9.34. LegyenH = [−1,1]×[0,1], ´es f(x, y) =
(|x|, hay∈Q 0, hay /∈Q
Mutassuk meg, hogy
1
Z
0
1
Z
−1
f(x, y)dx
dy = 0, ´es hogyf nem integ-r´alhat´oH-n!
9.35. LegyenH ={x2+y2≤1}, ´es
f(x, y) =
(1, hax≥0
−1, hax <0
Sz´am´ıtsuk kif als´o ´es fels˝o integr´alj´at aH halmazon! Integr´alhat´o-ef aH halmazon?
Integr´alhat´ok-e az N = [0,1]×[0,1] egys´egn´egyzeten a k¨ovetkez˝o f¨uggv´enyek? Ha igen, sz´am´ıtsuk ki az integr´al ´ert´ek´et!
9.36. f(x, y) =
(0, hay > x 1, hay≤x 9.37. f(x, y) =
(1, hay≥x 0, hay < x 9.38. f(x, y) =
(0, haxy6= 0 1, haxy= 0 9.39. f(x, y) =
(1, hax, y∈Q 0, egy´ebk´ent
9.40. f(x, y) =
aDirichlet-f¨uggv´eny.
9.43. Legyenf(x, y) =
n hax+y= 1/n, n∈N+
0 egy´ebk´ent .
Mutassuk meg, hogyf nem integr´alhat´o azN egys´egn´egyzeten, de
1 integr´alokat! Alkalmazzuk Fubini t´etel´et!
9.44.
9.54. f(x, y) =
Hat´arozzuk meg a k¨ovetkez˝o ter¨uleti integr´alokat a megadott t´ eg-lalapokon: a k¨ovetkez˝o ter¨uleti integr´alokat! Alkalmazzuk Fubini t´etel´et!
9.64.
Hat´arozzuk meg a k¨ovetkez˝o ter¨uleti integr´alokat a megadott hal-mazokon:
9.68. t´erfogati integr´alokat aT t´egl´an:
9.74.
Hat´arozzuk meg a k¨ovetkez˝o g¨orb´ek ´altal hat´arolt s´ıkidomok ter¨ u-let´et!
9.78. y=x2, x=y2 9.79. y= 2x−x2, y=x2 9.80. 2y =x2, y=x 9.81. 4y=x2−4x, x−y−3 = 0 9.82. y=x2, y= 2x2, xy= 1, xy= 2
9.83. x2−y2= 1, x2−y2= 4, xy= 1, xy= 2
9.84. Hat´arozzuk meg aH ={(x, y) :−1≤x≤1,0≤y≤p
1−x2}halmaz ter¨ulet´et!
9.85. Sz´amoljuk ki az y =x2, y= 2x2 parabol´ak ´es az x= 1 egyenes ´altal hat´arolt s´ıkidom ter¨ulet´et.
9.86. Sz´amoljuk ki azx2+y2= 1 hen-gerpal´ast ´es azx+y+z= 2,z= 0 s´ıkok ´altal hat´arolt test t´ erfoga-t´at. A keresett test:
9.87. Sz´amoljuk ki azx2+y2= 1 hen-gerpal´ast ´es azx+y+z= 1,z= 0 s´ıkok ´altal hat´arolt test t´ erfoga-t´at. A keresett test:
9.88. Sz´am´ıtsuk ki azf(x, y) = 1−x2 2 − y2
2 f¨uggv´eny grafikonja alatti test t´erfogat´at aH halmaz felett, haH = [0,1]×[0,1]!
9.89. Sz´am´ıtsuk ki azf(x, y) =x+yf¨uggv´eny grafikonja alatti test t´erfogat´at aH halmaz felett, haH ={0≤x+y≤1,0≤x,0≤y}!
Rajzoljuk le azt a testet, amelyiknek a t´erfogat´at az adott integ-r´allal sz´amolhatjuk ki! Sz´am´ıtsuk ki a t´erfogatokat!
9.90.
