Állapotok osztályozása

Azt mondjuk, hogy a j állapot elérhető az i állapotból, ha véges számú lépésben pozitív az iállapotból aj állapotba kerülés valószínűsége, azaz ha van olyann, hogy a P_jiⁿ n-lépéses átmeneti valószínűség pozitív.

5.17. Definíció. Ha minden állapot elérhető minden állapotból, akkor a Markov-láncotirreducibilisnek nevezzük.

Például a 5.9 példa Markov-lánca irreducibilis, ha mindenp_i pozitív, hiszen ekkor P_ji¹ =p_i >0.

Ha az i és j állapotok kölcsönösen elérhetőek, azaz az i állapotból elérhető a j állapot és a j állapotból is elérhető az i állapot, akkor a két állapotot kapcsolódónak nevezzük és a következő jelölést használjuk:

i←→j.

5.18. ÁLLÍTÁS. A kapcsolódás reláció ekvivalencia reláció, azaz teljesül a következő három tulajdonság:

a) (reflexív) i←→i,

b) (szimmetrikus) ha i←→j, akkor j ←→i,

c) (tranzitív) ha i←→j, és j ←→k,akkor i←→k.

Bizonyítás. a) Mivel definíció szerint P_ii⁰ = 1 , így minden állapot saját magával azonos osztályban van.

b) Nyilvánvaló, hogy hai←→j,azaz az i állapotból elérhető a j állapot és aj állapotból is elérhető az iállapot, akkor j ←→iis fennáll.

c) Ha i←→j, akkor van olyan n, hogy P_ijⁿ >0,és j ←→k miatt van olyan Az ekvivalencia reláció egy osztálybasorolást indukál, azonos osztályban van-nak a kapcsolódó elemek. Egy irreducibilis Markov-lánc elemei egyetlen tályt alkotnak. A nem irreducibilis Markov-láncok tehát két vagy több osz-tályra bomlanak szét. A 5.12 példában a nulla állapot alkot egy osztályt, míg az összes többi állapot egy másik osztályt. A 5.13 példában három osztály van: a0,bés {n: 0< n < b}. Mindkét példában látható, hogy lehetséges az egyik osztályból a másikba jutni, de vissza már nem lehet kerülni. A

P =

átmeneti valószínűség mátrixú Markov-lánc esetén viszont a két osztály ({1,2} és {3,4})

között már egyirányú átjárás sem lehetséges.

Igen érdekes annak a vizsgálata, hogy a Markov-lánc visszatér-e egy adott állapotába, és ha igen, akkor hány lépésen belül. A következő jelölés igen hasznos lesz ennek a kérdésnek a tárgyalásában.

5.19. Definíció. A Markov-lánc tetszőleges i állapota ésn > 0egész szám esetén jelölje f_i⁽ⁿ⁾ annak a valószínűségét, hogy pontosan n lépésben kerül előszörvissza a Markov-lánc az i állapotból azi állapotba.

Egy rögzített i állapot esetén jelölje B_k (k = 1,2, . . . , n) azt az eseményt, hogy a Markov-lánc pontosan a k-adik lépésben kerül először vissza az i állapotba és utána n−k lépésben megint visszatér (mindegy hányszor) az i állapotba. Használjuk azt a megállapodást, hogy P_ii⁽⁰⁾ = 1. Ekkor az az esemény, hogy a Markov-lánc az n-edik lépésben visszatér az i állapot-ba felbontható a diszjunkt B_k (k = 1,2, . . . , n) események összegére, így a B_k események definíciója miatt

P(B_k) =f_i^(k)P_ii^(n−k), (k= 1,2, . . . , n), így

P_ii⁽ⁿ⁾=

n−1

X

k=1

f_i^(k)P_ii^(n−k)+f_i⁽ⁿ⁾, han > 1, és értelemszerűen

P_ii⁽¹⁾=f_i⁽¹⁾, ha n= 1.

Így rekurzíve ki tudjuk számítani mindenn-re annak az f_i⁽ⁿ⁾ valószínűségét, hogy a Markov-lánc pontosan az n-edik lépésben kerül először vissza az i állapotba.

Annak az f_i valószínűsége, hogy mindegy hány lépésben, de visszatér a Markov-lánc az iállapotba a teljes valószínűség tétele miatt

f_i =

∞

X

k=1

f_i^(k).

5.20. Definíció. Haf_i = 1,azaz1valószínűséggel véges sok lépésben vissza-tér a Markov-lánc az i állapotba, akkor az i állapotot visszatérő állapotnak nevezzük. Ha egy állapot nem visszatérő, akkor azt átmenetinek nevezzük.

