Elemi lesz´ aml´ al´ asok

1.9. Defin´ıci´o Legyenek k, n ∈ N ´es 0 ≤ k ≤ n. Az n elem k-adoszt´aly´u (ism´etl´es n´elk¨uli) vari´aci´oj´an n db, r¨ogz´ıtett, egym´ast´ol megk¨ul¨onb¨oztethet˝o elemb˝ol kiv´alasztott k k¨ul¨onb¨oz˝o elem egy sorrendj´et ´ertj¨uk. Azaz kiv´alasztunk egy els˝o elemet az n k¨oz¨ul, egy t˝ole k¨ul¨onb¨oz˝o m´asodikat, stb, v´eg¨ul az eddigiekt˝ol k¨ul¨onb¨oz˝o k-adikat. V(n, k) jel¨oli n elem k-adoszt´aly´u vari´aci´oinak sz´am´at.

1.10. P´elda A fenti vari´aci´ofogalomra egy lehets´eges p´elda, ha azt k´erdezz¨uk, hogy egyn versenyz˝o r´eszv´etel´evel megrendezett ker´ekp´arversenyen az els˝o k befut´o sorrendje h´ any-f´ele lehet.

A k´erd´es ´ertelemszer˝uen V(n, k) ´ert´eke. Vil´agos, hogy V(n,0) = 1, V(n,1) = n. Az is l´atszik, hogy V(n, k) = V(n, k−1)·(n−k+ 1), hiszen minden sz´obaj¨ov˝o sorrendet meghat´arozhatunk ´ugy, hogy el˝osz¨or k −1 elemet rakunk sorba, majd a k-dik elemet tetsz˝olegesen kiv´alasztjuk az eddig ki nem v´alasztottn−k+1 elem k¨oz¨ul. InnenV(n, k) = n·(n−1)·. . .·(n−k+ 1) ad´odik.

1.11. Defin´ıci´o Aznterm´eszetes sz´am faktori´alisan! :=

1 ha n= 0 1·2·. . .·n ha n >0 . A fenti jel¨ol´essel V(n, k) = _(n−k)!^n! ad´odik.

1.12. Defin´ıci´o Legyenk, n∈N. Ekkor nelemk-adoszt´aly´u, ism´etl´eses vari´aci´ojaalatt egy olyan k hossz´u sorozatot ´ert¨unk, aminek tagjai n db, egym´ast´ol megk¨ul¨onb¨oztethet˝o elem k¨oz¨ul ker¨ulnek ki, ´ugy, hogy az n elem b´armelyik´et tetsz˝olegesen sokszor felhaszn´ al-hatjuk a sorozatban. Az eml´ıtett ism´etl´eses vari´aci´ok sz´am´at V_ism(n, k) jel¨oli.

1.13. P´elda Az ism´etl´eses vari´aci´o kapcs´an a Tour de France ker´ekp´aros vet´elked˝o egy versenynapj´ara gondolhatunk, ´es megk´erdezhetj¨uk, hogy ha az adott napon n versenyz˝o indult, ´es k etap (azaz r´eszt´av) volt (ezek mindegyik´en´el az els˝o n´eh´any befut´o pontokat szerez), akkor h´anyf´ele lehet az aznapi etapgy˝oztesek sorrendje.

Hasonl´oan a fenti gondolatmenethez, itt V_ism(n,0) = 1, V_ism(n,1) = n, ill. k ≥ 1 eset´enV_ism(n, k) =V_ism(n, k−1)·n, ahonnan V_ism(n, k) = n^k.

1.14. Defin´ıci´o Legyenn∈N. Ekkorn elem egy permut´aci´oja azn db, egym´ast´ol meg-k¨ul¨onb¨oztethet˝o elem egy sorbarendez´es´et jelenti. Form´alisan az {1,2, . . . , n} elemek egy permut´aci´oj´an egy σ : {1,2, . . . , n} → {1,2, . . . , n} bijekci´ot (azaz k¨olcs¨on¨osen egy´ ertel-m˝u megfeleltet´est ´ert¨unk.

