Interpoláció Csebisev-alappontokon

Ezen meggyelés alapján úgy érdemes választani az osztópontokat, hogy azokat az intervallum széleinek közelében s¶r¶bben vesszük fel. Az alappontok egy lehetséges megválasztásáról szól a következ® fejezet.

6.3. Interpoláció Csebisev-alappontokon

Az interpolációs hiba nagysága függ az alappontpolinom értékét®l (6.2.5.tétel). Az alappontpo-linom 1 f®együtthatós(n+ 1)-ed fokú polinom, melynek pontosan(n+ 1)darab zérushelye van:

az (n+ 1) darab alappont. Így a fenti tulajdonságú polinomok és az alappontok között kölcsö-nösen egyértelm¶ megfeleltetés van. Most megvizsgáljuk, hogy hogyan kellene megválasztani az alappontpolinomot ahhoz, hogy annak maximumnormája a lehet® legkisebb legyen.

6.3.1. tétel.

Legyen [a, b] egy rögzített intervallum. Egy p⁽¹⁾ 1 f®együtthatós, (n+ 1)-ed fokú polinomra pontosan akkor igaz, hogy kp⁽¹⁾k_C[a,b] ≤ kq⁽¹⁾k_C[a,b] minden q⁽¹⁾ 1 f®együtthatós(n+ 1)-ed fokú polinom esetén, ha ap⁽¹⁾polinom az[a, b]intervallumban rendelkezik legalábbn+ 2 kü-lönböz® abszolút széls®értékhellyel, a széls®értékhelyeken a függvényértékek abszolút értékben megegyeznek, és el®jelük váltakozik.

Bizonyítás. Tegyük fel, hogyp⁽¹⁾az[a, b]intervallumon legalábbn+2különböz® abszolút szél-s®értékhellyel rendelkezik, a széls®értékhelyeken a függvényértékek abszolút értékben megegyez-nek, és el®jelük váltakozik. Tegyük fel továbbá, hogy egyq⁽¹⁾6=p⁽¹⁾ 1 f®együtthatós,(n+ 1)-ed fokú polinomra kp⁽¹⁾kC[a,b] >kq⁽¹⁾kC[a,b]. Ekkor a p⁽¹⁾ −q⁽¹⁾ legfeljebb n-ed fokú polinomnak p⁽¹⁾ széls®értékhelyeinél (legalább(n+ 2)darab) ugyanazok az el®jelei, mint ap⁽¹⁾ polinomnak.

Ebb®l következik, hogy ap⁽¹⁾−q⁽¹⁾ polinomnak legalábbn+ 1zérushelyének kellene lenni, ami ellentmond az algebra alaptételének.

A megfordítás igazolásához tegyük fel indirekt, hogy p⁽¹⁾ olyan 1 f®együtthatós (n+ 1)-ed fokú polinom, melyrekp⁽¹⁾k_C[a,b] ≤ kq⁽¹⁾k_C[a,b] mindenq⁽¹⁾ 1 f®együtthatós(n+ 1)-ed fokú po-linom esetén. Tegyük fel indirekt, hogy ap⁽¹⁾ polinomnak maximumn+ 1helyen van abszolút széls®értéke úgy, hogy ezeken a helyeken a függvényértékek abszolút értékben egyenl®k és el®-jelük váltakozik. Ekkor viszont létezik egy olyan legfeljebbn-edfokú polinom, melynek el®jele a széls®értékhelyeken megegyezikp⁽¹⁾el®jelével. Bármely két szomszédos, ellenkez® el®jel¶ széls®ér-tékhely között választhatunk egy olyan pontot, ahol ap⁽¹⁾ polinomnak zérushelye van. Legyenek ezek a zérushelyek rendre:x1< x2< . . . < xk (k≤n). Ekkor azs(x) =±(x−x1). . .(x−xk) polinom legfeljebb n-edfokú, és alkalmas el®jelet választva az el®jele a széls®értékhelyeken meg-egyezikp⁽¹⁾ el®jelével. Ezen polinom megfelel®en kicsiε >0számszorosát kivonvap⁽¹⁾-b®l olyan 1 f®együtthatós legfeljebb(n+1)-ed fokú polinom nyerhet®, melyrekp⁽¹⁾−εsk_C[a,b]<kp⁽¹⁾k_C[a,b], azazp⁽¹⁾ nem lehetett az optimálisan közelít® polinom. Ez cáfolja az indirekt feltételt.

6.3.2. tétel.

Csak egyetlen olyanp⁽¹⁾ 1 f®együtthatós(n+ 1)-ed fokú polinom van az[a, b]intervallumon, melyrekp⁽¹⁾k_C[a,b] ≤ kq⁽¹⁾k_C[a,b] mindenq⁽¹⁾ 1 f®együtthatós(n+ 1)-ed fokú polinom esetén.

