A szita-formula ´ es a skatulya-elv

Elemi lesz´aml´al´asi feladatokban sokszor nagyon hasznos a szita-formula.

1.31. T´etel (A szita-formula) Ha A₁, A₂, . . . , A_n v´eges halmazok, akkor

Szavakban: az uni´o elemsz´am´at ´ugy kapjuk, hogyA_i halmazok elemsz´amainak ¨ ossze-g´eb˝ol levonjuk a p´aronk´enti metszetek elemsz´amait, ehhez hozz´aadjuk a h´armas met-szetek elemsz´amait, levonjuk a 4-es metszetek m´eret´et, s´ıt. A sztenderd p´elda, hogy 1

´es 1000 k¨oz¨ott h´any olyan sz´am van, ami a 30-hoz nem relat´ıv pr´ım. Mivel egy sz´am pontosan akkor nem relat´ıv pr´ım a 30-hoz, ha a 2,3 vagy 5 pr´ımek valamelyik´evel oszt-hat´o, ez´ert az 1 ´es 1000 k¨oz¨otti sz´amok k¨oz¨ul a 2-vel, 3-mal ill. 5-tel oszthat´ok sz´amok halmaz´anak uni´oj´anak elemsz´am´at kell meghat´aroznunk. Ha vessz¨uk a az 500 p´aros, 333 db 3-mal oszthat´o ´es 200 db 5-tel oszthat´o sz´amot, akkor minden olyan sz´amot k´etszer sz´amoltunk meg, ami k´et pr´ımmel is oszthat´o a 2,3,5 k¨oz¨ul. Ha teh´at levon-juk a 166 db 6-tal, 100 db 10-zel ill. 66 db 15-tel oszthat´o sz´amot, akkor egyed¨ul a 33 db 30-cal oszthat´o sz´ammal van csak baj, amelyeket 3-szor sz´amoltunk meg ´es 3-szor vontunk le, teh´at ezeket meg hozz´a kell adni a v´egeredm´enyhez, ami ilyenform´an (500 + 333 + 200−166−100−66 + 33)-nak ad´odik. Ha azonban meg´ertj¨uk rendesen mir˝ol van sz´o, akkor a szita-formula bizony´ıt´asa b´ar absztrakt, de j´oval r¨ovidebb.

A szita-formula bizony´ıt´asa. Tekints¨uk az A₁∪A₂∪. . .∪A_nhalmazt, ´es legyenx ennek egy tetsz˝oleges eleme. A szita-formula igazol´as´ahoz mind¨ossze azt kell megmutatnunk, hogy x hozz´aj´arul´asa ugyanannyi az 1.1 formula baloldal´ahoz, mint a jobboldalhoz. A baloldal egyszer˝u: x-et pontosan egyszer sz´amoltuk meg. Azt kell teh´at igazolnunk, hogy x-et a jobboldalon ¨osszess´eg´eben egyszer vessz¨uk figyelembe. Tegy¨uk fel teh´at, hogy x

´

eppen k db A_i halmaznak eleme. Vil´agos, hogy ´eppen ^k_t

-f´elek´epp lehet az A_i-k k¨oz¨ul t k¨ul¨onb¨oz˝o x-t tartalmaz´o halmazt kiv´alasztani. Ez´ert x hozz´aj´arul´asa a jobboldalhoz

´ amint azt ´all´ıtottuk. (A harmadik egyenl˝os´eg a binomi´alis t´etel miatt igaz.)

1.32. P´elda A szita-formul´aval meghat´arozhatjuk azon permut´aci´ok sz´am´at, amelyek olyan sorrendnek felelnek meg, ahol egyik elem sem ott ´all, ahol az eredeti sorrendben ´allt.

Legyen ugyanis a permut´aland´o elemekn sz´ama r¨ogz´ıtett, ´es jelentse Ai azon permut´

aci-´

oit azn elemnek, amelyek azi-dik elemet a hely´en hagyj´ak. Vil´agos, hogy|A_i|= (n−1)!,

hisz az i-dikt˝ol k¨ul¨onb¨oz˝o n−1 elem egy permut´aci´oj´ar´ol van sz´o. S˝ot, ha k k¨ul¨onb¨oz˝o A_i halmaz metszet´et tekintj¨uk, akkor ez ´eppen azokat a permut´aci´okat tartalmazza, ahol a k adott elem a hely´en van, azazn−k elemet permut´alhatunk tetsz˝olegesen, ´ıgy a k-as metszet m´erete pontosan (n−k)!-nak ad´odik.