Bizonyítás nélkül közöljük a következő tételt, amelyik a visszatérőség és az n-lépéses átmeneti valószínűség mátrix (átlója) elemei közti összefüggést adja meg.

5.21. TÉTEL. Egy i állapot akkor és csak akkor visszatérő, ha

∞

X

n=1

P_ii⁽ⁿ⁾ =∞.

Az előző egyenletbenP_ii⁽ⁿ⁾ annak a valószínűsége, hogynlépésben a Markov-lánc visszatér aziállapotba. Azonban lehet, hogy többször is visszatér, így a (5.21) tételben pontosan a visszatérések számának a várható értéke szerepel.

Tehát a tételt úgy is átfogalmazhatjuk, hogy egyiállapot akkor és csak akkor visszatérő, ha a visszatérések számának a várható értéke végtelen.

Mivelj állapotból aj állapotba nem csak úgy lehet visszatérni, hogyn lépés-ben először átmegyünk aziállapotba, majd valahány lépésben visszatérünk azi állapotba és végül m lépésben átmegyünk azj állapotba, ezért

P_jj^(n+m+r)≥

Innen viszont következik, hogy a P∞

n=1P_ii⁽ⁿ⁾ sor divergenciája maga után vonja aP∞

n=1P_jj⁽ⁿ⁾ sor divergenciáját is ( és felcserélve az indexeket fordítva is következik). Tehát beláttuk az előző tétel következményét:

5.22. Következmény. Ha azi és a j állapotok kapcsolódóak, azaz i←→j, akkor vagy mindkettő visszatérő, vagy mindkettő átmeneti, tehát a visszaté-rőség osztálytulajdonság.

Ha azi állapot visszatérő állapot, azaz a Markov-lánc 1 valószínűséggel vé-ges számú lépésben visszatér az i állapotba, akkor van értelme az átlagos visszatérési időről beszélni:

5.23. Definíció. Az i visszatérő állapot átlagos visszatérési ideje a vissza-térések számának a várható értéke

m_i =

∞

X

n=1

nf_i⁽ⁿ⁾.

5.24. Definíció. Egyivisszatérő állapototvisszatérő nulla állapotnak neve-zünk, ha az átlagos visszatérés ideje végtelen. Ha az átlagos visszatérés ideje véges, akkor az állapototpozitív visszatérő állapotnak nevezzük.

Tehát a visszatérő nulla állapot eseténf_i = 1és m_i=∞.

5.25. Példa. Tekintsük a 5.11 példában vizsgált bolyongást. Minden potból pozitív valószínűséggel elérhető bármely állapot, ezért az összes álla-pot egyetlen ekvivalenciaosztályt alkot. Mivel a visszatérőség osztálytulaj-donság, így elegendő egy állapotról (például a 0 állapotról) eldönteni, hogy viszatérő-e vagy sem. Nyilvánvalóan

P₀₀⁽²ⁿ⁺¹⁾= 0, (n= 1,2,3, . . .), Stirling-formulát felhasználvaP₀₀⁽²ⁿ⁾ közelítő értéke

P₀₀⁽²ⁿ⁾≈ (pq)ⁿ2²ⁿ

végtelen sor akkor és csak akkor divergens, hap=q= 1

2(ezt az esetet hívjuk egydimenziós szimmetrikus véletlen bolyongásnak). Tehát az egydimenziós szimmetrikus véletlen bolyongás esetén minden állapot visszatérő.

Kétdimenziós szimmetrikus véletlen bolyongásról beszélünk, ha a sík egész koordinátájú pontjain mozgó folyamat azonos 1

4 valószínűséggel mozdul el jobbra, balra, előre vagy hátra, míg háromdimenziós szimmetrikus véletlen bolyongás esetén a tér egész koordinátájú pontjain mozgó folyamat azonos 1

6 valószínűséggel mozdul el jobbra, balra, előre, hátra, lefele vagy felfelé. A

fentihez hasonló gondolatmenettel látható be, hogy a kétdimenziós szimmet-rikus véletlen bolyongás esetén minden pont visszatérő állapot, ezzel szemben a háromdimenziós szimmetrikus véletlen bolyongás esetén minden pont át-meneti állapot, tehát pozitív annak a valószínűsége, hogy nem tér vissza a jelenlegi állapotába.

