13. 4. Az ellipszometria
Amikor a fény két eltérőtörésmutatójú közeg határfelületéről reflektálódik, polarizációs állapota megváltozik. Ennek mértéke e két közeg anyagi minőségének függvénye. Az ellipszometria ezt a polarizációváltozását méri. Ennek matematikai tárgyalásához haladjunk tovább az előzőalfejeztben megkezdett úton. A határfelületre esőés onnan visszaverődőfény polarizációs állapota úgy tárgyalható könnyedén, ha a nyaláb E elektromos térerősség vektorát az előzőalfejezetben látott módon két független síkhullám komponensre bontjuk.
Ekkor a síkhullám polarizációs állapotát a következőparaméterrel, ún. polarizációs együttható-val jellemezhetjük:
)
Mivel mindez nem csupán a beeső, hanem a visszavert sugár esetére is felírható, képezhetjük e két sugár polarizációs együtthatójának hányadosát, az ún. reflexiós tényezőt. A XIX. század második felében Paul Karl Ludwig Drude (1867-1906), az elsőellipszometriai mérést megvalósítója, a következőjelöléseket vezette be: [95]
Könnyen megmutatható, hogy ez az arány a Fresnel-féle komplex reflexiós együtthatók hányadosával (rp, rs) azonos:
Rendkívül figyelemreméltó tulajdonság, hogy sem, semés így sem függ a megvilágító fény abszolút intenzitásától, csupán beesési szögétől illetve a határfelületet alkotó közegek anyagi tulajdonságától. Épp ezért nincs szükség semmilyen referenciára. Mivel mind tan, mind mérhető, így Ψ és az ellipszometriai mérés két független, a vizsgált mintára jellemzőparamétere. Abban az esetben, ha és értékeket nem csupán egyetlen hullámhossz esetén, hanem egy egész hullámhossztartományon keresztül mérjük, spektroszkópiai ellipszometriáról beszélünk.
A legegyszerűbb esetben, mikor is két izotróp, félvégtelen* közeg határfelületét éri valamilyen hullámhosszú elektromágneses sugárzás, a Fresnel-egyenletek egyértelmű,
___________________________________________________________________________
* Megjegyzendő, hogy a fenti vonatkozásban akkor tekintünk egy közeget félvégtelennek, ha a határfelületéről beesőfénysugár elhal benne mielőtt másodlagos vagy magasabb rendűreflexiókat szenvedne. Vastag, és/vagy nagy optikai sűrűséggel bíró közegek esetén mindez jó közelítéssel teljesül.)
kölcsönös kapcsolatot teremtenek a minta törésmutatója és a mért mennyiség között. Mivel az ellipszometriai mérésekben a beesési szög és a minta környezetének törésmutatója általában ismert, (13.4.2.) és (13.4.3.) alapján kiszámítható a mintára jellemzőtörésmutató is.
Gyakorlatban azonban, a spektroszkópiai ellipszométerrel vizsgálandó mintánk általában nem egyetlen félvégtelennek tekinthetőún. tömbi anyagok, sokkal gyakoribb, hogy egy vastag hordozó felületére leválasztott vékonyréteg-szerkezet opto-geometriai tulajdonságait szeretnénk meghatározni. Ebben az esetben a fentinél jóval bonyolultabb számítások alapozzák meg e méréstechnika hatékonyságát. Erről bővebben a „13. 4. 1. Az ellipszometriai modellek alapjai” és „13. 4. 2. Fontosabb rétegmodellek” címűfejezetekben olvashatunk.
A spektroszkópiai ellipszométerrel mért Ψ és spektrumokból meghatározhatjuk a minta ismeretlen fizikai paramétereit (rétegvastagság, törésmutató, mikroszerkezet). Ennek sikere három feltétel teljesülésén múlik [96]. Az elsőaz, hogy ismernünk kell a mintát alkotó összetevők törésmutatóját (irodalmi adatok vagy tömbi anyagokon végzett referenciamérések alapján). Ennek teljesítése egyáltalán nem triviális, mivel a referencia-törésmutatók meghatározásához ezen anyagokat az ellipszometria felületérzékenysége miatt ideálisan sík felületek által határolt, tömbi vagy vékonyréteg formájában kell tudnunk előállítani.
