Ellen®rz® kérdések
6. Interpolációs feladatok
6.1. Globális polinominterpoláció
Tekintsük el®ször azt az esetet, amikor az adott pontokat egyetlen polinom segítségével szeretnénk interpolálni a teljesI intervallumon. Ezt az eljárást globális polinominterpolációnak nevezzük és az interpolációs függvényt (globális) interpolációs polinomnak hívjuk. Tegyük fel, hogy az adott pontokat interpolálja egyppolinom. Ekkor ap(xi) =fi (i= 0, . . . , n) feltételnek nyilvánvalóan teljesülnie kell. Mivel ezn+ 1feltétel, így várható, hogypegy legfeljebbn-edfokú polinom lesz, hiszen ezeknekn+ 1szabadon választható együtthatója van.
6.1.1. tétel.
Minden rögzítettn+ 1darab ponthoz pontosan egy olyan legfeljebbn-edfokúLn polinom van, melyreLn(xi) =fi (i= 0, . . . , n).
Bizonyítás. Legyen a keresett polinomLn(x) =Pn
k=0akxk. Ekkor az interpolációhoz az alábbi egyenl®ségeknek kell teljesülniük:
Ez egy olyan lineáris egyenletrendszer, melynek együtthatómátrixa egy Vandermonde-mátrix.
Mivel xi 6= xj, ha i 6= j, ezért a mátrix determinánsa nem nulla. Ebb®l következik, hogy az egyenletrendszer megoldása, azaz a polinom együtthatói, egyértelm¶en meghatározottak.
6.1.2. megjegyzés. A fenti tételben az együtthatómátrix invertálhatósága más módszerrel is igazolható. Ez a módszer általánosabb esetekben is alkalmazható lesz majd. Az együtthatókra felírt egyenletrendszer az alábbi alakú
Ha feltennénk indirekt, hogy az együtthatómátrix nem invertálható, akkor létezne a mátrixhoz egy olyan 06=y= [y0, . . . , yn]T ∈Rn+1 vektor, mellyel
Ez viszont azt jelentené, hogy a Pn
k=0ykxk legfeljebb n-edfokú, a konstans nulla polinomtól különböz® polinomnakn+ 1zérushelye lenne, ami ellentmondana az algebra alaptételének.
6.1.1. Az interpolációs polinom Lagrange-féle el®állítása
Most bemutatjuk az interpolációs polinom Lagrange1-tól származó el®állítási módját.
1Joseph-Louis Lagrange, 17361813, olasz származású francia matematikus. Eredeti olasz neve Giuseppe Luigi Lagrangia. Fontos eredményeket ért el az analízis, a számelmélet és az elméleti mechanika területén. B®vebb életrajz:http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Mathematicians/Lagrange.html.
6.1. Globális polinominterpoláció 155
6.1.3. deníció.
Adott alappontok esetén az
lk(x) = (x−x0). . .(x−xk−1)(x−xk+1). . .(x−xn) (xk−x0). . .(xk−xk−1)(xk−xk+1). . .(xk−xn)
(k= 0, . . . , n) polinomot ak-adik (alapponthoz tartozó) Lagrange-féle alappolinomnak nevez-zük.
6.1.4. megjegyzés. Vezessük be awn+1(x) = (x−x0). . .(x−xn)jelölést. Awn+1(x)pontosan n+ 1-edfokú polinomot alappontpolinomnak hívjuk. Az alappontpolinom deriváltja
w0n+1(x) = (x−x1)(x−x2)(x−x3). . .(x−xn) + (x−x0)(x−x2)(x−x3). . .(x−xn) + (x−x0)(x−x1)(x−x3). . .(x−xn)
+. . .+ (x−x0)(x−x1)(x−x2). . .(x−xn−1), melybe azxk alappontot helyettesítve a
wn+10 (xk) = (xk−x0)(xk−x1). . .(xk−xk−1)(xk−xk+1). . .(xk−xn)
kifejezést kapjuk. Innét látható, hogy az alappontpolinom segítségével az lk Lagrange-féle alap-polinom az
lk(x) = wn+1(x)
(x−xk)w0n+1(xk) (6.1.1)
alakban is felírható (k= 0, . . . , n).
Példaként a 6.1.1. ábrán megrajzoltuk az x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3 és x4 = 4 alappontokhoz tartozó Lagrange-féle alappolinomok grakonjait.
6.1.5. tétel.
Az interpolációs polinomn+ 1 alappont esetén az Ln(x) =
n
X
k=0
fklk(x) alakban írható.
Bizonyítás. Mivel a Lagrange-féle alappolinomok pontosann-edfokúak, ezért azLn(x)polinom legfeljebbn-edfokú. A Lagrange-féle alappolinomokra nyilvánvalóan igaz az
lk(xi) =
(1, hai=k, 0, hai6=k
egyenl®ség, ezért teljesül az Ln(xk) = fk egyenl®ség is (k = 0, . . . , n). Innét az interpolációs polinom egyértelm¶ségéb®l következik az állítás.
