A numerikus módszerek egy nagy csoportja ún. iterációs módszer. Ez azt jelenti, hogy a feladat megoldása egy rekurzív eljárással el®állított sorozat határértéke lesz. A megoldást úgy közelítjük, hogy az iteráció segítségével el®állítjuk a sorozat egy megfelel®en nagy sorszámú elemét. Hogy hányadik elemet kell el®állítanunk, az azon múlik, hogy a sorozat milyen "gyorsan" konvergál a határértékéhez. Nyilvánvalóan egy gyorsan konvergáló sorozat sokkal kedvez®bb a számunkra, mint egy lassan konvergáló. Most megvizsgáljuk, hogy hogyan jellemezhet® egy sorozat konver-genciasebessége.
Az1.3.1.táblázat két√
2-höz tartó sorozat els® 15 elemét tartalmazza 14 ill. 49 tizedesjegyre kerekítve. Mindkét sorozatot egy-egy iterációs eljárással állítottuk el®. Látható, hogy a második sorozat sokkal "gyorsabban" konvergál. A hetedik elemt®l kezdve nem is látszik változás, pedig 49 tizedesjegyre kerekítettünk. Az els® sorozat pedig még a 15. lépés után is három ezrednyire van a határértékt®l. A sorozatok elemeinek határértékt®l való távolságát az1.3.1.ábrán ábrázoltuk.
Jelöljük egy adott konvergens sorozat elemeit x(k)-val, és határértékét x?-gal. Jelölje e(k) :=
x(k)−x? (k = 0,1, . . .) a k-adik sorozatelem hibáját. Vizsgáljuk meg, hogy a fent vizsgált két sorozat esetében egy lépés során hogyan változik ez a hiba.
Az
ln|e(k)| ln|e(k−1)|
értéket (hae(k−1)6= 0,1) ak.lépéshez tartozó logaritmikus relatív csökkenésnek nevezzük. Mivel a határérték közelében a hibaértékek abszolútértékben kicsi számok, így az a hibasorozat csökken
gyorsabban, amelyre ez a hányados nagyobb. Az1.3.2.ábrán a vizsgált két sorozatra ábrázoltuk a logaritmikus relatív csökkenést.
Az els® sorozat esetén a logaritmikus relatív csökkenés 1 közelében van, míg a másodiknál 2 közelében. Ezek a számok tehát alkalmasak lehetnek a konvergencia jellemzésére.
Most vizsgáljuk meg általánosan a konvergenciasebesség kérdését normált térbeli sorozatok-ra! Vizsgáljunk olyan sorozatokat, melyek monoton módon tartanak a határértékhez (azaz egyik lépésben sem növekedhet a hiba abszolút értéke), és egyik sorozatelem sem egyezik meg a határ-értékkel (a fenti két példában ilyen sorozatokat mutattunk, és a gyakorlatban is tipikusan ilyen sorozatokat adnak az iterációs eljárások)!
Legyen tehát{x(k)}egy tetsz®leges normált térbeli,x?-hoz monoton módon tartó konvergens sorozat. Ak. sorozatelem hibáját jelölje e(k) :=x(k)−x? (a monotonitás miatt tehátke(k)k ≤ ke(k−1)k).
1.3.1. ábra. A vizsgált két sorozat elemeinek a határértékt®l való távolsága.
1.3.2. ábra. A vizsgált két sorozat hibájának logaritmikus relatív csökkenése.
1.3. Sorozatok és függvények konvergenciájának jellemzése 35
1.3.1. deníció.
Azt mondjuk, hogy az {x(k)} x?-hoz monoton módon konvergáló sorozat konvergenciarendje pontosanp≥1, ha a
k→∞lim
lnke(k)k lnke(k−1)k véges határérték létezik és értéke p.
1.3.2. megjegyzés. A fenti deníció alapján mondhatjuk, hogy a bevezet® feladatban az els®
sorozat els®rendben, a második másodrendben konvergens.