5.26. Definíció. Egyiállapototdperiódusúállapotnak hívunk, ha aP_ii⁽ⁿ⁾>

0feltételt kielégítő nszámok legnagyobb közös osztójad.Ha d= 1, akkor az iállapotot aperiódikus állapotnak hívjuk.

5.27. ÁLLÍTÁS. Ha az i és a j állapotok kapcsolódóak, azaz i←→j, akkor mindkettő periódusa megegyezik, tehát a periódikusság is osztálytulajdonság.

Bizonyítás nélkül közöljük az irreducibilis Markov-láncokra vonatkozó követ-kező fontos tételt:

5.28. TÉTEL. Ha egy Markov-lánc irreducibilis, akkor a következő három tulajdonság közül pontosan egy teljesül a Markov-lánc állapotaira:

a) mindegyik állapot pozitív visszatérő állapot;

b) mindegyik állapot visszatérő nulla állapot;

c) mindegyik állapot átmeneti állapot.

5.29. Definíció. Egy diszkrét Markov-láncergodikus, ha irreducibilis, ape-riodikus és minden állapota pozitív visszatérő.

A (5.16) példában már láttuk, hogy a Markov-lánc n-edik lépés utáni Π⁽ⁿ⁾ eloszlása "stabilizálódik".

5.30. Definíció. Egy diszkrét Markov-láncnak aΠ = (Π₁,Π₂,Π₃, . . .) elosz-lás (Π_i ≥0és P∞

i=1Π_i = 1) stacionárius eloszlása, ha teljesül a

Π = ΠP (5.4)

mátrix egyenlet.

A (5.4) mátrix egyenlet egyenletrendszer formájában felírva a következő:

Π_i =

∞

X

j=1

Π_jP_ji (i= 1,2,3, . . .).

5.31. Definíció. Egy Markov-láncnak aΠ = (Π₁,Π₂,Π₃, . . .)eloszlás a ha-táreloszlása, ha léteznek a

n→∞lim Π⁽ⁿ⁾_i = lim

n→∞P(X_n =i) = Π_i (i= 1,2,3, . . .) határértékek.

A sorbanálláselmélet szempontjából fontosak az alábbi tételek, amelyek biz-tosítják a határeloszlás létezését, illetve a Markov-lánc lényeges tulajdonsá-gainak teljesülését.

5.32. TÉTEL. Ha az X_n homogén irreducibilis és aperiodikus Markov-lánc, akkor a kezdeti valószínűség eloszlástól függetlenül létezik a

Π_i = lim

n→∞Π⁽ⁿ⁾_i (i= 1,2,3, . . .)

határeloszlás. Ha a Markov-lánc állapotainak mindegyike pozitív visszatérő állapot, akkor a Markov-lánc ergodikus ésΠ_i >0 minden i esetén. Fennáll

Π_i = 1

m_i (i= 1,2,3, . . .),

(mi aziállapot visszatérési idejének a várható értéke), ésΠ = (Π1,Π2,Π3, . . .) stacionárius eloszlás, ahol Π_i a

∞

X

i=1

Π_i= 1, (5.5)

Π_i=

∞

X

j=1

Π_jP_ji (i= 1,2,3, . . .) egyenletrendszer egyértelmű megoldása.

Ha a Markov-lánc állapotainak nem mindegyike pozitív visszatérő állapot (az-az vagy mindegyik visszatérő nulla vagy átmeneti állapot), akkorΠ_i= 0 min-den i esetén, és nem létezik stacionárius eloszlás.

A tétel első feléből következik, hogy ergodikus Markov-láncok esetén a ha-táreloszlások és a stacionárius eloszlások egybeesnek, ezeket az eloszlásokat egyensúlyi eloszlásoknak nevezzük. Amikor a sorbanállási feladatoknál a Markov-láncokat alkalmazzuk, akkor éppen ezek az eloszlások a legfonto-sabbak. Ezért lényegesek az alábbi tételek, amelyek feltételeket adnak az ergodikusságra nézve, azaz mikor lesz egyensúlyi eloszlás.

5.33. TÉTEL. Ha egy véges sok állapotú Markov-lánc irreducibilis és aperi-odikus, akkor ergodikus is.

5.34. TÉTEL. Egy pozitív, irreducibilis, aperiodikus Markov-lánc visszatérő és így ergodikus is, ha a

∞

X

j=1

P_jix_j ≤x_i−1

egyenlőtlenségrendszernek van olyan nemnegatív megoldása, melyre teljesül

a ∞

X

j=1

P_0jx_j < ∞ egyenlőtlenség.

