Véletlen ütemezésű rész-szállítmányok esete

= 1−ε egyenlet megoldása.

7.1. Példa. Egy folyamatos üzem részére 30 napra kell 99%-os biztonsággal fedezni a raktárkészletet. A napi igény az illető anyagból 100 egység. Az eddigi tapasztalatok szerint a szállítás időpontja egyenletes eloszlású a[0,30]

intervallumban. Határozzuk meg azM₀ indulókészletet!

Megoldás. Miután az

X ≤ M₀

d = M₀ 100

érték a feltételek szerint a[0,30]intervallumba esik, így az eloszlásfüggvény F(t) = t

30, így

F M0

d

= M₀

d

30 = 1−ε,

azaz M₀

3000 = 0,99 , tehát

M₀ = 0.99·3000 = 2970

egységet kell megrendelnünk az adott biztonság eléréséhez.

7.3.2. Véletlen ütemezésű rész-szállítmányok esete

Ilyen modelleket először Prékopa András és Ziermann Margit dolgozott ki.

Azt feltételezzük, hogy a megrendelt mennyiség véletlen időpontokban és véletlen mennyiségekben érkezik be az adott [0, T] intervallumban, de a T

időpontig az egész megrendelt mennyiség beérkezik. A modell sokkal általá-nosabb és sokkal szélesebb területen alkalmazható, mint első látásra gondol-nánk, hiszen a víztározók kapacitásának a problémája is ugyanilyen feladat.

Most tegyük fel, hogy a rész-szálítmányok egyenlő nagyságúak. Legyenek a beérkezési időpontok

t₁, t₂, . . . t_n.

Tegyük fel, hogy ezek teljesen véletlenszerűen helyezkednek el a [0, T] in-tervallumban, azaz egyenletes eloszlást követnek a [0, T] intervallumban, és ezekben az időpontokban a megrendelt mennyyiségn-edrésze érkezik be. Fel-adatunk annak az M₀ indulókészletnek a meghatározása, amely adott 1−ε megbízhatósági szinten biztosítja a folyamatos működést, azaz a raktárkész-let nem-negativitását.

Használjuk ismét a következő jelöléseket:

d= az időegység alatti igény,

M₀(n, ε) = az indulókészlet (most ez függvénye a rész-szállítások számának is).

A [0, T] időszak igénye T d, ezt kell megfelelő idővel korábban megrendel-nünk. Keressük azt azM₀(n, ε)az indulókészletet, amely 1−εbiztonsággal biztosítja a termelés anyag-igényét.

Az anyagfelhasználást a[0, t]intervallumban az_t =t·dlineáris függvény írja le, míg a t időpontig a raktárba összesen beérkezett anyagmennyiséget (az indulókészlet és at₁, t₂, . . . t_n időpontokban beérkező T d

lépcsős függvény írja le. Ha az

y_t ≥z_t

egyenlőtlenség minden t ∈ [0, T] esetén teljesül, akkor tökéletes az anyagel-látás. A mi feladatunk a

P

feltétel teljesítése.

A Szmirnov-tétel felhasználásával igazolható a következő tétel:

7.2. TÉTEL. Ha n > 20, akkor a [0, T] intervallumban az időegységre jutó d felhasználást 1−ε megbízhatósági szinten garantáló indulókészlet

M₀(n, ε) =dT r 1

2nln1 ε.

8. fejezet

A szimuláció alapjai

8.1. Monte Carlo módszerek

8.1. Definíció. Monte Carlo módszereknek nevezzük matematikai felada-tok megoldásának véletlen mennyiségek modellezését felhasználó numerikus módszereit.

A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásá-ban (pénzérme, dobókocka, szerencsejátékok), amelyek segítenek a tapasz-talatszerzésben a valószínűségről és annak törvényszerűségeiről. Ne felejtsük el, hogy a valószínűség-számítás fogalmai, tételei feltételezik, hogy az elemzés tömegjelenségre vonatkozik.

