrán különböző szabadságfokú eloszlások sűrűség-, illetve eloszlásfüggvényét ábrázoltuk.
Felmerülhet a kérdés, hogy meg tudjuk-e határozni független valószínűségi változók különbségének sűrűségfüggvényét. Erre ad választ a következő példa.
6.8 Feladat
Legyenek és független, abszolút folytonos valószínűségi változók. Mutassuk meg, hogy ekkor is abszolút folytonos eloszlású, és sűrűségfüggvénye
Megoldás. A példa állítása rögtön következik abból, hogy és is független, abszolút folytonos
valószínűségi változók, továbbá sűrűségfüggvénye .
Az előző példa eredményét rögtön alkalmazhatjuk a következő feladat megoldásánál.
6.9 Feladat
Legyenek , független, azonos exponenciális eloszlású valószínűségi változók.
Határozzuk meg eloszlását!
Megoldás. sűrűségfüggvénye , -Y sűrűségfüggvénye pedig . A
konvolúciós formula szerint X-Y sűrűségfüggvénye
Ebből az abszolút érték sűrűségfüggvénye (ez csak a pozitív félegyenesen nem 0):
Így ugyanolyan paraméterű exponenciális eloszlást kaptunk.
Következő példánk azt mutatja meg, hogy független, normális eloszlású változók összege szintén normális eloszlású lesz. Ennek a ténynek igen sok alkalmazása van.
6.10 Feladat
Legyen és két független normális eloszlású valószínűségi változó illetve várható értékkel, és szórásnégyzettel. Lássuk be, hogy az összeg várható értékű és szórásnégyzetű normális eloszlású valószínűségi változó.
Megoldás. Legyen először és . Ekkor a konvolúciós formula szerint az
összeg sűrűségfüggvénye:
Itt
kihasználtuk azt, hogy egy
eloszlású valószínűségi változó sűrűségfüggvénye. Megkaptuk tehát, hogy az összeg eloszlása .
Visszatérve az általános esethez láthatjuk, hogy
ahol
és függetlenek. A kiszámoltak szerint , így
.
6.11 Feladat
A Súlytalan Kft által gyártott digitális konyhamérlegek mérési hibája két független tényezőre vezethető vissza. Az egyik az elem töltöttségétől függ, a másik a levegő páratartalmától. Az
első hiba grammban mérve eloszlású, a második . Milyen eloszlású a mérési hiba? Mennyi a valószínűsége, hogy egy 52 grammos zsemlét legfeljebb 48 grammosnak mérünk?
Megoldás. Mivel a hibákról feltételeztük, hogy függetlenek és normális eloszlásúak, ezért összegük eloszlású. Jelöljük a zsemle mérésének eredményét -el. Ekkor eloszlása
. Ebből a keresett valószínűség
6.12 Feladat
Korábbi vizsgálatok szerint Budapesten egy köbméter levegőben a butin gázmolekulák mennyisége jó közelítésben normális eloszlásúnak tekinthető. Kis szennyezettségű napon a paraméterek 950 és . Amennyiben egy kis szennyezettségű napon 50 független mérést végzünk, akkor mennyi a valószínűsége, hogy a mérések átlaga meghaladja a 960-as értéket?
Megoldás. Amennyiben a valószínűségi változók függetlenek és eloszlásúak, akkor
eloszlása is normális és paraméterekkel. Így a átlag eloszlása . Esetünkben ez azt jelenti, hogy a mérések átlaga eloszlású. Amennyiben az átlagot -al jelöljük, úgy a
keresett valószínűség , ami 0-hoz nagyon közeli
érték.