Bizonyítás. Tegyük fel indirekt, hogy p⁽¹⁾₁ és p⁽¹⁾₂ is megfelelne a tétel feltételeinek. Ekkor nyilvánkp⁽¹⁾₁ k_C[a,b] =kp⁽¹⁾₂ k_C[a,b]=:D kell legyen. Ekkor viszont

D≤

p⁽¹⁾₁ +p⁽¹⁾₂ 2

_C[a,b]

≤ kp⁽¹⁾₁ kC[a,b]+kp⁽¹⁾₂ kC[a,b]

2 =D

miattk(p⁽¹⁾₁ +p⁽¹⁾₂ )/2k_C[a,b]=D, így a(p⁽¹⁾₁ +p⁽¹⁾₂ )/2polinom is optimális lenne. Emiatt a polinom legalábbn+ 2helyen venné fel az abszolút széls®értékét(±D)váltakozó el®jellel, csakúgy, mint p⁽¹⁾₁ és p⁽¹⁾₂ (6.3.1. tétel). Ez csak úgy lehet, ha p⁽¹⁾₁ ésp⁽¹⁾₂ is ugyanezeken a helyeken veszi fel a széls®értékét. De akkor p⁽¹⁾₁ és p⁽¹⁾₂ legalább n+ 2 helyen ugyanazt az értéket veszi fel, így szükségképpen azonos polinomokról van szó. Így ellentmondáshoz jutottunk.

Hogyan állíthatjuk el® az optimális polinomokat? Vizsgáljuk a kérdést a[−1,1]intervallumon!

Más intervallumra egyszer¶ változótranszformációval térhetünk át. Jelölje T˜_n az optimális n -edfokú polinomot. Nyilvánvalóan T˜₀(x) = 1 és T˜₁(x) = x. Emlékezzünk rá, hogy az optimális polinom legalább (n+ 2)-szer vesz fel abszolút széls®értéket váltakozó el®jellel. Innét jön az az ötlet, hogy valamilyen periodikus függvény segítségével állítsuk el® az optimális polinomokat. Az xváltozó alkalmasφválasztássalx= cosφalakban írható (φ∈[0, π]). Így tehátT˜0(x) = cos(0φ), T˜1(x) = cos(1φ). Ekkorcos(2φ) = cos²φ−sin²φ= cos²φ−(1−cos²φ) = 2 cos²φ−1 = 2x²−1. Ez a polinom a konstrukció miatt három váltakozó el®jel¶ abszolút széls®értékkel rendelkezik, azaz a T˜2(x) = x²−1/2 választás optimális másodfokú polinomot ad. A következ® tétel ezek alapján explicit módon megadja az optimális polinomokat.

6.3.3. tétel.

A

T˜_n(x) = cos(narccosx) 2ⁿ⁻¹ , n≥1

függvény a[−1,1]intervallumon egy 1 f®együtthatósn-edfokú polinom, amelynekn+ 1 vál-takozó el®jel¶ abszolút széls®értékhelye van.

Bizonyítás. Azn= 1ésn= 2választás mellett nyilvánvalóan igaz az állítás. Az is nyilvánvaló, hogy tetsz®legesnérték mellett a függvénynekn+ 1váltakozó el®jel¶ abszolút széls®értékhelye van. Nevezetesen T˜n(x) széls®értékhelyei a tk = cos(kπ/n) (k = 0, . . . , n) pontokban vannak, hiszen|T˜n(x)| ≤1/2ⁿ⁻¹(|x| ≤1)ésT˜n(tk) = cos(narccos(tk))/2ⁿ⁻¹= cos(kπ)/2ⁿ⁻¹=±1/2ⁿ⁻¹ (felváltva). Azt kell már csak megmutatnunk, hogy aT˜n(x)polinomok 1 f®együtthatósak. Tegyük fel most, hogyn=k−1-re ésn=k-ra igaz az állítás. Mivel

2xcos(karccosx)−cos((k−1) arccosx) = 2xcos(karccosx)

−(cos(karccosx)x+ sin(karccosx) sin(arccosx))

=xcos(karccosx)−sin(karccosx) sin(arccosx)

= cos(arccosx) cos(karccosx)−sin(karccosx) sin(arccosx)

= cos((k+ 1) arccosx), ezért

T˜k+1(x) = cos((k+ 1) arccosx)

2^k =xT˜k−T˜_k−1(x)

4 , (6.3.1)

ami pedig egy 1 f®együtthatós(k+ 1)-ed fokú polinom.

A (6.3.1) formula egy iterációs képletet deniál arra, hogy hogyan kaphatjuk meg a legjobban közelít® polinomokat. Így pl.T˜3(x) =xT˜2(x)−T˜1(x)/4 =x(x²−1/2)−x/4 =x³−3x/4.

