Ellen®rz® kérdések
6. Interpolációs feladatok
6.2. Az interpolációs hiba
formulákkal kapjuk, míg a másodrend¶ek az
[x0, x1, x2]f =[x1, x2]f−[x0, x1]f x2−x0
módon nyerhet®k. Az eljárást addig folytatjuk, amíg meg nem kapjuk az utolsó,n-edrend¶ osztott dierenciát is.
6.1.14. példa. Keressük meg a (0,2), (1,1) és (3,5) pontokhoz tartozó interpolációs polino-mot az osztott dierenciák módszerével! Aclegyütthatók kiszámításához el®ször táblázatba rendezzük az osztott dierenciákat. Ebben a táblázatban áttekinthet® módon feltüntetjük az osztott dierenciákat számoló rekurzió egyes lépéseit. Az egyes oszlopok fels® elemei adják a keresettcl együtthatókat növekv® indexekkel.
xi fi= [xi]f [., .]f [., ., .]f 0 2 =c0
1−2
1−0 =−1 =c1
1 1 2−(−1)3−0 = 1 =c2
5−1 3−1 = 2
3 5
Ezután a (6.1.3) képlet alapján kapjuk a keresett 2 + (−1)(x−0) + 1(x−0)(x−1) interpolációs polinomot, amelyet a Horner-sémához hasonló(1(x−1)−1)(x−0) + 2 formá-ban szoktak megadni és a helyettesítési értékeit kiszámolni. A polinomot rendezve a 6.1.7.
példából ismertx2−2x+ 2 polinomhoz jutunk.
6.2. Az interpolációs hiba
Tegyük fel, hogy adottak az(x0, f0), . . . ,(xn, fn) pontok, és hogy ezek a pontok egyf :I →R függvény grakonjáról származnak, azaz fk = f(xk). Legyen továbbá I = [xmin, xmax]. Jelölje (Lnf) :I→Raz adott pontokra illesztett interpolációs polinomot. Ilyenkor azt mondjuk, hogy azf függvényt interpoláljuk azx0, . . . , xnpontokban, ésLn azf függvény adott alappontokban vett interpolációs polinomja.
6.2.1. deníció.
Az En : I → R, En(x) = (Lnf)(x)−f(x) függvényt az f függvény (x0, f0), . . . ,(xn, fn) pontokhoz tartozó interpolációs hibafüggvényének nevezzük.En(x)azxpontbeli interpolációs hiba.
Természetesen, ha azf függvényDf értelmezési tartománya tágabb azIhalmaznál, akkor az interpolációs hibafüggvényt aDf halmazon is értelmezhetjük.
Vajon mit mondhatunk az interpolációs hibáról? Tudunk-e rá fels® becslést adni? Hogy vál-tozik az értéke, ha n értékét növeljük? Tart-e ebben az esetben pontonként az interpolációs polinomok sorozata az eredetif függvényhez? Ha igen, akkor milyen feltételek mellett egyenletes a konvergencia? Ezekre a kérdésekre keressük a választ ebben a fejezetben.
Rögtön látható, hogy ha azf függvény simaságára nem teszünk feltételt, akkor a hibáról sem-mit sem tudunk mondani, hiszen az alappontokon kívül a függvényértékek tetsz®legesek lehetnek.
Tegyük fel tehát, hogy azf függvény folytonos. Most megemlítünk néhány olyan eredményt, ame-lyek arra hívják fel a gyelmet, hogy általában nem várható el a pontonkénti konvergencia. Egy
[a, b] intervallumbeli {x(n)0 , . . . , x(n)n }∞n=1 alappontsorozaton a továbbiakban egy olyan sorozatot értünk, melynekn-edik eleme az[a, b] intervallumn+ 1darab páronként különböz® pontja.
6.2.2. tétel. (Georg Faber3, 1914)
Bármely {x(n)0 , . . . , x(n)n }∞n=1 [a, b]-beli alappontsorozathoz van olyan f ∈ C[a, b] folytonos függvény, amelyreLnf nem tart egyenletesen azf függvényhez az[a, b]intervallumon.