5.35. TÉTEL. Egy pozitív, irreducibilis, aperiodikus Markov-lánc akkor és csak akkor visszatérő és így ergodikus is, ha a

∞

X

j=1

x_jP_ji =x_i

egyenletrendszernek létezik olyan nemnulla megoldása, amelyre teljesül a

∞

X

j=1

|x_j|<∞

egyenlőtlenség.

5.36. Példa. 5.16 (Keresd a bűnözőt! - folytatás) Emlékeztetőül az átme-neti valószínűség mátrix

A Markov-lánc nyilvánvalóan irreducibilis és aperiodikus (meg persze véges sok állapotú), így a 5.33 tétel alapján ergodikus és létezik a határeloszlása,

amely egyúttal stacionárius eloszlás is. A (5.5) egyenletrendszer most

Ez azt jelenti, hogy ha a rendőrök nem ismerik a kezdeti eloszlást, akkor is pár nap múlva már igen jó közelítéssel ismerik az aznapi eloszlást. Említésre méltó, hogy aΠ = ( 4

11; 3 11; 4

11)stacionárius megoldás, hiszen

( 4

6. fejezet

Sorbanálláselmélet

6.1. Poisson folyamat

A független növekményű stacionárius folyamatok közül különösen haszno-sak lesznek számunkra azok a folyamatok, amelyeknél annak a valószínűsé-ge, hogy egy adott időintervallumban pontosan egy esemény következik be, egyenesen arányos az időintervallum hosszával, és egy nagyon rövid időin-tervallumban nem valószínű, hogy egynél több esemény következzen be. A pontos definícióhoz szükségünk van a következő fogalomra is:

6.1. Definíció. Egy f függvényo(h)["kis-ordó h"] nagyságrendű, ha

h→0lim f(h)

h = 0. (6.1)

6.2. Példa. a) Az f(x) =x² o(x)nagyságrendű, mivel

x→0lim x²

x = lim

x→0x= 0,

b) Az f(x) =x nem o(x)nagyságrendű, mivel

x→0lim x x = lim

x→016= 0.

6.3. ÁLLÍTÁS. Ha egy f függvény o(h) nagyságrendű, akkor tetszőleges c konstans esetén acf függvény is o(h) nagyságrendű, mivel

h→0lim cf(h)

h =clim

h→0

f (h) h = 0.

6.4. ÁLLÍTÁS. Ha egyf ésg függvény iso(h)nagyságrendű, akkor azf+g függvény is o(h) nagyságrendű, mivel

h→0lim f (h)

h + lim

h→0

g(h) h = lim

h→0

f(h) +g(h)

h = 0.

6.5. Következmény. Ha azf₁, f₂, . . . , f_n függvények mindegyikeo(h) nagy-ságrendű, ésc₁, c₂, . . . , c_n konstansok, akkor ac₁ f₁+c₂f₂+. . .+c_nf_n függvény is o(h)nagyságrendű, tehát tetszőleges lineáris kombinációjuk is o(h) nagy-ságrendű.

A következő definíciót könnyű megjegyezni, ha arra az alkalmazásra gondo-lunk, amit majd tiszta születési folyamatnak fogunk hívni: Egy sokaságban N egyed van és időnként érkezik (születik) egy új tag. A születések pillanata-iban bekövetkezik egy esemény. Az alábbi feltételekkel meg tudjuk határozni a sokaságN(t) létszámát a t időpontban.

6.6. Definíció. Egy N(t)számláló folyamat λ rátájú Poisson folyamat, ha a) Független növekményű, azaz a diszjunkt időintervallumokban bekö-vetkező események függetlenek egymástól.

b) Stacionárius növekményű a folyamat, azaz egy időintervallumban be-következő események száma csak az időintervallum hosszától függ, és nem függ annak kezdeti időpontjától.

c) Annak valószínűsége, hogy pontosan egy esemény következik be egy rövid időintervallumban egyenesen arányos az intervallum hosszával

P[N(h) = 1] =λh+o(h).

d) Lehetetlen, hogy egy rövid időintervallumban egynél több esemény következzen be

P[N(h)>1] =o(h). Ac) és d) feltételek következménye, hogy

P[N(h) = 0] = 1−λh+o(h), mivel

P[N(h) = 0] = 1−P[N(h)>0] = (6.2)

= 1−P[N(h) = 1]−P[N(h)>1] =

= 1−[λh+o(h)]−o(h) =

= 1−λh−o(h)−o(h) = 1−λh+o(h).