6.1.6. megjegyzés. A6.1.1.tételt igazolhatjuk az interpolációs polinom Lagrange-féle el®állítá-sának segítségével is. Az el®állítás mutatja, hogy valóban van egy legfeljebbn-edfokú interpolációs
6.1.1. ábra. Azx= 0,1,2,3,4pontokhoz tartozó Lagrange-féle alappolinomok.
polinom, amely a feltételeknek megfelel. Az egyértelm¶sége pedig indirekt módon úgy igazolható, hogy ha lenne két különböz® legfeljebb n-edfokú interpolációs polinom, akkor a különbségpoli-nomnak legalábbn+ 1zérushelye lenne (nevezetesen az alappontok), ami ellentmond az algebra alaptételének.
Az interpolációs feladatoknál nem az a cél, hogy az interpolációs polinomotx-hatványonként rendezett alakra hozzuk, hiszen általában nem a polinom el®állítása, hanem a polinom különböz®
helyeken vett helyettesítési értékeinek kiszámolása a cél. Így egyszer¶bb a polinom Lagrange-féle alakjába helyettesíteni, mint el®állítani a polinomot x-hatványonként rendezett alakban (a polinom-együtthatók kiszámításának m¶veletigénye n-nel exponenciálisan növekszik) és utána ebbe helyettesíteni.
Könnyen ellen®rizhet®, hogy az interpolációs polinom Lagrange-féle el®állításával az interpo-lációs polinom egy adott helyen vett helyettesítési értéke4n2+O(n)op m¶velettel számolható.
Az el®állítás el®nye, hogy ha valamelyik alappontban a függvényértéket meg kell változtatnunk, akkor az új polinom helyettesítési értékeit könnyen újraszámolhatjuk a régi értékekb®l. Hátrány viszont, hogy egy új alappont felvétele esetén minden korábbi tagot újra kell számolnunk.
6.1.7. példa. Példaként határozzuk meg a (0,2), (1,1) és (3,5) pontokhoz tartozó interpolá-ciós polinomot. El®ször a Lagrange-féle alappolinomokat határozzuk meg:
l0(x) = (x−1)(x−3) (0−1)(0−3) = 1
3x2−4 3x+ 1, l1(x) = (x−0)(x−3)
(1−0)(1−3) =−1 2x2+3
2x, l2(x) = (x−0)(x−1)
(3−0)(3−1) = 1 6x2−1
6x,
6.1. Globális polinominterpoláció 157
6.1.2. ábra. A6.1.7.példában szerepl® pontok és a hozzájuk tartozó interpolációs polinom gra-konja.
majd ezek segítségével felírjuk a keresett interpolációs polinomot:
L2(x) = 2(x−1)(x−3)
(0−1)(0−3) + 1(x−0)(x−3)
(1−0)(1−3) + 5(x−0)(x−1) (3−0)(3−1). A polinomotx-hatványonként rendezett alakba írva
L2(x) = 2 1
3x2−4 3x+ 1
+ 1
−1 2x2+3
2x
+ 5 1
6x2−1 6x
= 1 6x2−1
6x=x2−2x+ 2.
Az adott pontokat és az interpolációs polinom grakonját a6.1.2.ábrán láthatjuk.
6.1.2. A baricentrikus interpolációs formula
Az interpolációs polinom Lagrange-féle el®állításánál láttuk, hogy azt újra kell számolni, ha új alappontot veszünk fel. A formulát egy kicsit átalakítva viszont egy sokkal praktikusabb el®állítá-sát kapjuk az interpolációs polinomnak: a baricentrikus formulát. Egyszer¶sége ellenére a formula tárgyalása gyakran kimarad a numerikus módszereket tárgyaló könyvekb®l. Ezt a hiányt pótoljuk most a formula ismertetésével [4].
Vezessük be a
qk = 1
(xk−x0). . .(xk−xk−1)(xk−xk+1). . .(xk−xn) ≡ 1 wn+10 (xk)
(k= 0, . . . , n) ún. baricentrikus súlyokat. Ezek a számok a Lagrange-féle alappolinomok
f®együtt-hatói. Így az interpolációs polinom a Lagrange-féle el®állításból kiindulva
alakra hozható. Ez a formula tovább egyszer¶síthet®, ha észrevesszük, hogy wn+1(x) az interpolációs polinom egyértelm¶sége miatt csak a konstans 1 polinom lehet. Ennek alapján a (6.1.2) formulát átírhatjuk az alábbi módon:
Ln(x) = Ln(x)
Az így nyert formulát baricentrikus interpolációs formulának nevezzük2. Ezzel az alakkal már lehet is m¶veletszámot spórolni. A súlyok kiszámítása egyenként2nop-ba kerül, azaz összesen 2n2+ 2nop. Ha a súlyokat már ismerjük, akkor a helyettesítési érték számolása már csak5n+ 5 op. Új osztópont felvétele sem költséges, hiszen az új n+ 2-edik súly kiszámítása 2(n+ 1) opot igényel, a korábbi súlyok módosítása pedig egyenként 2 op, azaz összesen2(n+ 1)op.
