F´ elcsoportok ´ es csoportok

ertelmezve. enumerate

5.1.1. F´ elcsoportok ´ es csoportok

L´attuk, hogy a m˝uveletekre az egyetlen l´enyegi megk¨ot´es, hogy ne vezessenek ki az adott strukt´ur´ab´ol, ´ıgy azt´an az ezekkel kapott algebrai strukt´ur´ak annyira ´altal´anosak, nem is v´arhat´o, hogy j´ol haszn´alhat´o, m´ely t´eteleket kapjunk. C´elszer˝u teh´at tov´abbi megk¨ot´ e-seket tenni a vizsg´alt strukt´ur´akra. Erre a legterm´eszetesebb m´od, hogy a m˝uveletekt˝ol k¨ul¨onb¨oz˝o tulajdons´agokat v´arunk el.

5.12. Defin´ıci´o A H halmazon ´ertelmezett,2-v´altoz´os ?m˝uvelet asszociat´ıv (magyarul

´

atz´ar´ojelezhet˝o), ha tetsz˝olegesx, y, z∈H elemekrex?(y ?z) = (x?y)?z ´all. A?m˝uvelet kommutat´ıv (magyarul felcser´elhet˝o), ha tetsz˝oleges x, y ∈ H elemekre x ? y = y ? x teljes¨ul.

5.13. P´elda 1. A val´os sz´amokon ´ertelmezett + m˝uvelet asszociat´ıv ´es kommutat´ıv, 2. a pozit´ıv sz´amokon ´ertelmezett hatv´anyoz´as nem asszociat´ıv ´es nem kommutat´ıv

(hisz 2⁽²³⁾= 2566= 64 = (2²)³ ill. 2³ = 86= 9 = 3²),

3. az R→ R f¨uggv´enyek kompoz´ıci´oja (azaz egym´asba helyettes´ıt´ese) asszociat´ıv m˝ u-velet, ´am nem kommutat´ıv (hisz [(p◦q)◦r] (x) = p(q(r(x))) = [p◦(q◦r)] (x) de

´

altal´aban(p◦q)(x) = p(q(x))6=q(p(x)) = (q◦p)(x), pl hap(x) = 2x´esq(x) = x+1, akkor (p◦q)(x) = 2(x+ 1) = 2x+ 2 6= 2x+ 1 = (q◦p)(x).

4. m´ıg a val´os sz´amokon ´ertelmezett sz´amtani k¨oz´ep m˝uvelet kommutat´ıv, de nem asszociat´ıv (hisz a?b:= ^a+b₂ = ^b+a₂ =b?a, de pl(0?0)?1 = 0,56= 0,25 = 0?(0?1)).

5.14. Defin´ıci´o Az S = hH, ?i strukt´ura f´elcsoport, ha ? a H-n asszociat´ıv. Ha ? kommutat´ıv is, akkor S Abel f´elcsoport.

5.15. P´elda Azn×n-es m´atrixok a szorz´asra f´elcsoportot alkotnak. Azn×n-es, szimmetrikus m´atrixok e f´elcsoportnak egy Abel r´eszf´elcsoportj´at alkotj´ak.

5.16. Defin´ıci´o Legyen ? k´etv´altoz´os m˝uvelet H-n. Az e ∈ H elem az ? m˝uvelet egy-s´egeleme, ha e ? h=h ? e=h a H tetsz˝oleges h elem´ere.

5.17. Megfigyel´es Ha az S strukt´ura ? m˝uvelet´enek van egys´egeleme, akkor egyetlen egys´egeleme van.

Bizony´ıt´as. Tegy¨uk fel, hogy e, e⁰ ∈H egyar´ant egys´egelemek, ekkore=e ? e⁰ =e⁰ . 5.18. Defin´ıci´o Ha az S = (H, ?) strukt´ur´aban e ∈ H a ? m˝uvelet egys´egeleme, ´es h ? h⁰ = h⁰? h= e, akkor az mondjuk, hogy h⁰ a h inverze a ? m˝uveletre. (Egy´uttal h a h⁰ inverze ?-ra n´ezve.)

5.19. P´elda A hR,{+,·}istrukt´ur´aban az ¨osszead´as egys´egeleme a0, az xelem inverze

−x. A szorz´as egys´egeleme az 1, az x6= 0 elem inverze az ¹_x.

5.20. Defin´ıci´o A S =hG,·i strukt´ura csoport, ha (1) S f´elcsoport, (2) a · m˝uveletnek l´etezik egys´egeleme, ´es (3) mindeng ∈G elemnek l´etezik inverze a · m˝uveletre.

