3.213. ´Irjuk fel logikai jelekkel, hogy azf f¨uggv´eny folytonos 3-ban!
Mi a k¨ovetkez˝o ´all´ıt´asok logikai kapcsolata, azaz melyikb˝ol k¨ ovet-kezik a m´asik?
3.214. P:Azf f¨uggv´enynek van hat´ar´ert´eke 3-ban.
Q:Azf f¨uggv´eny folytonos 3-ban.
3.215. P:Azf f¨uggv´enynek nincs hat´ar´ert´eke 3-ban.
Q:Azf f¨uggv´eny nem folytonos 3-ban.
3.216. Folytonosak-e 0-ban a k¨ovetkez˝o f¨uggv´enyek?
(a) D(x) =
(1, hax∈Q 0, hax /∈Q
(b) f(x) =
(x, hax∈Q
−x, hax /∈Q
3.217. Mutassunk p´eld´at olyan f¨uggv´enyre, amelyik pontosan 2 pontban foly-tonos!
3.218. Azf, g:R→Rf¨uggv´enyek egy pontban elt´ernek, mindenhol m´ashol megegyeznek. Lehet-e mindk´et f¨uggv´eny mindenhol folytonos?
3.219. Tegy¨uk fel, hogy az f, g : R → R f¨uggv´enyeknek minden pontban van v´eges hat´ar´ert´ek¨uk ´es a hat´ar´ert´ekek meg is egyeznek. K¨ ovetkezik-e ovetkezik-ebb˝ol, hogy f = g mindenhol? Mi a helyzet akkor, ha f is, g is folytonos?
3.220. Mi a k¨ovetkez˝o ´all´ıt´asok logikai kapcsolata, azaz melyikb˝ol k¨ovetkezik a m´asik?
P:Azf ´esgf¨uggv´enyek folytonosak 3-ban.
Q:Azf +gf¨uggv´eny folytonos 3-ban.
3.221. Tegy¨uk fel, hogyf folytonos,g pedig nem folytonos 3-ban. Lehet-e
(a) f+g (b) f g folytonos 3-ban?
3.222. Tegy¨uk fel, hogy semf, semgnem folytonos 3-ban. K¨ovetkezik-e ebb˝ol, hogy
(a) f+g (b) f g
sem folytonos 3-ban?
3.223. Tegy¨uk fel, hogyf is, g is folytonos 3-ban. K¨ovetkezik-ebb˝ol, hogy az f
g f¨uggv´eny is folytonos 3-ban?
Hol folytonosak a k¨ovetkez˝o f¨uggv´enyek?
3.224. x2−4
x+ 2 3.225. x3−1
x−1 3.226. √
x 3.227. √3
x
3.228. Adjunk p´eld´at olyan f :R→Rf¨uggv´enyre, amelyik sehol nem folyto-nos, de|f|minden¨utt folytonos!
Milyen c sz´am megad´asa eset´en lesznek a k¨ovetkez˝o f¨uggv´enyek folytonosak a 0-ban?
3.229. f(x) =
x2+ 2 hax≥0 mx+c hax <0 3.230. f(x) =
( sinx
x hax6= 0 c hax= 0 3.231. f(x) =
x3+x+ 1 hax >0 ax2+bx+c hax≤0 3.232. f(x) =
√
x+ 2 hax≥0 (x+c)2 hax <0
3.233. Bizony´ıtsuk be, hogy minden 3-adfok´u polinomnak van val´os gy¨oke!
3.234. Tegy¨uk fel, hogy azfpozit´ıv f¨uggv´eny folytonos [a, b]-ben. Bizony´ıtsuk be, hogy van olyanc∈[a, b], amelyre igaz, hogy
(a) f(c) = f(a) +f(b) 2
(b) f(c) =p
f(a)f(b)
3.235. Tegy¨uk fel, hogyf folytonos [a, b]-ben, tov´abb´a f(a)≥a´esf(b)≤b.
Bizony´ıtsuk be, hogy van olyanc∈[a, b], amiref(c) =c.
3.236. Tegy¨uk fel, hogyf ´esg folytonosak [a, b]-ben, tov´abb´a f(a)≥g(a) ´es f(b) ≤g(b). Bizony´ıtsuk be, hogy van olyan c ∈[a, b], amire f(c) = g(c).
3.237. Tegy¨uk fel, hogyf ´esgfolytonosak [a, b]-n, ´es mindenx∈[a, b] eset´en f(x)< g(x). Bizony´ıtsuk be, hogy van olyanm >0 sz´am, hogy minden x∈[a, b] eset´eng(x)−f(x)≥m.
