M´ atrixm˝ uveletek, t´ erbeli vektorok szorz´ asa

A determin´ansok t´argyal´asa ut´an ´erdemes a m´atrixok k¨oz¨ott m˝uveleteket bevezetni.

2.52. Defin´ıci´o HaA, B ∈R^n×k, azaz A´es B n×k m´eret˝u m´atrixok, akkor ¨ osszeadha-t´oak, ami elemenk´enti ¨osszead´ast jelent. AzazA+B ∈R^n×k, amire (A+B)^j_i =A^j_i+B_i^j. 2.53. ´All´ıt´as Ha az A, B, C ∈ R^n×k, akkor A+B = B +A (vagyis az ¨osszead´as fel-cser´elhet˝o, m´as sz´oval kommutat´ıv) ´es (A+B) +C =A+ (B+C), ami az ¨osszead´as

´

atz´ar´ojelezhet˝os´egi tulajdons´aga, idegen sz´oval asszociativit´asa.

A m´atrix skal´arszoros´at a vektorterekn´el megismert m´odon ´ertelmezz¨uk, azaz az ele-meit v´egigszorozzuk a skal´arral: (λ ·A)^j_i := λ· A^j_i. Enn´el sokkal izgalmasabb, hogy m´atrixok egym´assal is megszorozhat´ok.

2.54. Defin´ıci´o Legyenek A ∈ R^n×k ´es B ∈ R^k×l tetsz˝oleges m´atrixok. Ekkor (vagy-is ha A-nak pontosan annyi oszlopa van, mint ah´any sora B-nek) az A ´es B m´atrixok

¨osszeszorozhat´ok, A·B ∈R^n×l, ´es (A·B)^j_i =A_i·B^j =P

kA^k_iB_k^j, azaz a szorzatm´atrix i-dik sor´anak j-dik elem´et ´ugy kapjuk, hogy az A m´atrix i-dik sor´at (mint sorvektort) skal´arisan ¨osszeszorozzuk a B m´atrix j-dik oszlop´aval (mint oszlopvektorral) Ezt a tulaj-dons´agot szok´as a sor-oszlop szorz´as kifejez´essel illetni, amin azt ´ertj¨uk, hogy a szorzat egyes koordin´at´ait ´ugy kapjuk, hogy a megfelel˝o sorvektort skal´arisan ¨osszeszorozzuk a megfelel˝o oszlopvektorral.

Ai

B^j

Ai·B^j i

A A·B

B j

2.55. Megfigyel´es Ha azA´esB m´atrixok ¨osszeszorozhat´ok, akkor azABszorzatm´atrix oszlopai az A m´atrix oszlopainak line´aris kombin´aci´oi lesznek. Konkr´etan azi-dik oszlop olyan line´aris kombin´aci´o, amelynek egy¨utthat´oi a B m´atrix i-dik oszlop´aban vannak felsorolva: (A·B)ⁱ =B₁ⁱ ·A¹+B₂ⁱ ·A²+. . .

A tov´abbiakban t¨obbsz¨or lesz sz¨uks´eg a 2.55. Megfigyel´esre.

2.56. Megjegyz´es Ha A´es B m´atrixok, akkor ´altal´aban nem igaz, hogy A·B =B·A, hiszen ha az els˝o szorz´as elv´egezhet˝o, a m´asodik nem felt´etlen¨ul, r´aad´asul a szorzatok m´erete sem lesz azonos. n × n m´eret˝u m´atrixokra sem igaz a kommutativit´as. Igaz viszont, amit a val´os sz´amokon megszoktunk, hogy a szorz´as disztribut´ıv az ¨osszead´as felett: A(B+C) =A·B+A·C ill.(A+B)C =A·C+B·C. Ha a szorz´asok elv´egezhet˝ok, akkor az asszociativit´as is igaz: A·(B ·C) = (A·B)·C. M´ıg a disztributivit´as k¨ozel trivi´alis, az asszociativit´as bizony´ıt´asa ezen a ponton meglehet˝osen keserves lenne.

A fenti defin´ıci´o azt is megmutatja, hogy egy m´atrixot ´es egy oszlopvektort hogyan szorozhatunk ¨ossze, amennyiben az oszlopvektort egy egyoszlop´u m´atrixnak tekintj¨uk.