Z Z
|x|+|y|≤1
x2+y2
dy dx 9.91.
1
Z
0
1−x
Z
0
x2+y2 dy
dx
Sz´am´ıtsuk ki a k¨ovetkez˝o fel¨uletek ´altal hat´arolt testek t´erfogat´at!
9.92. x+y+z= 6, x= 0, z= 0, x+ 2y= 4 9.93. x−y+z= 6, x+y= 2, x=y, y= 0, z= 0 9.94. z= 1−x2−y2, x2+y2≤1
9.95. z= cosxcosy, |x+y| ≤ π
2, z= 0 Sz´am´ıtsuk ki a k¨ovetkez˝o testek t´erfogat´at!
9.96. g¨omb 9.97. ellipszoid
9.98. k¨orhenger 9.99. forg´ask´up
Tegy¨uk fel, hogy a H s´ıkbeli tartom´anyt %(x, y) s˝ur˝us´eg˝u anyag t¨olti ki. Ekkor a test t¨omege:
M = Z Z
H
%(x, y)dx dy,
a test t¨omegk¨oz´eppontj´anak a koordin´at´ai pedig Sx = 1
M Z Z
H
x%(x, y)dx dy, Sy = 1 M
Z Z
H
y%(x, y)dx dy.
Hat´arozzuk meg a t¨omegk¨oz´eppont koordin´at´ait, ha H = [0,1]× [0,1] ´es,
9.100. %(x, y) =x2 9.101. %(x, y) =x+y
9.102. %(x, y) =xy 9.103. %(x, y) =x2+y2
Hat´arozzuk meg annak a k´etdimenzi´os testnek a t¨omegk¨oz´ eppont-j´at, amelyiket az y= 0, x= 2,y = 1, y =x egyenesek hat´arolnak,
´
es amelyiknek a s˝ur˝us´ege
9.104. %(x, y) = 1 9.105. %(x, y) =x 9.106. %(x, y) =y 9.107. %(x, y) =xy 9.108. %(x, y) = 1
x+y3 9.109. %(x, y) =ex+y
Azxys´ıkban lev˝o test tehetetlens´egi nyomat´eka aztengelyre n´ezve Θ =
Z Z
H
r2(x, y)%(x, y)dx dy,
ahol r(x, y) az (x, y) pont t´avols´aga a z tengelyt˝ol. Hat´arozzuk meg a % s˝ur˝us´eg˝u, egys´egoldal´u n´egyzet z tengelyre vonatkoz´o te-hetetlens´egi nyomat´ek´at, ha a n´egyzet egyik cs´ucsa ´er hozz´a a z tengelyhez!
9.110. %(x, y) = 1 9.111. %(x, y) =xy
9.112. Hat´arozzuk meg az el˝oz˝o k´et feladatban szerepl˝o n´egyzetek tehetetlen-s´egi nyomat´ek´at azz tengelyre vonatkoz´oan, ha a n´egyzet egyik olda-l´anak a felez˝opontja ´er hozz´a az tengelyhez!
9.113. Egy v´ekony lemezt az y= 0, x= 1 ´es azy= 2xegyenesek hat´arolnak.
A lemez s˝ur˝us´ege
%(x, y) = 6x+ 6y+ 6. Hat´arozzuk meg a test t¨omeg´et ´es t¨omegk¨oz´ ep-pontj´anak koordin´at´ait!
9.114. Egy test az els˝o t´ernyolcadban van, a koordin´atas´ıkok ´es azx+y+z= 2 s´ık hat´arolja, a s˝ur˝us´ege pedig%(x, y, z) = 2x. Hat´arozzuk meg a test t¨omeg´et ´es t¨omegk¨oz´eppontj´anak koordin´at´ait!
9.115. Egy 1 m´eter m´ely g¨od¨orb˝ol a felsz´ınre szivatty´uzzuk a vizet. Mennyi munk´at v´egz¨unk a gravit´aci´o ellen´eben, ha a g¨od¨or
(a) kocka alak´u, (b) f´elg¨omb alak´u?
