Szeml´eltess¨uk a k¨ovetkez˝o sz´amhalmazokat sz´amegyenesen! D¨ ont-s¨uk el, hogy melyik intervallum, ´es melyik nem az! Az intervallu-mok eset´eben d¨onts¨uk el, hogy melyik z´art, melyik ny´ılt, ´es melyik se nem z´art, se nem ny´ılt!
1.185. A={1,2,3} 1.186. B={2.6}
1.187. C={x∈R: 2< x <6} 1.188. D={x∈N: 2≤x≤6}
1.189. E={x∈R: 2≤x≤6} 1.190. F={x∈R: 2< x≤6}
1.191. G={x∈R: 2≤x <6} 1.192. H={x∈Q: 2≤x≤6}
D¨onts¨uk el az al´abbi halmazokr´ol, hogy alulr´ol korl´atosak-e, fel¨ ul-r˝ol korl´atosak-e, korl´atosak-e, ´es hogy van-e legkisebb illetve leg-nagyobb elem¨uk?
1.193. pr´ımsz´amok halmaza 1.194. pozit´ıv sz´amok halmaza
1.195. [−5,−2) 1.196.
1
n:n∈N+
1.197. {x∈R:x≤73} 1.198. {x∈Q:x≤73}
1.199. {x∈R:x≤√
2} 1.200. {x∈Q:x≤√ 2}
1.201. {n∈N:npr´ımsz´am ∧n+ 2 pr´ımsz´am}
1.202. Mi a kapcsolat az al´abbi k´et ´all´ıt´as k¨oz¨ott, azaz melyikb˝ol k¨ovetkezik a m´asik?
P:AzA halmaz v´eges (azaz v´eges sok eleme van).
Q:AzA halmaz korl´atos.
1.203. Van-e olyana1, a2, . . .sz´amsorozat, amelyre az{a1, a2, . . .}halmaz kor-l´atos, de nincs se maximuma, se minimuma?
´Irjuk fel logikai jelekkel az al´abbi ´all´ıt´asokat!
1.204. AzAhalmaz korl´atos. 1.205. AzAhalmaz alulr´ol nem korl´atos.
1.206. AzAhalmaznak nincs legkisebb eleme.
1.207. Egy sz´amhalmaznak h´any maximuma, illetvefels˝o korl´atjalehet?
1.208. Mi a kapcsolat az al´abbi k´et ´all´ıt´as k¨oz¨ott, azaz melyikb˝ol k¨ovetkezik a m´asik?
P:AzA halmaznak van legkisebb eleme.
Q:AzA halmaz alulr´ol korl´atos.
1.209. Legyen A∩B 6= ∅. Mit tudunk mondani supA,supB,sup(A∪B), sup(A∩B) ´es sup(A\B) kapcsolat´ar´ol?
1.210. LegyenA= (0,1), B= [−√ 2,√
2] ´esC= 1
2n + 1
2m :n, m∈N+
. Hat´arozzuk meg - amennyiben l´eteznek - a fenti halmazok szupr´ emu-m´at, infimum´at, maximum´at ´es minimum´at.
1.211. LegyenAegy tetsz˝oleges sz´amhalmaz, tov´abb´a B={−a:a∈A}, C =
1
a:a∈A, a6= 0
. Milyen kapcsolat van a fels˝o ´es als´o hat´arok k¨oz¨ott?
Hat´arozzuk meg a k¨ovetkez˝o halmazok minimum´at, maximum´at, infimum´at ´es szupr´emum´at, ha vannak!
1.212. [1,2] 1.213. (1,2) 1.214.
1
2n−1 :n∈N+
1.215. Q
1.216.
1 n+ 1
√n :n∈N+
1.217. √n
3 :n∈N+
1.218. {x:x∈(0,1)∩Q} 1.219.
1 n+1
k :n, k∈N+
1.220. √
n+ 1−√
n:n, k∈N+ 1.221.
n+1
n :n∈N+
1.222. n√n
2 :n∈N+
o 1.223. √n
2n−n:n∈N
1.224. Legyen H a val´os sz´amok egy nem ¨ures r´eszhalmaza. Mi a k¨ovetkez˝o
´
all´ıt´asok logikai kapcsolata?
(a) H alulr´ol nem korl´atos. (b) H-nak nincs legkisebb eleme.
(c) ∀x∈H ∃y∈H (y < x). (d) ∀y∈H ∃x∈H (y < x).