Mintakészítési nehézségekkel állunk tehát szemben. A második feltétel azt követeli meg, hogy a vizsgált mintát alkotó anyagokról és ezek struktúrájáról, azaz mikroszerkezetéről legyen valami előzetes elképzelésünk, mely alapján felépíthetjük a mért spektrumra illesztendőoptikai modellünket. A harmadik kikötés pedig az, hogy e feltételezett modell paramétereit szisztematikus, objektív hibameghatározás mellett illesszük a mért () és
) (
görbékre. E harmadik feltételnek mára már számos, jól használható, hatékony kiértékelőprogram tesz eleget. Munkám során Woolam V.A.S.E.32 v.3.386 és ComleteEASE v.3.79 szoftvereket használtam.
13. 4. 1. Az ellipszometriai modellek alapjai
Az ellipszometria szempontjából fontos, kissé összetettebb elrendezés az, mikor a polarizált síkhullám félvégtelen közegből, ún.környezetbőlegyetlenvékonyrétegen áthaladva, a szintén félvégtelen szubsztrátról (más néven hordozóról) verődik vissza. Ha e vékonyréteg nem elég vastag ahhoz, hogy benne a fénysugarak elhaljanak, a 13.4.-1. ábrán látható módon többszörös reflexió és transzmisszió során jutnak ki e közegből.
13.4.-1. ábra: Három közegből álló rendszer esetén a középsővékonyrétegben az ábrán látható módon többszöri visszaverődés valósul meg.
A reflektált parciális hullámok eredője egy végtelen geometriai sor sorösszege, melyből a teljes reflexiós együttható:
ahol j = p, s polarizációs irányokat jelöli, valamint r01j és r12j a 0|1 és 1|2 határfelületeken érvényes Fresnel-féle komplex reflexiós együtthatók. Jelöljük a vékonyréteg vastagságát d1 -gyel, törésmutatóját n1-gyel, valamint az itt mérhetőtörésszöget -gyel. Ekkor azt a1 fázistolást, amit a sugár szenved el míg a vékonyréteg egyik határfelülettől a másikig ér, a következőalakban írhatjuk:
Kihasználva a Descartes-Snellius törvényt a (13.4.5.) egyenlet a következőformát ölti:
0
ahol 0a 0. számú közegben mérhetőbeesési szög. A (13.4.4.) és (13.4.6.) egyenletek segítségével azonnal kapható a reflexiós tényező.
Abban az esetben, ha a szubsztráton nem csupán egyetlen, hanem több egymásra rétegzett izotróp vékonyréteg ül, a fenti sorösszeges tárgyalásmód nehézkessé válik. Mivel a fény terjedését leíró egyenletek lineárisak sokkal egyszerűbb és elegánsabb írásmód az, mikor
mátrixalgebrát alkalmazunk [97]. Ennek gördülékeny tárgyalásához vezessük be a következő jelöléseket: az egymáson fekvővékonyrétegek száma legyen m, sorszámai törésmutatója ni, vastagsága pedig di, a környezet sorszáma legyen 0, a hordozóé pedig m+1. Ekkor azt a sugarat, amelyik a kisebb sorszámú réteg felöl a nagyobb felé halad „+”, amelyik pedig ezt fordítva teszi „–” irányúnak tekintjük. Ezeket rendre előrehaladó és hátrahaladó hullámoknak nevezzük Ennek szellemében, tetszőleges z koordináta által meghatározott x-y síkban, a terjedősíkhullám komponensek amplitúdója 21-es oszlopvektor formájában megadható:
A könnyebb átláthatóság érdekébenjjelölést a továbbiakban elhagyjuk. A (13.4.7.) egyenletet két különbözőzkoordinátára (zés z) felírva, E0(z') és E0(z") között egy alkalmas Sˆ22 szórásmátrixsegítségével egyértelműkapcsolat létesíthető:
)
E szórásmátrix tényezőit a következőképp határozhatjuk meg: felbontjuk a fenti összetett struktúrát több, azonban csupán két típusú alrendszerre. Ezek egyike, mikor a síkhullám valamely i-edik közeg anyagában szabadon terjed, míg a másik típus az mikor a (i-1)-edik vékonyrétegből azi-edikbe lép át. Az elsőesetben az ún. Lˆi rétegmátrix, a másodikban pedig az ún. Iˆ(i1),i határmátrix írja le a síkhullám amplitúdójának megváltozását. Ekkor összetettebb rendszereket úgy jellemzünk, hogy az ezek – a rétegszerkezetnek megfelelő sorrendű– szorzatából képzett (13.4.9.) szórásmátrixot a (13.4.8.) egyenletbe helyettesítjük.