1.15. Megjegyz´es Egy permut´aci´ot teh´at megadhatunk ´ugy is, mint a σ lek´epez´est, teh´at 5 elemnek egy konkr´et permut´aci´oja az a σ, amire σ(1) = 3, σ(2) = 4, σ3 = 5, σ(4) = 2, σ(5) = 1 ´es σ(6) = 6. Ugyanezt a permut´aci´ot megadhatjuk egy t´ ab-l´azattal, amiben oszloponk´ent t¨untetj¨uk fel hogy melyik elemet hova viszi a f¨uggv´eny:

1 2 3 4 5 6

3 4 5 2 1 6 , de σ megadhat´o ´ugy is, hogy megkeress¨uk a ciklusait, azaz megvizs-g´aljuk, hogy egy elemet hova vihet el az iter´alt lek´epez´es, ´es az ´ıgy kapott ciklusokat z´ar´ojelek k¨oz´e t´eve ´ırjuk fel (az egy hossz´u ciklusokat (azaz fix pontotkat) nem szok´as ki´ırni): σ = (1,3,5)(2,4)(6) = (1,3,5)(2,4). K´es˝obb hasznos lesz, ha egy permut´aci´ora t¨obbf´elek´epp tudunk gondolni.

1.16. P´elda Tegy¨uk fel, hogy n ellen˝orz´esen kell ´atjutnunk, mindegyiken egy-egy jelsz´o bemond´as´aval, ´es ha rossz jelsz´oval pr´ob´alkozunk, azonnal vesz´ıt¨unk. Ha ismerj¨uk az n jelsz´ot, de nem tudjuk, hogy azok melyik ellen˝orz´esi pontokhoz tartoznak, akkor a fel-adatunk az, hogy eltal´aljuk a jelszavak azon permut´aci´oj´at, ami szerint azokat bemondva

´

atjutunk az ellen˝orz´eseken.

A Defin´ıci´okb´ol azonnal ad´odik, hogy n elem permut´aci´oi azonosak az n elem n-edoszt´aly´u vari´aci´oival, ´ıgy a fentiek szerint a sz´amuk ^n!_0! =n! .

1.17. Defin´ıci´o Legyen k₁, k₂, . . . , k_l ∈ N r¨ogz´ıtett sz´amok ´es n := k₁ +k₂ +. . .+k_l . Ekkor n elem ism´etl´eses permut´aci´oja alatt l f´ele elem egy olyan n hossz´u sorrendet

´ert¨unk, amiben az i-dik elem pontosan k_i-szer jelenik meg minden 1≤i≤l eset´en.

1.18. P´elda Ha tudjuk, hogy egy h´eten minden nap ¨ot ´or´ank van az ´altal´anos iskol´aban,

´es ismerj¨uk az egyes t´argyak heti ´orasz´amait (legyenek ezek k1, k2, . . . , kl, amelyekre ter-m´eszetesen k₁ +k₂ +. . .+k_l = 25 teljes¨ul), akkor a lehets´eges ´orarendek sz´ama ´eppen a 25 ´ora ism´etl´eses permut´aci´oinak sz´ama. (A p´elda pindurit s´anta, mert nem val´osz´ın˝u olyan nap, hogy testnevel´es-´enek-rajz-technika-oszt´alyf˝on¨oki legyen a beoszt´as.)

1.19. Megjegyz´es 1. Az

”n elem ism´etl´eses permut´aci´oja” elnevez´ese nem teljesen pontos. Ugyanis amikor err˝ol besz´el¨unk, akkor azt mindig ´ugy ´ertj¨uk, hogy az l ´es a ki-k

´

ert´ekek is r¨ogz´ıtettek.

2. Ha minden k_i ´ert´eke1, akkor az ism´etl´es n´elk¨uli permut´aci´o fogalm´ahoz jutunk vissza.

Az ism´etl´es n´elk¨uli permut´aci´onak teh´at k´et lehets´eges ´altal´anos´ıt´as´at l´attuk: az ism´etl´es n´elk¨uli vari´aci´ot, ill. az ism´etl´eses permut´aci´ot.

