A sajátértékeket egyenként közelít® eljárások

A numerikus matematikában a sajátérték-meghatározási módszereket két nagy csoportra szokás osztani. A sajátértékeket egyenként közelít® eljárásokra ill. a sajátértékeket egyszerre közelít®kre.

Az els® típusba tartozó módszerek mindig csak egy-egy megfelel® sajátértéket közelítenek, míg a második típusba tartozók olyan eljárást adnak, mellyel egyszerre az összes sajátértékre kapunk közelítést. Ebben a fejezetben a sajátértékeket egyenként közelít® módszereket tárgyaljuk.

A sajátértékeket egyenként közelít® eljárások egy olyan vektorsorozatot állítanak el®, amely egy meghatározott sajátvektorhoz tart. A sajátvektort ekkor ezen sorozat egy határértékhez elegend®en közeli elemével közelíthetjük. Miel®tt rátérünk arra, hogy hogyan lehet egy adott sajátvektorhoz tartozó sorozatot el®állítani, nézzük meg, hogy hogyan mondhatunk megfelel®

becslést a sajátértékre, ha ismerjük a sajátvektor egy becslését? Az els® gondolatunk az lehet, hogy ha van egy v közelítésünk a sajátvektorra, akkor az Aˆ vˆ ≈λˆv becslés soraiból kaphatunk közelítést a sajátértékre. Vizsgáljuk meg ezt a módszert egy példa segítségével!

4.2.1. példa. Legyen A a 3 × 3-as Hilbert-mátrix, és tegyük fel, hogy vˆ^T = [0.82694986,0.45995562,0.32341112]egyik sajátvektorának közelítését adja. Adjunk becslést az adott sajátvektorhoz tartozó sajátértékre. Mivel



4.2. A sajátértékeket egyenként közelít® eljárások 113

a fenti közelítés mindhárom sorából kaphatunk közelítést a sajátértékre. Ezek rendre λ1 = 1.40846675, λ2 = 1.40806247, λ3 = 1.40787084, vagy vehetjük ezek átlagát, ami λ4 = 1.40813335 értéket ad. Ez utóbbi érték 1.85576699.10⁻⁴-nel tér csak el a pontos sa-játértékt®l (λ= 1.40831893).

Adhatunk-e az el®z® példában nyert értéknél jobb közelítést a sajátértékre? Pl. az Avˆ ≈λˆv egyenl®séget balrólvˆ^T-tal szorozva, majdλ-t kifejezve kapjuk, hogyλ≈vˆ^TAˆv/(ˆv^Tvˆ). Vizsgáljuk meg ezt a közelítést az el®z® példán.

4.2.2. példa. A fenti példában adott sajátvektor-közelítéssel kiszámítva aλ≈vˆ^TAvˆ/(ˆv^Tˆv) hányadost λ = 1.40831889 adódik. Ennek a pontos sajátértékt®l való eltérése csak 3.87698300.10⁻⁸, amely sokkal kisebb, mint az el®z® példában nyert közelít® érték.

Látható tehát, hogy ez a második közelítés sokkal pontosabb, mint az els®. Ennek okát az alábbi tétel világítja meg.

4.2.3. tétel.

Legyen adva az 06=x∈Rⁿ vektor és az A∈R^n×n mátrix. Ekkor minα∈R

kAx−αxk²₂=kAx−R(x)xk²₂, ahol

R(x) =x^TAx x^Tx .

Bizonyítás. A bal oldalon egyα-tól függ® egyváltozós függvény áll. Számítsuk ki ennek értékét!

kAx−αxk²₂= (x^TA^T −αx^T)(Ax−αx) =x^TA^TAx−2αx^TAx+α²x^Tx

=α²x^Tx−2αx^TAx+x^TA^TAx. Mivel x^Tx>0, ha x6=0, ezért a függvény a minimumát az

αmin=x^TAx

x^Tx =R(x) esetben veszi fel.

4.2.4. deníció.

Legyen 06=x∈Rⁿ és A∈R^n×n. Ekkor az

R(x) =x^TAx x^Tx

számot az x vektorhoz tartozó Rayleigh-hányadosnak hívjuk.