2.57. Megjegyz´es M´atrix ´es oszlopvektor ¨osszeszorz´as´ara egy fontos p´elda a line´aris egyenletrendszerek megad´asa. Figyelj¨uk meg, hogy ha adott egy line´aris egyenletrendszer-nek az (A|b) kib˝ov´ıtett egy¨utthat´om´atrixa, akkor ha az ismeretleneket (a m´atrixban meg-adott sorrend szerint egy x= (x₁, x₂, . . . , x_n)^T oszlopvektorba gy˝ujtj¨uk, akkor az Ax= b szorzat pontosan azt ´ırja le, hogy a line´aris egyenletrendszerben minden egyes egyenletnek teljes¨ulnie kell.

A determin´ansok ´es a m´atrixm˝uveletek k¨ozti ¨osszef¨ugg´esre p´elda, hogy ha A egy n×n m´eret˝u m´atrix, akkor |λA|=λⁿ· |A|, hiszen λ·A minden sor´ab´ol kiemelhet˝o a λ a szakasz els˝o t´etel´enek (4) pontja miatt. Jegyezz¨uk meg, hogy a determin´ansnak nincs sok k¨oze a m´atrixok ¨osszead´as´ahoz, ´esnagyon nem igaz, hogy a det(A+B) determin´ans detA+ detB lenne. A szorz´assal viszont ´erdekes kapcsolat ´all fenn.

2.58. T´etel (Determin´ansok szorz´ast´etele:) Ha A, B n×n-es, val´os m´atrixok, ak-kor |A·B|=|A| · |B|.

Koordin´atageometriai sz´am´ıt´asokn´al roppant hasznos lehet a vektori´alis szorzat fo-galma.

2.59. Defin´ıci´o Az (α sz¨oget bez´ar´o) a, b∈R³ vektorok vektori´alis szorzata az az a×b vektor, ami mer˝oleges az a ´es b s´ıkj´ara, azokkal jobbsodr´as´u rendszert alkot, ´es hossza

|a| · |b| ·sinα, azaz az a ´es b ´altal fesz´ıtett paralelogramma ter¨ulete.

2.60. ´All´ıt´as Az a = (a₁, a₂, a₃) ´es b = (b₁, b₂, b₃) vektorok vektori´alis szorzata az

ex ey ez

a1 a2 a3

b1 b2 b3

determin´ans ´ert´eke, ahol e_x, e_y ´es e_z a t´er h´arom koordin´atatengely´enek egys´egvektorai.

Bizony´ıt´as v´azlat. K¨onny˝u ellen˝orizni, hogy a, b ∈ {ex, ey, ez} eset´en igaz az ´all´ıt´as, s˝ot, ez akkor is l´atszik, ha aza´esbvektorok a koordin´atatengelyek egys´egvektorainak konstansszorosai. Figyelj¨uk meg, hogy aza×bvektori´alis szorzatot ´ugy kapjuk, hogy abvektor|a|-szoros´at aza-re mer˝oleges s´ıkra vet´ıtj¨uk,

´es ezt a vet¨uletet a mer˝oleges s´ıkbana

”hegye fel˝ol n´ezve” +90^◦-kal elforgatjuk. Hasonl´o megfontol´assal l´atszik, hogy ugyanezt a szorzatot ´ugy is megkaphatjuk, hogy az a vektor |b|-szeres´et vet´ıtj¨uk a b-re mer˝oleges s´ıkra, ´es ezt a vet¨uletet forgatjuk a mer˝oleges s´ıkon b fel˝ol n´ezve 90^◦-kal. Ebb˝ol az ad´odik, hogy a vektori´alis szorz´as disztribut´ıv az ¨osszead´as felett, azaz a×(b+b⁰) = a×b+a×b⁰ ill., hogy (a+a⁰)×b=a×b+a⁰×bteljes¨ul. Ez´erta×b= (a1ex+a2ey+a3ez)×(b1ex+b2ey+b3ez) =a1ex×b1ex+ a1ex×b2ey+a1ex×b3ez+a2ey×b1ex+a2ey×b2ey+a2ey×b3ez+a3ez×b1ex+a3ez×b2ey+a3ez×b3ez. Az al´abbi levezet´est pedig pl a determin´ansok kifejt´esi t´etele igazolja:

szerint a k´et r´ems´eges kifejez´es jobboldalai megegyeznek, ez´ert a baloldalak is, ami ´epp a bizony´ıtand´o

´

determin´ans adja meg. (2) A vegyes szorzat

fel-´ırhat´o (a, b, c) = (a×b)·c alakban is. (3) A vegyes szorzat ´ert´eke az a, b ´es c vektorok fesz´ıtette paralelepipedon el˝ojeles t´erfogata (ami akkor pozit´ıv, haa, b, cjobbsord´as´u rend-szert alkotnak).