Hap= 1, akkor lineáris konvergenciáról, ha1< p <2, akkor szuperlineáris konvergenciáról, p= 2esetén pedig másodrend¶ konvergenciáról beszélünk.
Hogyan lehet a konvergenciarendet meghatározni? Vizsgáljunk meg két speciális esetet!
1.3.3. tétel.
Ha egy{xk} sorozatra és egyx? elemre az igaz, hogy ke(k)k=Ckke(k−1)k
valamilyen 0< C≤Ck ≤C <1 konstansokkal, akkorxk →x? monoton módon és els®rend-ben.
Bizonyítás. Az ke(k)k = Ckke(k−1)k ≤ Cke(k−1)k becslés miatt ke(k)k ≤ Ckke(0)k. Mivel C <1, ezekb®l következik, hogy a sorozat monoton módon fog azx?elemhez tartani. Azke(k)k= Ckke(k−1)kegyenl®ség logaritmusát véve, majd osztva azlnke(k−1)k<0értékkel (feltéve, hogyk elég nagy ahhoz, hogy a hiba már kisebb legyen, mint 1), azt kapjuk, hogy a logaritmikus relatív csökkenés
lnke(k)k
lnke(k−1)k = lnCk
lnke(k−1)k+ 1→1
a Ck konstansokra vonatkozó0< C ≤Ck ≤C <1feltétel miatt és amiatt, mertlnke(k−1)k →
−∞. Azaz a konvergenciarend valóban 1.
1.3.4. megjegyzés. Azke(k)k ≤Cke(k−1)kbecslésb®l az is látszik, hogyM ≈ −ln 10/lnC lépés-szám után csökken egy nagyságrendet a sorozat elemeinek határértékt®l mért távolsága, hiszen CM = 1/10. Ez a gyakorlatban azt jelenti, hogy ha pl. C = 1/2, akkorM =−ln 10/ln(1/2)≈ 3.3219, azaz kicsivel több, mint három lépésenként számíthatunk egy nagyságrendnyi hibacsök-kenésre.
1.3.5. tétel.
Ha egy{x(k)}sorozatra és egy x? elemre az igaz, hogy
ke(k)k=Ckke(k−1)kp (1.3.1)
valamilyen 0 < C ≤ Ck ≤ C < ∞ és p > 1 konstansokkal, és C1/(p−1)ke(0)k < 1, akkor xk→x? monoton módon, és a sorozat konvergenciarendjep.
Bizonyítás. Vezessük be az ε(k)=C1/(p−1)e(k)jelölést. Ezzel a jelöléssel
kε(k)k=C1/(p−1)ke(k)k ≤C1/(p−1)Cke(k−1)kp= (C1/(p−1)ke(k−1)k)p=kε(k−1)kp. Tehát
kε(k)k ≤ kε(k−1)kp, (1.3.2) azaz
kε(k)k ≤ kε(0)kpk.
Azkε(0)k=C1/(p−1)ke(0)k<1 feltétel miatt a fenti egyenl®ségb®l következik, hogy kε(k)k →0 (k→ ∞) monoton módon. Mivel
e(k)= ε(k) C1/(p−1)
,
ezértke(k)k →0, azaz a sorozat valóbanx?-hoz tart monoton módon.
A konvergenciarend igazolásához vegyük az (1.3.1) egyenl®ség logaritmusát, majd osszunk lnke(k−1)k-val. Ekkor
lnke(k)k
lnke(k−1)k = lnCk
lnke(k−1)k+p→p,
mivel0< C ≤Ck ≤Cmindenk= 0,1, . . .esetén éslnke(k−1)k → −∞, hak→ ∞. Ezt akartuk megmutatni.
1.3.6. megjegyzés. Az (1.3.2) becslésb®l látható, hogy a közelítés pontosságának nagyságrend-je minden lépésben kb. p-szerez®dik. Pl. ha p = 2 és egy adott közelítés hibája 10−3, akkor a következ® közelítésé már kb. 10−6-os, a rákövetkez®é pedig kb. 10−12-es lesz. Ez a lineáris konvergenciával összevetve nagyon gyors konvergenciát jelent.