A Poisson folyamat definíciója meghatározza, hogy egy tetszőlegest hosszú-ságú intervallumban bekövetkező események száma λt paraméterű Poisson-eloszlású valószínűségi változó:

6.7. TÉTEL. Legyen {N(t), t≥0} egy λ rátájú Poisson folyamat, akkor egy tetszőleges t > 0 hosszúságú intervallumban bekövetkező események X száma λ paraméterű Poisson-eloszlású valószínűségi változó

P(X =k) = (λt)^k

k! e^−λt, k= 0,1,2, . . . .

Bizonyítás. JelöljeP_k(t)annak a valószínűségét, hogy atidőpillanatban a folyamat a k értéket veszi fel, azaz

P_k(t) =P(X =k), k= 0,1,2, . . ..

Először határozzuk meg P₀(t) értékét. Mivel a folyamat stacionárius nö-vekményű, így feltételezhetjük, hogy az időintervallum nullánál kezdődik.

Vizsgáljuk P₀(t+h) értékét, azaz annak a valószínűségét, hogy X a t+h időpillanatban0. Ez csak úgy következhet be, hogy az X at időpillanatban is 0és a(t, t+h)intervallumban nem változik az értéke, ezért

P₀(t+h) =P ({N(t) = 0} · {N(t+h)−N(t) = 0}), de a {N(t) = 0}és {N(t+h)−N(t) = 0} események függetlenek, így

P₀(t+h) =P(N(t) = 0)·P (N(t+h)−N(t) = 0).

Az N(t+h)−N(t) = 0 esemény csak úgy következhet be, ha N(h) = 0, tehát

P₀(t+h) =P₀(t)·P (N(h) = 0). A (6.2) tulajdonság miatt

P₀(t+h) =P₀(t)·(1−λh+o(h)), innen átrendezéssel, és felhasználvao(h)tulajdonságait

P₀(t+h)−P₀(t)

h =−λP₀(t) +o(h) h ,

ahonnan a lim

h→0határértéket véve kapjuk a dP₀(t)

dt =−λP₀(t)

differenciálegyenletet. Ennek általános megoldása Ce^−λt és kihasználva a P₀(t) = 0 kezdeti feltételt a partikuláris megoldás

P₀(t) =e^−λt.

Most vizsgáljukP_n(t)értékét, han >0. A megfelelő módosítással használjuk az előző gondolatmenetet. Az az esemény, hogy N(t+h) = n az csak a következő három módon történhet:

a) N(t) =n és N(t+h) =n b) N(t) =n−1és N(t+h) =n

c) N(t) =n−k és N(t+h) =n, k≥2.

Ez a három esemény páronként diszjunkt, ígyP_n(t+h)értékét ezen három esemény valószínűségének összegeként kapjuk.:

P_n(t+h) =P_n(t) (1−λh+o(h)) +λhP_n−1(t) +o(h). Átrendezéssel

P_n(t+h)−P_n(t)

h =−λP_n(t) +λP_n−1(t) + o(h) h , és a lim

h→0 határértéket véve adódik a dP_n(t)

dt =−λP_n(t) +λP_n−1(t) differencia-differenciálegyenlet. Mivel P₀(t) =e^−λt,így

dP₁(t)

dt =−λP₁(t) +λe^−λt, ahonnan

P₁(t) =λte^−λt, és teljes indukcióval kapjuk a tétel állítását

P_n(t) = (λt)ⁿ

n! e^−λt, n= 0,1,2, . . . .

AzX valószínűségi változó tehát λt paraméterű Poisson-eloszlású valószínű-ségi változó, így várható értéke és szórásnégyzete egyaránt λt. Ez rávilágít arra, hogy miért nevezzük a λ paramétert a Poisson-folyamat esetében a folyamat rátájának, hiszen az átlagos bekövetkezések száma (rátája)

E(N(t))

t = λt

t .

Bizonyítás nélkül közöljük a következő tételt, amelyik leírja a szoros kapcso-latot az exponenciális és a Poisson-eloszlás között.

6.8. TÉTEL. Legyen adott egy N(t) számláló folyamat és legyenek az egy-más utáni bekövetkezések időpontjai

t₁ < t₂ <· · ·< t_n, míg a köztük eltelt idő rendre

τ₁=t₁, τ₂ =t₂−t₁, . . . , τ_n =t_n−t_n−1.

Ha a számláló folyamat λ rátájú Poisson-folyamat, akkor a τ_i valószínűségi változók egymástól függetlenλ paraméterű exponenciális eloszlású valószínű-ségi változók, és ha a τ_i valószínűségi változók (a bekövetkezések között eltelt időtartamok) egymástól független λ paraméterű exponenciális eloszlású való-színűségi változók, akkor az N(t) folyamat λ rátájú Poisson-folyamat.

