Bizony´ıtsuk be, hogy 1.66. √
3 irracion´alis; 1.67.
√2
√3 irracion´alis;
1.68.
√ 2 + 1
2 + 3
4 + 5 irracion´alis!
1.69. Tudjuk, hogyx´esy racion´alis sz´amok. Bizony´ıtsuk be, hogy
(a) x+y (b) x−y
(c) xy (d) y6= 0 eset´en x y is racion´alis!
1.70. Tudjuk, hogyxracion´alis sz´am,ypedig irracion´alis.
(a) Lehet-ex+y racion´alis? (b) Lehet-ex−y racion´alis?
(c) Lehet-exy racion´alis? (d) Lehet-e x
y racion´alis?
1.71. Tudjuk, hogyx´esy irracion´alis.
(a) Lehet-ex+y racion´alis? (b) Lehet-exy racion´alis?
1.72. Igaz-e, hogy ha
(a) a´esb racion´alis sz´amok, akkora+b is racion´alis?
(b) a´esb irracion´alis sz´amok, akkora+b is irracion´alis?
(c) aracion´alis sz´am,bpedig irracion´alis, akkora+b racion´alis?
(d) aracion´alis sz´am,bpedig irracion´alis, akkora+b irracion´alis?
1.73. Ad´´ amnak 2 f¨ule volt. Ha egy ap´anak 2 f¨ule van, akkor a fi´anak is 2 f¨ule van.
(a) K¨ovetkezik-e a fenti k´et ´all´ıt´asb´ol, hogy minden ma ´el˝o embernek 2 f¨ule van?
(b) Kikr˝ol tudjuk biztosan ´all´ıtani a fenti k´et ´all´ıt´as alapj´an, hogy 2 f¨ul¨uk van?
(c) Mire k¨ovetkeztethet¨unk, ha a k´et ´all´ıt´asb´ol az els˝ot elhagyjuk, ´es csak a m´asodikat haszn´aljuk fel?
(d) Mire k¨ovetkeztethet¨unk, ha a k´et ´all´ıt´asb´ol a m´asodikat elhagyjuk,
´es csak az els˝ot haszn´aljuk fel?
1.74. T´etel: Az 1 a legnagyobb sz´am.
Bizony´ıt´as: indirekt m´odszerrel. Tegy¨uk fel, hogy nem 1 a legnagyobb sz´am, hanem A. Ekkor A > 1. Mivel A > 1, ez´ert A > 0 is teljes¨ul, teh´at ha az A > 1 egyenl˝otlens´eget megszorozzuk A-val, az A2 > A egyenl˝otlens´eget kapjuk. Ez az egyenl˝otlens´eg viszont ellentmond an-nak, hogyAa legnagyobb sz´am. Teh´at az 1 a legnagyobb sz´am.
J´o ez a bizony´ıt´as? Ha nem, akkor hol a hiba?
1.75. LegyenA1, A2, . . .´all´ıt´asok egy sorozata. Mi k¨ovetkezik az al´abbiakb´ol?
(a) A1 igaz. HaA1, A2, . . . , An mind igaz, akkorAn+1is igaz.
(b) A1 igaz. HaAn ´esAn+1 igaz, akkorAn+2 is igaz.
(c) HaAn igaz, akkorAn+1 is igaz. A2n hamis mindenn-re.
(d) A100 igaz. HaAn igaz, akkorAn+1 is igaz.
(e) A100 igaz. HaAn hamis, akkor An+1 is hamis.
(f ) A1 hamis. HaAn igaz, akkorAn+1 is igaz.
(g) A1 igaz. HaAn hamis, akkor An−1is hamis.
1.76. Bizony´ıtsuk be, hogy tetsz˝olegesn∈Neset´en 16|5n+1−4n−5.
1.77. Bizony´ıtsuk be, hogy tg 1◦irracion´alis.
1.78. Bizony´ıtsuk be, hogy han∈N+, akkorn!≤
n+ 1 2
n
.