5.21. Megjegyz´es Ha a csoportm˝uveletet · jel¨oli, ´es a csoport megad´asakor ennek el-hagy´asa nem okoz f´elre´ert´est, akkor a fenti csoportot egyszer˝uen G-vel jel¨olj¨uk. Ha nem okoz f´elre´ert´est, akkor a·m˝uveleti jelet a m˝uveletekn´el sem ´ırjuk ki, ´ıgy pl. a ghjelent´ese a g ´es h ¨osszem˝uvel´es´enek (¨osszeszorz´as´anak) eredm´enye, azaz g ·h. A csoportban ezen konvenci´o ´ertelm´eben besz´elhet¨unk hatv´anyoz´asr´ol: egyg elem n-dik hatv´anya nem m´as, mint az elemet n-szer ¨osszeszorozzuk (eg´eszen pontosan ¨osszem˝uvelj¨uk) ¨onmag´aval. A 0-dik hatv´anyt az egys´egelemk´ent defini´aljuk, a (−n)-dik hatv´any pedig a g⁻¹ inverzelem n-dik hatv´anya. A G csoport rendje |G|. A Gcsoport Abel csoport, ha Gcsoportm˝ uve-lete kommutat´ıv.

5.22. P´elda 1. hR,+i,hZ,+i,hR\ {0},·i,hR^n×k,+i Abel csoportok, ahol R^n×k jel¨oli az n ×k m´eret˝u val´os m´atrixokok halmaz´at. Ha Zn jel¨oli a modulo n marad´ ek-oszt´alyok halmaz´at, akkor Zn a +_n-ra (modulo n ¨osszead´asra) csoportot alkot. Az egys´egelem a0 marad´ekoszt´aly. Ennek a csoportnak az elemei nem sz´amok, hanem marad´ekoszt´alyok, azaz v´egtelen sz´amhalmazok. K´et ilyen marad´ekoszt´aly ¨osszege egy ´ujabb marad´ekoszt´aly lesz. Akinek ez szokatlan, az gondoltat a hZn,+i cso-portra ´ugy is, mint h{0,1,2, . . . , n−1},+_ni, ahol az alaphalmazt n sz´am (egy mod n TMR) alkotja, +_n pedig a modulo n ¨osszead´as: ha az alaphalmazb´ol k´et sz´am hagyom´anyos ¨osszege nem szerepel az alaphalmazban, akkor a hagyom´anyos ¨osszeg helyett vessz¨uk az alaphalmazb´ol az ¨osszeggel modulo n kongruens reprezent´anst.

2. A Zn halmazon a modulo n szorz´as is egy asszociat´ıv m˝uvelet, r´a´aad´asul az 1 marad´ekoszt´aly egys´egelem erre a m˝uveletre. De pl. a 0 marad´ekoszt´alynak nincs iverze, ´ıgy a hZn,·i nem csoport, csak egys´egelemes f´elcsoport. Ha azonban Z^∗n

jel¨oli az n-hez pr´ım marad´ekoszt´alyok halmaz´at, akkor bel´athat´o, hogy Z^∗n z´art a szorz´asra, ´es ebben a strukt´ur´aban nemcsak egys´egelem van, de minden elemnek inverze is: azasz´am marad´ekoszt´aly´anak inverze az Euler-Fermat t´etel miatt ´eppen

aza^ϕ(n)−1 sz´am marad´ekoszt´alya lesz. AhZ_n^∗,·iteh´at (Abel) egyϕ(n)rend˝u csoport.

Hasonl´oan az el˝oz˝o p´eld´ahoz, erre a csoportra is gondolhatunk ´ugy, hogy elemei az n-hez relat´ıv pr´ım, n-n´el kisebb pozit´ıv eg´eszek, a m˝uvelet pedig ·_n, azaz a modulo n szorz´as.

3. A legv´aratlanabb helyzetekben bukkanhatnak fel eg´eszen furcsa csoportok. A Nim

¨osszead´ast p´eld´aul ´ugy ´ertelmezz¨uk a nemnegat´ıv eg´eszeken, hogy azokat kettes sz´amrendszerben fel´ırva adjuk ¨ossze, de nem t¨or˝od¨unk az egyes helyi´ert´ekeken ad´ o-d´o marad´ekokkal. M´as sz´oval, a sz´amokat a kettes sz´amrendszerbeli alakjuk szerint 0/1-vektoroknak tekintj¨uk, amelyeket koordin´at´ank´ent ¨osszeXOR-ozunk. Teh´at p´ el-d´aul 19⊕6 = 21, hiszen10011₂XOR00110₂ = 10101₂. K¨onnen l´athat´o, hogy a Nim

¨

osszead´as asszociat´ıv ´es kommutat´ıv, egys´egeleme a 0, ´es minden pozit´ıv eg´esznek van inverze (azaz Nim-ellentettje), m´egpedig ¨onmaga. Tov´abbi ´erdekes tulajdons´ag, hogy tetsz˝olege a, b pozit´ıv eg´eszekre 0≤a⊕b≤a+b teljes¨ul.

