S´ıkgr´ afok sz´ınez´ ese

L´attuk, hogy a 2-sz´ınezhet˝o gr´afok pontosan a p´aros gr´afok. A 3-sz´ınezhet˝o gr´afok m´ar sokkal bonyolultabb strukt´ur´at alkotnak: mint l´atni fogjuk, annak a felismer´ese, hogy egy adott Ggr´af 3-sz´ınezhet˝o-e (azazGcs´ucsai el˝o´allnak-e 3 f¨uggetlen ponthalmaz uni´ojak´ent), bizony´ıthat´oan neh´ez. ´Erdekes viszont, hogy a 4-sz´ınezhet˝o gr´afok oszt´alya tartalmazza a s´ıkbarajzolhat´o gr´afokat.

3.162. T´etel (4-sz´ın t´etel) Minden egyszer˝u, s´ıkbarajzolhat´o gr´af 4-sz´ınezhet˝o.

T¨ort´enelem: A4-sz´ın t´etel

S´ıkbarajzolt gr´afok sz´ınez´ese legterm´eszetesebben a t´erk´epsz´ınez´es kapcs´an mer¨ul fel: egy politikai t´erk´epen szeretn´enk az orsz´agokat ´ugy kisz´ınezni, hogy szomsz´edos orsz´agok sz´ıne k¨ul¨onb¨ozz´ek. M´as sz´oval, egy s´ıkbarajzolt gr´af tartom´anyait kell sz´ınezn¨unk, ami ekviva-lens az adott gr´af du´alis´anak sz´ınez´es´evel.

(Egy´ebk´ent a politikai t´erk´epek nem sz¨uks´egk´eppen 4-sz´ınezhet˝ok, hisz pl. Kalinyingr´adot is az Oroszorsz´aghoz haszn´alt sz´ınnel kell festeni. Ha ezt j´ol meg´ertett¨uk, akkor nem meglep˝o az az ´all´ıt´as sem, hogy tetsz˝oleges k-hoz l´etezik olyan politikai t´erk´ep, ami nem sz´ınezhet˝o kiksz´ınnel. Szorgalmi h´azi feladat: keress¨unk tov´abbi p´eld´akat nem ¨osszef¨ugg˝o orsz´agokra, tengerrel val´o elv´alasztotts´ag nem sz´am´ıt.)

A 4-sz´ın t´etelt el˝osz¨or Francis Guthrie sejtette meg 1852-ben: megfigyelte, hogy Anglia megy´ei ´ugy 4-sz´ınezhet˝ok, hogy szomsz´edos megy´ek k¨ul¨onb¨oz˝o sz´ınt kapnak. T¨obbsz¨or¨os

´

att´etellel ´ertes¨ult err˝ol Cayley, aki nem tal´alt bizony´ıt´ast, ez´ert 1878-ban publik´alta a sej-t´est. 1879-ben Kempe k¨oz¨olt egy bizony´ıt´ast, melyet Tait bizony´ıt´asa k¨ovetett 1880-ban.

1890-ben Heawood hib´at tal´alt Kempe bizony´ıt´as´aban, 1891-ben pedig Petersen a Tait-f´el´eben. A hib´ak egyik´et sem siker¨ult az´ota sem kijav´ıtani. Sokak hossz´u, eredm´enytelen

pr´ob´alkoz´asai ut´an Appel ´es Haken 1976-ban jelentett´ek be, hogy igazolt´ak a t´etelt. M´ od-szer¨ukkel az ´all´ıt´as egy hihetetlen¨ul bonyolult, szerte´agaz´o esetvizsg´alatra vezetett, amit sz´am´ıt´og´eppel v´egeztek el. Mivel a bizony´ıt´as helyess´eg´enek ellen˝orz´ese elk´epzelhetetlen sz´am´ıt´og´ep n´elk¨ul, felmer¨ult az a metamatematikai probl´ema, hogy mi tekinthet˝o teljes

´

ert´ek˝u bizony´ıt´asnak: mennyire lehet¨unk biztosak abban, hogy a sz´am´ıt´og´ep programja val´oban azt v´egzi el, amit arr´ol felt´etelez¨unk. A t¨ort´enet k¨ovetkez˝o allom´as´ahoz 1996-ban