A véletlen számok legfontosabb alkalmazása a szimuláció, amely lehetővé teszi a tapasztalatszerzést a véletlenről, drága kísérletek modellezését, más módszerrel nehezen kiszámítható értékek meghatározását stb.

Kezdetben ehhez vagy egyszerű kísérleteket (kockadobás) végeztek vagy elő-regyártott táblázatokat alkalmaztak. De az összetettebb jelenségek lefutásá-nak vizsgálatához200. . .500 kockadobás is szükséges. További problémákat vet fel az egyenletesség és a különböző típusú "kockák" elkészítése. Ma már legtöbbször számítógépes algoritmusokat használunk.

A szimuláció alapvető problémái: egy determinisztikus számítógépen köze-lítjük a véletlent. Diszkréttel közelítünk folytonosat vagy fordítva. Végtelen feladat korlátos modell, véges szimuláció.

8.2. Pszeudovéletlen számok

Azokat az x₁, x₂, . . . , x_n számokat, amelyeket egy adott algoritmus alapján számítottunk ki, és a véletlen számok helyett használhatók, pszeudovéletlen számoknak nevezzük. A generálásuknak és ellenőrzésüknek (egyenletesség, véletlenszerűség) külön elmélete alakult ki. Ezzel itt nem foglalkozunk. A legtöbb magasszintű számítógépi programozási nyelv elég jó generátort tar-talmaz beépített eljárásként. Azért ajánlatos az ellenőrzés. Itt most két egyszerű pszeudovéletlenszám generátort adunk meg.

8.2. Példa.

x₁ = 1, x_n+1 ≡125x_n (mod 8192). (8.1) 8.3. Példa.

x₁= 1, x_n+1≡16807x_n (mod 2147483647). (8.2) Napjainkban majdnem minden számítógép (programozási nyelv, program-csomag) az előző példákhoz hasonló beépített kongruenciális generátort hasz-nál. Az x₁, x₂, . . . , x_k számok generálására ilyen a lineáris kongruencia vagy hatványmaradék módszer, ekkor a következő rekurzív kapcsolat adott:

x_i+1= αx_i+c (mod m), (8.3) ahol α konstans szorzó, c a növekmény és m a modulus. Az x₀ kezdő érték az ún. "seed". Ha megoldjuk a 8.3 egyenletet, akkor azt kapjuk, hogy

x_n =

αⁿx₀+cαⁿ−1 α−1

(mod m). (8.4)

Nyilván a paraméterek határozzák meg a generátor "jóságát". A szokásos követelmények egy véletlenszámgenerátorral szemben:

1. Jó statisztikai tulajdonságok. Tehát legyenek függetlenek (korrelálat-lanok) és aznos eloszlásúak.

2. Az ismétlődési periódus legyen hosszú, hogy sok és változatos problé-mánál legyen alkalmazható.

3. Ismételhető legyen. Tehát ugyanazokra a paraméterekre ugyanazt a sorozatot adja.

4. A szimulációk többsége sok véletlen számot igényel, ezért legyen gyors és könnyen számolható.

5. Legyen könnyű a szeparált sorozatok készítése.

A paraméterek választására javasoljuk a [9] irodalmat.

8.4. Megjegyzés. Diszkrét egyenletes (klasszikus valószínűségi mező) elosz-lást közelítenek a megadott rekurzív algoritmusok. Az 8.1 példa még számí-tógép nélkül is jól használható.

A számítógépi algoritmusok legtöbbször (valójában mindig diszkrétet, hiszen véges a számábrázolásuk) a[0,1]intervallumon egyenletes eloszlást próbálják közelíteni, mert ebből különböző módszerek segítségével – a tanult eloszlások tulajdonságainak felhasználásával – más eloszlású véletlen számokat tudunk előállítani.