Ezek ut´an ´ugy hat´arozzuk meg a keresett permut´aci´ok sz´am´at, hogy lesz´aml´aljuk a komplementer halmazt, azaz mindazon permut´aci´okat, amelyek legal´abb egy elemet helyben hagynak, m´as sz´oval meghat´arozzuk az Sn

i=1A_i halmaz m´eret´et. A keresett

Amit kaptunk, azt szokt´ak n´eha ´ugy fogalmazni, hogy ha a sz´ınh´azi ruhat´arban mindenki v´eletlenszer˝uen kap vissza egy kab´atot, akkor kb ¹_e a val´osz´ın˝us´ege annak, hogy senki sem a saj´at ruh´aj´at kapja. M´as szavakkal, ha minden villamosm´ern¨okhallgat´o mikul´as el˝ott ki´uzza egy m´asik hallgat´o nev´et a kalapb´ol, akkor t¨obb, mint 60% val´osz´ın˝us´eggel legal´abb egyvalaki saj´at mag´at lepi meg.

Valami´ert a skatulya elv is ebbe a t´emak¨orbe tartozik, l´assuk h´at azt is. A skatulya-elvet ´altal´aban csak k¨or¨ul´ırni szokt´ak, valahogy ´ugy, hogy ha n dobozba t¨obb, mint n t´argyat helyez¨unk, akkor lesz olyan doboz, amiben 1-n´el t¨obb t´argy van. A szerz˝onek saj-nos ´epp a m´ar kor´abban emlegetett defin´ıci´o-t´etel-bizony´ıt´as a vessz˝oparip´aja, ´ugyhogy k¨ovetkezzen az egyesek sz´am´ara hajmereszt˝o formalizmus.

1.33. T´etel (Skatulya-elv) Ha f : H → K v´eges halmazok k¨oz¨ott egy lek´epez´es ´es

|K|<|H|, akkor l´etezik H-nak k´et egym´ast´ol k¨ul¨onb¨oz˝o h ´es h⁰ eleme ´ugy, hogy f(h) = f(h⁰) teljes¨ul.

Bizony´ıt´as. Indirekt: ha f H b´armely k´et elem´ehez k¨ul¨onb¨oz˝o K-beli elemeket rendel, akkor K-nak legal´abb annyi eleme van, mint H-nak, ellentmond´as.

1.34. P´elda (1) Ha minden villamosm´ern¨okhallgat´o egy-egy 3-jegy˝u sz´amz´arral z´arn´a a biciklij´et, akkor bizonyosan lenne k¨ozt¨uk k´et olyan, akik egym´as bicaj´at haszn´alhatn´ak a saj´at k´odjukkal.

(Bizony´ıt´as: t¨obb, mint 1000 hallgat´o mindegyik´ehez 1000 lehets´eges sz´amz´ark´od vala-melyike tartozik.)

(2) Ha a₁, a₂, . . . , a₁₀₀ eg´esz sz´amok, akkor kiv´alaszthat´o k¨oz¨ul¨uk n´eh´any ´ugy, hogy

¨osszeg¨uk 100-zal oszthat´o legyen.

(Bizony´ıt´as: Tekints¨uk a b_i := a₁ +a₂ +. . .+a_i sz´amokat. Ha valamelyik b_i a 100 t¨obbsz¨or¨ose, k´esz vagyunk. Ha nem, akkor a b₁, b₂, . . . , b₁₀₀ sz´amok k¨oz¨ul a skatulya-elv miatt lesz k´et olyan, ami ugyanarra a k´et jegyre v´egz˝odik, mondjuk b_i ´es b_j, ahol i < j. Am ekkor a´ b_j −b_i =a_i+1+a_i+2+. . .+a_j sz´am 100-zal oszthat´o.)

A skatulya-elv alkalmaz´as´aval eg´eszen komoly t´eteleket is bizony´ıthatunk. Itt van mindj´art egy p´elda.

