Függelék - Fényterjedés közegben és közeghatáron

13. 1. Síkhullámok homogén közegben

Az elektromágneses mezőket leíró Maxwell-egyenletek egyik fontos megoldása az energiát szállító, haladó, elektromágneses hullámokat leíró matematikai formulák. Ezek közül a legegyszerűbb és legalapvetőbb a transzverzális síkhullámok természetét megadó síkhullám egyenletek [92].

Homogén (állandó permeabilitású és permittivitású), forrásmentes egyszerűszigetelő anyagokban, a végtelen közegbeli Maxwell-egyenletek a következőalakban írhatók:

0

ahol E elektromos térerősség és B mágneses indukció makroszkopikus térmennyiségek, D elektromos eltolás ésHmágneses térerősség pedig ezekből származtatott mezők,taz időt jelöli:

E

D és H ^1B, (13.1.2.)

aholε, permittivitás ésμpermeabilitás általában komplex függvényeω-nak, melyek anizotróp közegben tenzor alakot öltenek. Veszteségmentes, homogén, izotróp és lineáris közegben ezek valós pozitív számok [92].

A fenti (13.1.1.) egyenletek e^it harmonikus időfüggésűmegoldását keressük, hiszen ezekből Fourier-szuperpozíció révén tetszőleges megoldás előállítható [92]. Ekkor ez előző egyenletek a következőképp írhatóak át:

0

A (13.1.2.) és (13.1.3.) egyenletek megfelelőegymásba helyettesítésével a Helmholtz-féle hullámegyenletet kapjuk:



^{2}



^{E0 és}



^{2}



^{B0 (13.1.4.)}

Keressük a (13.1.4.) egyenlet megoldását egy lehetséges x irányban haladó e^ikxit síkhullám alakjában! A Helmholtz-féle hullámegyenlet a k hullámszám és az ωfrekvencia között kapcsolatot teremt: [92]







k , (13.1.5.)

mely alapján a hullám fázissebességére a következőt kapjuk:

n

ahol c0 a vákuumbeli fénysebesség, ε0 a vákuum permittivitás, valamint μ0 a vákuum permeabilitás. Az általában frekvenciafüggőn mennyiséget törésmutatónak nevezzük. A Maxwell- és a Helmholtz-egyenletet teljesítőmegoldások a síkhullámbeli mezőkre pedig:

 

E e^{ikr t} t

r

E( , ) 0 és B(r,t)B0e^{ikrt }, (13.1.7.)

aholE₀,B₀állandó vektorok (síkhullám amplitúdók),φpedig a síkhullám fázisa. AzE₀irányú egységvektort polarizációvektorként említi a szakirodalom. A (13.1.7) alakú megoldások kielégítik a Maxwell-egyenleteket, feltéve, hogy

0

azaz az elektromágneses síkhullám transzverzális, illetve

0

0 E

k

B  k  , (13.1.9.)

azaz a terjedősíkhullám ily módon összekapcsolható elektromos és mágneses komponensei egymásra, valamint a terjedés irányára merőlegesek [92]. A (13.1.7.) egyenletek segítségével a Helmholtz-féle hullámegyenlet a későbbiek szempontjából sokkal hasznosabb alakra írhatjuk át (az elektromos komponensre felírva): [79]

 

^{  2 0}

k E k E

k (13.1.10.)

13. 2. Interferencia

Hullámok lineáris közegrpontjában történőtérbeli találkozásánál hatásuk a szuperpozíció elve alapján összeadódik. A hullámok által okozott változás () mindentidőpillanatban a hullámok által külön-külön okozott változások eredője: [93]



^

Homogén és izotróp közegben terjedőkét, azonos polarizációvektorral jellemezhető harmonikus síkhullám esetén az előzőegyenlet a következőalakba írható át:

2

aholAi valós amplitúdók,Κa hullám teljes fázisa. Két ilyen hullám találkozásánál ébredő intenzitás az eredőhullám amplitúdójának négyzetével arányos:



^{( ) ( )}



Megjegyzendő, hogy egyenlőséget egy konstans szorzó, a közeg anyagi paramétereinek figyelembevételével írhatunk fel [94].