8.2.1. Inverzfüggvény módszer

HaF szigorúan monoton növő eloszlásfüggvény és X F eloszlású, akkorY = F(X) egyenletes eloszlású a [0,1] intervallumon. Fordítva, ha X ∼U(0,1), akkor Y =F⁻¹(X) éppenF eloszlású.

8.5. Következmény. 1. HaX ∼U(0,1),akkor Y = (b−a)X+a∼U(a, b).

2. Ha X ∼U(0,1), akkor Y =−1

λln(X)∼Exp(λ).

3. Ha X ∼U(0,1), akkor Y =tg(π(X−0.5)) standard Cauchy eloszlású.

4. Ha X ∼U(0,1), akkor Y = Φ⁻¹(X) standard normális eloszlású.

8.2.2. Az elfogadás-elvetés módszere

Legyen azX valószínűségi változó sűrűségfüggvényef, amelyhez létezik egy olyan g sűrűségfüggvény, hogy f(x) ≤ cg(x) (minden x-re és c egy véges konstans) és a g könnyen generálható eloszlású. Legyen az Y valószínűségi változóg sűrűségfüggvényű és U ∼U(0,1),amely függetlenY-tól, ekkor

(Y| hacU g(Y)< f(Y))∼X, (8.5) azaz a feltételes valószínűségi változó éppen megfelel azX eloszlásának.

Bizonyítás. Valójában 8.6. Megjegyzés. Ez a módszer akkor praktikus, haY könnyen generálható éscnem nagyon nagy (tehát az elutasítás nem gyakori). Ha lehetséges, akkor az optimális választás a c konstansra

c= sup Y ∼ Γ(1, a) eloszlású véletlen számokat generálni, ahol a ∈ (0,1], ekkor a sűrűségfüggvény

míg

g₂(x) =e^−x+1, ha 1< x <+∞.

Ekkor g₁ és g₂ is sűrűségfüggvény és mind a kettő szimulálható az inverz-függvény módszerrel. g pedig a kettő keveréke, ahol a súlyok

e

a+e és a a+e.

Generálunk egy egyenletest a (0,1) intervallumon ez eldönti, hogy melyik függvénnyel folytatjuk felhasználva az inverzfüggvény módszert és utána az elfogadás-elvetés módszerével kapjuk az Y értékét. Tehát három U(0,1) típusú véletlen számot használunk fel.

8.2.3. Normális eloszlás generálása

A normális eloszlás eloszlásfüggvénye nehezen kezelhető, ezért számos gene-rátort találtak ki a tulajdonságai alapján. Néhány példa.

8.8. Példa. Ha X_i∼U(0,1)(i= 1, . . . ,12),akkor Y =

12

X

i=1

X_i−6

közelítőleg standard normális eloszlású. Ez a centrális határeloszlás-tétel egy véges alkalmazása. Nem hatékony, mert sok véletlen számot használ. A 8.1 ábrán látható, ha csak három összegét tekintjük.

8.9. Példa. A legtöbb statisztikai programcsomag a következő ún. Box-Müller módszert használja. Legyen

U_i ∼U(0,1)(i= 1,2), ekkor

X₁= p

−2 lnU₁cos(2πU₂), X₂ =p

−2 lnU₁sin(2πU₂) közelítőleg statndard normális eloszlásúak.

8.1. ábra.

8.3. A Brown-mozgás

8.10. Definíció. A Brown-mozgás olyan

{W(t), t∈[0,∞)} (8.7) véletlen folyamat, ahol

1. W(0) = 0.

2. W(t)folytonos.

3. AW folyamat független növekményű.

4. W(t+s)−W(s)∼N(0, σ²t).

W(t)megfigyelt a[0, T]intervallumon ésσ² = 1.Tudjuk, hogy a kovariancia függvény

R(s, t) = min(s, t). (8.8)

A sajátfüggvényekre

Z T 0

R(s, t)ϕ(t)dt=λϕ(t), (8.9)

8.2. ábra.

azaz

−ϕ(s) =λϕ^′′(s), ϕ(0) = 0, ϕ^′(0) = 0. (8.10) Tehát megadható a Karhunen-Loeve sorfejtés [3], [16]:

W(t) =ξ₀ t

√π + 2

√π

∞

X

j=1

sin(jt)

j ξ_j, (8.11)

ahol t ∈ [0, π], j ∈ N, ξ_j ∼ N(0,1), azaz standard Gauss-eloszlású. Ez alapján készült szimulációkat láthatunk a 8.4, 8.5, 8.6 ábrán.