)
Azzam és Bashara munkái alapján tudjuk, hogy e mátrixok a következőalakban írhatók: [97]
ahol t(i-1)i a (i-1)-edik és i-edik réteg közötti határátmenetnél megfigyelhetőtranszmittancia, illetve r(i-1)i az ugyanitt mérhetőreflektancia, valamint Φaz a fázistolás, melyet a (13.4.6.) egyenlet alapján számíthatunk ki.
A fentiek következtében, ha a környezetet a, a szubsztrátot s indexszel jelöljük, (13.4.7.), (13.4.8.) és (13.4.9.) egyenletek összevonásából a következőre jutunk:
síkhullámok amplitúdójára kell tekintenünk. Mivel a szubsztrátot félvégtelennek feltételeztük
Es= 0, azaz belőle nem érkezik vissza fénysugár. A (13.4.12.)-es összefüggésből, már könnyen következtethetünk ateljes reflexióséstranszmissziós tényezőkre:
11
A fentiek levezetésénél nem követeltük meg, hogy a beesősugár polarizációja valamilyen kitüntetett irányba essen, így igazak külön-külön is a független s és p irányú polarizációkomponensekre. Ezeket kiszámítva felírható a komplex reflexiós tényező:
s p
R
R
(13.4.15.)
Az eddigiekből egyértelműen következik az, hogy több vékonyrétegből álló minta esetén több ismeretlen paraméter meghatározására van szükség. A mérhetőreflexiós tényezőm+2 darab közeg (környezet, szubsztrát ésmszámú vékonyréteg) esetén a következők függvénye:
)
Ahhoz, hogy e paramétersereghez egyértelműértékeket rendelhessünk, esetenként valamilyen módon növelnünk kell a mért független adatok számát. Ezt többféleképpen megtehetjük például úgy, hogy számos beesési szög mellett végzünk méréseket.
13. 4. 2. Fontosabb ellipszometriai rétegmodellek
Ahogy arról a fentiekben már olvashattunk, a spektrumkiértékelés során feltétlenül szükséges, hogy a minta opto-geometriai paramétereit illetően rendelkezzünk valamilyen előzetes információval. Gyakran azonban az ilyen irányú ismereteink hiányosak, esetenként csupán intuíciókra támaszkodhatunk. Ezt tetézi továbbá, hogy, ha még ismerjük is a közegeket alkotó anyagokat, ezek sokféleképp összeállhatnak létrehozva a legkülönfélébb optikai tulajdonságokkal bíró vékonyrétegeket. Ezek tükrében talán meglepő, hogy az ellipszometria mégis népszerű, hatékony módszernek bizonyult az anyagtudományt művelőkutatók körében.
Ennek oka az, hogy sikerült olyan rétegmodelleket megalkotniuk melyek az ilyen szorult helyzetből is kicsalják a mintára jellemzőparaméterértékeket.
Cauchy függvény
Előfordulhat, hogy a vizsgált mintánkat valamilyen ismeretlen törésmutatójú közeg (is) alkotja. Ilyenkor célszerűvalamilyen paraméteres, általános esetben használható dielektromos függvényhez nyúlnunk. Az egyik ilyen törésmutató modell Lorentz munkája révén látott napvilágot. Ennek alapja az a feltevés miszerint a szilárd anyag független lineáris oszcillátorok összegéként jellemezhető. E gondolat egyik lehetséges parametrizálását Cauchy – bizonyos közelítésekkel élve – a következőegyszerűsorösszeg alakjában adta meg: [98]
i i
Bi
n( ) 2
(13.4.17.)
ahol a Bi együtthatók a modell illesztendőparaméterei. Vezetőrendben a sor elsőtagja adja a törésmutatót, a többi ennek diszperzióját határozza meg. A fenti összefüggés az anyagok jelentős részére ultraviola és infravörös tartományokban már érvényét veszti. Az ott is helyes eredményt adó egyenletet Sellmeier ismertette [98]. Fontos megjegyezni, hogy e modell elsősorban dielektrikum típusú rétegek esetében használatos.