A tétel szerint tehát 2-es normában egy vektor Rayleigh-hányados-szorosa lesz legközelebb x számszorosai közül az Ax vektorhoz.

4.2.5. megjegyzés. Szimmetrikus mátrixok esetén a Rayleigh-hányados mindig a legkisebb és a legnagyobb sajátérték között helyezkedik el, azaz

λmin≤R(x)≤λmax, továbbá

λ_max= max

06=x∈RⁿR(x), λ_min= min

06=x∈RⁿR(x).

Ez utóbbi állítás az ún. CourantFischer-tétel.

Az el®z®ek alapján tehát, ha van egy közelítésünk a sajátvektorra, akkor a Rayleigh-hányados segítségével kaphatunk jó becslést a sajátvektorhoz tartozó sajátértékre. Ha x normája 1, akkor a Rayleigh-hányados azR(x) =x^TAx alakra egyszer¶södik.

4.2.1. A hatványmódszer

A hatványmódszer alapötlete a következ®. Legyen A ∈ R^n×n egy adott mátrix, és tegyük fel, hogy a mátrixnak van egy egyszeresen domináns λ₁ sajátértéke, azaz egy olyan λ₁ sajátérték, mellyel a többi (λ₂, . . . , λ_n) sajátértékre igaz a

|λ1|>|λ2| ≥. . .|λn|

egyenl®tlenség. Ebben az esetben nyilvánλ₁∈R, továbbá a hozzá tartozó v1sajátvektor valósnak választható. Tegyük fel, hogy az A mátrix normális. Ekkor a mátrixnak van ortonormált sajátvek-torrendszere. Legyen ez v1, . . . ,vn. Legyen x∈Rⁿolyan, hogy az x=α₁v1+α₂v2+· · ·+α_nvn

el®állításbanα₁=v^T1x6= 0(α₁∈R). Ekkor

A^kx=α₁λ^k₁v1+α₂λ^k₂v2+· · ·+α_nλ^k_nvn

=λ^k₁









α₁v1+α₂ λ2

λ1

^k v2

| {z }

→0

+· · ·+α_n λn

λ1

^k vn

| {z }

→0







 .

A jelölt tagokknövelésével nullához tartanak, ami azt jelenti, hogy az A^kx vektorknövelésével egyre inkább a v1 sajátvektor által meghatározott sajátirányba fog mutatni. Ha a domináns sajátérték nem±1, akkor az így nyert vektorok hossza vagy nullához, vagy végtelenhez fog tartani, így alul- vagy felülcsordulás léphet fel amikor számítógépen hajtjuk végre az iterációt. Emiatt az egyes lépések után a keletkez® vektort célszer¶ normálni. Így jutunk el a hatványmódszerhez, melynek algoritmusa a következ®.

Hatványmódszer, A normális, y⁽⁰⁾ olyan kezd®vektor, melyre v^T1y⁽⁰⁾6= 0,ky⁽⁰⁾k₂= 1 fork:= 1 :kmax do

x^(k):=Ay^(k−1) y^(k):=x^(k)/kx^(k)k2

ν^(k):= (y^(k))^TAy^(k) end for

A ν^(k) értékek a Rayleigh-hányadossal számított sajátérték közelítések. Ezen értékeket, azon túl, hogy közelítik a v1vektorhoz tartozó sajátértéket, felhasználhatjuk a leállási feltétel megadá-sára is. Pl. ha értéke már egy adott toleranciaszintnél kevesebbet változik, akkor leállíthatjuk az

4.2. A sajátértékeket egyenként közelít® eljárások 115

iterációt. A hatványmódszer (angolul power method) nyilvánvalóan onnét kapta a nevét, hogy az y⁽⁰⁾vektort az A mátrix egyre nagyobb hatványaival szorozzuk meg az eljárás során. A következ®

tétel azt mutatja, hogy a fenti algoritmus valóban a várt eredményt szolgáltatja.

4.2.6. tétel.

Bizonyítás. A tétel els® állítása teljes indukcióval egyszer¶en igazolható.