Vonalintegr´ al ´ es primit´ıv f¨ uggv´ eny
10.1. Erint˝´ oegyenes. Azr(t) t´erg¨orbe ´erint˝oj´enek egyenlete azr0=r(t0) pontban
r =r0+v ·t, aholv = ˙r(t0) az ´erint˝oegyenes ir´anyvektora.
10.2. S´ık ´es t´erg¨orbe ´ıvhossza.
— Ha az r : [a, b] → R2 s´ıkg¨orbe folytonosan deriv´alhat´o, akkor rektifi-k´alhat´o, ´es ´ıvhossza
L=
b
Z
a
|r˙| dt=
b
Z
a
px˙2+ ˙y2dt.
— Ha f : [a, b] →R folytonosan deriv´alhat´o, akkor grafikonja rektifik´ al-hat´o, ´es ´ıvhossza
L=
b
Z
a
p1 + (f0)2dx.
— Ha az r : [a, b] → R3 t´erg¨orbe folytonosan deriv´alhat´o, akkor rektifi-k´alhat´o, ´es ´ıvhossza
L=
b
Z
a
|r˙|dt=
b
Z
a
px˙2+ ˙y2+ ˙z2dt.
10.3. Erint˝´ os´ık.Azr(u, v) fel¨ulet ´erint˝os´ıkj´anak egyenlete azr0=r(u0, v0) pontban
n·r =n·r0
aholn =r0u(u0, v0)×r0v(u0, v0) az ´erint˝os´ık norm´alisa.
Speci´alisan az=f(x, y) grafikonj´anak ´erint˝os´ıkja az (x0, y0) pont felett z=f(x0, y0) +fx0(x0, y0)(x−x0) +fy0(x0, y0)(y−y0)
10.4. Felsz´ın. Ha az r : A→R3 fel¨ulet folytonosan deriv´alhat´o, akkor a fel¨uletnek van (v´eges) felsz´ıne, ´es
S= Z Z
A
|r0u×r0v| du dv.
Speci´alisan a z = f(x, y) folytonosan deriv´alhat´o f¨uggv´eny grafikonj´anak felsz´ıne azAm´erhet˝o s´ıkidom felett
S= Z Z
A
q
1 + (zx0)2+ (zy0)2dx dy.
10.5. Vonalintegr´al kisz´amol´asa. Hav =v1(x, y, z)·i+v2(x, y, z)·j + v3(x, y, z)·k vektormez˝o folytonos aGtartom´anyon,r : [a, b]→G, r(t) = x(t)·i+y(t)·j+z(t)·k folytonosan deriv´alhat´o, akkorv vonalmenti integr´alja l´etezik a Γ :r(t) g¨orbe ment´en, ´es
Z
Γ
v dr =
b
Z
a
v(r(t))·r˙(t)dt.
Koordin´at´akkal ki´ırva Z
Γ
v1(x, y, z)dx+v2(x, y, z)dy+v3(x, y, z)dz=
=
b
Z
a
[v1(x, y, z) ˙x+v2(x, y, z) ˙y+v3(x, y, z) ˙z] dt.
Hasonl´oan, s´ıkbeli vektormez˝o ´es g¨orbe eset´en Z
Γ
v1(x, y)dx+v2(x, y)dy=
b
Z
a
[v1(x, y) ˙x+v2(x, y) ˙y]dt.
10.6. Konzervat´ıv vektort´er.
— Av vektormez˝o pontosan akkor konzervat´ıv aGtartom´anyon, ha min-denG-ben fekv˝o z´art rektifik´alhat´o Γ g¨orb´en
I
Γ
vdr = 0,
azaz minden k¨orintegr´al nulla.
— Newton-Leibniz-formulavonalintegr´alokra.
Ha a v vektort´er konzervat´ıv aG tartom´anyon ´es U(r) egy primit´ıv f¨uggv´enyeG-n, Γ egy folytonosan deriv´alhat´o G-beli g¨orbe aza kezd˝o
´
esb v´egpontokkal, akkor Z
Γ
vdr =U(b)−U(a).