Effektív közeg elmélet
Abban az esetben, mikor olyan vékonyrétegeket vizsgálunk, melyek makroszkopikusan homogének, azonban mikroszkopikusan heterogének, azaz bennük a vizsgáló fény hullámhosszánál csak kisebb méretűkülönneműterületek figyelhetők meg (polikristályok, amorf, porózus anyagok), a beesőfény által keltett makroszkopikus elektromos és mágneses mezők nem változnak jelentősen az egyes régiókban. Ennek okán elhanyagolhatjuk a heterogenitásokon való szórást és diffrakciót, melyet egyébként makroszkopikusan inhomogén rendszerek esetében dominánsak lennének. Amennyiben feltehető, hogy a réteget alkotó heterogén térfogatok azonban elég nagyok ahhoz, hogy a törésmutatójuk megegyezzen a megfelelőtömbi anyag optikai sűrűségével, a komplex dielektromos függvényének meghatározására egy rendkívül hatékony eljárást jelent az effektív közeg közelítés (effective medium approximation - EMA) [99]. E közelítés a közeget ismert törésmutatójú anyagok keverékének tekinti.
Az effektív közeg közelítés elméletének megoldásaként Bruggeman egy i összetevőből álló közeg esetére a következőalakú egyenletet javasolta: [100]
0
i i d
i
fi
, (13.4.18.)
ahol i a i-edik, fi súllyal rendelkezőkomponens tömbi állapotára jellemződielektromos függvénye, γd a depolarizációs faktor (értékét tipikusan 2-nek választjuk [98]). A keresett effektív dielektromos függvény . Az EMA bővebb és részletesebb leírását [98] alatt találhatja meg a tisztelt olvasó.
13. 5. Hullámvezetés izotróp közegben
Kísérleti úton John Tyndhall (1820-1893) mutatta ki elsőként, hogy a fény határfelülethez érve akár teljes visszaverődésre is képes. Abban az esetben ugyanis, ha egy – a fény számára átjárható – n törésmutatójú közeget egy ettől kisebb törésmutatójúval határolunk, a nagyobb optikai sűrűséggel rendelkezőközeg felöl, a határfelülethez c beesési szög alatt érkező fénysugár teljes mértékben visszaverődik. (c a Descartes - Snellius törvényből kapható határszög [92].) Az előzőalfejezetekben tárgyaltak alapján úgy is fogalmazhatunk, hogy a Fresnel reflexiós együtthatójának abszolút értéke 1-gyel egyenlő. Tyndhall kísérletével megalapozta a hullámvezetőoptika későbbi dinamikus fejlődését, hiszen amennyiben az ilyen
rendszerek geometriáját és optikai tulajdonságait jól választjuk meg, a fénysugár csapdába ejthetőés kiváló hatásfokkal vezethető. Mára már ezt a felfedezést számos területen alkalmazzák sikerrel. Ezek közül csupán néhányat említve, a hullámvezetők a távközlés, különbözőmérés- és érzékeléstechnikák valamint egyéb integrált optikai módszerek tudományterületét forradalmasították [101].
A legegyszerűbben kivitelezhető, méréstechnikai szempontokból kiváló, valamint matematikailag a legkönnyebben tárgyalható optikai hullámvezetőelrendezés, az ún. sík dielektromos hullámvezető. Ekkor egy hordozó (substrate - S) és egy fedő(cover - C) között található vékony, dF vastagságú dielektrikum réteg (film - F) adja a hullámvezetőstruktúrát.
(13.5.-1. ábra) Ezek törésmutatója rendre nF,nS,nC, melyekre teljesül: nF nS,nC. Az előbbi bekezdés alapján nyilvánvaló, hogy ebben az esetben a hullámvezetőközeg a film lesz.
Ezen elrendezés egyik lehetséges interpretációja az ún. zig-zag modell. Eszerint a fény, mint fénysugarak összessége a határfelületek között – a teljes visszaverődés következményeképp – (ideális esetben) energiaveszteség nélkül haladhat a hullámvezetőfilmben, ha a sugarak teljesítik az ún. önkonzisztencia feltételét (ld. később) [101, 102].