Az ism´etl´eses permut´aci´ok sz´am´anak kisz´am´ıt´as´ahoz az {1,2, . . . , n}halmaz minden elem´ehez rendelj¨uk a sorbarendezend˝o l-f´ele elem valamelyik´et ´ugy, hogy az i-dik faj-ta elemet pontosan k_i db sz´amhoz rendelj¨uk. Vil´agos, hogy a fenti hozz´arendel´essel az {1,2, . . . , n} halmaz elemeinek minden egyes permut´aci´oja meghat´aroz egy ism´etl´eses permut´aci´ot. M´asfel˝ol, minden egyes ism´etl´eses permut´aci´o az {1,2, . . . , n} elemeinek pontosan ugyanannyi permut´aci´oj´ab´ol kaphat´o meg: ha ugyanis egy r¨ogz´ıtett ism´etl´ e-ses permut´aci´ot szeretn´ek megkapni, akkor minden egyes ki m´eret˝u halmaz elemeit az ism´etl´eses permut´aci´o ´altal meghat´arozott poz´ıci´okra kell tetsz˝olegesen sz´etosztani. Ezt csoportonk´ent k_i!-f´elek´epp tehetj¨uk meg, a csoportonkon egym´ast´ol f¨uggetlen¨ul, teh´at minden egyes ism´etl´eses permut´aci´ot ´eppen k1!·k2!·. . .·kl! permut´aci´o hat´aroz meg.

Mivel az {1,2, . . . , n} ism´etl´es n´elk¨uli permut´aci´oinak sz´ama n!, ez´ert az ism´etl´eses per-mut´aci´ok sz´am´ara a _k ^n!

1!·k2!·...·kl! formula ad´odik.

1.20. Megjegyz´es 1. A ^(k_k^{1+k2+...+kl)!}

1!·k2!·...·kl! kifejez´esr˝ol r´an´ez´esre nem vil´agos, hogy eg´esz sz´am. L´attuk azonban, hogy az ism´etl´eses permut´aci´ok sz´am´at ´ırja le, ez´ert bizonyosan eg´esz. Ezzel teh´at egy algebrai t´enyt kombinatorikus ´uton igazoltunk.

2. Figyelj¨uk meg, hogy az

”ism´etl´eses” jelz˝o a vari´aci´ok ill. permut´aci´ok eset´en k¨ul¨onb¨oz˝o dolgot jelent: vari´aci´ok eset´en tetsz˝oleges sz´am´u ism´etl˝od´es megengedett, permut´aci´okn´al minden elemr˝ol adott, hogy h´anyszor ism´etl˝odik.

1.21. Defin´ıci´o Legyen k, n ∈ N, k ≤ n. Ekkor n elem k-adoszt´aly´u kombin´aci´oj´an egy (r¨ogz´ıtett) n elemb˝ol ´all´o halmaz egy k-elem˝u r´eszhalmaz´at ´ertj¨uk. Az n elem k-adoszt´aly´u kombin´aci´oinak sz´am´at (azaz az n-elem˝u halmaz k-elem˝u r´eszhalmazainak sz´am´at) C(n, k) jel¨oli.

1.22. P´elda K´ezenfekv˝o p´elda a lott´oh´uz´asok lehets´eges kimeneteleinek sz´ama: 90 le-hets´eges sz´amb´ol az 5 nyer˝osz´amot C(90,5)-f´elek´epp lehet kiv´alasztani, hisz a kih´uz´as sorrendje nem sz´am´ıt.

Vegy¨uk ´eszre, hogy n elem minden k-adoszt´aly´u vari´aci´oja egy´ertelm˝uen meghat´ a-roz egy k-adoszt´aly´u kombin´aci´ot: egyszer˝uen el kell feledkezni a kiv´alasztott k elem sorrendj´er˝ol. Az is azonnal l´atszik, hogy minden egyesk-adoszt´aly´u kombin´aci´o annyi k-adoszt´aly´u vari´aci´ob´ol sz´armaztathat´o, ah´anyf´elek´eppen a kiv´alasztottk db elemet sorba lehet rakni, azaz k! db-b´ol. Ez´ert C(n, k) = ^V(n,k)_k! = _(n−k)!·k!^n! .