Bizony´ıt´as. (1) Ha a determin´anst az els˝o sor szerint fejtj¨uk ki, akkorai-t ´eppen azzal a determin´anssal kell megszorozni, ami a megfelel˝o egys´egvektor egy¨utthat´oja lenne ab×c=

kisz´am´ıt´asakor. Az ´all´ıt´as a skal´aris szorat defin´ıci´oj´ab´ol ad´odik.

(2) Az im´ent bizony´ıtott (1) ´all´ıt´asb´ol ´es a determin´ansokra vonatkoz´o

azonoss´agb´ol k¨ozvetlen¨ul k¨ovetkezik.

(3) Ab×cvektor hossza a b´esc vektorok fesz´ıtette paralelogramma ter¨ulete. Ebb˝ol ´ugy kapjuk a paralelepipedon t´erfogat´at, hogy ezt megszorozzuk azavektor hossz´aval ´es cosα-val, aholαazavektor

´

es ab´esc vektorok ´altal fesz´ıtett s´ık ´altal bez´art sz¨oget jelenti. Vil´agos, hogy ab×c´esavektor sz¨oge β = ^π₂ ±α, hiszen a vektori´alis szorzat mer˝oleges a b, cs´ıkra. Ez azt mutatja, hogy sinβ = ±cosα, vagyis a vegyesszorzat abszol´ut ´ert´eke csakugyan megegyezik a paralelepipedon ter¨ulet´evel. Az el˝ojellel most nem piszmogunk.

2.63. Megjegyz´es H´arom dimenzi´oban teh´at a determin´ans a sorvektorok fesz´ıtette paralelepipedon el˝ojeles t´erfogat´at adja meg, ´es ezt a vektori´alis szorzat seg´ıts´eg´evel l´attuk be. Magasabb dimenzi´oban azonban nem tudjuk k´et vektor

”´ertelmes” vektori´alis szorzat´at defini´alni. Azonban nem is ez az az ´ut,

ami a determin´ans szeml´eletes jelent´es´ehez vezet. Ha n dimenzi´os t´err˝ol van sz´o, akkor a vektori´alis szorzat mint´aj´ara lehets´eges tetsz˝oleges n−1 vektor

”szorzat´at” defini´alni, ahol ak´arcsak a vektori´alis szorz´asn´al, sz´am´ıt az

”¨osszeszorzott” vektort´enyez˝ok sorrendje. (Valami olyasmir˝ol lenne sz´o, hogyn−1 vektor egy ´u.n. hipers´ıkot fesz´ıt, a szorzat erre mer˝oleges, m´egpedig ´ugy, hogy az n dimenzi´oban ´el˝o alienek sz´am´ara jobbsord´as´u rendszert kapjunk. A szorzatvektor hossza pedig a fesz´ıtettn−1 dimenzi´os paralelepipedon t´erfogata lenne. (Minden valamireval´o uf´okutat´o el˝ott j´ol ismert, hogy azndimenzi´os ˝ ur-l´enyeknek k´et karjuk van ´es mindegyik kez¨uk¨on legal´abbnujjuk, hiszen egy´ebk´ent nem tudn´anak dolgokat szil´ardan megfogni.)) Nos, ezt az ´altal´anos vektori´alis szorz´ast felhaszn´alva be lehet ´eppens´eggel vezetni az n dimenzi´os vegyesszorz´ast, ami nem volna m´as, mint az els˝o

”t´enyez˝o” skal´aris szorzata a tov´abbi t´enyez˝ok vektori´alis szorzat´aval. A fenti lemma ´ertelemszer˝u ´altal´anos´ıt´asa igaz lenne erre a m˝uveletre,

´

es ´ıgy azt kapn´ank, hogy az n×n-es determin´ans a sorvektorok fesz´ıtette sokdimenzi´os paralelelpipedon (szaknyelven paralelot´op) el˝ojeles t´erfogat´at adja meg.