1.3.7. megjegyzés. Könnyen látható, hogy az1.3.5.tételben szerepl®C1/(p−1)ke(0)k<1feltétel azt jelenti, hogy az (1.3.1) egyenl®ségb®l csak akkor következik a konvergencia, ha a sorozat nulladik eleme elegend®en közel van a határértékhez. Az els®rend¶ konvergenciához az 1.3.3.
tételben nem kellett ezt a feltételt garantálni.
1.3.2. Függvények konvergenciavizsgálata
Térjünk át a függvények konvergenciavizsgálatára. Numerikus szempontból azok a valós-valós nemnegatív függvények érdekesek, melyek nullában nullához ill. végtelenben végtelenhez tartanak.
Most ezek jellemzésével fogunk foglalkozni.
Jelentsenα0-t vagy∞-t. Tegyük fel, hogyg:R→Résf :R→Rolyan függvények, melyek értelmezési tartományai metszetének αtorlódási pontja, és mindkét függvényα-hoz tart α-ban.
A két függvény konvergenciájának kapcsolatát fejezi ki az alább deniált ordó6jelölés.
6Az ordó jelölés Edmund Landau (Edmund Georg Hermann Landau (1877 Berlin 1938) német matematikus nevéhez f¶z®dik. B®vebb életrajz:http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Landau.html
1.3. Sorozatok és függvények konvergenciájának jellemzése 37
1.3.8. deníció.
Ha azt írjuk, hogyg(x) =O(f(x)) (x→α)(ejtsd: "ordó ef"), akkor ezen ag ésf függvények alábbi viszonyát értjük: Vannak olyanε >0ésC >0konstansok, mellyekkel|g(x)| ≤C|f(x)|
minden olyan közös értelmezési tartománybeli elemre, melyekα εsugarú környezetébe esnek.
A nulla ε sugarú környezetén a szokott módon a (−ε, ε) intervallumot, a végtelen ε sugarú környezetén az(1/ε,∞)intervallumot értjük.
Ha a szövegösszefüggésb®l világos, hogy melyαpontban nézzük a határértéket, akkor ennek jelölését el szoktuk hagyni.
A deníció alapján írhatjuk a g(x) = 2x2−4x+ 2 függvény esetén, hogy g(x) = O(x2) (x → ∞), hiszen C = 2 és ε = 1 megfelel® választás. Természetesen g(x) = O(x3) is igaz, de a gyakorlatban törekszünk a legkisebb lehetséges hatványkitev® megadására. Nyilvánvalóan g(x)6=O(x).
A g(x) = 4x−2x2 függvényr®l írhatjuk, hogy g(x) = O(x) (x → 0), hiszen C = 4 és ε= 1 megfelel® választás. Ha−1< x <1, akkor 4x−2x2≤4x. Nyilvánvalóan g(x) = O(1) is igaz, de a gyakorlatban törekszünk a legnagyobb lehetségesx-hatvány megadására. Nyilvánvalóan g(x)6=O(x2)
1.3.9. példa. Az ordó jelölés alkalmazására további példaként tekintsük azexexponenciális függvény Taylor-sorfejtéssel való közelítését az x0 = 0 pontban. Ha a másodrend¶ Taylor-polinommal közelítünk, akkor
ex= 1 +x+x2 2! +eξ
3!x3,
ahol az utolsó ún. Lagrange-féle maradéktagban ξ megfelel® x és 0 közé es® (x-t®l függ®) konstans. Mivel
eξ 3!x3≤ e
3!x3,
ha0≤x≤1, ezért a maradéktag helyett írhatjuk, hogyO(x3). Tehát a Taylor-polinommal való közelítés
ex= 1 +x+x2
2! +O(x3)
alakú lesz. Hasonló felírás minden olyan esetben megtehet®, amikor a Lagrange-féle mara-déktagban szerepl® derivált korlátos a nulla egy környezetében.