A harmadik állításhoz a Parseval-egyenl®séget fogjuk használni, mely szerint ha x=α1v1+. . .+αnvn,

ahol v1, . . . ,vn 2-es normában ortonormált vektorrendszer, akkor kxk2 = pPn

i=1|αi|². Ez az egyenl®ség az alábbi módon igazolható.

x^Hx=

A második állítás igazolásához pedig induljunk ki a

(γky^(k))^TA(γky^(k))−v^T1Av1→0 határértékb®l, mellyelk→ ∞esetén

ν^(k)−λ₁= (y^(k))^TAy^(k)−λ₁=|γ_k|²(y^(k))^TAy^(k)−λ₁= (γ_ky^(k))^TA(γ_ky^(k))−v^T1Av1→0.

Ezzel a tétel állításait igazoltuk.

4.2.7. megjegyzés. A tétel bizonyításából az is látható, hogy a generált vektorsorozatból hogyan lehet el®állítani a sajátvektorhoz tartó vektorsorozatot.

• Haλ1, α1>0, akkor y^(k)→v1.

• Haλ₁>0, α₁<0, akkor−y^(k)→v1.

• Haλ1<0, α1>0, akkor(−1)^ky^(k)→v1.

• Haλ₁<0, α₁<0, akkor(−1)^k+1y^(k)→v1.

4.2.8. megjegyzés. Legyen e^(k) = y^(k)−v1 a sajátvektor k-adik közelítésének hibája. Ekkor elegend®en nagyk értékekre ke^(k+1)k2≈ |λ2/λ1|ke^(k)k2, ami a lineáris konvergencián kívül azt is mutatja, hogy általában a|λ2/λ1|hányados határozza meg a konvergencia sebességét.

A hatványmódszer konvergenciáját az egyszer¶ség kedvéért csak normális mátrixok esetén igazoltuk, de az eljárás alkalmazható pl. diagonalizálható mátrixok esetén is. Természetesen az a feltétel, hogy λ1 egyszeresen domináns sajátérték legyen, nehezen ellen®rizhet® el®re, hiszen nem ismerjük a mátrix sajátértékeit (éppen ezek meghatározása a feladat). Mindenesetre az A mátrixnak lehetnek képzetes résszel rendelkez® sajátértékei is, melyek konjugáltja is sajátérték lesz, így nem sok esély van arra, hogy egyszeresen domináns sajátértéke legyen a mátrixnak.

Ha viszont a mátrix szimmetrikus, akkor annak esélye, hogy a domináns sajátérték többszörös lesz, kicsi. Így a továbbiakban mindig feltesszük, hogy az a mátrix, melynek a sajátértékeit és sajátvektorait keressük, szimmetrikus.

4.2.9. példa. Határozzuk meg a tridiag(−1,2,−1)∈R^20×20mátrix domináns sajátértékét és a hozzá tartozó sajátvektort a hatványmódszer segítségével! Mivel a mátrix szimmetrikus, így hacsak nem lesz két egyforma legnagyobb abszolút érték¶ sajátérték, akkor a hatványmódszer valóban megtalálja a domináns sajátértéket és a hozzá tartozó sajátvektort. Ha a powmeth.m programot alkalmazzuk a megoldáshoz az y⁽⁰⁾ = [1/√

20, . . . ,1/√

20]^T kezd®vektorral és 10⁻⁶ toleranciaszinttel, akkor a 83. lépés után áll le az iteráció. Ekkor a sajátértékbecslés 3.97765118.

4.2.10. megjegyzés. A hatványmódszer alkalmazásához eddig feltettük, hogy az y⁽⁰⁾ kezd®-vektor olyan, hogy v^T1y⁽⁰⁾ 6= 0, azaz hogy a kezd®vektornak van az els® sajátvektor irányába es® komponense. Hogyan biztosítható ez, ha nem ismerjük a sajátvektorokat? Szerencsére a gya-korlatban a v^T1y⁽⁰⁾ 6= 0 feltétel nem játszik komoly szerepet, hiszen ha az els® lépésben nem is teljesül a feltétel, a kerekítési hibák miatt az iteráció során lesz az iterációs vektornak v1 irányú komponense, és azzal már elindul az iteráció.