Az (a, b)intervallumban egyenletes eloszlást úgy definiáltuk, hogy egy rész-intervallumban való bekövetkezés valószínűsége egyenesen arányos a részin-tervallum hosszával. Ha egyenletes eloszlás szerint választunk egy pontot, akkor azt mondjuk, hogy véletlenül választottuk a pontot. A következő té-tel rávilágít arra, hogy miért "véletlen", valamint hol és miért lehet olyan sokszor jól modellezni a valóságot Poisson-folyamattal.

6.9. TÉTEL. Legyen N(t) egy λ rátájú Poisson-folyamat, és tudjuk, hogy N(t) = 1, azaz a (0, t) intervallumban egy esemény következett be. Legyen az Y valószínűségi változó az esemény bekövetkezéséig eltelt idő. Ekkor Y egyenletes eloszlású a (0, t) intervallumban.

6.10. Megjegyzés. Nincs ellentmondás az előző tétellel, hiszen itt nem két egymás utáni bekövetkezés között eltelt időről van szó.

Bizonyítás. Az előző tétel jelölésével legyenτ₁ az első bekövetkezésig eltelt idő

P(Y < x) =P (τ₁ < x|N(t) = 1 ) =

= P({τ₁ < x} {N(t) = 1}) P(N(t) = 1) =

= P({N(x) = 1} {N(t)−N(x) = 0})

P(N(t) = 1) =

a független növekményűséget felhasználva

= P({N(t)−N(x) = 0})P ({N(x) = 1}) P(N(t) = 1)

= P({N(t−x) = 0})P({N(x) = 1})

P(N(t) = 1) =

és a 6.7 tételt felhasználva

= λxe^−λxe^−λ(t−x) λte^−λt = x

t.

Ez éppen a (0, t)intervallumban egyenletes eloszlás definíciója.

6.2. Születési-halálozási folyamatok

Általánosítsuk a Poisson-folyamatot, amikor nemcsak érkeznek (születnek), hanem távoznak is (meghalnak) egyedek. Bizonyos esetekben ésszerű felté-telezni, hogy a születési és a halálozási ráta függ a népesség számától. Sor-banállási feladatoknál a születés az egy új egyed érkezése a sorba, míg egy egyed kiszolgálásával az az igény kikerül a sorból (meghal).

6.11. Definíció. Egy N(t) számláló folyamatot születési-halálozási folya-matnak nevezünk, ha teljesülnek az alábbi feltételek:

a) homogén Markov-lánc

b)P (pontosan 1 születés|N(t) =k) =λ_kh+o(h), λ_k ≥0 c) P(pontosan 1 halál|N(t) =k) =µ_kh+o(h), µ_k ≥0 d)P (pontosan 0 születés|N(t) =k) = 1−λ_kh+o(h) e) P(pontosan 0 halál|N(t) =k) = 1−µ_kh+o(h).

Mivel a fenti négy valószínűség összege 1 +o(h), így annak a valószínűsége, hogy egy rövid időtartamban egynél több esemény történjen az lehetetlen (o(h)nagyságrendű). N(t)számláló folyamat, tehát negatív nem lehet, így µ₀ = 0. A λ_k és aµ_k a születési illetve halálozási ráták.

A születési-halálozási folyamatot is a differencia-differenciálegyenletével írjuk le. Hasonló módon állítjuk fel az egyenleteket, mint a 6.7 tétel bizonyításá-ban.

Először tekintsük azn= 0esetet.

Az N(t+h) = 0 esemény csak kétféle módon történhet meg:

1) A folyamat a t időpillanatban 0 és a (t, t+h) intervallumban nem változik az értéke, azaz nincs születés, ennek valószínűsége

P₀(t)·(1−λ₀h+o(h)),

2) A folyamat at időpillanatban 1és a (t, t+h)intervallumban 1halál következik be, ennek valószínűsége

P₁(t)·(µ₁h+o(h)), innen

P₀(t+h) =P₀(t)−P₀(t)λ₀h+P₁(t)µ₁h+o(h), és átrendezés után

P₀(t+h)−P₀(t)

h =P₁(t)µ₁−P₀(t)λ₀+ o(h) h , és a lim

h→0 határértéket véve adódik a dP₀(t)

dt =P₁(t)µ₁−P₀(t)λ₀ (6.3) differenciálegyenlet.