1.23. Megjegyz´es Az fenti kombin´aci´ofogalom ism´et speci´alis esete az ism´etl´eses per-mut´aci´onak: ha n elemb˝ol akarok k-t kiv´alasztani, akkor feltehetem, hogy az n elemnek van egy r¨ogz´ıtett sorrendje. Ebben a sorrendben minden elemr˝ol meg kell mondanom, kiv´alasztottam-e vagy sem, r´a´aad´asul ezt ´ugy, hogy pontosan k-t v´alasszak ki. Vagyis egy olyan n hossz´u sorrendr˝ol van sz´o, amiben a

”kiv´alasztva” k-szor, a

”nem ki-v´alasztott” pedig (n− k)-szor jelenik meg. Ez pedig az n elem egy olyan ism´etl´eses permut´aci´oja, amire k₁ =k ´es k₂ =n−k .

1.24. Defin´ıci´o Jel¨olje ⁿ_k

binomi´alis egy¨utthat´ot 0-nak defini´aljuk.

1.25. Megjegyz´es 1. R´an´ez´esre itt sem vil´agos, hogy ⁿ_k

eg´esz sz´am, de kombinatorikus

´

uton ez azonnal ad´odik, hisz egy halmaz m´eret´et adja meg. (Persze ezt m´ar l´attuk az ism´etl´eses permut´aci´okn´al.)

2. ⁿ_k

= _n−kⁿ

: algebrai ´uton is vil´agos, de abb´ol is l´atszik, hogy n elem k¨oz¨ul k elem kiv´alaszt´asa ugyanaz, mint n −k elem

”otthagy´asa”, vagyis a megmarad´o n−k elem

Ha most n elem k¨oz¨ul k-t v´alasztunk ki, akkor ebben a k elemben vagy nincs benne az x, ´es akkor tkpn−1elemb˝ol v´alasztottunkk-t ( ⁿ⁻¹_k

-f´elek´epp), vagy benne van az x, ´es ekkor azx-t˝ol k¨ul¨onb¨oz˝on−1elem k¨oz¨ul kellett(k−1)-t kiv´alasztani, amit ⁿ⁻¹_k−1

-f´elek´epp tehet¨unk meg. Az azonoss´ag persze algebrai ´uton is igazolhat´o, de az az ´ut unalmas ´es f´araszt´o.

1.26. Defin´ıci´o Legyen k, n ∈N. Ekkor n elem k-adoszt´aly´u, ism´etl´eses kombin´aci´oja n-f´ele elemt´ıpusb´ol k db kiv´alaszt´as´at jelenti, ahol b´armely t´ıpusb´ol tetsz˝olegesen sokat v´alaszthatunk. Teh´at az ism´etl´eses kombin´aci´ok megfeleltethet˝ok az a₁+a₂ +. . . a_n =k

¨osszegeknek, ahol a_i ∈ N´ırja le, hogy az i-dik t´ıpusb´ol h´anyat v´alasztottunk. Az n elem k-adoszt´aly´u ism´etl´eses kombin´aci´oinak sz´ama C_ism(n, k).

1.27. P´elda Ha egy cukr´aszd´aban n-f´ele s¨utem´enyt ´arulnak, ´es mindegyik fajt´ab´ol kor-l´atlan sz´am´u ´all rendelkez´esre, akkor k db s¨utem´enyt ´eppen C_ism(n, k)-f´elek´eppen v´as´ a-rolhatunk.