Az Euler-tételt alkalmazva az előzőegyenlet a következőalakra hozható:



2 1



mely alapján az intenzitásra a következőegyenletet írhatjuk fel:

Amennyiben két vagy több, azonos polarizációvektorú síkhullám találkozásánál teljesül az a speciális feltétel (ún. interferencia feltétel), hogy azok teljes fázisának különbsége időben állandó (illetve a megfigyelési időhöz képest csak lassan változik), azaz koherensek, akkor a szuperpozíció speciális esetét interferenciának nevezzük, s az előzőegyenlet a következő alakot ölti:

Végezetül fontos megjegyezni, hogy megkülönböztethetjük az interferencia két szélsőséges esetét; mikor a két síkhullám fáziskülönbsége pontosan 2πegész, illetve félegész számú többszöröse. Az előbbi teljesülésekor maximálisan erősíti egymást a két hullám (konstruktív interferencia), míg az utóbbinál maximálisan kioltást figyelhetünk meg (destruktív interferencia).

13. 3. Síkhullámok közegek határán

A „13. 1. Síkhullámok homogén közegben” címűalfejezetben láttuk, hogy a Maxwell-egyenletek homogén és forrásmentes, egyszerűszigetelőanyagokban síkhullám alakú megoldásokkal kielégíthetőek. Az ilyen megoldások végtelen közegben, a téridőminden egyes pontjában érvényesek. Eltérőközegek rendszerében azonban csak lokális megoldások léteznek, melyeket az ún. határfeltételek figyelembevételével egyeztetnünk kell. Áram és töltésmentes esetben, egy n normálisú, 1.) és 2.) közegeket elválasztó határra a következő feltételek írhatók fel: [92]

0

Ezek megkövetelik, hogy EésHérintőirányú (tangenciális,t), illetveDésBnormális irányú (n) komponensei folytonosan menjenek át a közeghatáron. E feltételek kinematikai következménye, hogy a határfelületen az 1.) közegből θ1 szög alatt érkezők1 beeső, a 2.) közegbe θ2 szög alatt átlépők2 megtört és az 1.) közegben maradó (szintén) θ1 szög alatt visszavert k1' síkhullámok hullámszám vektorai közös síkban, ún. beesési síkban fekszenek, illetve hullámszámvektoraik határfelület síkjával párhuzamos komponensei meg kell, hogy egyezzenek:



nk1



határon 

 

nk2 határon 

^

nk1'

^

határon kt. (13.3.2.)

Továbbá, hogy a tangenciális komponensek között a Snellius-Descartes-törvény teremt kapcsolatot [92]. Mindezeket a 13.3.-1. ábra igyekszik szemléltetni.

13.3.-1. ábra Mikor a síkhullám közeghatárhoz érkezik, a határfeltételeknek eleget téve a határfelületen visszaverődést és törést szenved.

A határfeltételek dinamikai jellegűkövetkezményeit a (13.1.2), (13.1.7.) és (13.1.9.) összefüggések segítségével a (13.3.1.) egyenlet új alakba való átírásával fejthetjük meg.

Alkalmazzuk a fenti jelölésmódot:

 

Célszerűe síkhullámokat két ortogonális polarizációvektor által kitüntetett irányú síkhullám komponensek lineárkombinációjaként felírni, s a két esetet külön tárgyalni. Az elsőben a síkhullámok polarizációvektora legyen a beesési síkban, a másodikban pedig legyen erre merőleges. Jelöljük ezeket rendre E₀^p -vel és E^s0 -sel a német „parallel” (párhuzamos) és

„senkrecht” (merőleges) terminológia alapján.

kr t p s ikr t s

Ezekre külön megoldva a (13.3.3.) összefüggéseket a visszavert és a megtört nyalábok beesőhöz viszonyított amplitúdó arányát megadó Fresnel-egyenletekhez jutunk. Kihasználva, hogy az optikai tartományba esőfrekvenciákra a dielektromos közegek permeabilitása általában jó közelítéssel azonosnak vehető, a komplex reflexiós (r) és transzmissziós (t) Fresnel-együtthatók szigetelők esetére a következő, egyszerűbb alakot öltik: [92]

 

13. 4. Az ellipszometria

Amikor a fény két eltérőtörésmutatójú közeg határfelületéről reflektálódik, polarizációs állapota megváltozik. Ennek mértéke e két közeg anyagi minőségének függvénye. Az ellipszometria ezt a polarizációváltozását méri. Ennek matematikai tárgyalásához haladjunk tovább az előzőalfejeztben megkezdett úton. A határfelületre esőés onnan visszaverődőfény polarizációs állapota úgy tárgyalható könnyedén, ha a nyaláb E elektromos térerősség vektorát az előzőalfejezetben látott módon két független síkhullám komponensre bontjuk.

Ekkor a síkhullám polarizációs állapotát a következőparaméterrel, ún. polarizációs együttható-val jellemezhetjük:

In document Interferometrikus optikai hullámvezető bioszenzor jelölésmentes érzékeléshez (Pldal 101-106)