4 < 1
16
Atszorozva az egyenl˝´ otlens´eget:
16<4.
Oldjuk meg a k¨ovetkez˝o egyenleteket ´es egyenl˝otlens´egeket!
1.14. |x+ 1|+|x−2| ≤12 1.15. √
x+ 3 +√
x−5 = 0 1.16.
x+ 1 2x+ 1
> 1 2
1.17. |2x−1|<|x−1|
1.18. √
x+ 3 +|x−2|= 0 1.19. √
x+ 3 +|x−2| ≤0
1.2. Logikai alapfogalmak
1.20. Min´el egyszer˝ubben mondjuk ki az al´abbi ´all´ıt´asok tagad´as´at:
(a) Minden eg´er szereti a sajtot.
(b) Aki m´asnak vermet ´as, maga esik bele.
(c) Minden asszony ´elet´eben van egy pillanat Mikor olyat akar tenni, amit nem szabad.
(d) Van olyana, hogy minden b-hez egyetlenxtartozik, melyre a+x=b
(e) 3 nem nagyobb, mint 2, vagy 5 oszt´oja 10-nek.
(f ) Nem z¨or¨og a haraszt, ha a sz´el nem f´ujja.
(g) Ha a nagyn´en´emnek kerekei voln´anak, ˝o lenne a miskolci gyorsvo-nat.
1.21. Egy udvarban van 5 kecske ´es 20 bolha. Tudjuk, hogy van olyan kecske, amit minden bolha megcs´ıpett. K¨ovetkezik-e ebb˝ol, hogy van olyan bolha, amelyik minden kecsk´et megcs´ıpett?
1.22. Fogadjuk el igaznak a k¨ovetkez˝o ´all´ıt´asokat:
(a) Ha egy ´allat eml˝os, akkor vagy van farka, vagy van kopolty´uja.
(b) Egyik ´allatnak sincs farka.
(c) Minden ´allat vagy eml˝os, vagy van farka, vagy van kopolty´uja.
K¨ovetkezik-e ebb˝ol, hogy minden ´allatnak van kopolty´uja?
1.23. Balkezes Bendeg´uz, aki val´oban balkezes, a bal kez´evel csak igaz ´ al-l´ıt´asokat tud le´ırni, a jobb kez´evel pedig csak csak hamis ´all´ıt´asokat.
Melyik kez´evel ´ırhatja le a k¨ovetkez˝o mondatokat?
(a) Balkezes vagyok.
(b) Jobbkezes vagyok.
(c) Balkezes vagyok ´es Bendeg´uz a nevem.
(d) Jobbkezes vagyok ´es Bendeg´uz a nevem.
(e) Balkezes vagyok vagy Bendeg´uz a nevem.
(f ) Jobbkezes vagyok vagy Bendeg´uz a nevem.
(g) A 0 se nem p´aros, se nem p´aratlan.
1.24. Azt mondj´ak, a fekete macska szerencs´etlens´eget hoz. Melyik mondat-tal tagadhatjuk ezt?
(a) A fekete macska szerencs´et hoz.
(b) Nem a fekete macska hoz szerencs´etlens´eget.
(c) A feh´er macska hoz szerencs´etlens´eget.
(d) A fekete macska nem hoz szerencs´etlens´eget.
1.25. LegyenAa pozit´ıv eg´eszek halmaza. Jelentsea|bazt az ´all´ıt´ast, hogya oszt´ojab-nek. D¨onts¨uk el, hogy mely ´all´ıt´asok igazak az al´abbiak k¨oz¨ul:
(a) ∀a∈A ∃b∈A a|b (b) ∀a∈A ∀b∈A a|b (c) ∃a∈A ∀b∈A a|b (d) ∃a∈A ∃b∈A a|b
1.26. Matematika orsz´agban a b´ır´o csak a bizony´ıt´ekoknak hisz. P´eld´aul, ha F azt ´all´ıtja, hogy van fekete oroszl´an, akkor ´all´ıt´as´anak helyess´eg´er˝ol meggy˝ozheti a b´ır´ot azzal, ha mutat neki egy fekete oroszl´ant.
(a) F azt ´all´ıtja, hogy minden oroszl´an fekete. El´eg bizony´ıt´ek-e, ha mutat a b´ır´onak egy fekete oroszl´ant?
(b) F azt ´all´ıtja, hogy minden oroszl´an fekete, G pedig azt ´all´ıtja, hogy F t´eved. Hogyan bizony´ıthatn´a G az ´all´ıt´as´at?
(c) F azt ´all´ıtja, hogy minden 2-re v´egz˝od˝o n´egyzetsz´am oszthat´o 3-mal. G szerint F t´eved. Hogyan bizony´ıthatn´a G az ´all´ıt´as´at?
F-nek vagy G-nek van igaza?
(d) F azt ´all´ıtja, hogy ha egy der´eksz¨og˝u h´aromsz¨og befog´oia´esb, ´ at-fog´ojac, akkora2+b2=c2. Hogyan bizony´ıthatn´a F az ´all´ıt´as´at?
(e) F azt ´all´ıtja, hogy egy m´asodfok´u egyenletnek lehetnek negat´ıv gy¨okei. Hogyan bizony´ıthatn´a F az ´all´ıt´as´at?
(f ) F azt ´all´ıtja, hogy egy m´asodfok´u egyenletnek lehet 3 gy¨oke. G szerint F t´eved. Hogyan bizony´ıthatn´a G az ´all´ıt´as´at?