Ideális hullámvezetőnek tekintjük azt az időben nem változó homogén, dielektromos, szórás-és abszorpciómentes rétegekből felépülő, nem mágneses, töltés- és árammentes rendszert, melyben veszteségmentes hullámterjedés figyelhetőmeg. E fejezet az ideális hullámvezetők elméletének csupán jelen disszertációhoz szorosan kapcsolódó eredményeit tárgyalja, így az ideális és izotróp rétegekből felépülő, sík dielektromos hullámvezetőkön nem lép túl.
13.5.-1. ábra: Sík dielektromos optikai hullámvezetőa.) Amennyiben a határfelületekre eső fény teljes visszaverődést szenved, bizonyos esetekben megvalósulhat a filmrétegben az optikai hullámvezetés. a.) A határszög alatti beesésekre azonban, a fénysugár terjedőfény formájában behatol a külsőrétegekbe.
Az előzőalfejezetekben láthattuk, hogy a határfeltételek egy érdekes következménye, hogy a hullámvezetőben terjedő síkhullám határfelülekkel párhuzamos kt hullámszámvektor komponense minden rétegben azonos kell legyen. Ez a kritérium egy állandót definiál;
kt
-t terjedési konstansnak nevezünk, a belőle származtatott N /k0 mennyiséget pedig a (13.1.6.) egyenlet analógiájára effektív törésmutatóként említi a szakirodalom.
A Maxwell-egyenleteket ideális, sík hullámvezetőkre alkalmazva két független csoportra bonthatjuk szét, melyek egymásra ortogonális és lineárisan polarizált síkhullám megoldásokra vezetnek [53]. A két orientáció a terjedő elektromágneses síkhullám elektromos komponensének irányával definiálható. TE hullám esetén az E elektromos tér a sík hullámvezetőt határoló felületekkel párhuzamosan rezeg, TM módusbanHmágneses tér teszi ugyanezt. Mind E, mindHa terjedőhullám terjedési irányára (k) merőlegesen rezeg. (13.5.-2.
ábra)
13.5.-2. ábra: TE és TM módusok definíciója: a.) TE módus esetén azEelektromos, b.) TM módus esetén pedig a Hmágneses komponens rezeg a hullámvezetőt határoló felületekkel párhuzamos síkban.
Megjegyzendő, hogy TE (transzverzális elektromos) azonos az előző alfejezet terminológiájának megfelelő s (merőleges), míg TM (transzverzális mágneses) a p (párhuzamos) polarizációs irányoknak.
Tekintsük a 13.5.-1. ábrán feltüntetett Descartes-féle koordináta rendszert a következő elméleti megfontolások alapjául, ahol z adja a síkhullám terjedési irányát, x és y pedig a hullámvezetőrétegszerkezet normálisával illetve érintőjével egyezőorientáció. TE és TM hullámok definíciójából adódóan az elektromos és mágneses komponensekre illetve a határfeltételekre a következők adódnak:
TE: Ex 0, Ez 0, Hy 0, ky 0 folytonosak
Ezek felhasználásával, a szükséges vektoriális és skaláris szorzásokat elvégezve a (13.1.10.) egyenlet tovább alakítható, mely eredményeképp a hullámszámvektor x irányú komponense kifejezhetőa közeg (film) és a benne terjedőfény optikai paramétereinek segítségével:
2
Megjegyzés: TE és TM esetekre vett megoldás csak izotróp esetben azonos alakú. Anizotróp eset tárgyalását [53] és [79] részletezi.
Mivel kx,F-re két megoldást kapunk (egy pozitív és egy negatív irányba haladót), a filmben terjedőelektromágneses hullám a következőalakban írható fel általánosan:
A filmen kívüli (szubsztrát és fedőréteg) hullámok amplitúdója x irányban exponenciálisan lecseng, mivel esetükben a (13.5.2.) egyenletben szereplőgyök alatti kifejezés negatívvá válik (ételemszerűen nS,C N nF a hullámvezetőmódusokra), kx képzetes számmá változik. Ezt a lecsengőelektromágneses teret nevezzük evaneszcens mezőnek.
Megjegyzés: A fentiektől eltérőesetekben sugárzásos, illetve szubsztrát módusokról beszélhetünk [53, 103]. Ekkor nem történik hullámvezetés.