4.2.2. Inverz iteráció

Az el®z® fejezetben láttuk, hogy hogyan határozható meg a hatványmódszerrel az egyszeresen do-mináns sajátérték és a hozzá tartozó sajátvektor. Ebben a fejezetben azt vizsgáljuk meg, hogy más sajátértékek hogyan határozhatók meg a hatványmódszer kis átalakításával. Legyen A∈R^n×n egy nemszinguláris szimmetrikus mátrix λi sajátértékekkel és vi ortonormált sajátvektorokkal (i= 1, . . . , n). Haµ6=λ_i (i = 1, . . . , n), akkor az A−µE mátrix invertálható, és(A−µE)⁻¹ sajátvektorai megegyeznek A sajátvektoraival, sajátértékei pedig (λ_i −µ)⁻¹. Ha µ elegend®-en közel van valamelyik λ_j sajátértékhez, akkor a domináns sajátérték (λ_j −µ)⁻¹ lesz, és az

4.2. A sajátértékeket egyenként közelít® eljárások 117

(A−µE)⁻¹mátrixszal végrehajtva a hatványmódszert,λj és vj meghatározható. Az algoritmus tehát a következ®.

Inverz iteráció, A szimmetrikus, ky⁽⁰⁾k²₂= 1 fork:= 1 :kmax do

(A−µE)x^(k)=y^(k−1) megoldása x^(k)-ra y^(k):=x^(k)/kx^(k)k2

ν^(k):= (y^(k))^TAy^(k) end for

Az eljárást nyilvánvalóan azért hívjuk inverz iterációnak, mert az A mátrix helyett az A−µE mátrix inverzével hajtjuk végre a hatványmódszert. Haµ= 0, akkor a nullához legközelebbi, azaz a legkisebb abszolút érték¶ sajátértéket találja meg a módszer.

Természetesen az inverz iteráció sokkal nagyobb m¶veletigény¶, mint a hatványmódszer, hi-szen az el®bbinél minden iterációs lépésben meg kell oldanunk egy-egy lineáris egyenletrendszert.

A m¶veletszám csökkentésére jól alkalmazható az LU-felbontás. Mivel minden iterációs lépés egyenletrendszerében az A−µE mátrix az együtthatómátrix, így ennek LU-felbontását az els®

lépésben2n³/3 +O(n²)op m¶velettel kiszámítva a többi lépésben már csak2n²op m¶veletre van szükség.

Fontos észrevétel, hogy míg a Rayleigh-hányados segítségével sajátvektor közelítéséb®l saját-értéket tudtunk közelíteni, addig, ha adott egy becslés egy sajátértékre, akkor a hozzá tartozó sajátvektort az inverz iteráció segítségével tudjuk meghatározni (természetesen ekkor a sajátér-tékbecslés is pontosodik).

4.2.3. Rayleigh-hányados iteráció

Az inverz iteráció eljárását módosíthatjuk az alábbi módon. Ha végrehajtjuk az inverz iteráció egy lépését egy sajátérték-közelítésb®l kiindulva, akkor kapunk egy becslést a sajátvektorra, melyb®l Rayleigh-hányados segítségével mondhatunk egy újabb sajátértékbecslést. Az inverz iteráció kö-vetkez® lépésében már az új sajátértékbecslést használhatjuk. Ezt az eljárást Rayleigh-hányados iterációnak nevezzük. Az algoritmusa a következ®.

Rayleigh-hányados iteráció, A szimm.,ky⁽⁰⁾k²₂= 1 fork:= 1 :kmax do

R(y^(k−1))kiszámítása

(A−R(y^(k−1))E)x^(k)=y^(k−1)megoldása x^(k)-ra y^(k):=x^(k)/kx^(k)k2

end for

Az algoritmus során minden lépésben egy új lineáris egyenletrendszert kell megoldanunk.

Cserébe gyorsabb konvergenciát nyerünk, nevezetesen a konvergencia harmadrend¶ lesz. Érde-mes megjegyezni, hogy az iterációban attól függ, hogy melyik sajátértéket és sajátvektort találja meg a módszer, hogy milyen kezd®vektorról indítjuk azt. A módszer általában a kezd®vektor által meghatározott Rayleigh-hányadoshoz legközelebbi sajátértékhez és a hozzá tartozó saját-vektorhoz konvergál. Ha egy adott µ értékhez legközelebbi sajátértékre van szükségünk, akkor érdemes el®ször az inverz iterációt alkalmazni, majd amikor már elég közel kerültünk a keresett sajátértékhez, akkor áttérhetünk a Rayleigh-hányados iterációra.