3.238. Adjunk p´eld´at olyanf : [0,1]→Rf¨uggv´enyre, amely egy pont kiv´ ete-l´evel folytonos ´es
(a) nem korl´atos. (b) korl´atos, de nincs legnagyobb
´ ert´eke.
Mi a k¨ovetkez˝o ´all´ıt´asp´arok logikai kapcsolata, azaz melyikb˝ol k¨ o-vetkezik a m´asik?
3.239. P:f folytonos [1,2]-n Q:f-nek van maximuma ´es minimuma [1,2]-n 3.240. P:f folytonos (1,2)-n Q:f-nek van maximuma ´es minimuma (1,2)-n 3.241. P:f korl´atos (1,2)-n Q:f-nek van maximuma ´es minimuma (1,2)-n 3.242. P:f korl´atos [1,2]-n Q:f-nek van maximuma ´es minimuma [1,2]-n
Van-e olyan f¨uggv´eny, amelyik
3.243. nem folytonos [0,1]-en, de [0,1]-en van maximuma is ´es minimuma is?
3.244. folytonos (0,1)-en, ´es (0,1)-en van maximuma is ´es minimuma is?
3.245. folytonos (0,1)-en, de (0,1)-en nincs sem maximuma, sem minimu-ma?
3.246. folytonos [0,1]-en, de [0,1]-en nincs sem maximuma, sem minimuma?
Van-e maximuma a k¨ovetkez˝o f¨uggv´enyeknek a [77,888] intervallu-mon?
3.247. 3x+5sinx+√
x 3.248. sin(2x) + cos(3x)
3.249. [x] 3.250. {x}
Jel¨oljeD(f) azf f¨uggv´eny ´ertelmez´esi tartom´any´at,R(f) pedig az
´
ert´ekk´eszlet´et! Van-e olyan f¨uggv´eny, amelyikre igaz, hogy 3.251. D(f) = (0,1) ´esR(f) = [0,1]
3.252. D(f) = [0,1] ´esR(f) = (0,1) 3.253. D(f) = [0,1] ´esR(f) = [3,4]∪[5,6]
Van-e olyan monoton n¨ov˝o f¨uggv´eny, amelyikre igaz, hogy 3.254. D(f) = (0,1) ´esR(f) = [0,1]
3.255. D(f) = [0,1] ´esR(f) = (0,1) 3.256. D(f) = [0,1] ´esR(f) = [3,4]∪[5,6]
Van-e olyan folytonos f¨uggv´eny, amelyikre igaz, hogy 3.257. D(f) = (0,1) ´esR(f) = [0,1]
3.258. D(f) = [0,1] ´esR(f) = (0,1)
3.259. D(f) = [0,1] ´esR(f) = [3,4]∪[5,6]
3.260. Bizony´ıtsuk be, hogy (korl´atos) z´art intervallumon folytonos f¨uggv´eny
´
ert´ekk´eszlete (korl´atos) z´art intervallum.
3.261. Bizony´ıtsuk be, hogy ha azf f¨uggv´eny folytonosR-en, tov´abb´a a hat´
ar-´
ert´eke v´egtelenben is, ´es m´ınusz v´egtelenben is nulla, akkorf korl´atos!
3.262. Bizony´ıtsuk be, hogy ha azf f¨uggv´eny folytonos R-en, tov´abb´a a ha-t´ar´ert´eke v´egtelenben is, ´es m´ınusz v´egtelenben is v´egtelen, akkorf-nek van minimuma!
3.263. Bizony´ıtsuk be, hogy azxsinx= 100 egyenletnek v´egtelen sok gy¨oke van!
Hol folytonosak jobbr´ol, hol folytonosak balr´ol, illetve hol folyto-nosak a k¨ovetkez˝o f¨uggv´enyek?
3.264. [x] 3.265. [−x]
3.266. [x] + [−x] 3.267. [x]−[−x]
Hol folytonosak a k¨ovetkez˝o f¨uggv´enyek?
3.268. f(x) =
cos1
x, hax6= 0
0 hax= 0
3.269. f(x) =
xsin 1
x, hax6= 0
0 hax= 0
Egyenletesen folytonosak-e a k¨ovetkez˝o f¨uggv´enyek az adott inter-vallumokban?
3.270. f(x) =x2 (−∞,∞), [−2,2], (−2,2) 3.271. f(x) = 1
x (0,∞), [1,2], (1,2), [1,∞)
A differenci´ alsz´ am´ıt´ as ´ es alkalma-z´ asai
4.1. Az f f¨uggv´enynek pontosan akkor van ´erint˝oje az a pontban, ha itt deriv´alhat´o. Ekkor az ´erint˝o egyenlete
y=f0(a)(x−a) +f(a)
4.2. Ha azf(x) f¨uggv´eny deriv´alhat´o azapontban, akkor a f¨uggv´eny foly-tonos azapontban.
Ez a t´etel nem ford´ıthat´o meg: p´eld´aul az f(x) = |x| f¨uggv´eny folytonos 0-ban, de itt nem deriv´alhat´o!