1.225. Tudjuk, hogycfels˝o korl´atjaH-nak. K¨ovetkezik-e ebb˝ol, hogy supH = c?
1.226. Tudjuk, hogy H-nak nincs c-n´el kisebb fels˝o korl´atja. K¨ovetkezik-e ebb˝ol, hogy supH =c?
1.227. Legyenek A´esB a val´os sz´amok nem ¨ures r´eszhalmazai. Bizony´ıtsuk be, hogy ha
∀a∈A∃b∈B(a≤b), akkor supA≤supB.
1.228. Bizony´ıtsuk be, hogy alulr´ol korl´atos, nem ¨ures halmaznak van als´o hat´ara!
Legyenek x, y, A, B tetsz˝oleges val´os sz´amok, εpedig pozit´ıv val´os sz´am. Mi a P ´es Q ´all´ıt´asok logikai kapcsolata, azaz melyikb˝ol k¨ovetkezik a m´asik?
1.229. P:|x−A|< ε Q:A−ε < x < A+ε 1.230. P:|x−y|<2ε Q:|x−A|< ε´es|y−A|< ε 1.231. P:|x|< A´es|y|< B Q:|x| − |y|< A−B
1.232. P:|x|< A´es|y|< B Q:|x|+|y|< A+B 1.233. P:|x|< A´es|y|< B Q:|x| − |y|< A+B
1.234. Adjunk p´eld´at olyan nem ¨ures val´os sz´amhalmazra, amelyik korl´atos, de nincs legkisebb eleme!
1.235. Tegy¨uk fel, hogy aH ⊂Rhalmaz nem ¨ures. Mi a k¨ovetkez˝o ´all´ıt´asok logikai kapcsolata, azaz melyikb˝ol k¨ovetkezik a m´asik?
P:H-nak nincs minimuma. Q:∀a∈R+∃b∈H b < a
Sz´ amsorozatok konvergenci´ aja
2.1. Az (an) sorozatkonvergens´es tart ab∈Rsz´amhoz, ha
∀ε >0∃n0∀n≥n0(|an−b|< ε).
Egy adottε-hoz tartoz´on0 term´eszetes sz´amotk¨usz¨obindexnek nevezz¨uk.
Ha az (an) sorozat tart absz´amhoz, ezt a k¨ovetkez˝ok´eppen jel¨olhetj¨uk:
n→∞lim an=bvagy liman=bvagyan→b, han→ ∞vagyan→b.
Ha az (an) sorozat nem konvergens, akkor azt mondjuk, hogy az (an) sorozat divergens.
2.2. Azt mondjuk, hogy az (an) sorozat hat´ar´ert´eke ∞, vagy (an) tart v´egtelenhez, ha
∀P ∈R∃n0∀n≥n0(an> P).
Ennek jele
n→∞lim an=∞vagy liman =∞vagyan→ ∞, han→ ∞vagyan→ ∞.
2.3. Azt mondjuk, hogy az (an) sorozat hat´ar´ert´eke -∞, vagy (an) tart m´ınusz v´egtelenhez, ha
∀P ∈R∃n0∀n≥n0(an< P).
Ennek jele
n→∞lim an=−∞vagy liman=−∞vagyan → −∞, han→ ∞vagyan→ −∞.
2.4. Azt mondjuk, hogy az (an) sorozat oszcill´alva divergens, ha nincs sem v´eges, sem v´egtelen hat´ar´ert´eke.
2.5. Rend˝or-szab´aly. Ha valahonnan kezdvean≤bn≤cn, l´etezik az (an)
´es a (cn) sorozat hat´ar´ert´eke ´es
n→∞lim an= lim
n→∞cn, akkor a (bn) sorozatnak is l´etezik a hat´ar´ert´eke ´es
n→∞lim an= lim
n→∞bn= lim
n→∞cn,
2.1. Sorozatok hat´ ar´ ert´ eke
Legyen az (an) sorozat a k¨ovetkez˝ok´epp megadva: an= 1 + 1
√n. A feladatokban szerepl˝on´esn0jelek pozit´ıv eg´esz sz´amokat jel¨olnek.
2.1. Adjunk meg olyann0 sz´amot, hogy∀n > n0eset´en teljes¨ulj¨on, hogy (a) |an−1|<0,1 (b) |an−1|<0,01
2.2. Van-e olyann0 sz´am, hogy∀n > n0eset´en teljes¨ul, hogy
|an−2|<0,001?