1980-ban Erd®s és Vértesi [11] megmutatták, hogy bármely alappontsorozathoz olyanf foly-tonos függvény is létezik, melyreLnf(x)6→f(x)majdnem mindenütt[a, b]-ben. Bernstein4 egy korábbi, 1918-es példája [3] a[−1,1]intervallum ekvidisztáns felosztássorozatához megadott már egy ilyen függvényt: az f(x) = |x| függvény interpolációs polinomjai csak az x = −1,0 és 1 pontokban konvergálnak azf(x)függvény megfelel® értékeihez.
Itt gondolhatnánk, hogy a rossz interpolációs viselkedést az okozza, hogy az f(x) = |x|
függvény nem deriválható az x = 0 pontban. Runge5 1901-ben észrevette [28], hogy ha az f(x) = 1/(1 +x2)függvényt interpoláljuk az ekvidisztáns felosztású[−5,5]intervallumon, akkor az így nyert polinomsorozat csak az|x|<3.63(kerekített érték) feltételnek megfelel®xpontokban fog konvergálni az eredeti függvényhez. A polinomsorozat az intervallumon kívül divergál. Azt, hogy csak egy bizonyos intervallumon belül van konvergencia, az okozza, hogy azf(z) = 1/(1+z2) most már komplex változósnak tekintett függvény szinguláris helyei (±i) közel helyezkednek el az interpolációs intervallumhoz. A6.2.1.ábrán az1/(1 +x2)Runge-féle függvény és az alakjá-ban hasonlóe−3x2/8 függvény 16 ekvidisztáns alappontos interpolációs polinomjának grakonja látható. Vegyük észre, hogy a második függvényt sokkal jobban közelíti az interpolációs polinom!
(Figyeljük meg, hogy az utóbbi függvénynek nincs szinguláris pontja!)
6.2.1. ábra. Az 1/(1 +x2) és az e−3x2/8 függvények interpolációs polinomjainak grakonjai a [−5,5]intervallumból ekvidisztánsan választott 16 alapponton.
A következ® tétel azt mutatja, hogy az alappontok megfelel® megválasztásával az egyenletes konvergencia mindig elérhet®. Megjegyezzük azonban, hogy nem mindig van lehet®ség az alap-pontok szabad megválasztására.
3Georg Faber (1877 1966) német matematikus.
4Sergei Natanovich Bernstein (18801968) orosz matematikus.
5Carl David Tolmé Runge (18561927), német matematikus.
6.2. Az interpolációs hiba 163
6.2.3. tétel. (Marcinkiewicz6 [24], 1936)
Minden, az [a, b] intervallumon folytonos f függvényhez létezik olyan [a, b]-beli {x(n)0 , . . . , x(n)n }∞n=1alappontsorozat, amelyen azLnf interpolációs polinomok sorozata egyen-letesen tart azf függvényhez az [a, b]intervallumon.
Megemlítünk egy olyan eredményt, amely azt mutatja, hogy folytonos függvények tetsz®lege-sen megközelíthet®k polinomok segítségével, ha nem követeljük meg az interpolációs feltételt.
6.2.4. tétel. (Weierstrass7-féle approximációs tétel [39], 1885)
Legyen f ∈ C[a, b] egy tetsz®leges folytonos függvény. Ekkor tetsz®legesε > 0 számhoz van olyanppolinom, melyre|f(x)−p(x)|< εmindenx∈[a, b]esetén
Megfelel® simaságú függvények esetén az interpolációs hibát az alábbi, Cauchytól származó tétel segítségével számolhatjuk ki.
6.2.5. tétel.
Tegyük fel, hogy az f ∈ Cn+1(I) függvényt interpoláljuk az x0, . . . , xn alappontokban, ahol I= [xmin, xmax]. Ekkor egy tetsz®legesx∈I pontban az interpolációs hiba az
En(x) =−f(n+1)(ξx)
(n+ 1)! wn+1(x)
alakban írható, aholξx, egy azIintervallum belsejébe es® megfelel® konstans (azxindex arra utal, hogy az érték függ azxpont megválasztásától).