Annak érdekében, hogy meghatározzuk a hullámvezetés feltételeit, adjuk meg a (13.5.3.) egyenletet az x x0 és az xx0 dF koordináta pozíciókban található, a hullámvezető filmet lezáró szubsztrát-film és fedő-film határfelületekre. Ezek rendre:
U U
eiNkz i tA (13.5.4.) egyenletek meghatározzák a szubsztrát-film és fedő-film határfelületekre jellemző Fresnel-féle komplex reflexiós együtthatókat. TE és TM módusra egyaránt:
i S
aholφSésφCa jelölt határfelületről való visszaverődés okozta fáziseltolódások. E két egyenlet megfelelő egymásba helyettesítésével kapjuk a hullámvezetés feltételét, az ún.
módusegyenletet:
melyből triviálisan következik a klasszikus módusegyenlet:
m k
dF x S C 2
2 , (13.5.7.)
ahol m az adott módus sorszámát jelöli. Csak akkor terjedhet tehát egy módus veszteségmentesen a hullámvezető film közegében, ha az őt alkotó fénysugarak önkonzisztensek, más szóval konstruktív módon interferálnak egymással. (13.5.-3. ábra) Ezen állítás egyszerűen átlátható, amennyiben összevetjük az (13.5.7.) egyenlet az (13.2.6.) egyenlettel, illetve az ott leírtakkal. Mivel az (13.5.6.) egyenlet megoldása nem folytonos
13.5.-3. ábra: A hullámvezetőfilmbéli síkhullám megoldások szemléltetése.
függvény, hanem csupán diszkrét sajátértékek elégítik ki, úgy is fogalmazhatunk, hogy a konstruktív interferencia feltétele kvantálttá teszi βértékét: βm egy adott módushoz tartozó sajátérték.
Az (13.5.6.) egyenlet egy másik következménye, hogy megfelelően vékony (dF 2dF) hullámvezetőfilmekben egyetlen TE illetve TM módus terjedhet [101]. Az ilyen tulajdonságú rétegekszerkezeteket monomódusos hullámvezetőnek nevezi a szakirodalom.
A módusegyenletben szereplő rS és rC reflexiós együtthatók meghatározásához érdemes a (13.3.5.) egyenleteket a hullámvezetésben használatos mennyiségekre átírni: [79, 102]
TE: 2 2
A Fresnel-féle reflexiós együtthatók fenti alakban történőfelírásából és az (13.5.6.) egyenletből világosan látható, hogy a TE és TM módusok terjedési feltétele nem elégíthetőki egyszerre egy adott geometriájú és optikai paraméterekkel jellemzett ideális hullámvezetőben.
Amennyiben vékonyréteg (adlayer) vagy vékonyrétegek borítják a hullámvezetőfelszínét, tehát a film felületével nem közvetlenül határos a félvégtelen közegnek tekintett fedőréteg, az (13.5.6.) egyenlet módosításra szorul. A következőrekurzív formulával megadható az M adlayerből álló rendszer teljes reflexiós együtthatója:
l
Az (13.5.6.) egyenletben rC tagot RM-re cserélve a többréteges rendszereket is kezelhetjük [104].
E fejezetben feltétlenül fontos megjegyezni, hogy a fény hullámvezetőbe történőbecsatolását rendszerint a filmréteg valamely határfelületén kialakított optikai rács valósítja meg [81, 105].
Amennyiben a fényforrás fényét megfelelőαj szögben e rácsra bocsátjuk, az itt létrejövő fénydiffrakció eredményeként [106] vezetett módus indul a rétegben. A becsatolás szögének
ismeretében Λrácsállandójú rács esetén N és αj között a következőegyenlet teremt kapcsolatot, ahol ja diffrakciós rend:
j n
N j
0sin 0 . (13.5.10.)
Az optikai rács mellett más módszerek is ismertek az irodalomban a fény hullámvezetőbe való becsatolására. Terjedelmi okokból a disszertáció ezekre nem térhet ki, azonban az olvasó részletes leírást találhat róluk a [101]-es hivatkozásban.