Azn >0esetben azN(t+h) =ncsak háromféle diszjunkt módon történhet meg:

1) A folyamat a t időpillanatban n és a (t, t+h) intervallumban nem változik az értéke, azaz nincs születés, nincs halál, ennek valószínűsége

P_n(t)·(1−λ_nh+o(h))·(1−µ_nh+o(h)).

2) A folyamat a t időpillanatban n+ 1 és a (t, t+h) intervallumban 1 halál következik be, ennek valószínűsége

P_n+1(t)·(µ_n+1h+o(h)).

3) A folyamat a t időpillanatban n−1 és a (t, t+h) intervallumban 1 születés következik be, ennek valószínűsége

P_n−1(t)·(λ_n−1h+o(h)).

Mivel másképpen nem jöhet létre azN(t+h) =nesemény, így P_n(t+h) =P_n(t)·(1−λ_nh+o(h))·(1−µ_nh+o(h)) +

+P_n+1(t)·(µ_n+1h+o(h)) + P_n−1(t)·(λ_n−1h+o(h)), azaz

P_n(t+h) =P_n(t)·(1−λ_nh−µ_nh)+P_n+1(t)·µ_n+1h+P_n−1(t)·λ_n−1h+o(h) és átrendezés után

Pn(t+h)−Pn(t)

h =−(λ_n +µ_n)P_n(t)+µ_n+1P_n+1(t)+λ_n−1P_n−1(t)+o(h) h . és véve a lim

h→0 határértéket kapjuk a dPn(t)

dt =−(λ_n+µ_n)·P_n(t) +µ_n+1·P_n+1(t) +λ_n−1·P_n−1(t) (6.4) differencia-differenciálegyenletet. Ha a kiinduló állapot azivolt, azaziszámú egyed volt a sokaságban, akkor a kezdeti feltételek

P_i(0) = 1 és P_j(0) = 0 minden j 6=iesetén. (6.5) Az (6.4) és (6.3) egyenletek, valamint az (6.5) kezdeti feltételek egy végtelen sok egyenletből álló differencia-differenciálegyenlet rendszert adnak, melynek a megoldása analitikus úton általában nagyon nehéz, de néhány fontos eset-ben lehetséges. Ilyen eset például a 6.7 tételeset-ben vizsgált Poisson-folyamat, ahol λ_n = λ minden n esetén, míg µ_n = 0. Általában, ha λ_n = 0, akkor

tiszta halálozási folyamatról beszélünk, míg haµ_n = 0, akkor tiszta születési folyamatról. Tehát a Poisson-folyamat egy speciális tiszta születési folyamat.

A speciális esetek vizsgálata helyett (amelyek persze adott esetben nagyon fontosak lehetnek) foglalkozzunk azzal a gyakorlatban fontos esettel, amikor az idő múlásával egyensúlyi helyzet áll be. Egyensúlyi helyzet alatt azt értjük, hogy aP_n(t)valószínűségek nem függnek az időtől, azaz

P_n(t) =p_n és ennek következtében

dP_n(t) dt = 0.

Vegyük a lim

t→∞ határértéket a (6.4) és (6.3) egyenletek mindkét oldalán, így a

0 =−(λ_n+µ_n)·p_n+µ_n+1·p_n+1+λ_n−1·p_n−1, n >0

0 =µ₁·p₁−λ₀·p₀, n= 0 (6.6) egyenletrendszert kapjuk az egyensúlyi állapotra, feltéve persze, hogy az lé-tezik. A második egyenletből

p₁ =p₀λ₀

µ₁, (6.7)

míg az első egyenletből

µ_n+1·p_n+1−λ_n ·p_n =µ_n·p_n−λ_n−1·p_n−1, azaz ha létezik az egyensúlyi helyzet, akkor a

µ_n·p_n −λ_n−1·p_n−1

kifejezés n-től független konstans, és a (6.6) egyenletből 0 =p₁µ₁−p₀λ₀,

így

µ_n·p_n−λ_n−1·p_n−1 = 0, tehát

p_n =p_n−1λ_n−1 µn

.

Ebből a rekurzív formulából és (6.7)-ből kapjuk, hogy Itt még p₀ függvényében kaptuk meg a p_n valószínűséget, de mivel a

p₀, p₁, p₂, . . . , p_n, . . . valószínűségek valószínűségeloszlást alkotnak, így

∞

Innen nullától különböző valószínűséget csak akkor kapunk, ha az S = 1 +λ₀

µ₁ + λ₁

µ₂ + λ₀λ₁

µ₁µ₂ +· · ·+ λ₀λ₁λ₂· · ·λ_n−1

µ₁µ₂µ₃· · ·µ_n +· · · (6.9) végtelen sor konvergens. Ekkor van egyensúlyi állapot.