4.2.11. megjegyzés. A Rayleigh-hányados iterációban minél közelebb vagyunk a keresett sa-játértékhez, annál közelebb van az A−R(y^(k−1))E mátrix egy szinguláris mátrixhoz. Ha tehát az iterációs mátrixunk szingulárissá válik a számítógépes eljárás során, az azt jelzi, hogy nagyon közel vagyunk a keresett sajátértéket. Ez használható tehát leállási feltételként.

4.2.4. Deációs eljárások

Tegyük fel, hogy egy A∈R^n×nvalós szimmetrikus mátrixnak minden sajátértéke abszolút érték-ben különböz®:|λ1|>|λ2|> . . . >|λn|. Ha már meghatároztuk a mátrix szigorúan dominánsλ1

sajátértékét és a hozzá tartozó v1sajátvektort (pl. a hatványmódszer segítségével), akkor néhány egyszer¶ eljárással el®állíthatunk egy olyan mátrixot, melynek λ2 lesz a domináns sajátértéke, így azt a hatványmódszerrel meg tudjuk határozni most már az új mátrixra alkalmazva azt. Ez az eljárás addig folytatható, amíg a kell® számú sajátértéket meg nem határoztuk. Ezt az eljárást deációnak² nevezzük. Háromfajta deációs eljárást mutatunk most be.

Householder-deáció

Tegyük fel, hogy már meghatároztuk az A∈ R^n×n mátrix szigorúan domináns λ1 sajátértékét és a hozzá tartozó euklideszi normában normált v1 sajátvektort. Határozzuk meg ezután azt a HHouseholder-tükrözési mátrixot, mellyel Hv1=e1. Ekkor

HAHe1=HAHHv1=HAv1=Hλ1v1=λ1Hv1=λ1e1=λ1e1. AHAHmátrix tehát a

HAH=

"

λ1 b^T 0 A2

#

alakot ölti. Mivel hasonlósági transzformációt hajtottunk végre, így A2sajátértékeiλ1kivételével megegyeznek az A mátrix sajátértékeivel. Így tehát ha |λ2| > |λ3|, akkor az A2 mátrixszal végrehajtva a hatványmódszert, megkaphatjukλ2 közelít® értékét. Legyen ezλ˜2.

A sajátvektor meghatározását az A−˜λ2E mátrixra vonatkozó inverz iterációval végezhetjük el. Ekkor közelít®leg megkapjuk a v2 sajátvektort, és aλ2-re adott becslés is pontosodik.

Ha most meg tudnánk mondani az A2mátrixλ2-höz tartozó sajátvektorát is, akkor hasonlóan folytathatnánk a többi sajátpár meghatározását, mint ahogyλ1és v1segítségével meghatároztuk aλ2,v2sajátpárt. Az A2mátrixλ2-höz tartozó sajátvektora könnyen meghatározható. Mivel

HAH(Hv2) =HAv2=λ2(Hv2),

ígyHv2 sajátvektora aHAH mátrixnak λ2 sajátértékkel. Azaz(Hv2)(2 :n) sajátvektora A2 -nek, szinténλ2 (szigorúan domináns) sajátértékkel.

Rangdeáció

Tegyük fel ismét, hogy meghatároztuk az A∈R^n×n mátrix szigorúan dominánsλ₁ sajátértékét és a hozzá tartozó normált (euklideszi normában) v1 sajátvektort. Tekintsük az A−λ1v1v^T1

mátrixot. Ennek sajátértékei megegyeznek A sajátértékeivel azzal a különbséggel, hogyλ1helyett nulla szerepel. A sajátvektorok ugyanazok. Így haλ2szigorúan domináns a maradék sajátértékek között, akkor az A−λ1v1v^T1 mátrixszal végrehajtva a hatványmódszert, megkaphatjuk a λ2

sajátértéket és a v2 sajátvektort.

2A deáció szó jelentése leapasztás vagy leeresztés.

In document Numerikus módszerek (Pldal 116-123)