´

erkezett, amikoris Robertson, Sanders, Seymour ´es Thomas tal´alt egy, az Appel-Haken-f´el´en´el j´oval egyszer˝ubb bizony´ıt´ast, mely arra vezet, hogy 633 kis gr´af ´u.n. reduk´ alha-t´os´ag´at kell ellen˝orizni. Term´eszetesen Robertson´ek is sz´am´ıt´og´eppel v´egeztett´ek ezt el, ez´ert tov´abbra sem lehet¨unk abszol´ut bizonyosak afel˝ol, hogy a bizony´ıt´as korrekt. Sajnos ezen ma sem tud senki seg´ıteni. T¨ort´ent az´ert m´eg valami, ami eml´ıt´est ´erdemel. Ha nincs ember, aki ellen˝orizhetn´e a bizony´ıt´ast, mi´ert ne tehetn´e meg azt a g´ep? L´eteznek ugyanis mechanikus bizony´ıt´asellen˝orz˝o programok, ezek egyike az ´u.n. coq. 2004-ben Georges Gonthier ´at´ırta Robertson ´es t´arsai bizony´ıt´as´at a bizony´ıt´asellen˝orz˝o ´altal ´ertelmezhet˝o form´alis nyelvre, ´es ellen˝oriztette azt. A munka egy´altal´an nem volt trivi´alis, ´es b´ar a teszt sikeres volt (´ugyhogy mostanra azt´an tov´abb cs¨okkentek a k´etelyek, ha voltak m´eg egy´ alta-l´an), de nem ez a l´enyeg. Az eredm´eny jelent˝os´ege abban rejlik, hogy a bizony´ıt´asok egyre komplexebb´e v´al´as´aval a levezet´esek ellen˝orz´es´et nem tudjuk mindig mi magunk elv´ egez-ni. Elj¨ohet –egyesek szerint k¨ozel van m´ar– az id˝o, amikor egy-egy bizony´ıt´as ellen˝orz´ese jelent˝osen nehezebb lesz, mint mag´anak a bizony´ıt´asnak a megtal´al´asa. De ´ugy t˝unik, van rem´eny, ´es nem fog emiatt meg´allni a tudom´any: lehet˝os´eg lesz az ellen˝orz´es g´epes´ıt´es´ere, hisz a ma ismert bizony´ıt´asok egyik legkomplexebbike eset´eben ez sikerrel megt¨ort´ent.

De t´erj¨unk vissza a pr´of´eci´akt´ol az eredeti 4-sz´ın t´etelre adott hib´as bizony´ıt´ashoz. Kempe 11 ´evig megt´evesztette a vil´agot, ami sz´ep teljes´ıtm´eny, m´eg ha nem is sz´and´ekos. A hiba megtal´al´asa ut´an azonban a bizony´ıt´as menthetetlennek t˝unt. Az ott haszn´alt m´odszer azonban annyib´ol nem haszontalan, hogy alkalmas egy gyeng´ebb, ´am nemtrivi´alis eredm´eny igazol´as´asra.

3.163. T´etel (5-sz´ın t´etel) Minden egyszer˝u, s´ıkbarajzolhat´oGgr´af5-sz´ınezhet˝o, azaz χ(G)≤5.

Bizony´ıt´as. Legfeljebb 3 pont´u gr´afokra a t´etel trivi´alisan igaz. Nagyobb gr´afokra pont-sz´am szerinti indukci´oval bizony´ıtunk: tegy¨uk fel, hogy a legfeljebb (n−1) pont´u gr´afokra a t´etel igaz. Legyen G egy n pont´u (n > 3), egyszer˝u, s´ıkbarajzolhat´o gr´af. Tudjuk, hogy G´elsz´ama legfeljebb 3n−6, azaz Gpontjainak foksz´am¨osszege legfeljebb 6n−12.

Van teh´atG-nek egy legfeljebb 5-¨odfok´uv cs´ucsa.

Mivel G − v is egyszer˝u ´es s´ıkbarajzolhat´o, ez´ert az indukci´os feltev´es miatt 5-sz´ınezhet˝o. Ha teh´at v szomsz´edai legfeljebb 4 sz´ınt kapnak e sz´ınez´esben, akkor v megkaphatja az ¨ot¨odik sz´ınt. Ez akkor nem m˝uk¨odik, ha d(v) = 5 ´es mind az ¨ot szom-sz´ed k¨ul¨onb¨oz˝o sz´ın˝u. (Ha csak a 6-sz´ınt´etelt szeretn´enk igazolni, akkor ez sem okozna probl´em´at, ´es a bizony´ıt´ast itt be is fejezhetn´enk.) (Ld. az ´abr´at.) Tekints¨uk az 1-es ´es 3-as sz´ınek ´altal fesz´ıtett G₁₃ r´eszgr´afot (G−v)-ben. Ha a v cs´ucs 1-es ill. 3-as sz´ın˝u szomsz´edai G₁₃ k¨ul¨onb¨oz˝o komponenseibe esnek, akkor pl. az 1-es szomsz´ed komponen-s´eben felcser´elve az 1-es ´es 3-as sz´ıneket, aG−v olyan 5-sz´ınez´es´et kapjuk, amibenv-nek nincs 1-es sz´ın˝u szomsz´edja. Ekkor v 1-es sz´ınre sz´ınezhet˝o.