8.4. A közelítő integrálás hibája

Az egyszerű Monte-Carlo módszer esetén a hibabecslés jellemzésére általában a szórást használjuk.

8.3. ábra.

Legyen hegy tetszőleges valós függvény, amely esetén az Z ∞

−∞

h²(x)dF(x) (8.12)

létezik. Ez szükséges és elégséges feltétele, hogy az Y = h(X) valószínűsé-gi változó, ahol X F eloszlásfüggvényű, szórásnégyzete létezzen. Továbbá legyen

E(h(X)) =µ, és D²(h(X)) = σ², (8.13) akkor az X₁, X₂, . . . , X_n minta esetén(X_i F eloszlású) a hibabecslés szórás-négyzete

D²(ε) = 1

n²D²(h(X₁) +h(X₂) +· · ·+h(X_n)) = σ²

n . (8.14) Ebből leolvashatjuk a Monte-Carlo módszer egy igen lényeges tulajdonságát:

ha a mintaelemek számát növeljük a hiba illetve a jellemzését adó szórás

8.4. ábra. Brown-mozgás a [0,2π] intervallumon

8.5. ábra. Brown-mozgás a [0,2π] intervallumon

8.6. ábra. Brown-mozgás a [0,2π] intervallumon

csak √

n arányában csökken. Látszólag ez azt jelenti, hogy azok a jó becs-lések, amelyeknek kicsi a szórása. De azzal, hogy a robusztus tulajdonságok nem változnak meg egy konstans tényező hatására az következik, hogy más szempontból kell összehasonlítani az integrálási tulajdonságokat, illetve ér-zékenységeket. Ezeket a további vizsgálatokat célszerű úgy elvégezni, hogy a szórások legyenek egyenlőek a becsléseknél. Legyen ez a közös érték 1, s az ilyen egyenletet nevezzük kanonikus egyenletnek.

8.11. Példa. Hány darab véletlen számot kell generálni ahhoz, hogy az

I = π Z2

0

sinxdx (8.15)

integrált megbecsüljük úgy, hogy a becslés abszolút hibája legfeljebbI 0.1%

legyen legalább0.99 valószínűséggel?

Bizonyítás. Tudjuk, hogy

2 πI= 2

π π Z2

0

sinxdx = π Z2

0

sinx2

πdx=E(sinX), (8.16) ahol X ∼U

0,π 2

. Tehát I egy közelítő értéke

I_n = π 2n

n

X

i=1

sinX_n, (8.17)

ahol X_n pszeudovéletlenszám a 0,π

2

intervallumból. Felhasználva, hogy I_n−I

D(I_n) ∼N(0,1), (8.18)

ahol

D²(I_n) = π²

4nD²(sinX) = π²−8

8n (8.19)

kapjuk, hogyn≈1550579.

9. fejezet

Alkalmazások

9.1. Geometriai Brown-mozgás

Legyen {X˜(t) : t ≥ 0} Brown-mozgás. A sodródó Brown-mozgás olyan sztochasztikus folyamat, melynek eloszlása megegyezik

X(t) = ˜X(t) +µt, t≥0 (9.1)

eloszlásával, ahol µ állandó (sodrási paraméter).

A folyamatot definiálhatnánk a következő módon is.

9.1. Definíció. A{X(t) :t≥0} sodródó Brown-mozgás, ha

(1)X(t+s)−X(s)∼N(µt, σ²t),0< s, t. µés σ rögzített konstans.