1.79. Legyena1 = 0,9, an+1 =an−a2n. Igaz-e, hogy van olyann, amelyre an<10−6 ?
1.80. ´Irjuk fel a k¨ovetkez˝o kifejez´eseketn= 1,2,3,6,7, k ´esk+ 1 eset´en (a) √
n (b) √
1 +√ 2 +√
3 +· · ·+√ n (c) 12+ 22+ 32+· · ·+n2 (d) 1
1·2 + 1 2·3+ 1
3·4 +· · ·+ 1 (n−1)·n (e) 1·4 + 2·7 + 3·10 +· · ·+n(3n+ 1) (f ) 1·2 + 2·3 + 3·4 +· · ·+n(n+ 1)
1.81. Az els˝o n´eh´any tag kisz´am´ıt´asa ut´an sejts¨uk meg, milyen egyszer˝ubb kifejez´essel egyenl˝o az al´abbi ¨osszeg, majd a sejt´est bizony´ıtsuk be teljes indukci´oval!
(a) 1 1·2 + 1
2·3+· · ·+ 1 (n−1)·n (b) 1 + 3 +. . .+ (2n−1)
Bizony´ıtsuk be, hogy minden n pozit´ıv eg´esz sz´amra igazak a k¨ o-vetkez˝o azonoss´agok:
1.82. an−bn= (a−b)(an−1+an−2b+· · ·+abn−2+bn−1) 1.83. 1 + 2 +· · ·+n= n(n+ 1)
2
1.84. 12+ 22+· · ·+n2= n(n+ 1)(2n+ 1) 6
1.85. 13+ 23+· · ·+n3=
n(n+ 1) 2
2
1.86. 1−1 2+1
3− · · · − 1 2n = 1
n+ 1 + 1
n+ 2+· · ·+ 1 2n
Fejezz¨uk ki egyszer˝ubb alakban a k¨ovetkez˝o kifejez´eseket:
1.87. 1 1·2 + 1
2·3+· · ·+ 1 (n−1)·n
1.88. 1
1·2·3 + 1
2·3·4 +· · ·+ 1
n·(n+ 1)·(n+ 2) 1.89. 1·2 + 2·3 +· · ·+n·(n+ 1)
1.90. 1·2·3 + 2·3·4 +· · ·+n·(n+ 1)·(n+ 2)
1.91. Egy gazd´anak van egy p´ar nyula. Minden ny´ulp´ar 2 h´onapos kor´at´ol minden h´onapban egy ´ujabb p´arnak ad ´eletet. H´any p´ar ny´ul lesz a 2., 3., 4., 5. ´es 6. h´onapban?
Legyen (un) a Fibonacci-sorozat, azaz u0 = 0, u1 = 1 ´es n > 1 eset´en un+1 =un+un−1.
1.92. Bizony´ıtsuk be, hogyun´esun+1 relat´ıv pr´ım sz´amok.
1.93. Bizony´ıtsuk be, hogy 1,6n
3 < un<1,7n (n >0).
1.94. Bizony´ıtsuk be a k¨ovetkez˝o azonoss´agokat:
(a) u1+u2+· · ·+un=un+2−1(b) u2n−un−1un+1= (−1)n+1 (c) u21+u22+· · ·+u2n=unun+1
1.95. Hozzuk egyszer˝ubb alakra a k¨ovetkez˝o kifejez´eseket:
(a) sn=u0+u2+· · ·+u2n (b) sn=u1+u3+· · ·+u2n+1
(c) sn=u0+u3+· · ·+u3n (d) sn = u1u2 + u2u3 + · · · + u2n−1u2n
1.96. T´etel: Minden l´o egysz´ın˝u.
Bizony´ıt´as: Teljes indukci´oval bel´atjuk, hogy b´armelyn l´o egysz´ın˝u.
n = 1-re az ´all´ıt´as nyilv´anval´o. Tegy¨uk fel, hogy igaz n-re, ´es ebb˝ol fogjukn+ 1-re bel´atni: adottn+ 1 l´o k¨oz¨ul az indukci´os feltev´es miatt az 1.,2., . . . , n.is egysz´ın˝u ´es a 2., . . . , n.,(n+1).is egysz´ın˝u, teh´at mind azn+ 1 egysz´ın˝u.
J´o ez a bizony´ıt´as? Ha nem, akkor hol a hiba?
1.97. T´etel: Nincs j´ozan tenger´esz.
Bizony´ıt´as: Teljes indukci´oval. Tegy¨uk fel, hogy az ´all´ıt´as igaz n tenger´eszre, ´es ebb˝ol fogjuk n+ 1 tenger´eszre bel´atni. Adott n+ 1 tenger´esz k¨oz¨ul az indukci´os feltev´es miatt az 1.,2., . . . , n. tenger´esz nem j´ozan, ´es a 2., . . . , n.,(n+ 1). tenger´esz sem j´ozan, teh´at mind az n+ 1 r´eszeg.