Az ordó jelölést gyakran alkalmazzuk olyan esetekben, amikor egy közelítés hibáját adjuk meg egy paraméter függvényében.
1.3.10. deníció.
Azt mondjuk, hogy a v(h) h pozitív valós paramétert®l függ® közelítése egy v ∈ (V,k · k) elemnek (legalább) r≥1-edrend¶ közelítés, hakv(h)−vk=O(hr) (h→0).
Az fenti denícióból és az ordó jelölés deníciójából következik, hogy hakv(h)−vk=O(hr), akkor van olyanK >0konstans, hogykv(h)−vk ≤Khrminden elegend®en kis abszolútérték¶
hparaméterre. A denícióból az is következik, hogy ha v(h)legalább els®rend¶ közelítés, akkor limh→0v(h) =v, másrészt ha pl. felezzük ahparaméter értékét, akkor kb.2r-ed részére csökken akv(h)−vkhiba.
1.3.11. példa. Közelítsük egy kétszer folytonosan dierenciálható függvény esetén a derivált értékét egyx0 pontban az
f(x0+h)−f(x0) h
hányadossal. A Taylor-tétel miatt
f(x0+h) =f(x0) +hf0(x0) +h2 2 f00(ξ) alakban írható, aholξmegfelel®x0 ésx0+hközé es® konstans. Tehát
f(x0+h)−f(x0)
h = f(x0) +hf0(x0) +h2f00(ξ)/2−f(x0)
h =f0(x0) +hf00(ξ)/2.
Figyelembe véve, hogyf kétszer folytonosan dierenciálható, azazf00véges, zárt intervallu-mon korlátos, az ordó jelölést használva írhatjuk, hogy
f(x0+h)−f(x0)
h =f0(x0) +O(h).
Tehát az adott hányados els®rend¶ közelítése az els® deriváltnak azx0pontban.
A deníció alapján annak igazolásához, hogy egy közelítés r-edrend¶ elég megmutatnunk, hogykv(h)−vk=O(hr). Gyakran azonban pontosan is ismerjük azO(hr)hibatagot (az1.3.11.
példában pl.hf00(ξ)/2), ami lehet®séget ad magasabbrend¶ közelítések megadására. Ezt az eljá-rást Richardson-extrapolációnak nevezzük. Általánosan a Richardson-extrapoláció az alábbi mó-don m¶ködik. Tegyük fel, hogyv(h)v-nekp-edrend¶ közelítése, és a hibát felírhatjukv(h)−v= g(h)hr alakban, aholg : R→(V,k · k) h-nak folytonosan dierenciálható függvénye. Ekkor, ha h/2értékkel is kiszámítjuk a közelítést, akkorv(h/2)−v=g(h/2)hr/2radódik. A két közelítést ezek után a
2rv(h/2)−v(h)
2r−1 =v+ (g(h/2)−g(h)) hr 2r−1
=v−g(h/2)−g(h)
−h/2
hr+1
2(2r−1) =v+O(hp+1)
(1.3.3)
módon súlyozva eggyel magasabbrend¶ közelítését kapjuk av elemnek.
1.3.12. példa. Tekintsük az el®z® példánkat, melyben a deriváltat az f(x0+h)−f(x0)
h =f0(x0) +O(h)
módon közelítettük. Ez a felírás természetesen mutatja az els®rend¶ konvergenciát, de amint láttuk, azO(h)-val jelölt hiba értéke pontosan is ismert, nevezetesen a hibahf00(ξ)/2, azaz
f(x0+h)−f(x0)
h =f0(x0) +hf00(ξ)/2. (1.3.4) Írjuk fel ezt a közelítést felezve ahparamétert
f(x0+h/2)−f(x0)
h/2 =f0(x0) +hf00( ˜ξ)/4, (1.3.5)