(2)t₁ < t₂ < t₃ <· · ·< t_n−1 < t_n,akkor a

X(t₂)−X(t₁), X(t₂)−X(t₁), . . . , X(t_n)−X(t_n−1) (9.2) valószínűségi változók függetlenek.

(3)X(0) = 0,és X(t)folytonos a 0 pontban.

9.2. Megjegyzés.

P(X(t)< x|X(t₀) =x₀) =P(X(t)−X(t₀)< x−x₀) =

=

x−x0

Z

∞

1

p2π(t−t₀)σexp

−(y−µ(t−t₀))² 2(t−t₀)σ²

dy=

=

9.3. Megjegyzés. Ha µ 6= 0, akkor a folyamat nem szimmetrikus, és a tükrözési elv nem használható a folyamat maximuma eloszlásának kiszámo-lására.

Legyen{X(t) :t≥0}olyan Brown-mozgás, amelynek sodrási paramétereµ, és diffúziós együtthatója pedigσ². Az

Y(t) =e^X(t), t≥0 (9.5) egyenlőséggel definiált folyamatot geometriai Brown mozgásnak nevezzük.

Mivel Y(t) =Y(0)e^X(t)−X(0),ezért a normális eloszlás karakterisztikus függ-vénye alapján 9.4. Példa. Egy tökéletes piacon árusított részvény árváltozásainak model-lezése:

– nem-negatív árak;

– oszcilláló viselkedés (hosszú távon exponenciális csökkenésekkel tarkított exponenciális növekedés);

Alkalmas modell: Ha a jövőbeli ár és a pillanatnyi ár arányáról előre meg lehetne mondani, hogy milyen akkor a résztvevők vétellel illetve eladással korrigálnának. Egyensúlyi helyzetet akkor kapunk, ha az arányról nem lehet előre megjósolni, hogy vajon kedvező lesz-e vagy kedvezőtlen (függetlenség).

Érdemes-e örökös biztosítékot adni a tőzsdén?

Biztosíték: elővételi jog, hogy valaki előre rögzített számú részvényt vásárol-hasson valamilyen előre megállapított áron, egy előírt időperiódus bármely időpontjában.

Az elővételi joggal rendelkező profitja az, amennyivel a tőzsdei ár meghaladja az opciós árat.

Feltevés: az opciót fenntartó a megállapított áron vásárolhat és újra eladhat a tőzsdén (profit realizálás). Örök idejű biztosítékot tekintünk – az opciónak nincs lejárati ideje.

"Ésszerű" stratégia: az első olyan időpont alkalmával gyakoroljuk az elővételi jogot, amikor a részvény ára valamilyen meghatározottaszintet ér el. Legyen egységnyi a biztosítékban meghatározott ár, ekkor a potenciális profita−1 (a >1).

Egy ilyen opció birtokosa, legalábbis részben, lemond a részvény közvetlen birtoklásáról, amelynek értéke (várhatóan) időegységenként α = µ+ 1

2σ²

Az opciótól ϑ > αhozamot követelünk meg (leszámítolás, jelenérték).

Legyen T(a) az első időpont, amelyre Y(T(a)) = a. Ekkor a leszámítolt potenciális profit

e^−ϑT(a)[Y(T(a))−1] =e^−ϑT(a)(a−1). (9.11) A várható leszámítolt profit nagyságát akarjuk kiszámítani, és azután maxi-malizálni a várható profitot.

AT(a)az első olyan időpont, amikor X(t)−lnY(t)eléri az ln(a)szintet.