A súlymódosítás tehát összesen4n+ 4op m¶velet.
6.1.8. példa. Tekintsük a6.1.7.példában szerepl® pontokat, és határozzuk meg az interpo-lációs polinomot a baricentrikus formula segítségével! Számítsuk ki a baricentrikus súlyokat:
q0= 1
Ezt x-hatványonként rendezve természetesen ismét a 6.1.7. példában szerepl® x2−3x+ 2 polinomot kapjunk.
6.1.3. Az interpolációs polinom el®állítása Newton-féle osztott dierenciákkal
Keressük az interpolációs polinomot az(xi, fi) (i= 0, . . . , n)pontokhoz az alábbi alakban:
Ln(x) =c0+c1(x−x0) +c2(x−x0)(x−x1) +. . .+cn(x−x0). . .(x−xn−1). (6.1.3) Mivel az egyes tagokban szerepl® polinomok lineárisan függetlenek, így minden legalábbn-edfokú polinom egyértelm¶en felírható a fenti alakban. Tehát egyértelm¶en léteznek olyan c0, . . . , cn
konstansok, hogy a fenti polinom az interpolációs polinomot adja.
2A baricentrikus, azaz súlyponti, elnevezés arra utal, hogy a képlet hasonló a tömegpontrendszer súlypontját megadó képlethez.
6.1. Globális polinominterpoláció 159
Mivel f0 = Ln(x0) = c0, így c0 értékét már meghatároztuk. Helyettesítsünk most x1-et a (6.1.3) polinomba:
f1=Ln(x1) =c0+c1(x1−x0) =f0+c1(x1−x0), ahonnét
c1= f1−f0
x1−x0
.
Hasonlóan eljárva megkaphatjuk a többi együtthatót is, de a képletek egyre komplikáltabbak és nehezen átláthatók lesznek. Most megmutatjuk, hogy hogyan lehet az együtthatókat szisztema-tikus módon el®állítani.
6.1.9. deníció.
Legyenek adva az(yj, fj),j= 1, . . . , spontok (yj16=yj2, haj16=j2). Ekkor az
[y1, . . . , ys]f =
s
X
j=1
fj
(yj−y1). . .(yj−yj−1)(yj−yj+1). . .(yj−ys)
számot az(y1, f1), . . . ,(ys, fs)pontokhoz tartozó(s−1)-edrend¶ (Newton-féle) osztott dieren-ciának nevezzük. A nulladrend¶ osztott dierenciát (amennyiben csak egy adott pont szerepel) [yj]f =fj módon értelmezzük.
6.1.10. példa. A (0,2), (1,1) és (3,5) pontokhoz tartozó másodrend¶ osztott dierencia a deníció szerint
[0,1,3]f = 2
(0−1)(0−3) + 1
(1−0)(1−3)+ 5
(3−0)(3−1) = 1.
6.1.11. megjegyzés. Vegyük észre, hogy az osztott dierencia rendjét úgy deniáltuk, hogy az a felhasznált pontok számánál eggyel kisebb.
6.1.12. tétel.
Az osztott dierencia értéke független az yj (j = 1, . . . , s) pontok sorrendjét®l, továbbá igaz az
[y1, . . . , ys]f = [y2, . . . , ys]f−[y1, . . . , ys−1]f ys−y1
összefüggés.
Bizonyítás. Az els® állítás a deníció közvetlen következménye. A második részhez igazoljuk, hogy
[y1, . . . , ys]f·(ys−y1) = [y2, . . . , ys]f−[y1, . . . , ys−1]f .
Induljunk ki a jobb oldalból: pontokat interpoláló legfeljebbl-edfokú interpolációs polinom, cl pedig ennek a f®együtthatója.
Számítsuk most ki ezt a f®együtthatót! Ehhez írjuk fel apl(x)interpolációs polinomot a Lagrange-módszerrel.
ami a Newton-féle osztott dierencia deníciója szerint [x0, . . . , xl]f. Ezt szerettük volna meg-mutatni.
A cl együtthatók ezek után rekurzióval az alábbi módon állíthatók el®. A deníció alapján:
[xi]f =fi (i= 0, . . . , n). Ezek a nulladrend¶ dierenciák. A 6.1.12. tétel gyelembevételével az