J´o ez a bizony´ıt´as? Ha nem, akkor hol a hiba?
1.98. Bizony´ıtsuk be a sz´amtani-m´ertani k¨oz´ep k¨oz¨otti egyenl˝otlens´eget az n= 2 speci´alis esetben!
1.99. Bizony´ıtsuk be, hogy az a1, a2, . . . an pozit´ıv sz´amok sz´amtani, m´ erta-ni ´es harmonikus k¨ozepe a sz´amok legkisebbike ´es legnagyobbika k¨oz´e esik!
Tudjuk, hogya, b, c >0 ´esa+b+c= 18. Hat´arozzuk mega, b´esc
´
ert´ek´et ´ugy, hogy a k¨ovetkez˝o kifejez´esek ´ert´eke maxim´alis legyen:
1.100. abc 1.101. a2bc
1.102. a3b2c 1.103. abc
ab+bc+ac
Tudjuk, hogy a, b, c > 0 ´es abc = 18. Hat´arozzuk meg a, b ´es c
´
ert´ek´et ´ugy, hogy a k¨ovetkez˝o kifejez´esek ´ert´eke minim´alis legyen:
1.104. a+b+c 1.105. 2a+b+c 1.106. 3a+ 2b+c 1.107. a2+b2+c2
1.108. Tudjuk, hogy h´arom pozit´ıv sz´am szorzata 1.
(a) Legal´abb mennyi lehet az ¨osszeg¨uk?
(b) Legfeljebb mennyi lehet az ¨osszeg¨uk?
(c) Legal´abb mennyi lehet a reciprok¨osszeg¨uk?
(d) Legfeljebb mennyi lehet a reciprok¨osszeg¨uk?
1.109. Bizony´ıtsuk be, hogy haa >0, akkora+1 a ≥2.
1.110. Bizony´ıtsuk be, hogy haa, b´escpozit´ıv sz´amok, akkor a b +b
c+ c a ≥3.
1.111. Bizony´ıtsuk be, hogy minden pozit´ıv eg´eszn-re
1 + 1 n
2n
≥4.
1.112. Egy motorcs´onak motorja a cs´onakot ´all´ov´ızben v sebess´eggel hajtja.
A cs´onak azusebess´eg˝u foly´obansutat tesz meg a foly´as ir´any´aban, majd visszamegy a kiindul´asi hely´ehez. Mennyi lesz az ´atlagsebess´ege a teljes ´uton v-hez k´epest: v-vel egyenl˝o, v-n´el nagyobb vagy v-n´el kisebb?
1.113. Egy keresked˝onek nem pontos a k´etkar´u m´erlege, mert a karok hossza nem egyenl˝o. Miut´an tudja ezt, minden v´as´arl´on´al az ´aru egyik fel´et a m´erleg egyik serpeny˝oj´eben, a m´asik fel´et a m´erleg m´asik serpeny˝oj´ e-ben m´eri, gondolv´an, hogy ezzel kik¨usz¨ob¨oli a m´erleg pontatlans´ag´at.
Val´oban ez a helyzet?
1.114. Hat´arozzuk meg azf(x) =x(1−x) f¨uggv´eny legnagyobb ´ert´ek´et a [0,1]
z´art intervallumon!
Hol van ´es mennyi a minimuma az al´abbi f¨uggv´enyeknek, hax >0?
1.115. f(x) =x+4
4x2parabola melyik pontja van a legk¨ozelebb a (0,5) ponthoz?
1.121. Melyik az egys´egk¨orbe ´ırhat´o maxim´alis ter¨ulet˝u t´eglalap?
1.122. Melyik az egyenes k¨ork´upba ´ırhat´o maxim´alis t´erfogat´u henger?
1.123. Melyik az egys´egg¨ombbe ´ırhat´o maxim´alis t´erfogat´u egyenes k¨ orhen-ger?
Kiemel´es ut´an: ab
a+b(a−c)< c
√2(a−c)
Osztunk (a−c)-vel, dea−c <0: ab a+b > c
√2
N´egyzet eset´enb=a´esc=a√
2: a2
2a > a√
√2 2 Egyszer˝us´ıt´es ´es rendez´es ut´an: 1>2 Hol a hiba?