1.35. T´etel (Erd˝os-Szekeres t´etel) B´armelyk, n ∈Neset´en tetsz˝olegesnk+1hossz´u sz´amsorozatban tal´alhat´o n-n´el hosszabb n¨ovekv˝o vagyk-n´al hosszabb cs¨okken˝o r´ eszsoro-zat.

Bizony´ıt´as. Indirekt bizony´ıtunk, tegy¨uk fel, hogy valamelyn´eskeset´en van olyannk+1 tag´u sorozat, aminek se n+ 1 tag´u n¨ovekv˝o, se k+ 1 tag´u cs¨okken˝o r´eszsorozata sincs.

E sorozat x elem´ehez rendelj¨unk hozz´a azt az (n(x), c(x)) sz´amp´art, ahol n(x) a leg-hosszabb x-szel kezd˝od˝o monoton n¨oveked˝o r´eszsorozat hossz´at, m´ıgc(x) a leghosszabb x-szel kezd˝od˝o monoton cs¨okken˝o r´eszsorozat hossz´at jelenti. Vil´agos, hogy ha x´es y a sorozatunk k¨ul¨onb¨oz˝o elemei, (mondjukyazx-t k¨oveti), akkorx≤yeset´enn(x)> n(y), m´ıg hax≥y, akkorc(x)> c(y) teljes¨ul. Ez azt jelenti, hogy a sorozat k¨ul¨onb¨oz˝o elemei-hez k¨ul¨onb¨oz˝o sz´amp´arokat rendel¨unk. Mivel n(x)∈ {1,2, . . . , n}´esc(x)∈ {1,2, . . . , k}, ez´ert a sorozat elemeihez rendelt sz´amp´aroknk-f´el´ek lehetnek. Mivelnk+ 1 taghoz ren-delt¨unk sz´amp´art, ez´ert k´et k¨ul¨on¨obz˝o taghoz ugyanazt a p´art kellett rendeln¨unk, ami lehetetlen. Az ellentmond´as mutatja az indirekt feltev´es helytelen volt´at, ezzel pedig igazoltuk a t´etelt.

Az Erd˝os-Szekeres t´etelre mutatunk egy m´asik igen eleg´ans, a skatulya-elvet nem haszn´al´o bizony´ıt´ast is.

2. bizony´ıt´as:. LegyenS₀az (a₁, a₂, . . . , a_nk+1) sorozat. Azt mondjuk, hogy egySsorozat x eleme ´erdekes, ha az S sorozat x ut´ani elemei k¨oz¨ul egyik sem kisebb x-n´el. Vegy¨uk

´

eszre, hogy egy sorozat ´erdekes elemei a sorozat monoton n¨oveked˝o r´eszsorozat´at alkotj´ak.

Az S₀ sorozatb´ol kiindulva defini´aljuk az S₁, S₂, . . . r´eszsorozatokat ´ugy, hogy S_i+1 az a sorozat, amit ´ugy kapunk S_i-b˝ol, hogy elhagyjuk S_i ´erdekes elemeit. Ha valamelyik S_i -nek t¨obb, mint n´erdekes eleme van, akkor ezek az elemek egy legal´abbn+ 1 hossz´us´ag´u n¨ovekv˝o r´eszsorozatot alkotnak az eredeti S₀ sorozatban, ´es az t´etel ´all´ıt´asa teljes¨ul. Ha ez nem t¨ort´enik meg, akkor viszont mindig csak legfeljebb n elemet hagyunk el, ´es ´ıgy az S_k sorozat sem ¨ures. Legyen teh´at x₁ az S_k egy eleme. Mivel x₁ nem ´erdekes Sk−1 -ben, ez´ert vanSk−1-ben x₁ ut´an egy n´ala kisebbx₂ elem. ´Amx₂ sem ´erdekes Sk−2-ben, musz´aj teh´at S_k−2-ben x₂-t egy n´ala kisebb x₃ elemnek k¨ovetnie. Az x₃-b´ol kapjuk az x₄, x₅, . . . elemeket, az utols´o elem x_k+1 lesz S₀-b´ol. Mivel x₀, x₁, x₂, . . . , x_k+1 az S₀ egy monoton cs¨okken˝o r´eszsorozata, a t´etelt igazoltuk.