6.3. A sorbanállási elmélet elemei

Mindennapi életünk elkerülhetetlen része a sorbanállás, sorakozunk a pos-tán, a pénztárnál. Információkérésünk sorbanáll az interneten, a repülőjegy rendelésünk sorbanáll, amíg feldolgozza a központi szerver. A kamionok sor-banállnak a bepakolás és a kirakodás előtt. A műszaki, gazdasági, katonai feladatok széles skáláját lehet sorbanállási feladatként modellezni, és persze más és más lehet az a szempont, ami szerint optimálisnak tekintjük a sorban-állási rendszert. Van olyan áruházlánc, ahol hangsúlyt fektetnek arra, hogy ne kelljen sokáig sorakozni a pénztárnál, van, ahol direkt kevés pénztárost alkalmaznak, hogy ezzel is olcsóbbá tegyék az árakat.

Nézzünk egy általános sorbanállási- kiszolgálási rendszert. Van egy sokaság, amelyikből valamilyen rendszer szerint időnként néhányan a kiszolgáló rend-szerhez fordulnak. Lényeges, hogy ez a sokaság milyen nagy (a kiszolgáló kapacitáshoz viszonyítva). Eszerint célszerű véges, vagy végtelen sokaságot

feltételezni. Érdemes megemlíteni, hogy a modell kezelhetősége szempontjá-ból egyszerűbb a végtelen sokaság feltételezése. Nyilvánvalóan érdekes, ho-gyan, milyen sűrűn érkeznek a kiszolgálandók (az igények). Sokkal nehezebb egy jó kiszolgáló rendszert kiépíteni, ha az igények csoportosan érkeznek, mintha egyenként. A modellek többségében feltételezzük, hogy milyen elosz-lás szerint érkeznek az igények.

Ha a kiszolgáló szabad, azonnal megkezdi a kiszolgálást, ha nem, akkor kell (kellene) beállni a sorba. Újból különböző modellt kapunk, ha figyelembe vesszük, hogy milyen az igények várakozási hajlandósága. Van olyan igény, amelyik elvész, ha nem szolgálják ki azonnal. Például szívinfartktus esetén 2 óra múlva már felesleges mentőt küldeni, de egy fájó foggal néha napokat is várunk, amíg orvoshoz megyünk. Ha várakozunk a kiszolgálóra (sorban állunk), akkor érdekes, hogy milyen elv szerint kerülünk be kiszolgálásra. Az angol terminológia alapján a leggyakrabban használt (és a gyakorlatot jól leíró) elvek:

-FIFO (First In First Out) mindig a legkorábban érkezettet szolgálják ki.

-LIFO (Last In First Out) mindig a legutolsónak érkezettet szolgálják ki.

-SIRO (Service In Random Order) véletlenszerű a kiválasztás a kiszol-gálásra.

-PRI (Priority Service) bizonyos igényeknek elsőbbségük van (pl. men-tőknél a közvetlen életveszély)

Különbözik a sorbanállási-kiszolgálási rendszer, ha különbözik a kiszolgálók száma, ezért a kiszolgálók száma szerint is megkülönböztetjük a modelleket.

Ha már bekerülünk a kiszolgálóhoz, akkor általában más-más ideig tart a kiszolgálás. A modellek többségében feltételezik, hogy a kiszolgálás ideje a véletlentől függ, és feltételezik a kiszolgálás idejének az eloszlását (exponen-ciális, Erlang, stb.).

Azért, hogy könnyű legyen áttekinteni milyen rendszerrel foglalkozunk, hasz-nálni fogjuk a Kendall-féle jelölést. Eszerint egy sorbanállási-kiszolgálási mo-dell átalános alakja

A/B/c/K/m/Z, ahol

A az egymást követő beérkezések között eltelt idő;

B a kiszolgálási idő eloszlásának típusa;

c a kiszolgáló egységek száma;

K a kiszolgáló rendszer kapacitása (a sorbanállók száma plusz a kiszolgálás alatt lévők száma);

m a sokaság létszáma (ahonnan az igények érkeznek);

Z a sorból a kiszolgálásra való kerülés elve.

Z a sorból a kiszolgálásra való kerülés elve.

In document Sztochasztikus modellezés (Pldal 147-0)