13. 6. Nematikus folyadékkristály modulátor
A folyadékkristály elnevezés egy olyan speciális halmazállapotot jelöl, melyben rúd vagy tányér alakú szerves molekulákból álló kristályszerűanyag mechanikai tulajdonságai inkább a folyadékokéra emlékeztetnek, míg optikai, dielektromos és egyéb tulajdonságai a kristályos anyagokra jellemzőanizotrópiát mutatnak. Ennek oka, hogy bennük a molekulák csupán irány szerint rendezettek, tömegközéppontjaik nem alkotnak kristályrácsot. Megjegyzendő, hogy ez a halmazállapot csupán egy jól meghatározott hőmérséklettartományban figyelhetőmeg, ezen kívül az anyag megszilárdul, illetve átalakul izotróp folyadékká. A folyadékkristályok a molekula-tömegközéppontok rendezetlenségének mértéke szerint három csoportba sorolhatók: nematikus, szmektikus és koleszterikus. A nematikus folyadékkristályok állnak a legközelebb a folyadék halmazállapothoz; bennük csupán irány szerint rendeződnek a szerves molekulák, a tömegközéppontok elrendeződésében nem tapasztalható hosszútávú rend. A szilárd halmazállapothoz legközelebbieket, melyeket valamilyen szintűhosszútávú rend is jellemez, szmektikus folyadékkristályokként említjük. A királis molekulákat tartalmazó szmektikus rendszert pedig koleszterikusnak nevezzük [107, 108].
A folyadékkristályok –csak úgy, mint a rendezett anizotróp anyagok – optikai tulajdonsága, hogy a rajta keresztülhaladó fény kettőstörést szenved, azaz egy ordinárius (rendes) és egy extraordinárius (rendellenes) sugárra bomlik. Megfigyelték, hogy a kettőstörést követően mindkét sugár lineárisan polarizálttá válik, rezgéssíkjaik azonban egymásra merőlegesek lesznek. A kettőstörés mértékét a folyadékkristály anizotróp anyagi tulajdonságain túl a beesés iránya is jellemzi [106].
Az egytengelyűfolyadékkristályok esetében egyetlen olyan irány, azaz egyetlen optikai tengely található, melyben a beesősugár nem szenved kettőstörést. Esetükben a törésmutató két független számmal jellemezhető. A folyadékkristályoknak azon csoportját, ahol két ilyen
irányt is találhatunk, kéttengelyűnek nevezzük, s három független törésmutató paraméter szükséges a leírásukhoz. Fresnel által bevezetett törésmutató-ellipszoidokkal szemléltetve ugyanezt, úgy is fogalmazhatunk, hogy a kéttengelyűkristályok esetére háromtengelyű ellipszoidot kell alkalmaznunk, egytengelyűek esetére azonban e kép forgási ellipszoiddá egyszerűsíthető [106]. A Fresnel-ellipszoid középpontján nyugvó, a beeső fénnyel párhuzamos normálisú sík kis- és nagytengelye a terjedő fény megfelelő irányú polarizációjára érvényes törésmutatót adja [109].
Egytengelyű folyadékkristály két független törésmutatója no (ordinárius) és ne (extraordinárius). Amennyiben a beesőfénysugár a forgási ellipszoid optikai tengelyének irányával párhuzamosan érkezik, a rá merőleges ellipszoid metszet egy kör. Ekkor a kis- és a nagytengely hossza azonos, nincsen kettőstörés. Az ebben az irányban terjedőfény által érzékelt törésmutatót szokás ne -nek nevezni, míg az erre merőlegesen haladót no -nak. A kettőstörés jellemzőparamétere kettőjük különbsége nne no.
Emil Hällstig doktori disszertációjában az elektromos térrel vezérelt nematikus folyadékkristályok dinamikájának jellemzésére a következőkben részletezett tárgyalásmódot mutatta be [108]. A beesőpolarizált fény terjedési irányával kezdetben párhuzamos optikai tengellyel jellemezhetőfolyadékkristály molekulák elektromos tér hatására elfordulnak.
Amennyiben az elfordulás szögét -vel jelöljük a beesőfény által érzékelt új törésmutató Fresnel-ellipszoidot leíró egyenlet alapján a következőképpen adható meg:
Tekintsük azt a fénysugarat, mely a d vastag folyadékkristály felületére merőlegesen (y tengely mentén) terjed. Ekkor a rendszer effektív törésmutatója integrálással számítható:
Mivel a folyadékkristályban mérhetőfázissebesség a vákuumbeliénél kisebb, a rajta áthaladó
Mivel a folyadékkristályban mérhetőfázissebesség a vákuumbeliénél kisebb, a rajta áthaladó