9.5. TÉTEL. Legyen X(t) Brown-mozgás, µ ≥ 0. Legyenek z > X(0) = x adott értékek, és legyenT_z az első olyan érték, amelyre X(T_z) =z. AX(0) = xfeltétel mellett T_z sűrűségfüggvénye

f(t;x, z) = z−x

9.6. Megjegyzés. µ≥0eseténT biztosan kisebb, mint végtelen, és a

Legyen z= lnaés x= lny,akkor a Laplace transzformált alapján E(e^−ϑT|Y(0) =y) =y

A leszámítolt profit várható értéke

g(y, a) = (a−1)E(e^−ϑT|Y(0) =y) = (a−1)y

Az egyenletet megoldva kapjuk, hogy a^⋆ = ̺

A mérnöki, a közgazdasági és az orvosi gyakorlatban is nagyon sokszor for-dul elő, hogy egy gép (egység, ember) élettartamát vizsgáljuk. Az élettar-tam értelemszerűen egyX ≥0 nemnegatív valószínűségi változó. Legyen az X valószínűségi változó eloszlásfüggvénye F(x) és sűrűségfüggvénye f (x).

Élettartam-vizsgálatoknál használatos azS(x)túlélési függvény S(x) =P (X > x)

és abszolút folytonos eloszlást feltételezve S(x) = 1−F(x).

A továbbiakban a meghibásodik, meghal ill. tönkremegy igéket szinonímák-nak tekintjük. Hasonlóképpen nem teszünk különbséget a túléli, jó marad stb. kifejezések között.

9.7. Definíció. AzX valószínűségi változó túlélési függvényeannak valószí-nűsége, hogy az egyed azx időpontnál később hibásodik meg

S(x) =P (X > x) = 1−F(x).

Egy kísérletnél sokszor nem az érdekel, hogy az eredeti populációval mi törté-nik, hanem csak azok érdekelnek, amelyek (akik) nem mentek tönkre (életben vannak). Ilyenkor igen hasznos segédeszköz a meghibásodási (kockázati) ráta.

Vizsgáljuk annak a feltételes valószínűségét, hogy egy egyed az (x, x+ ∆x) intervallumban hal meg, feltéve, hogy az intervallum elején, azxidőpontban még életben volt

P(x≤X < x+ ∆x|X > x) = P(x≤X < x+ ∆x, X > x) P(X > x) =

= P(x≤X < x+ ∆x)

P(X > x) ≈ f (x) ∆x S(x) . 9.8. Definíció. Akockázati (meghibásodási) ráta annak az időegységre vett valószínűsége, hogy egy olyan egyed, amelyik az intervallum elején még élet-ben volt meghibásodik ebélet-ben az intervallumban

λ(x) = f(x) S(x). Innen kapjuk, hogy

λ(x) = f(x) 1−F (x),

kihasználva, hogy F^′(x) =f(x), majd az analízisbeli láncszabályt λ(x) =−S^′(x)

S(x) =−d[lnS(x)]

dx .

A kockázati (ráta) függvények különböző alakúak lehetnek még akkor is, ha a megfelelő sűrűségfüggvények igen hasonló alakúak, és így jelentős mértékben segítenek jellemezni a különböző típusú kockázatokat. A műszaki gyakor-latban a meghibásodásokat alapvetően három fajta meghibásodási rátával jellemzik.

- Növekedő kockázati függvény jellemzi azokat az egyedeket, melyek az idő múlásával egyre jobban elöregednek.

- A leggyakrabban használt kockázati függvény az U-típusú kockázati függ-vény, azaz amikor egy kezdeti periódus után, amikor csak a "veleszületett"

hibák miatt halnak meg egyedek, egy olyan periódus jön, amikor csak véletlen hibák okoznak meghibásodást, és végül az egyedek elöregednek.

-Még csökkenő kockázati függvények is elfordulnak a gyakorlatban

Élettartam (túlélési) vizsgálatoknál tipikus jelenség, hogy bizonyos egyedek-ről tudjuk, hogy egy adott kort elértek, de nem tudjuk pontosan meddig éltek. Műszaki kísérleteknél általában valamikor abbahagyjuk az élettartam vizsgálatot.