— Ha av vektormez˝o konzervat´ıv ´es folytonosan deriv´alhat´o aG tarto-m´anyon, akkor
rotv =0,
azaz a keresztbe vett deriv´altak megegyeznek, ¨orv´enymentes a vek-tormez˝o.
— Ha av vektormez˝o folytonosan deriv´alhat´o azegyszeresen ¨osszef¨ ug-g˝oGtartom´anyon, ´esGpontjaiban rotv =0, akkorv konzervat´ıv.
10.1. S´ık ´ es t´ erg¨ orb´ ek
Abr´´ azoljuk a k¨ovetkez˝o s´ıkg¨orb´eket!
10.1. r =t·i+t2·j t∈[0,4]
10.2. r =t2·i +t·j t∈[0,16]
10.3. r =√
t·i +t·j t∈[0,16]
10.4. r =t·i +√ t·j t∈[0,4]
10.5. r = 2t·i + 4t2·j t∈[0,2]
10.6. r =t2·i +t2·j t∈[0,4]
10.7. r = cost·i + sint·j t∈[0,2π]
10.8. r = cost·i+ sint·j t∈[0, π]
10.9. r = cost·i + sint·j t∈[−π/2, π/2]
10.10. r = 2 cost·i+ 4 sint·j t∈[0,2π]
10.11. r = 4 cost·i + 2 sint·j t∈[π/2,3π/2]
10.12. r = cost·i+tsint·j t∈[0,2π]
10.13. r =tcost·i + sint·j t∈[0,6π]
10.14. r =tcost·i+tsint·j t∈[0,4π]
Abr´´ azoljuk a k¨ovetkez˝o t´erg¨orb´eket!
10.15. r =t·i+ 2t·j + 3t·k t∈[2,4]
10.16. r =−2t·i+t·j −(t/3)·k t∈[2,4]
10.17. r = cost·i + sint·j +t·k t∈[0,6π]
10.18. r =t·i+ sint·j + cost·k t∈[0,6π]
10.19. r = 2 sint·i−t2·j + cost·k t∈[2,6π]
10.20. r =tcost·i +tsint·j +t·k t∈[2,6π]
10.21. Adjunk meg olyan g¨orb´et, amelyik (a) egy hengerre felcsavarod´o spir´al;
(b) egy k´upra felcsavarod´o spir´al!
10.22. Sz´amoljuk ki az el˝oz˝o g¨orb´ek ´ıvhossz´at, ha adott a henger, illetve k´up alapk¨or´enek a sugara, tov´abb´a a henger ´es a k´up magass´aga!
V´azoljuk a k¨ovetkez˝o s´ıkg¨orb´eket! ´Irjuk fel az ´erint˝ok egyenlet´et t=π/4-ben!
10.23. r(t) = 2 cost·i + 3 sint·j t∈[0,8π]
10.24. r(t) =tcost·i +tsint·j t∈[0,8π]
´Irjuk fel a k¨ovetkez˝o s´ıkg¨orb´ek ´erint˝oit a megadott P pontokban!
10.25. x2−xy3+y5= 17 P(5,2) 10.26. (x2+y2)2= 3x2y−y3 P(0,0)
Sz´amoljuk ki a k¨ovetkez˝o t´erg¨orb´ek ´erint˝oinek egyenlet´et a meg-adott helyeken:
10.27. r(t) = (t−3)·i+(t2+1)·j+t2·k t= 2 10.28. r(t) = sint·i+ cost·j+ 1
cost·k p =j +k Hat´arozzuk meg az al´abbi s´ıkg¨orb´ek ´ıvhossz´at:
10.29. (ciklois) x=r(t−sint) y=r(1−cost)
0≤t≤2π
10.30. (arkhim´ed´eszi spir´alis)
r=aϕ 0≤ϕ≤2π
10.31. y=√
x 0≤x≤a