Bizonyítás. Haxegybeesik valamelyik alapponttal, akkor az állítás triviális. Egyébként de-niáljuk aG:I→R,
G(t) =En(t)− wn+1(t) wn+1(x)En(x)
függvényt, amely legalább n+ 1-szer folytonosan deriválható I belsejében, és legalább n+ 2 zérushelye van:x0, . . . , xn ésx. Ekkor a Rolle-középértéktételt alkalmazva látható, hogy aG0(t) függvénynek legalábbn+1zérushelye van. Így haladva mindig az eggyel kisebb deriváltak irányába azt kapjuk, hogy aG(n+1)(t)függvénynek legalább egy zérushelye van. Legyen ez a zérushelyξx. Számítsuk ki aG(n+1)(t)deriváltat, felhasználva, hogy egy legfeljebbn-edfokú polinom(n+ 1) -edik deriváltja nulla, és hogyw(n+1)n+1 (x)≡1.
G(n+1)(t) =−f(n+1)(t)− (n+ 1)!
wn+1(x)En(x), azaz
G(n+1)(ξx) =−f(n+1)(ξx)− (n+ 1)!
wn+1(x)En(x) = 0, tehát
En(x) =−f(n+1)(ξx)
(n+ 1)! wn+1(x).
Ezt akartuk bizonyítani.
6Józef Marcinkiewicz (19101940), lengyel matematikus.
7Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (18151897), német matematikus.
A tétel segítségével elégséges feltételt tudunk adni az egyenletes konvergenciára.
6.2.6. tétel.
Ha f ∈ C∞[a, b] és az x(n)0 , . . . , x(n)n alappontok mindig az [a, b] intervallumból kerülnek ki (n= 1,2, . . .), továbbá ha létezikM >0 úgy, hogy maxx∈[a,b]{|f(n)(x)|} ≤Mn, akkor kf − LnfkC[a,b]→0, han→ ∞.
Bizonyítás. Az[a, b]intervallum egy tetsz®legesxpontjára
|En(x)|=|f(n+1)(ξx)|
(n+ 1)! |wn+1(x)| ≤ Mn+1
(n+ 1)!(b−a)n+1→0 (x-t®l függetlenül), ha n→ ∞.
Az interpolációs hiba képletében szerepel a wn+1 alappontpolinom. Ennek abszolút értékére ad becslést az alábbi tétel. Jelöljük h-val a szomszédos alappontok közti legnagyobb távolságot, azazh:= maxi=1,...,n{xi−xi−1}.
6.2.7. tétel.
A wn+1(x)alappontpolinomra érvényes a
|wn+1(x)| ≤ n!
4hn+1 becslés, aholx∈I.
Bizonyítás. Haxalappont, akkor az állítás nyilvánvalóan igaz.
Legyenx∈(x0, x1). Ekkor|(x−x0)(x−x1)|azx= (x0+x1)/2választás esetén a legnagyobb, ami azt jelenti, hogy teljesül az
|(x−x0)(x−x1)| ≤ legnagyobb, ami azt jelenti, hogy
|(x−x1)(x−x2)| ≤
Hasonlóan járhatunk el a többi intervallumnál is. A becslésekb®l látható, hogy azI intervallum szélén lév® osztóintervallumokon a fels® becslés nagyobb, mint a beljebb lév® intervallumokon.
Így a két széls® osztóintervallumon adott becslés lesz érvényes az egészI intervallumra.
6.2.8. megjegyzés. Az, hogy azI intervallum szélén lév® osztóintervallumokon az alappolinom értékére adott fels® becslés nagyobb, mint a beljebb lév® intervallumokon, azt sugallja, hogy általában az I intervallum szélei közelében nagyobb interpolációs hiba várható, mint beljebb.