Tipikusan kétféle módon szokták terminálni a kísérletet: vagy egy adott időpontig folytatjuk a vizsgálatot, vagy pedig addig folyik a kísérlet, amíg a kísérletben résztvevő alkatrészek adott százaléka tönkre megy. Mindkét esetben a tönkre nem ment alkatrészek élettartamáról csak azt tudjuk, hogy nagyobb vagy egyenlő a kísérlet befejezésének az időpontjánál, de a pontos érték ismeretlen. Orvosi kísérleteknél, kezeléseknél is tipikus jelenség, hogy a kezelt betegek búcsú nélkül elköltöznek, meggyógyulnak (és akkor már mi-nek menjek az orvoshoz!), vagy külön értesítés nélkül meghalnak. Műszaki vizsgálatoknál az is előfordulhat, hogy a kísérlet megkezdése után nagyon hamar romlanak el egységek, és ezekről csak azt tudjuk, hogy az adott mi-nimális megfigyelési idő előtt elromlottak, de a pontos élettartamuk nem ismert. Ezekben az esetekben cenzorált megfigyelésekről beszélünk. Az első két esetben felülről (jobbról) cenzoráltak, az utóbbi esetben aluról (balról) cenzoráltakaz adatok.

A szokásos szatisztikai módszerekkel azért kell vigyázni, mert a cenzorált értékek nyilvánvalóan nem azonos eloszlásúak a teljes sokasággal. Elhagyni sem szabad ezeket a cenzorált adatokat, mert jelentős információt hordoznak.

Az életbiztosítással kapcsoltos számításokhoz készült a Kaplan-Meier becs-lés, amely cenzorált adatok tapasztalati eloszlásfüggvényének, pontosabban a túlélési függvényének a becslésére készült.

9.9. Definíció. Az X élettartamra megfigyelt adatok legyenek (t_i, δ_i), ahol t_i (i= 1,2, . . . n) az időpontok, míg

δ_i = 1, ha a t_i időpont ténylegesen megfigyelt érték, δ_i = 0, ha a t_i időpont cenzorált érték.

Jelölje t^∗_i at_i (i= 1,2, . . . n)minta rendezett elemeit, azaz t^∗₁ < t^∗₂ <· · ·< t^∗_n,

akkor azS(t)megbízhatósági függvény Sˆ(t) Kaplan-Meier becslése

Sˆ(t) =













 Y

i:t^∗_i≤t

n−i n−i+ 1

δi

, ha t≤t^∗_n,

0, ha δ_n = 1,és t > t^∗_n, definiálatlan, ha δ_n = 0 és t > t^∗_n.

Ha az értékek között egyenlőek is vannak, akkor szokásos megállapodás, hogy a tényleges meghibásodások (δ_i= 1) megelőzik a cenzorált értékeket (δ_i = 0).

9.10. Megjegyzés. Az irodalomban és a számítógépes programokban nincs egyértelmű megállapodás, hogy aδ= 1vagy a δ_i= 0 jelenti-e a cenzorálást.

Felhasználás előtt mindig ellenőrizzék a program dokumentációjában!

1972-ben D. R. Cox bevezetett egy regressziós modellt annak a vizsgálatára, hogy erősen cenzorált adatok esetén miként lehet elemezni, hogy függ-e a túlélés bizonyos magyarázó változóktól, és ha igen, akkor miként függ. Mivel most a minket leginkább érdeklő változó az idő, ezért a továbbiakban T -vel jelöljük a folytonos eloszlású valószínűségi változót, a túlélési időt. A T változót vizsgáljuk az x = (x₁, x₂, . . . , x_p)^′ magyarázó változók (független változók) függvényében.

9.11. Definíció. A kockázati ráta arányos kockázati ráta, ha a kockázati ráta a következő alakú

λ(t;x) =λ₀(t)e^β′x=λ₀(t)e^{β1x1+β2x2+···+βpxp}, (9.20) ahol λ₀(t)az úgynevezett alap kockázat, az a kockázati ráta érték, amelyik a magyarázó változók (0,0, . . . ,0) értékéhez tartozik.

In document Sztochasztikus modellezés (Pldal 180-0)