Az (n+ 1)-ed fokú, 1 f®együtthatós polinomok közül tehát a T˜_n+1 polinom normája lesz a legkisebb a [−1,1] intervallumon. Visszatérve az eredeti problémához ez azt jelenti, hogy az alappontokat úgy kell megválasztanunk, hogy az alappontpolinom éppen aT˜_n+1polinom legyen.

6.3. Interpoláció Csebisev-alappontokon 167

Ez nyilvánvalóan úgy érhet® el, haT˜n+1 zérushelyeit választjuk alappontoknak. AT˜n+1 polinom zérushelyei a következ® alakban adhatók meg:

xk = cos

(2k+ 1)π 2(n+ 1)

, k= 0, . . . , n.

6.3.4. deníció.

A T0(x) = 1ésTn(x) = 2ⁿ⁻¹T˜n(x) (n≥1)polinomokat Csebisev⁸-polinomoknak nevezzük.

6.3.5. tétel.

A Csebisev-polinomok iterációval az alábbi módon állíthatók el®: T0(x) = 1, T1(x) =x, és a többi Csebisev-polinom aTn(x) = 2Tn−1(x)−Tn−2(x)rekurzióval nyerhet®. Explicit alakjuk:

Tn(x) = cos(narccosx).

A Csebisev-polinomoknak a[−1,1]intervallumban−1az abszolút minimuma és1az abszolút maximuma. T_n(x)f®együtthatója2ⁿ⁻¹.

Bizonyítás. Az els® állítás a (6.3.1) rekurzió alakjából következik. A többi állítás a6.3.3.tétel közvetlen következménye.

A fenti elnevezéssel mondhatjuk tehát, hogy az alappontpolinom normája akkor lesz a legki-sebb, mégpedig1/2ⁿ, ha alappontoknak a Csebisev-polinomok zérushelyeit választjuk. Ebben az esetben az alappontokat Csebisev-alappontoknak hívjuk.

A 6.3.1.ábrán aT0, . . . , T4 ésT10 Csebisev-polinomok grakonjai láthatók a[−1,1] interval-lumon. Figyeljük meg az abszolút széls®értékhelyek és a zérushelyek elhelyezkedését. Látható, hogy az intervallum szélei közelében s¶r¶bben vannak a zérushelyek.

6.3.6. megjegyzés. A Csebisev-alappontok nem csak a [−1,1]intervallumon adhatók meg, ha-nem az

ˆ

x_k =a+b

2 +b−a 2 x_k transzformációval bármilyen[a, b]intervallumon is.

6.3.7. megjegyzés. Csebisev-alappontokon interpolálva az interpolációs hiba fels® becslésére teljesül, hogy

|En(x)| ≤ Mn+1

(n+ 1)!2ⁿ, x∈I, aholMn+1= max_x∈I{|f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)|}.

Bizonyítás nélkül közöljük az alábbi tételt, amely a Csebisev-alappontokon való interpoláció konvergenciájáról szól.

6.3.8. tétel.

A [a, b] intervallumon abszolút folytonos⁹ függvények Csebisev-alappontokon vett interpolá-ciós polinomjainak sorozata C[a, b] maximumnormájában tart az eredeti függvényhez, ha az alappontok száma tart a végtelenbe.

8Pafnutyij Lvovics Csebisev (18211894), orosz matematikus

6.3.1. ábra. AT₀, . . . , T₄ésT₁₀ Csebisev-polinomok grakonjai a[−1,1]intervallumon.

A tétel következménye tehát pl., hogy az |x| függvényt vagy a Runge-féle 1/(1 +x²) függ-vényt a Csebisev-alappontokon interpolálva az eredeti függvényhez konvergáló polinomsorozatot kapunk. A6.3.2.ábrán a Runge-féle1/(1 +x²)függvény interpolációs polinomjainak grakonjait láthatjuk 14 ill. 24 Csebisev-alapponttot választva. Látható, hogy 24 alappont esetén az inter-polációs polinom grakonja már alig különböztethet® meg az eredeti függvényét®l. Érdemes az ábrát összevetni a6.2.1.ábra bal oldali grakonjával.

6.3.2. ábra. A Runge-féle1/(1 +x²)függvény interpolációja 14 ill. 24 Csebisev-alapponton a [-5,5]

intervallumon.

6.3.9. megjegyzés. Természetesen a Faber-tétel (6.2.2.tétel) miatt a Csebisev-alappontok esetén

9Egyf : [a, b]→Rfüggvényt abszolút folytonosnak hívunk, ha mindenε >0esetén van olyanδ >0, hogy haa≤a1 < b1 ≤a2 < b2 ≤. . .≤am< bm≤b ésPm

k=1|b_i−ai|< δ, akkor Pm

k=1|f(a_i)−f(bi)|< ε. Ha egy függvény teljesíti a Lipschitz-tulajdonságot (van olyanL≥0szám, hogy|f(x)−f(y)| ≤K|x−y|minden x, y∈[a, b]esetén), akkor abszolút folytonos is.

In document Numerikus módszerek (Pldal 169-173)