Mi´ert ´erdemes j´ol begyakorolni egy ilyen term´eszetellenes m˝uvelet elv´egz´es´et? K´ et-s´egk´ıv¨ul az SzA ill. BSz t´argyakb´ol tanultak legfontosabb alkalmaz´asi ter¨ulet´ehez

´erkezt¨unk. Legt¨obb¨unk ´elet´eben elk¨ovetkezik az a pillanat, amikor r´ab´ızz´ak a hiper-akt´ıv unoka¨occs´et: kezdjen vele valamit, mialatt a sz¨ulei revitaliz´alj´ak a h´azass´ agu-kat. Tapasztaltabbak tudj´ak, hogy ilyenkor a vesztes´eg minimaliz´al´asa a c´el, amit

´

ugy lehet el´erni, ha le tudjuk k¨otni valami sz´am´ara is ´erdekessel a kis gengszterfi´ o-k´at. Ha m´ar ´ıg´ert¨unk neki csokit a K₅ s´ıkbarajzol´as´a´ert ´es eleget pr´ob´alkozott egy vonallal lerajzolni a K5,3-at, akkor ´att´erhet¨unk vele a Nim j´at´ekra, amiben verhe-tetlenek lesz¨unk, ha gyorsan tudunk Nim ¨osszeadni.

A Nim (k´ınaiul csien-sz¨u-dz¨u) j´at´ek teh´at a k¨ovetkez˝o: adott k kupac, amelyek rendre a₁, a₂, . . . , a_k kavicsot tartalmaznak. (Sz´ınes lego kock´aval j´atszva m´eg csak sz´et se kell v´alogatni a kupacokat, az a j´at´ek v´eg´ere automatikusan megt¨ort´enik, ´es k´et legyet ¨ut¨unk egy csap´asra.) K´et j´at´ekos j´atszik, felv´altva l´epnek. Egy l´ep´esben a soron k¨ovetkez˝o j´at´ekos egy neki tetsz˝o kupacb´ol elvesz tetsz˝oleges sz´am´u kavicsot, de legal´abb egyet. Az gy˝oz, aki az utols´o kavicsot veszi el.

K´et kupaccal j´atszva m´eg egy ´ovod´ast is betan´ıthatunk a nyer´esre. Ha ugyanis a k´et kupac m´erete nem egyezik meg, akkor a soron k¨ovetkez˝o j´at´ekos nyer˝o l´ep´ese az, ha a nagyobb kupacb´ol elv´eve k´et egyforma m´eret˝u kupacot k´epez, m´ıg egyforma kupacok eset´en a soron k¨ovetkez˝o nem nyerhet, amennyiben az ellenfele ´ıgy j´atszik. (Ha az unoka¨ocs´enk mag´at´ol r´aj¨on erre, b´atran javasoljuk neki a BME Villanykart.) Nem vil´agos azonban, hogyan is ´erdemes kett˝on´el t¨obb kupac eset´en j´atszani. Hasznos megfigyel´es p´eld´aul, hogy ha van k´et egyforma m´eret˝u kupac, akkor azokat el is felejthetj¨uk, mert ha az ellenf´el az egyikb˝ol vesz el, ´ugy a m´asikon mi is ugyanazt a l´ep´est v´egezz¨uk, ha pedig m´as kupachoz ny´ul, akkor a mi is a marad´ek kupacokon l´ep¨unk.

A titok nyitja, hogy a Nim j´at´ek akkor nyerhet˝o meg bizonyosan, ha a kupacokban

l´ev˝o kavicsok sz´am´anak Nim ¨osszege a₁⊕a₂⊕. . .⊕a_k6= 0. Ekkor (b´ar kor´antsem trivi´alis, de igaz, hogy) valamelyik kupacb´ol el tudunk venni n´eh´any kavicsot ´ugy, hogy kapott kupacok m´eret´enek Nim ¨osszege pontosan0legyen. (A legnagyobb olyan helyi´ert´eket kell n´ezni kettes sz´amrendszerben, ahol p´aratlan sok a_i fel´ır´as´aban ´all egyes, ´es egy olyana_i-hez kell ny´ulni, amiben ezen a helyi´ert´eken egyes ´all.) M´ arpe-dig ha minarpe-dig 0Nim-¨osszeg˝u kupacrendszeren k´enyszer¨ul l´epni az ellenf´el, akkor az

˝

o l´ep´ese ut´an sosem lesz 0 a kupacok Nim ¨osszege. Vagyis mi mindig tudni fogunk l´epni, ´es persze ´ugy, hogy ism´et 0legyen a Nim ¨osszeg. Veszteni teh´at nem tudunk, ez´ert musz´aj nyern¨unk, ha ´ıgy j´atszunk.