4 v

3 2 1 5

Ellenkez˝o esetben van v 1-es ´es 3-as sz´ın˝u szomsz´edja k¨oz¨ott egy olyan ´ut, ami csak 1-es ´es 3-as sz´ın˝u cs´ucsokat haszn´al. A s´ıkbrarajzolts´ag miatt biztos nincs v 2-es ´es 4-es sz´ın˝u szomsz´edja k¨oz¨ott olyan ´ut (G−v)-ben, ami csak 2-es ´es 4-es sz´ın˝u cs´ucsokat hasz-n´al, vagyis aG₁₃-hoz hasonl´oan defini´altG₂₄gr´afban az eml´ıtett k´et szomsz´ed k¨ul¨onb¨oz˝o komponensekben van. A 2-es sz´ın˝u szomsz´ed komponens´eben felcser´elve a 2-es ´es 4-es sz´ınt G−v olyan 5-sz´ınez´es´et kapjuk, amibenv szomsz´edai k¨oz¨ott nem fordul el˝o a 2-es sz´ın. A v cs´ucs teh´at megkaphatja a 2-es sz´ınt.

3.164. Megjegyz´es Erdemes meggondolni, Kempe mit n´´ ezett el, azaz, hogy a fenti bizony´ıt´as mi´ert is nem m˝uk¨odik4 sz´ınre.

Mutatunk az 5-sz´ınt´etelre egy m´asikm, a fentit˝ol l´enyegesen k¨ul¨onb¨oz˝o bizony´ıt´ast is, amelyben szerepl˝o ¨otlet m´askor is hasznos lehet.

A 3.163. T´etel ´ujabb bizony´ıt´asa. Az el˝oz˝o bizony´ıt´as els˝o bekezd´es´eben le´ırtak szerint j´arunk el. Van teh´at egy legfeljebb 5-¨odfok´u v cs´ucsunk. Ha d(v) ≤ 4, akkor G−v s´ıkbarajzolhat´o l´ev´en az indukci´o szerint 5-sz´ınezhet˝o, ´es ebben a sz´ınez´esben v´alaszthat´o v-nek olyan sz´ın a lehets´eges 5-b˝ol, amit nem haszn´altunk a legfeljebb 4 szomsz´edja egyik´ehez sem.

V´eg¨ul ha d(v) = 5, akkor v-nek van k´et egym´assal nem szomsz´edos szomsz´edja, mondjuk u ´es w, hisz ellenkez˝o esetben lenne G-nek K₆-tal izomorf r´eszgr´afja, amir˝ol m´ar l´attuk, hogy nem lehets´eges. H´uzzuk ¨ossze az uv ´es vw ´eleket. Az ´ıgy keletkez˝o G⁰ gr´af s´ıkbarajzolhat´o lesz, ´ıgy az indukci´o miatt 5 sz´ınnel sz´ınezhet˝o. Legyen az u, v, w cs´ucsoknak megfelel˝o G⁰ cs´ucs sz´ıne piros. Ha most G cs´ucsait a G⁰ sz´ınez´ese szerint sz´ınezz¨uk, tov´abb´a azu´esw cs´ucsnak piros sz´ınt adunk, akkorv ¨ot szomsz´edja ¨osszesen 4 f´ele sz´ınt kap, teh´at a rendelkez´esre ´all´o 5 sz´ın k¨oz¨ulv-nek is v´alaszthatunk alkalmasat.

Ez´altal Gcs´ucsait siker¨ult 5 sz´ınnel sz´ınezni, az indukci´os l´ep´est igazoltuk, a bizony´ıt´ast befejezt¨uk.

3.165. Megjegyz´es A fenti bizony´ıt´as nemcsak s´ıkbarajzolhat´o gr´afokra m˝uk¨odik. Mind¨ossze annyit haszn´alG-r˝ol, hogyGnem tartalmazK6-minort (azazG-b˝ol cs´ucsok elhagy´as´aval ´es ´elek ¨osszeh´uz´as´aval nem kaphat´o K6, tov´abb´a, hogy G b´armely fesz´ıtett r´eszgr´afj´anak kevesebb mint 3-szor annyi ´ele van mint a cs´ucsainak sz´ama.