2.3. Igaz-e, hogy
(a) ∀ε >0 ∃n0 ∀n > n0 (|an−1|< ε) (b) ∃n0 ∀ε >0 ∀n > n0 (|an−1|< ε) (c) ∃ε >0 ∃n0 ∀n > n0 (|an−1|< ε) (d) ∃ε >0 ∃n0 ∀n > n0 (|an−1|> ε) (e) ∀ε >0 ∃n0 ∀n≤n0 (|an−1|< ε) (f ) ∀ε >0 ∃n0 ∀n≤n0 (|an−1|> ε)
Adjunk meg olyan N k¨usz¨obindexet, ahonnan kezdve az egyik so-rozat nagyobb, mint a m´asik!
2.4. an= 10n2+ 25 bn =n3 2.5. an= 4n5−3n2−7 bn = 10n+ 30
2.6. an= 3n−n2 bn = 2n+n 2.7. an= 2n+ 3n bn = 4n
2.8. an= 2n bn =n!
2.9. an=n! bn =nn
2.10. an=√
n+ 1−√
n bn = 1
n
2.11. an= 2n bn =n3
2.12. an= 0,999n bn = 1 n2 2.13. an= 10n bn =n!
Keress¨unk olyanN sz´amot, hogy ∀n > N eset´en teljes¨ulj¨on, hogy 2.14. 1,01n>1000; 2.15. 0,9n< 1
100; 2.16. √n
2<1,01. 2.17. √n
n <1,0001.
2.18. n2>6n+ 15 2.19. n3>6n2+ 15n+ 37 2.20. n3−4n+ 2>6n2−15n+ 37
2.21. n5−4n2+ 2>6n3−15n+ 37
Mutassuk meg, hogy van olyan n0 sz´am, amire igaz, hogy minden n > n0 eset´en
2.22. √
n+ 1−√
n <0,01 2.23. √
n+ 3−√
n <0,01 2.24. √
n+ 5−√
n+ 1<0,01 2.25. √
n2+ 5−n <0,01
Bizony´ıtsuk be az al´abbi egyenl˝otlens´egeket!
2.26. ∀n >10 eset´en 2n > n3; 2.27. √
n≤1 + 1
√2+. . .+ 1
√n <2√ n.
2.28. Melyik ´all´ıt´asb´ol k¨ovetkezik a m´asik?
P:Az (an) sorozatban van legnagyobb ´es legkisebb tag.
Q:Az (an) sorozat korl´atos.
2.29. Igaz-e, hogybpontosan akkor hat´ar´ert´eke az (an) sorozatnak, ha (a) b´armely ε >0-ra az an sorozatnak v´egtelen sok tagja van ε-n´al
k¨ozelebbb-hez?
(b) b´armely ε >0-ra azan sorozatnak csak v´eges sok tagja vanb-t˝ol legal´abbεt´avols´agban?
(c) van olyanε >0, amelyre azan sorozatnak v´egtelen sok tagja van ε-n´al k¨ozelebbb-hez?
(d) van olyanε >0, amelyre azan sorozatnak v´egtelen sok tagja van b-t˝ol legal´abbεt´avols´agban?
Mit mondhatunk a (−an) sorozat hat´ar´ert´ek´er˝ol, ha 2.30. lim
n→∞an=a(a∈R); 2.31. lim
n→∞an=∞;
2.32. lim
n→∞an=−∞? 2.33. an oszcill´alva divergens?
2.34. Mi az al´abbi k´et ´all´ıt´as logikai kapcsolata?
P: lim
n→∞an=∞
Q:(an) alulr´ol korl´atos, de fel¨ulr˝ol nem korl´atos.
Hat´arozzuk meg a k¨ovetkez˝o sorozatok hat´ar´ert´ek´et, ´es adjunk meg egyε-t´ol f¨ugg˝o k¨usz¨obindexet:
2.35. (−1)n
2.49. Konvergensek-e vagy divergensek-e a k¨ovetkez˝o sorozatok? Hat´arozzuk meg a hat´ar´ert´ekeket, ha vannak!
(a) an= 2.50. Bizony´ıtsuk be, hogy az 1
n sorozat nem tart 7-hez!
2.51. Bizony´ıtsuk be, hogy a (−1)n1
n sorozat nem tart 7-hez!