1.28. T´etel Cism(n, k) = ^n+k−1_k

Bizony´ıt´as. Az n elem tetsz˝oleges k-adoszt´aly´u, ism´etl´eses kombin´aci´oja egy´ertelm˝uen megfeleltethet˝o egy (n +k −1) hossz´us´ag´u 0/1-sorozatnak: el˝osz¨or le´ırunk a₁ db 1-t, majd egy 0-t, ut´anaa₂db 1-t, egy 0-t,a₃ db 1-t, 0-t, stb. (Tkp. egya₁+a₂+. . .+a_n =k ism´etl´eses permut´aci´ot ´ugy alak´ıtunk ´at, hogy mindena_i-ta_i db 1-essel, ´es minden +-t egy db 0-val k´odolunk, az = k v´egz˝od´est pedig elhagyjuk. Pl a 0 + 0 + 3 + 2 + 0 + 5 + 0 = 10 ¨osszegnek megfelel˝o ism´etl´eses permut´aci´ot a 0011101100111110 sorozat k´odolja.) Osszesen teh´¨ atk db 1-t ´es (n−1) db 0-t ´ırunk le. R´aad´asul, mindenn+k−1 hossz´us´ag´u, k db 1-est tartalmaz´o 0/1 sorozatb´ol egy´ertelm˝uen ad´odik egy ism´etl´eses kombin´aci´o.

Ez´ert az ism´etl´eses kombin´aci´ok sz´ama azonos a lehets´eges 0/1-sorozatok sz´am´aval. Egy

ilyen sorozatot pedig ´ugy kapunk, hogy a lehets´eges n+k−1 helyb˝ol kiv´alasztjuk azt a k helyet, ahova 1-t ´ırunk, a marad´ek helyeken ´ertelemszer˝uen 0-k ´allnak. Eszerint n elem k-adoszt´aly´u ism´etl´eses kombin´aci´oinak sz´ama C_ism(n, k) = ^n+k−1_k

. A binomi´alis egy¨utthat´okkal kapcsolatos a binomi´alis t´etel.

1.29. T´etel (Binomi´alis t´etel) Ha 1 ≤ n ∈ Z, akkor (a+b)ⁿ = Pn

Bizony´ıt´as. Amikor a z´ar´ojeleket felbontjuk, akkor a keletkez˝o kifejt´esi tagok ´ugy ad´ od-nak, hogy az n t´enyez˝o mindegyik´eb˝ol kiv´alasztjuk az a ill. b valamelyik´et, ´es ezeket

¨

osszeszorozzuk. Teh´at minden kifejt´esi tag aⁱ·bⁿ⁻ⁱ alak´u lesz valamely 0≤i≤n eg´ esz-re. Konkr´etan: aⁱbⁿ⁻ⁱ annyiszor fog ad´odni, ah´anyf´elek´eppen ki lehet v´alasztani idb a-t a lehets´eges n-b˝ol, azaz ⁿ_i

A binomi´alis egy¨utthat´okat elrendezhetj¨uk piramisalakzatban ´ugy, hogy a piramis cs´ucs´an ´all az ⁰₀

= 1 egy¨utthat´o, alatta az ¹₀

= 1 ill. ¹₁

= 1 egy¨utthat´ok, a harmadik sorban tal´alhat´ok a ²₀

, ²₁

egy¨utthat´ok ´allnak. A legut´obbi k¨ovetkezm´eny mutatja, hogy a Pascal h´aromsz¨ogi-dik sor´aban tal´alhat´o ele-mek ¨osszege 2ⁱ⁻¹. Ez azonban bel´athat´o abb´ol a t´enyb˝ol is, hogy minden sor¨osszeg k´etszerese az el˝oz˝onek, ugyanis a pascal h´aromsz¨og egy elem´et ´ugy kapjuk, hogy ¨osszeadjuk a f¨ol¨otte ´all´o k´et elemet. (Ez a kor´abban l´atott

n k

= ⁿ⁻¹_k−1

+ ⁿ⁻¹_k

¨osszef¨ugg´esb˝ol ad´odik.) A Pascal h´aromsz¨ognek tov´abbi

´

In document ¨o ´e vesvillamosm ´e rn k-hallgat ´o isz ´a m ´a ra Asz ´a m ´ı t ´a studom ´a nyalapjaiABMEI. (Pldal 16-21)