4.3. Deriv´al´asi szab´alyok. Haf ´esg deriv´alhat´oa-ban, akkor
— tetsz˝olegesc∈Reset´enc·f deriv´alhat´o a-ban ´es (c·f)0(a) =c·f0(a);
— f+g deriv´alhat´oa-ban ´es
(f+g)0(a) =f0(a) +g0(a);
— f·gderiv´alhat´o a-ban ´es
(f·g)0(a) =f0(a)·g(a) +f(a)·g0(a);
— g(a)6= 0 eset´en f
g deriv´alhat´oa-ban, ´es f
g 0
(a) = f0(a)·g(a)−f(a)·g0(a)
g2(a) .
4.4. L´ancszab´aly. Hag deriv´alhat´o a-ban, f deriv´alhat´o g(a)-ban, akkor f◦gderiv´alhat´o a-ban ´es
(f◦g)0(a) =f0(g(a))·g0(a).
4.5. Inverz f¨uggv´eny deriv´altja. Haf folytonos ´es invert´alhat´o ak¨or¨ul, a-ban deriv´alhat´o, ´esf0(a)6= 0, akkorf−1 deriv´alhat´of(a)-ban ´es
(f−1)0(f(a)) = 1 f0(a). 4.6. K¨oz´ep´ert´ekt´etelek.
— Rolle t´etele. Ha f folytonos az [a, b] z´art intervallumon, deriv´alhat´o az (a, b) ny´ılt intervallumon ´esf(a) =f(b), akkor van olyanc∈(a, b), amelyref0(c) = 0.
— Lagrange-k¨oz´ep´ert´ekt´etel. Ha f folytonos az [a, b] z´art interval-lumon, deriv´alhat´o az (a, b) ny´ılt intervallumon, akkor van olyan c ∈ (a, b), amelyre
f0(c) = f(b)−f(a) b−a .
A t´etel geometriai jelent´ese az, hogy minden h´urhoz tal´alhat´o vele p´ ar-huzamos ´erint˝o.
— Cauchy-k¨oz´ep´ert´ekt´etel. Haf ´esg folytonos az [a, b] z´art interval-lumon, deriv´alhat´o az (a, b) ny´ılt intervallumon, ´es x ∈ (a, b) eset´en g0(x)6= 0, akkor van olyanc∈(a, b), amelyre
f0(c)
g0(c) = f(b)−f(a) g(b)−g(a).
— Az integr´alsz´am´ıt´as alapt´etele. Ha f ´esg folytonos az [a, b] z´art intervallumon, deriv´alhat´o az (a, b) ny´ılt intervallumon ´es x ∈ (a, b) eset´enf0(x) =g0(x), akkorf −gkonstans f¨uggv´eny.
4.7. Darboux-t´etel. Ha f deriv´alhat´o (a, b)-ben, a-ban jobbr´ol, b-ben balr´ol deriv´alhat´o, akkor az f0(x) deriv´altf¨uggv´eny minden f+0(a) ´es f−0(b) k¨oz¨otti ´ert´eket felvesz.
4.8. Monotonit´as ´es deriv´altkapcsolata. Legyenf(x) folytonos [a, b]-n
´es deriv´alhat´o (a, b)-n.
— Azf(x) f¨uggv´eny monoton n˝o [a, b]-n, akkor ´es csak akkor, ha minden x∈(a, b) eset´enf0(x)≥0.
— Ha mindenx∈(a, b) eset´en f0(x)>0, akkor f(x) szigor´uan monoton n˝o [a, b]-n.
Ez az ´all´ıt´as nem ford´ıthat´o meg, p´eld´aulf(x) =x3szigor´uan monoton n˝o de f0(0) = 0.
— Az f(x) f¨uggv´eny szigor´uan monoton n˝o [a, b]-n akkor ´es csak akkor, ha mindenx∈(a, b) eset´enf0(x)≥0 ´es minden a < c < d < beset´en f0(x)-nek csak v´eges sok gy¨oke van (c, d)-ben.
4.9. Lok´alis sz´els˝o´ert´ek ´es a deriv´altkapcsolata. Tegy¨uk fel, hogyf(x) deriv´alhat´oa-ban.
— Haf(x)-nek lok´alis sz´els˝o´ert´eke (maximum vagy minimum) vana-ban, akkorf0(a) = 0.