1.27. : -)
”Minden mohik´an hazudik”, mondta az utols´o mohik´an. Igazat mondott?
1.28. : -) 1) A 3 pr´ımsz´am.
2) 4 oszthat´o 3-mal.
3) Ebben a keretben pontosan 1 igaz ´all´ıt´as van.
H´any igaz ´all´ıt´as van a keretben?
1.29. Egy 13 jegy˝u k´odsz´amban b´armely 3 szomsz´edos sz´amjegy ¨osszege 11.
A k´od m´asodik jegye 6, a tizenkettedik jegy pedig 4. Mi a 13-adik jegy?
1.30. Fogadjuk el igaznak, hogy ki kor´an kel, aranyat lel. Melyik ´all´ıt´as igazs´aga k¨ovetkezik ebb˝ol?
(a) Aki k´es˝on kel, nem lel aranyat.
(b) Aki aranyat lelt, az kor´an kelt.
(c) Aki nem lelt aranyat, az k´es˝on kelt.
1.31. Ha kedd van, akkor Belgiumban vagyunk. Melyik ´all´ıt´as k¨ovetkezik ebb˝ol?
(a) Ha szerda van, akkor nem Belgiumban vagyunk.
(b) Ha Belgiumban vagyunk, akkor kedd van.
(c) Ha nem Belgiumban vagyunk, akkor nincs kedd.
Mi a logikai kapcsolat az ´all´ıt´asok k¨oz¨ott? (Melyikb˝ol k¨ovetkezik a m´asik?)
1.32. A:x >5 B:x2>25 1.33. A:√
x2−5<3 B:x2−5<9 1.34. A:√
x2−5>−4 B:x2−5>16 1.35. A:x2−x−6 = 0 B:x= 2 1.36. A:x2−x−6>0 B:x >2
1.37. A: 7 = 8 B: 3 = 3
1.38. A: 7 = 8 B: 3 = 4
1.39. A:x <7 ´esy <3 B:x−y <4 1.40. A:|x−5|<0,1 ´es|y−5|<0,1 B:|x−y|<0,2
Tagadjuk a k¨ovetkez˝o ´all´ıt´asokat! D¨onts¨uk el, hogy igaz-e az ´all´ıt´as!
Igaz-e a tagad´asa?
1.41. ∀n∈N+ 2|n 1.42. ∃k∈N+ 2|k
1.43. ∀n∈N+ ∃k∈N+ n|k 1.44. ∃k∈N+ ∀n∈N+ n|k
1.45. Pistike azt mondta reggel az anyuk´aj´anak, hogy ha a h´o miatt nem j´ar a busz, nem megy iskol´aba. A busz j´art, Pistike m´egsem ment iskol´aba. Hazudott-e reggel Pistike, amikor a m´ar eml´ıtett mondatot mondta?
H´any olyan r´eszhalmaza van a H = {1,2,3, . . . ,100} halmaznak, amelyre igaz, ´es h´any olyan, amelyre nem igaz, hogy
1.46. az 1 benne van a r´eszhalmazban;
1.47. az 1 ´es a 2 benne van a r´eszhalmazban;
1.48. az 1 vagy a 2 benne van a r´eszhalmazban;
1.49. az 1 benne van a r´eszhalmazban vagy a 2 nincs benne a r´ eszhalmaz-ban;
1.50. ha az 1 benne van a r´eszhalmazban, akkor a 2 benne van a r´ eszhalmaz-ban?
H´any olyan H r´eszhalmaza van az An = {1,2, . . . , n} halmaznak, amelyre teljes¨ul, hogy
1.51. ∀x < n(x∈H =⇒ x+ 1∈1.52.H) ∀x(x∈H =⇒ x+ 1∈/H) 1.53. ∀x(x∈H∧x+ 1∈H =⇒ x+ 2∈H)
´Irjuk le logikai jelekkel az al´abbi ´all´ıt´asokat!
1.54. Nem igaz, hogy P vagy Q.
1.55. Sem Q, sem P.
1.56. Nem P, ha nem Q. 1.57. P pedig nem is Q.
1.58. Csak akkor P, ha Q. 1.59. Sem P, sem Q.
1.60. Q, felt´eve, hogy P. 1.61. Nem P, m´egis Q.
1.62. P vagy Q, de nem mindkett˝o.
1.63. Nem igaz, hogy ha P, akkor egy´uttal Q is.
1.64. ´Irjuk fel logikai kvantorokkal a k¨ovetkez˝o mondatot:
”Minden tenger´esz ismer olyan kik¨ot˝ot, ahol van olyan kocsma, ahol m´eg nem j´art.”
´Irjuk fel a mondat tagad´as´at sz¨oveggel ´es logikai kvantorokkal is!
1.65. Van egy zacsk´o cukorka ´es a tanul´ocsoport hallgat´oi. Melyik ´all´ıt´asb´ol k¨ovetkezik a m´asik?
(a) A csoport minden hallgat´oja szopogatott cukork´at (a zacsk´ob´ol).
(b) Van olyan cukorka (a zacsk´ob´ol), amit minden hallgat´o szopoga-tott.
(c) Van olyan hallgat´o, aki minden cukork´at szopogatott (a zacsk´ o-b´ol).
(d) Minden cukork´at (a zacsk´ob´ol) szopogatta valamelyik hallgat´o.