Sajnos a fent le´ırt m´odszer nehezen ´altal´anos´ıthat´o: a d¨og¨os n˝ok rendszerint nem esnek hasra a m´egoly meggy˝oz˝o Nim tud´asunkt´ol sem, a legt¨obb f´erfit pedig –valljuk be– frusztr´alja, ha egy n˝o az esz´evel gy˝ozi le ˝ot. Mindenk´epp ´erdemes teh´at valami olyan nem h´etk¨oznapi tev´ekenys´egben is j´artass´agot szerezn¨unk, amivel a rem´elt c´elk¨oz¨ons´eget leny˝ug¨ozhetj¨uk. A sk´ala a ker´ekp´arszerel´est˝ol a t´arsast´ancon ´at a celebek mag´an´elet´enek kulisszatitkai behat´o ismeret´eig terjed, ki-ki egy´eni ´ızl´es´et˝ol f¨ugg˝oen. (Matematikai szempontb´ol term´eszetesen pazarul ´altal´anos´ıthat´o a fenti m´odszer: a Grundy sz´amokra ´erdemes r´aguglizni.)

5.23. Megfigyel´es Ha G csoport, akkorG minden elem´enek egy´ertelm˝u inverze van.

Bizony´ıt´as. Hax´esyag inverzei ´eseaGegys´egeleme, akkorx=xe=x(gy) = (xg)y= ey =y .

A Cayley t´abla seg´ıthet az adott algebrai strukt´ura csoport volt´anak eld¨ont´es´eben.

B´ar az asszociativit´as nem l´atszik k¨ozvetlen¨ul a Cayley t´abl´ab´ol, a kommutativit´as pon-tosan a t´abla (mint m´atrix) szimmetrikus volt´at jelenti. Az egys´egelem l´etez´ese pedig olyan (egym´asnak megfelel˝o) sort ´es oszlopot jelent, amelyekben a pontosan az adott sorhoz ill. oszlophoz tartoz´o alaphalmazelemek szerepelnek. K¨onnyen ellen˝orizhet˝o ezen k´ıv¨ul, hogy a ? m˝uvelet pontosan akkor hat´aroz meg csoportot, ha ? asszociat´ıv ´es a Cayley t´abla minden sor´aban ´es minden oszlop´aban az alaphalmaz elemeinek egy per-mut´aci´oja szerepel. Az ut´obbi felt´etel ´ugy is megfogalmazhat´o (ami a csoportoknak egy m´asik fontos tulajdons´ag´ara mutat r´a), hogy az alaphalmaz tetsz˝olegesa, belemire mind az a ? x=b, mind az x ? a=b egyenletek egy´ertelm˝uen oldhat´ok meg.

5.24. P´elda L´attuk, hogy R Abel csoport az ¨osszead´asra, ´es k¨onnyen l´athat´o, hogy a pozit´ıv val´osak Abel csoportot alkotnak a szorz´asra n´ezve. (Ut´obbi esetben egys´egelem az 1, inverz a reciprok.) ´Erdemes azt is l´atni, hogy ez a k´et csoport l´enyeg´eben ugyanaz: a (mondjuk 2alap´u)log f¨uggv´eny olyan bijekci´ot l´etes´ıt a pozit´ıv ´es a val´os sz´amok k¨oz¨ott, ahol a szorz´asb´ol ¨osszead´as lesz: log(a·b) = log(a) + log(b). Csoportoknak az ilyesfajta azonoss´ag´ar´ol sz´ol az al´abbi defin´ıci´o.

5.25. Defin´ıci´o (1) K´et csoport (mondjukG´es H) izomorf, ha van k¨ozt¨uk m˝uvelettart´o bijekci´o, azaz l´etezik egyφ:G→H bijekci´o, amire tetsz˝olegesg, g⁰ ∈Geset´enφ(g·g⁰) = φ(g)·φ(g⁰) ´all. (Figyelj¨uk meg, hogy a baloldali szorz´as a G, a jobboldali pedig a H m˝uvelete.)

(2) A G csoport H r´eszhalmaza a G r´eszcsoportja (jel¨ol´ese H ≤ G), ha H maga is csoport a G csoportm˝uvelet´ere.

5.26. Megfigyel´es Tetsz˝olegesGcsoport r´eszcsoportjainak metszete isGr´eszcsoportja.

5.27. Defin´ıci´o Tetsz˝oleges K ⊆G ´altal gener´alt hKi csoport a G csoport K-t tartal-maz´o r´eszcsoportjainak metszete.

5.28. Megfigyel´es Ha G csoport, akkor tetsz˝olegesK ⊂G eset´en hKi a G csoport egy r´eszcsoportja.