— Ha f(x) deriv´alhat´o a egy k¨ornyezet´eben, f0(a) = 0 ´es f0(x) el˝ojelet v´alta-ban, akkorf(x)-nek lok´alis sz´els˝o´ert´eke vana-ban, m´egpedig
−lok´alis (szigor´u) maximuma, haa-t´ol balra (f0(x)>0) f0(x)≥0,
´
esa-t´ol jobbra (f0(x)<0)f0(x)≤0,
−lok´alis (szigor´u) minimuma, haa-t´ol balra (f0(x)<0) f0(x)≤0,
´
esa-t´ol jobbra (f0(x)>0)f0(x)≥0.
— Haf(x) k´etszer deriv´alhat´oa-ban,f0(a) = 0 ´esf00(a)6= 0, akkorf (x)-nek lok´alis sz´els˝o´ert´eke vana-ban, m´egpedig
−lok´alis szigor´u maximuma, haf”(a)<0,
−lok´alis szigor´u minimuma, ha f”(a)>0.
4.10. Konvexit´as ´es a deriv´alt kapcsolata. Tegy¨uk fel, hogy f(x) deri-v´alhat´o (a, b)-ben.
— f(x) akkor ´es csak akkor (szigor´uan) konvex (a, b)-n, haf0(x) (szigor´ u-an) monoton n¨ov˝o (a, b)-n.
— f(x) akkor ´es csak akkor (szigor´uan) konk´av (a, b)-n, ha f0(x) (szigo-r´uan) monoton cs¨okken (a, b)-n.
— f(x)-nek ac∈(a, b)inflexi´os pontjaakkor ´es csak akkor, haf0(x)-nek c-ben lok´alis sz´els˝o´ert´eke van.
4.11. L’Hospital szab´aly. Tegy¨uk fel, hogyf ´esg deriv´alhat´oaegy pon-tozott k¨ornyezet´eben,f-nek ´esg-nek van hat´ar´ert´ekea-ban ´es vagy mindk´et
hat´ar´ert´ek 0 vagy mindk´et hat´ar´ert´ek ∞, azaz a k´et f¨uggv´eny h´anyados´ a-nak hat´ar´ert´eke kritikus. Ekkor ha l´etezika lim
x→a
A fenti t´etel a (pontozott) k¨ornyezet ´ertelemszer˝u m´odos´ıt´as´aval ´erv´enyes marad akkor is, ha a hat´ar´ert´eket valamelyik v´egtelenben, illetve valamelyik oldalr´ol vizsg´aljuk.
4.1. A deriv´ alt fogalma
4.1. Sz´am´ıtsuk ki a defin´ıci´o szerint √ x ´es √3
x differenci´alh´anyados´at az x=apontban! Hol van ´ertelmezve, hol folytonos ´es hol differenci´alhat´o a√
x´es a √3
xf¨uggv´eny? Adjuk meg a deriv´altf¨uggv´enyeket!
4.2. Tegy¨uk fel, hogy
x→3lim
f(x)−f(3) x−3 = 4.
K¨ovetkezik-e ebb˝ol, hogy azf f¨uggv´eny folytonos 3-ban?
4.3. Tegy¨uk fel, hogy az f f¨uggv´eny folytonos 3-ban. K¨ovetkezik-e ebb˝ol, hogy a
4.8. lim
Hol folytonosak, ´es hol differenci´alhat´ok a k¨ovetkez˝o f¨uggv´enyek?
4.12. |x| 4.13.
Milyenb´esceset´en lesznek a k¨ovetkez˝o f¨uggv´enyek differenci´ alha-t´ok 3-ban? Adjuk meg a deriv´altakat!
4.16. f(x) =
Hol differenci´alhat´ok a k¨ovetkez˝o f¨uggv´enyek? Hol folytonosak a deriv´altf¨uggv´enyek?
4.19. f(x) =
4.24. f(x) =
−x2 hax≤0 x2 hax >0
4.25. f(x) =
1−x hax <1 (1−x)(2−x) ha 1≤x≤2
−(2−x) ha 2< x 4.26. f(x) =
{x} − 1 2
2
, ahol{x}az xt¨ortr´esz´et jel¨oli.
4.27. f(x) = [x] sinπx, ahol [x] azxeg´eszr´esz´et jel¨oli.
4.28. Melyik grafikon az f(x) = sin2xf¨uggv´eny´e ´es melyik ag(x) =|sinx|
f¨uggv´eny´e?
(a) (b)
Hat´arozzuk meg a k¨ovetkez˝o f¨uggv´enyek els˝o, m´asodik, . . . ,n-edik deriv´altj´at!
4.29. x6 4.30. 1
x 4.31. sinx 4.32. cosx