2.52. Bizony´ıtsuk be, hogy a (−1)n sorozat nem tart 7-hez!
2.53. Bizony´ıtsuk be, hogy a (−1)n sorozat divergens!
2.54. Bizony´ıtsuk be, hogy konvergens sorozatnak mindig van legkisebb vagy legnagyobb tagja.
2.55. Adjunk p´eld´at arra, hogyan−bn→0 de an
bn 91
2.56. Bizony´ıtsuk be, hogy ha (an) konvergens, akkor (|an|) is. Igaz-e az
´
all´ıt´as megford´ıt´asa ?
2.57. Abb´ol, hogya2n→a2k¨ovetkezik-e, hogyan →a?
Es abb´´ ol, hogya3n→a3 k¨ovetkezik-e, hogyan→a?
2.58. Bizony´ıtsuk be, hogy haan→a >0, akkor√
an→√ a.
Melyik ´all´ıt´asb´ol k¨ovetkezik, hogyan→ ∞?
2.59. ∀K eset´en a (K,∞) intervallumon k´ıv¨ul az an sorozatnak csak v´eges sok tagja van.
2.60. ∀Keseten a (K,∞) intervallumban azansorozatnak v´egtelen sok tagja van.
2.61. Tegy¨uk fel, hogy lim
n→∞an = ∞. Melyik ´all´ıt´as igaz erre a sorozatra?
Melyik ´all´ıt´asb´ol k¨ovetkezik, hogy lim
n→∞an=∞?
(a) Azan sorozatnak nincs legnagyobb tagja.
(b) Azan sorozatnak van legkisebb tagja.
(c) A (3,∞) intervallumon k´ıv¨ul azansorozatnak csak v´eges sok tagja van.
(d) ∀K eset´en a (K,∞) intervallumon k´ıv¨ul az an sorozatnak csak v´eges sok tagja van.
(e) A (3,∞) intervallumban azan sorozatnak v´egtelen sok tagja van.
(f ) ∀Keseten a (K,∞) intervallumban azan sorozatnak v´egtelen sok tagja van.
2.62. Igaz-e, hogy ha egy sorozatnak van (v´eges vagy v´egtelen) hat´ar´ert´eke, akkor a sorozat alulr´ol vagy fel¨ulr˝ol korl´atos?
2.63. Mi azA´es aB´all´ıt´asok logikai kapcsolata, azaz melyikb˝ol k¨ovetkezik a m´asik?
P:Az (an) sorozat szigor´uan monoton n˝o.
Q:Az (an) sorozat tart a v´egtelenhez.
Lehet-e az an sorozat hat´ar´ert´eke −∞,∞vagy egy val´os sz´am, ha 2.64. a sorozatnak v´egtelen sok 3-n´al nagyobb tagja van?
2.65. a sorozatnak v´egtelen sok 3-n´al kisebb tagja van?
2.66. a sorozatnak van legnagyobb tagja?
2.67. a sorozatnak van legkisebb tagja?
2.68. a sorozatnak nincs legkisebb tagja?
2.69. a sorozatnak nincs legnagyobb tagja?
2.70. Van-e olyan oszcill´alva divergens sorozat, amelyik (a) korl´atos (b) nem korl´atos?
2.71. Egy sorozatnak v´egtelen sok pozit´ıv ´es v´egtelen sok negat´ıv tagja van.
Lehet-e a sorozat konvergens?
A k¨ovetkez˝o, v´egtelenbe tart´o sorozatokhoz keress¨unk k¨usz¨ obinde-xet:
2.72. n−√
n 2.73. 1 + 2 +· · ·+n
n 2.74.
√1 +√
2 +· · ·+√ n
n 2.75. n2−10n
10n+ 100 2.76. 2n
n 2.77. n!
2n
2.78. Tetsz˝olegesa val´os sz´am eset´en hat´arozzuk meg n2+ 1
n+ 1 −an hat´ar´ er-t´ek´et.
2.79. Tetsz˝olegesaval´os sz´am eset´en hat´arozzuk megp
n2−n+ 1−an ha-t´ar´ert´ek´et.
2.80. Tetsz˝olegesa, bval´os sz´amok eset´en hat´arozzuk megp
(n+a)(n+b)− nhat´ar´ert´ek´et.
2.81. Bizony´ıtsuk be, hogy haan+1−an→c >0, akkoran→ ∞.
2.82. Bizony´ıtsuk be, hogy haan>0, an+1
an →c >1, akkoran→ ∞.
2.83. Melyek azok az xval´os sz´amok, amelyekre a tizedest¨ort jegyeib˝ol ´all´o sorozat oszcill´alva divergens?